精品解析：山东省威海市环翠区竹岛中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四制）

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四学制） 一、单选题 1. 已知点，在反比例上，若．则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时， D. 的最大值为 6. 二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是(　　) A. B. C. D. 8. 如图．已知点A和C是反比例函数图象上的点，点B和D是反比例函数图象上的点，轴，轴，与到x轴的距离和为9，则（ ） A. 9 B. 16 C. 18 D. 20 9. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数及的图象，将二次函数的图象依下列哪一种平移方式后，会使得此两图象对称轴重叠（ ） A. 向左平移4个单位长度 B. 向右平移4个单位长度 C. 向左平移10个单位长度 D. 向右平移10个单位长度 10. 已知二次函数（）的图像如图所示，顶点为则下列结论： ①；②； ③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________________________． 12. 使函数 有意义的 的取值范围是________. 13. 抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______． 14. 如图，点A在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交x轴于点B，的周长为4，求点A的坐标． 15. 函数（k为常数）的图像经过点、、，若，则、、的大小关系是______． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题 17. 如图，已知在中，，在中截出一个矩形DEFG，设． （1）求出y与x的函数关系式； （2）自变量x的取值范围______． （3）若，则此时y的最大值是______． 18. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东45°方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险． （1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西15°方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米） （2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：，） 19. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝4． （1）如图1，若BE＝3AE． ①求反比例函数的表达式； ②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度． （2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四学制） 一、单选题 1. 已知点，在反比例上，若．则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，已知双曲线分布的象限求参数范围等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据题意得到，进而推出双曲线的图象经过第一、三象限，则，据此即可求出的取值范围． 【详解】解：∵点都在双曲线上，且，， ∴， ∴双曲线的图象两个分支分别在第一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 2. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等边三角形的性质，根据题意，得出，再令正三角形的边长为，用k分别表示出及即可解决问题． 【详解】解：因为图中的三角形都是正三角形， 所以四边形为菱形， 则， 所以． 令正三角形的边长为， 则． 在中，， 所以． 在中，． 故选：C． 4. 如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点找到格点，使得，则，构造，即可求解． 【详解】如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°， ． 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键． 5. 二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时， D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断． 【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴A选项不符合题意； ∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小， ∴B选项不符合题意； ∵当时，；当时，， 又∵抛物线的对称轴为， 当时，， 又∵， ∴当时，， ∴C选项符合题意； ∵抛物线的解析式为， ∴当时，抛物线取得最大值， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式． 6. 二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与两种情况，先确定抛物线开口方向与顶点，再结合反比例函数图像所在象限即可得出结论． 【详解】解： 当时，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，双曲线位于二、四象限，故A图象正确，B图象二次函数顶点与反比例函数所在象限错误； 当时，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，双曲线位于一、三象限，故C答案中抛物线顶底位置不正确，D答案中反比例函数图象所在象限不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与反比例函数图像的识别，掌握分类讨论思想，根据a的值，得出二次函数与反比例函数性质，从中找出满足条件的函数图像是解题关键． 7. 如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线平移的规律得到抛物线，通过观察图象可知，它的对称轴以及与轴的交点，利用函数图像的性质可以直接得到答案． 【详解】解：∵根据抛物线平移的规律可知，将二次函数向左平移个单位可得抛物线，如图： ∴对称轴为，与轴的交点为， ∴由图像可知关于的不等式的解集为：． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的平移规律、对称性，数形结合的思想，解题关键在于通过平移规律得到新的二次函数图象以及与轴的交点坐标． 8. 如图．已知点A和C是反比例函数图象上的点，点B和D是反比例函数图象上的点，轴，轴，与到x轴的距离和为9，则（ ） A. 9 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了反比例函的图像与坐标．熟练掌握以上知识点是解题的关键．只要根据题意找到反比例函数上的点的坐标，列出相关方程即可． 【详解】解：设， 根据题意得：， ∵，与到x轴的距离和为9， ， 解得 ． 故选：C 9. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数及的图象，将二次函数的图象依下列哪一种平移方式后，会使得此两图象对称轴重叠（ ） A. 向左平移4个单位长度 B. 向右平移4个单位长度 C. 向左平移10个单位长度 D. 向右平移10个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离. 【详解】解：∵=ax2+6ax-7a, =bx2-14bx-15b ∴二次函数的对称轴为直线x=-3, 二次函数的对称轴为直线x=7, ∵-3-7=-10, ∴将二次函数的图象向左平移10个单位长度后，会使得此两图象对称轴重叠，故选C. 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换以及二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 10. 已知二次函数（）的图像如图所示，顶点为则下列结论： ①；②； ③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称性、与坐标轴的交点、顶点坐标等综合判断即可； 【详解】解：∵二次函数开口向下，顶点坐标 ∴ ，； ∴ 当时，由图像可知： 故 ∴ ；①正确； ∵该抛物线的图像与轴仅有一个交点 ∴关于的方程有两个相等的实数根； ∴；②错误； 由图像可知：关于的方程的实数根为： ∴ 将代入得： ；③正确； 当时， 由图像对称性可知： ∴；④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与表达式之间的关系是解题关键． 二、填空题 11. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________________________． 【答案】k≤3且k≠0 【解析】 【详解】根据题意得，(-6)2-4×3k≥0且k≠0，所以k≤3且k≠0， 故答案为：k≤3且k≠0. 12. 使函数 有意义的 的取值范围是________. 【答案】 且 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 解得x＞-3且． 故答案为x＞-3且． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键． 13. 抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性求出点顶点的横坐标，再代入直线y=-x+2，再将A及顶点坐标代入解析式y=ax2+bx，据此即可求出抛物线的解析式 【详解】∵抛物线经过点 ，A（2，0）， ∴顶点横坐标为1， ∵顶点在直线y=-x+2上， ∴y=-1+2=1， ∴顶点坐标（1，1）， ∵y=ax2+bx过点A（2，0），（1，1）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键． 14. 如图，点A在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交x轴于点B，的周长为4，求点A的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设，根据线段垂直平分线的性质得，由于，则，即，然后解方程求出a即可得到A点坐标． 【详解】解：设， ∵垂直平分， ∴， ∵的周长为4， 即， ∴， ∴，解得或， 当a=1时，，不能构成三角形，故舍去， ∴A点坐标为． 15. 函数（k为常数）的图像经过点、、，若，则、、的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据、、三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数（为常数）中，则， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴ 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，已知在中，，在中截出一个矩形DEFG，设． （1）求出y与x的函数关系式； （2）自变量x的取值范围______． （3）若，则此时y的最大值是______． 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得、，再利用，得出比例线段，利用表示出，进一步利用矩形的面积求的函数解析式； （2）令即可解答． （3）根据增减性即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点， ， 即， 则． ； 【小问2详解】 令则， 解得：或， ， 自变量x的取值范围； 【小问3详解】 ， 对称轴是：， 若，则y随x的增大而增大， 故，y最大， 此时y的最大值是 18. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东45°方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险． （1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西15°方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米） （2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）265米 （2） 会影响，长度为100米，理由如下， 米， 中，米， ， 该条航道被这片浅滩区域影响， 根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩， 设米， 中，米， 根据对称性，可得被影响的航道长度为100米． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足分别为，根据方位角求得，解，即可求解； （2）根据题意，设，勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 如图，过点作，垂足分别为， 根据题意可得， ， 中，米， 米，米， 米， 米， 中，米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键． 19. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，即； 【小问2详解】 解：由题意得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 20. 矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝4． （1）如图1，若BE＝3AE． ①求反比例函数的表达式； ②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度． （2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值． 【答案】（1）①y ② （2）20 【解析】 【分析】(1 )①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值； ②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题； (2 )利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值． 【小问1详解】 解：①∵BE＝3AE，AB＝4， ∴AE＝1，BE＝3， ∴E(8，1)， ∴k＝8×1＝8， ∴反比例函数表达式为y； ②当y＝4时，x＝2， ∴F(2,4)， ∴CF＝2， 设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x， 由勾股定理得， ， 解得x， ∴OG； 【小问2详解】 解：∵点E、F在反比例函数的图象上， ∴CF×4＝8m， ∴CF＝2m， ∴四边形OAEF的面积为8×4 =-+4m+16＝﹣+20， ∵0＜m＜4， ∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20． 【点睛】本题考查待系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，二次函数的最值，熟练掌握用待系数法求反比例函数解析式、勾股定理、二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $