培优点02 数列求和的综合应用（10大题型）讲义-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦数列求和的综合应用，以等差、等比数列求和公式为基础，通过倒序相加、奇偶求和、绝对值求和等10类题型构建从方法总结到综合应用的学习支架，系统梳理分组、裂项、错位相减等核心求和方法。 资料特色在于题型分类细致，如裂项相消法细分等差型、等比型、根式型，结合例题与变式培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，过关测试助力课后查漏补缺，课中辅助教师分层教学，提升学生解决复杂数列问题的能力。

培优点02 数列求和的综合应用 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：倒序相加求和 3 题型二：奇偶求和 4 题型三：绝对值求和 5 题型四：错位相减法 6 题型五：分组求和法 7 题型六：并项求和 8 题型七：裂项相消法之等差型 10 题型八：裂项相消法之等比型 11 题型九：裂项相消法之根式型 12 题型十：数列求和之其他方法 13 03 过关测试 15 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一：倒序相加求和 【例1】（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【变式1-1】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【变式1-2】已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 【变式1-3】（2025·高三·云南·月考）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 题型二：奇偶求和 【例2】（2025·高二·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式2-1】（2025·高二·甘肃酒泉·月考）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式2-2】（2025·高二·安徽合肥·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)求数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【变式2-3】（2025·高三·云南红河·月考）记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 题型三：绝对值求和 【例3】（2025·高二·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【变式3-1】（2025·高二·福建厦门·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 (2)设，求. 【变式3-2】（2025·高三·宁夏·月考）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【变式3-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型四：错位相减法 【例4】（2025·高二·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【变式4-1】（2025·高三·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 【变式4-2】（2025·高二·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【变式4-3】（2025·高二·河南·月考）已知数列满足．设，数列的前项和分别为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求和． 题型五：分组求和法 【例5】（2025·高二·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式5-1】（2025·高二·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【变式5-2】（2025·高二·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式5-3】（2025·高二·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型六：并项求和 【例6】（2025·高二·江苏泰州·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 【变式6-1】（2025·高三·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【变式6-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【变式6-3】（2025·高二·江苏南京·月考）设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设数列的通项为，求的前2n项和． 题型七：裂项相消法之等差型 【例7】（2025·高二·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式7-1】（2025·高二·陕西西安·月考）设等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前项和． 【变式7-2】（2025·高二·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【变式7-3】（2025·高二·北京朝阳·月考）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 题型八：裂项相消法之等比型 【例8】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【变式8-1】（2025·高二·福建莆田·期中）在数列，中，，且，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记的前项和为，证明：. 【变式8-2】（2025·高二·江苏常州·月考）设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【变式8-3】（2025·高二·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 题型九：裂项相消法之根式型 【例9】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【变式9-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【变式9-2】已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式9-3】已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 题型十：数列求和之其他方法 【例10】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【变式10-1】（2025·高二·湖南·月考）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 【变式10-2】（2025·高二·山东聊城·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【变式10-3】（2025·高二·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 1．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 2．（2025·高二·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 3．（2025·高二·天津西青·月考）等差数列的首项，其前10项和，正项等比数列中，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知求数列的前项和 4．（2025·高二·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 5．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 6．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 7．（2025·高二·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 8．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 9．（2025·高三·江苏无锡·月考）已知数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．（2025·高二·重庆渝北·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 11．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 12．（2025·高三·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； 13．（2025·高二·福建漳州·期中）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，数列的前n项和为，求的最小值． 14．（2025·高二·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 15．（2025·高二·江西景德镇·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 16．（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列满足：，. (1)求证：为等差数列； (2)设数列的前项和，证明：. 17．（2025·高三·湖南湘西·月考）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（2025·高三·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 19．求数列的前项和． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点02 数列求和的综合应用 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：倒序相加求和 3 题型二：奇偶求和 6 题型三：绝对值求和 10 题型四：错位相减法 13 题型五：分组求和法 16 题型六：并项求和 19 题型七：裂项相消法之等差型 22 题型八：裂项相消法之等比型 24 题型九：裂项相消法之根式型 27 题型十：数列求和之其他方法 30 03 过关测试 33 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型一：倒序相加求和 【例1】（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【解析】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式1-1】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【变式1-2】已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 【解析】（1）证明：由于函数， 则， 所以. （2）由（1）可知，， 则，其中为正整数，， 即，且， 所以，其中为正整数，， 且， ，① 变化前项顺序后，可得：，② ①②得：， 因此. 【变式1-3】（2025·高三·云南·月考）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【解析】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 题型二：奇偶求和 【例2】（2025·高二·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 【变式2-1】（2025·高二·甘肃酒泉·月考）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由，得，即． 又因为，所以，解得，所以． 由，得．又因为，所以，解得， 所以． （2）当为奇数时，， 记，则 ①， ②． ①—②得 ， 所以． 当为偶数时，， 记，则 ． 所以． 【变式2-2】（2025·高二·安徽合肥·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)求数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由数列满足， 当时，， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：； 故答案为：. （2）由题意，，则前项中： 奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则： 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（）， 则： 因此前项和为： . 故. （3）由（1）知，，因为， 所以，整理得： 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾. 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【变式2-3】（2025·高三·云南红河·月考）记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 【解析】（1）因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . （2）由（1）可得， 所以 . 题型三：绝对值求和 【例3】（2025·高二·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【变式3-1】（2025·高二·福建厦门·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值 (2)设，求. 【解析】（1）因为为等差数列，设公差为d，所以， 解得，所以， 则，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为，所以当或6时，有最大值，且最大值为30. （2）由（1）得，， 当时，，当时，， 所以 【变式3-2】（2025·高三·宁夏·月考）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【解析】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 【变式3-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 题型四：错位相减法 【例4】（2025·高二·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【解析】（1）因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. （2）因为等差数列的通项公式， 可得， 所以  ①，   ②， 得： ， 所以. 【变式4-1】（2025·高三·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）由题意知， 令，则， 由，可得， 所以对任意，，即， 所以数列是常数列， 所以. （2）（i），则， ， 所以， 所以. （ii）由题意知，即. 令，则， 当为奇数时，，所以单调递减， 当为偶数时，，所以单调递增. 所以当时，有最小值，且， 所以的最大值为. 【变式4-2】（2025·高二·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【解析】（1）不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. （2）表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以. （3）由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ， 则. 【变式4-3】（2025·高二·河南·月考）已知数列满足．设，数列的前项和分别为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求和． 【解析】（1）由得， 因为，所以，所以. 等式两边取倒数，整理得，所以，即. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即，所以. （2）由（1）可知. 所以 ， 两式作差，得. 所以. 题型五：分组求和法 【例5】（2025·高二·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由于，故 等比数列的通项公式：，故． 根据题意列方程组：， 得，即． 解得（舍去，因）或，故． 因此等差数列的通项公式为：； 等比数列通项公式为：; （2）根据题意得：， 由（1）得． ， 故． 【变式5-1】（2025·高二·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为，所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）可知，所以； 所以，所以 . 【变式5-2】（2025·高二·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 【变式5-3】（2025·高二·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 题型六：并项求和 【例6】（2025·高二·江苏泰州·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由， 得，化简得，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，得， 所以 ； （3）因为的最小正周期为， 所以计算一个周期内（）的的和， ，， ， ， 所以， 所以 . 【变式6-1】（2025·高三·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． （2）由（1）知，， 所以． （3）因为， 所以. 【变式6-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【解析】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 【变式6-3】（2025·高二·江苏南京·月考）设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设数列的通项为，求的前2n项和． 【解析】（1）是等差数列，是等比数列，设的公差为d，的公比为q，， 则，且，解得， 故； （2）结合（1）可得， 当n为偶数时，； 当n为奇数时，； 故， 其中； 设 则， 则 ， 故， 则. 题型七：裂项相消法之等差型 【例7】（2025·高二·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 【变式7-1】（2025·高二·陕西西安·月考）设等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，且 所以，所以， 所以； （2）； （3）因为， 所以 【变式7-2】（2025·高二·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）当时，， 所以， 又，也适合，所以. （2）因为， 所以 . 【变式7-3】（2025·高二·北京朝阳·月考）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 【解析】（1）设数列的公差为，由题可知， ，化简得：， 因为数列的公差不为零，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 因为，所以. 题型八：裂项相消法之等比型 【例8】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【解析】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 【变式8-1】（2025·高二·福建莆田·期中）在数列，中，，且，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记的前项和为，证明：. 【解析】（1）对于，当时，，即，解得， 当时，，① 对于，当时，，即得，代入① ，可得. 故，. （2）由可得，即， 故数列是等比数列，其首项为，公比为2， 故的通项公式为. （3）因， 则 因，则，故； 又数列是递增数列，由可得 ， 综上可得：. 【变式8-2】（2025·高二·江苏常州·月考）设正项数列的前n项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【解析】（1）由得，可知 两式相减得，，即， 即 因为数列是正项数列，所以，所以，即， 又时解得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 数列的通项公式为； . （2）由（1）知，所以，， 所以数列的前n项和. 【变式8-3】（2025·高二·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【解析】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 题型九：裂项相消法之根式型 【例9】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 【变式9-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【解析】（1）在正项数列中，， 当时，，又，故， ，而，解得； 当时，，又，故， ，即，而，解得， 所以，. （2）在正项数列中，，当时，， 则，即， 所以是首项为4，公差为4的等差数列. （3）由（2）得，由是正项数列，得，则， 因此， ， 所以数列的前项的和. 【变式9-2】已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）由得： 即， 所以数列为等差数列， 由得， 设公差为d，，得， 所以， 故数列的通项公式为． （2）， 所以． 【变式9-3】已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，由，得： 由 ， ， 由上面两式相减，得： 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得： （2） 题型十：数列求和之其他方法 【例10】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【解析】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 【变式10-1】（2025·高二·湖南·月考）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 【解析】（1）因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以． （2）设的第项与的第项相等， 则，即，． 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则． 故． 【变式10-2】（2025·高二·山东聊城·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 【变式10-3】（2025·高二·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【解析】（1）由题意可得时，， 故； （2）当时，代入公式可得， 且， 故当时， 时，，代入上式也成立. 综上，. 1．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【解析】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 2．（2025·高二·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【解析】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 3．（2025·高二·天津西青·月考）等差数列的首项，其前10项和，正项等比数列中，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 则由题， 所以. 设正项等比数列的公比为，则， 所以. （2）由（1）， 所以数列的前项和为 ； （3）由（1）， 当为奇数时，， 所以， 则， 所以 ， 所以， 当为偶数时，， 所以 ， 所以数列的前项和. 4．（2025·高二·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 【解析】（1）由可得， 当时，， 所以，整理可得， 又，所以，即，即公差 当时，，即， 所以数列的通项公式为； 设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或（舍去）， 所以. （2）奇数项为，对应通项为， 所以， 偶数项为，令可得， 求和为， 所以数列的前项和. 5．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 6．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【解析】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 7．（2025·高二·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 【解析】（1）设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. （2）证明：由题意得， 所以 . 8．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【解析】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 9．（2025·高三·江苏无锡·月考）已知数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）已知，当时，有， 作差可得：，即， 当时，， 此时，满足， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，即. （2）由（1）可得， 又，所以， 则， 所以． 所以数列的前项和为： ． 10．（2025·高二·重庆渝北·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； （2）， 则 11．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以，在中令，得.所以 当时，由及，得，所以. 又，所以是首项为3，公差为2的等差数列. .所以. （2）由（1）知（）. 当时，，满足上式，所以， 则（）. 当时，，不满足上式，所以 当时，，显然成立； 当时，有，所以， 又，所以的最大值为45. （3）设， 当时，， 当时， 所以 . 当时，上式也符合， 所以. 12．（2025·高三·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； 【解析】（1）由条件可知，且， 解得， 所以； （2）， 所以. 13．（2025·高二·福建漳州·期中）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，数列的前n项和为，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，所以， 而，所以， 所以是以2为首项，为公比的等比数列； 所以，则； （2）由上可知， 则， 因为单调递增，所以， 所以的最小值为. 14．（2025·高二·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 【解析】（1）证明：因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列； （2）由于，结合（1）知，， ， 所以. 15．（2025·高二·江西景德镇·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意可知. 不妨设的公差为d，则， 作差得，所以. 又， 所以， 所以. （2）由上可知：， 所以 . 16．（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列满足：，. (1)求证：为等差数列； (2)设数列的前项和，证明：. 【解析】（1）因为，所以，即，又， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）得，则. 所以. 所以 . 因为，所以，即证. 17．（2025·高三·湖南湘西·月考）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）因为，是公差为的等差数列， 所以，即． 当时，，整理可得， 所以，，，，， 累乘得，所以（也满足该式）， 故． （2）由（1）知， 所以， 所以 ． 18．（2025·高三·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【解析】（1）设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. （2）由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 19．求数列的前项和． 【解析】 . 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $