期末复习综合训练三-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习综合三 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习综合三 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4．已知幂函数，在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据变为，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A. 1.5EB B. 1.75EB C. 2EB D. 2.25EB 6. 若奇函数和偶函数满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. -3 D. -2 7. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有； （2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 11. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 13. 已知函数，若，则的最小值为 . 14.已知函数在其定义域内为偶函数，且， 则 . 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. (本题13分)已知集合，集合． （1）若，且，求实数的取值范围． （2），若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围． 16．（本题15分）化简和求值 （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 17. （本题15分）设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本题17分）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 19. （本题17分）已知函数，其中a为常数，且． （1）若是奇函数，求a的值； （2）证明：在上有唯一的零点； （3）设在上的零点为，证明：． ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习综合三 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习综合三【解析】 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【分析】根据分段函数运算求解. 【详解】由题意可得：， 故. 故选：B. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得 又由函数在单调递增，在单调递减， 因为在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式先求的值，再用二倍角公式求的值. 【详解】因为，所以 所以． 故选：B 4．已知幂函数，在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数求出m,再利用同角三角函数的关系求出结论. 【详解】由题意可得，解得， 又函数在区间上是单调减函数，所以， ，所以， 所以， 所以 ， 即， 所以，所以. 故选：B. 5. 人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据变为，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A. 1.5EB B. 1.75EB C. 2EB D. 2.25EB 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得，解出，得到，将代入即可求出结果. 【详解】由题可得，解得，所以， 当时，， 故选：C. 6. 若奇函数和偶函数满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. -3 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用代替，得到， 联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由（1）， 用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以（2） 联立（1）（2），解得， 所以以，则． 故选：D． 7. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 8. 已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类讨论考虑二次函数的恒成立问题. 【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是. 故选 B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有； （2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果． 【详解】函数同时满足（1）对于定义域上的任意，恒有； （2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”， “理想函数”既是奇函数，又是定义域上的减函数， 对A：是奇函数，且是单调递减函数，故A是“理想函数”； 对B：是奇函数，且是减函数，故B是“理想函数”； 对C：是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故C不是“理想函数”; 对D：，定义域为， 且，所以是奇函数，且是上的减函数，故D是“理想函数”． 故选：ABD 10. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】据中心对称即可求值A；由周期范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 11. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项. 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以，故B正确； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故C正确； 对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解. 【详解】，， 即， 解得， ，，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为，且，所以 则，可得， 即，且， 则，当且仅当，等号成立， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 14.已知函数在其定义域内为偶函数，且， 则 . 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故答案：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. (本题13分)已知集合，集合． （1）若，且，求实数的取值范围． （2），若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围． 【答案】（1） （2）存在实数， 【解析】 【分析】（1）首先解出集合和的具体表达式，求出，再根据，需考虑集合为空集和非空两种情况，即可求出实数的取值范围； （2）解出集合的具体表达式，由“是的必要不充分条件”可知，且，即可求得的范围. 【详解】（1） 由题意得：或，， 当时，有，即； 当时，有，解得 综上所述， （2）依题意，且 ， ，解得，此时. 所以存在实数，范围为：. 16．（本题15分）化简和求值 （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 【答案】（1）；（2）9；（3）6. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系式； （2）利用对数的运算性质； （3）利用对数运算和指数的运算性质. 【详解】（1） （2） ； （3） . 17. （本题15分）设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）. （2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【解析】 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】(1)因为 所以， 因为，所以. (2)因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 18．（本题17分）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为y与x的函数模型； (2)289百棵. 【分析】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【详解】（1）①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. （2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 19. （本题17分）已知函数，其中a为常数，且． （1）若是奇函数，求a的值； （2）证明：在上有唯一的零点； （3）设在上的零点为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）探讨函数在上的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. （3）证明，计算并判断正负，，再借助单调性即可推理得证. 【详解】(1)函数的定义域为，， 由是奇函数，得 ，解得， 所以. (2)函数，，函数在上递增， 在上递增，又在上递增，因此在上递增， 而， 所以在上有唯一的零点. (3) 因为， 所以， 则， 则， 因此， 而在上递增， 于是，， 所以. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $