山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期12月冬季竞赛数学试题

高二数学竞赛试题 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 一、单选题 1.如图，在正方体ABCD-A'B'CD'中，点M,N分别是棱A'B,BB'上的点，且BN=NB, 2A'M=MB',则异面直线AM与CN所成角的余弦值为() A D B D B A.3W2 B. 2 5 5 c.32 D. 10 10 2.已知双曲线C:。上=1>0)的一条渐近线方程为)= x,则C的实轴长为 m+2 m 3 () A.12 B.8 C.2W6 D.√6 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,纵坐标为√2的点M在C上.若以M为圆 心，MF为半径的圆被y轴截得的弦长为25，则P=() A.2W2 B.2 C.5 D.√ 二、多选题 4.下列结论正确的是() A.若动点P(x,y)到两定点(-4,0)，E(4,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为 x2+=1 259 B.若动点P(x,y)到两定点耳(5,0)，耳(5,0)的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为 试卷第1页，共4页 x2 y2 -=1 169 C.若P(x,y)到定点F(5,0)的距离和P(x,y)到定直线1：x=-5的距离相等，则动点P的 轨迹方程为y2=20x D.已知A(-20),B(2,0),若动点P(k,川满足P4=4B,则Px,)的轨迹方程是 x=0 5.下列结论正确的有() A.直线y=2x关于y=x+1对称的直线为x-2y+3=0 B.若一直线的方向向量为(3,3)，则此直线倾斜角为60 C.若直线x+w+1=0与直线x-2y+a=0垂直，则a=, D.己知点A(4,2),B(1,1),若直线y=k(x-2)与线段AB相交，则k的取值范围是 [1, 6.如图，在边长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P为线段AC上的动点，则() D C B D 9 B A.不存在点P,使得AP⊥CD B。示币的最小值为-号 C.当4P=AC时，DP上AP 3 D.若平面ABCD上的动点M满足∠MDC= 石，则点M的轨迹是直线的一部分 三、填空题 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点， 则OA.OB= 试卷第2页，共4页 8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线 x2+y2-10x-2y+25=0上一动点，则P+PO的最小值为 ).已知R,具是双黄线。-1a~0b>0的东、右焦点，以3为直轻的四与双曲线在 第一象限交于点Q、在第三象限交于点P,若Q≥3P,则该双曲线的离心率的取值范 围是 四、解答题 10.如图，已知点A是直线1：x-2y+1=0上任意一点，点B是直线12：x-2y-4=0上任意 一点，连接AB,在线段AB上取点C使得2CA=3BC C B (1)求动点C的轨迹方程： (2)已知点P(4,-2),是否存在点C,使得P©=3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说 明理由. 11.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，己知BC=4, AB=AD=2,点P在线段BE上. F E D (I)求证：平面ACP⊥平面ABF; (②)当直线AP与平面BCg所成角的正弦值为3时，求 14 E 12.已知双曲线E:x2-y2=1,直线P9与双曲线E交于P,2两点，直线MN与双曲线E 交于M,N两点 试卷第3页，共4页 (I)若直线MN经过坐标原点，且直线PM,PN的斜率kM,kw均存在，求kwkw; (2)设直线Q与直线MN的交点为T1,2),且T严.T西=M.,证明：直线P9与直线MN 的斜率之和为0. 试卷第4页，共4页 《高二数学竞赛试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C AC ABC BC 1.C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解即得。 【详解】在正方体ABCD-A'B'CD中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长AB=6, M A X B 依题意，A(0,0,0)M(2,0,6),C(6,6,0),N(6,0,3),则AM=(2,0,6,CN=(0,-6,3), 所以异面直线AM与CW所成角的余弦值为cosM,CI=IAM-c 11832 |AMICN12W10×3V510 故选：C 2.C 【分析】根据双曲线方程，可得2=m+2,b2=,即可求得渐近线方程，根据条件，可得 m16 m+2子，求得m值，即可得答案 【详解】由题意可得a2=m+2,b2=,所以a=√m+2,b=√m, 所以一条渐近线的方程为y=bx:√ X, a√m+2 所以 m 6 √+2 =3,解得m=4,则x=6,所以实轴长2a=26 故选：C 3.A 【分析】根据点M的坐标满足抛物线方程，以及直线截圆所得弦长，列出关于xM,p的方程 答案第1页，共10页 组，求解即可 【详解】根据题意，作图如下： 设点M坐标为(x,V②)，因其在抛物线上，故2=2px: 以M为圆心，MP为半径圆，其圆心到y轴的距离为，半径M=x,+巴 由题可知： 25 0）2 2 ，整理得：3=p +p-+1,散pr8,p=2N5 4 故选：A. 4.AC 【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出 答案 【详解】选项A:由椭圆定义可知，2a=10,a=5,c=4,焦点在x轴上，b2=9, 所以动点P的轨迹方程为。+上-1，A对： 259 选项B:由双曲线定义可知，P-PF=2a=8, 所以a=4,c=5,b2=9, 所以动点P的轨透方程为G号-1，化>0，B错。 选项C:由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，’=5， 所以动点P的轨迹方程为y2=20x,C对： 选项D:因为P4-A8l=2, 由圆的定义可知，圆心A(-2,0),半径r=2, 所以动点P的轨迹方程为(x+2)2+y2=4,D错： 答案第2页，共10页 故选：AC. 5.ABC 【分析】对选项A,求出直线y=2x关于y=x+1对称的直线方程即可判断A正确，对选项 B,根据直线斜率k=√，即可判断B正确，对选项C,根据两条直线垂直，斜率相乘等于 -1,即可判断C正确，对选项D,根据直线y=k(x-2)恒过定点C(2,0),画出图形，结合 图形即可得到斜率的取值范围，即可判断D错误， y=2x x=1 【详解】对选项A, =x+1 (ys2’ 即交点为A(1,2) 设直线y=2x上点(0,0)关于y=x+1对称的点为M(a,b), b =-1 则/a a=-1 _+1 → (b=1, 即M(-1,1) 22 培台 所以直线y=2x关于y=+1对称的直线为)-2--)，即x-2+3=0 故A正确 对选项B。因为：=后5，所以领斜角为60，枚B正稀 对选项C,当a=0时，直线x+1=0,斜率不存在， 直线x-2y=0,斜率为直线7，不满足题意，故a≠0. 因为两条直线垂直，所以 )-1，解得a分故c正 对选项D,直线y=k(x-2)恒过定点C(2,0) ,子1，小如所际 4-2 y B 因为直线y=k(x-2)与线段AB相交， 答案第3页，共10页 所以k≥1或k≤-1，故D错误. 故选：ABC 6.BC 【分析】A选项，根据线面垂直的性质证明当P为AC的中点时AP⊥CD:B选项，设 AP=AC,然后利用向量的线性运算和数量积的运算律得到DPAP=(31-2),最后求 最小值即可；C选项，利用空间向量再证明即可；D选项，建立空间直角坐标系，然后根据 ∠MD,C=亚列方程得到点M的轨迹方程，即可得到点M的轨迹 6 【详解】 2 D C A B B A选项：当P为AC的中点时AP⊥CD,理由如下： 由图可知，当P为AC的中点时APc平面AB,C,D, 因为ABCD-AB,C,D为正方体，所以AD⊥平面CDD,C,DC,⊥CD, 因为CDC平面CDD,C,所以AD⊥CD, 因为AD∩DC1=D,AD,DC1C平面AB,C,D,所以CD⊥平面AB,CD, 因为APc平面AB,CD,所以AP⊥CD,故A错误： B选项：设AP=AC,2∈[0,1]， 则DP=DA+AP=-AD+-A4+AB+AD)=(元-1)AD-AA+AB, AP=A4+4P=A4+(-44+4B+AD)=(1-1)44+1AB+RAD, 所以DPAP=31-2),当元=号时0P.AP取得最小值，最小值为-写故B正确： 1 c选项：当4中4c时，亚0亚，亚}双+亚+D。 答案第4页，共10页 Dp亚=-22+40， 999 所以DP⊥AP,故C正确： D选项：如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系， D(0,0,1),C(0,1,0),设M(x,y,0),x∈[0,1]，y∈[0,1]则DM=(x,y,-1), DC=(01,-1), 当平面ABCD上的动点M满是∠AMDC-君时. DM.DC cos DM,DC 0+y+13 DDC√2+y2+1x1+i21 整理得x+-2=1,所以点M的轨迹为椭圆的一部分，故D错 3 故选：BC 7.-3 【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线AB的方程，将直线方程与抛物线联立 得到一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2=6,xx2=1,由OAOB=x2+yy2即可求 出 【详解】抛物线y2=4x的焦点为(1,0)， 设A,B两点的坐标为(3，y)和(x2,y2),由题意得直线AB的方程为y=x-1, y2=4x 将直线和抛物线联立 y=x-1'可得x2-6r+1=0, 其中△=36-4=32>0， 则x1+x2=6,xx2=1, 0A0B=xx2+yy2=x2+(-1)32-1)=2x2-(3+x2)+1=2×1-6+1=-3. 故答案为：-3 8.5 【分析】由抛物线定义，将PF+PQ最小值转化为点Q所在圆的圆心到准线的距离减圆半 径 答案第5页，共10页 【详解】曲线x2+y2-10x-2y+25=0,即(x-5)2+(y-1)2=1, 设其圆心为M,则M(5,1). 抛物线y2=4x的准线1：x=-1, 过点P作PG⊥I,垂足为G,则PG=PF, 所以PF+PO=PG+PO 当G,P,Q共线时，PG+PQ最小，此时最小值为点9到直线1的距离 设M到直线l的距离为d,则d=5-(-1)=6, 则PG+Pg的最小值为d-1=6-1=5. 所以PF+PO的最小值为5. 故答案为：5. G) 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可！ 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知P,O,Q三点共线，则四边形FPF,2为矩形， 2a+m≥3 设P耳=m=QF,∴.Qr=l+2a,则 (2a+m)2+m2=4c2 所以m=V2e2-a-asa,即1<e≤ 2 故答案为： 10 答案第6页，共10页