5.2 运动的合成与分解 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦运动的合成与分解核心知识点，系统梳理矢量合成的平行四边形定则，合分运动的等时性、独立性、等效性，以及合运动性质判断，衔接直线运动知识，为曲线运动学习搭建支架，同时涵盖关联速度、小船渡河两类典型问题。 该资料通过分题型（运动合成与分解、小船渡河、关联速度）建构物理模型，结合曲水流觞、无人机运动等生活实例，以例题精讲培养科学思维与模型建构能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

5.2 运动的合成与分解 【基础回顾】 一、运动的合成与分解 1. 遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2. 合运动与分运动的关系 （1）等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3. 合运动的性质判断 4. 两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线. 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 二、“关联”速度问题的处理 在实际生活中，常见到物体斜拉绳(或杆)或绳(或杆)斜拉物体的问题． 　　　　　　　 规律：由于绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相同．例如，小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B，某一时刻绳与水平方向的夹角为θ，如图所示．小船速度vB有两个效果(两个分运动)：一是沿绳方向的平动，二是垂直绳方向的转动．将vB沿着这两个方向分解，其中v1＝vBcos θ＝vA，v2＝vBsin θ. 三、小船渡河问题 渡河时间最短和航程最短两类问题： 1． 关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，如图所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝. 2．关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图所示，且cos θ＝；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 【必备知识】 1．合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 速度、加速度矢量图 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 匀变速直线运动 匀变速曲线运动 2．小船渡河问题的模型建构 两类常考题型的解题攻略 （1）最短时间渡河：只要船头垂直河对岸即可，实际航行方向斜向河下游. （2）最短位移渡河：要分情况，若v船＞v水，则最短位移等于河宽；若v船＜v水，则v船⊥v合时，位移最短. 3.关联速度 关联速度一般指两个物体通过绳（杆）相牵连，当两个物体都运动时，两物体的速度大小往往不相等，但两物体的速度沿绳（杆）方向的分速度大小相等. 4.解题的一般思路 （1）明确合速度→物体的实际运动速度v （2）明确分速度→ 5.常见模型 题型1 运动的合成与分解 【例题精讲】 1．曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗。大家坐在河渠两旁，觞从同一位置顺流而下，飘到岸边时在谁的面前，谁就取觞饮酒。如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东飘向下游时，受到风力恒定的北风作用，不计其他阻力，则（　　） A．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸 B．觞靠岸的时间和风力大小无关 C．觞靠岸的速度大小和风力大小无关 D．觞的速度方向一定时刻改变 【答案】D 【解析】解：A.若没有风吹，则觞随着河水自西向东飘向下游，现有北风吹来，根据图中风向，结合运动的合成，可知觞可能沿着运动轨迹3运动，但不可能沿着运动轨迹4垂直靠岸，因为觞具有自西向东的恒定水流速度，故A错误； BCD.由于风力不变，则觞的加速度方向大小和不变，觞在河水中觞的加速度方向与速度方向存在夹角，即觞在河水中做曲线运动，觞的速度方向一定时刻改变；如果风力大，产生的加速度大，在垂直河岸方向，根据xat2，v2＝2ax（x为垂直河岸方向的位移，v为垂直河岸方向速度），可知经过相同的位移，觞靠岸的时间越短，垂直河岸方向速度越大，觞靠岸的速度v合越大，故D正确，BC错误。 故选：D。 2．如图所示，一辆带有竖直自动升降梯的路灯维修车正在工作。某段时间内升降梯匀速下降，同时车向左启动做匀加速直线运动，对于这段时间内站在梯子上的工人，描述正确的是（　　） A．工人一定做匀变速运动 B．工人对升降机的摩擦力水平向左 C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线 D．车的加速度增大，工人到达升降机底端的时间变短 【答案】A 【解析】解：A、由于人在水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀速运动，人在竖直方向受到的合外力为零，水平方向受到的合外力不变，故人整体受到的合外力不变，加速度恒定，人做匀变速运动，故A正确； B、根据题意分析可知，人与升降机具有共同向左的加速度，因此，人受到升降机的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律可知，人对升降机的摩擦力水平向右，故B错误； C、根据物体做曲线运动的条件可知，人受到合外力的方向与运动方向不在同一直线上，故人相对于地面一定做曲线运动，故C错误； D、根据运动的独立性可知，车的加速度增大，只会影响水平方向的运动，不会影响竖直方向上的运动，故车的加速度增大，工人到达升降机底端的时间不变，故D错误。 故选：A。 3．一质点在平面直角坐标系xOy中运动，t＝0时，质点位于x轴上某点，它沿x方向的x﹣t图像如图甲所示，它沿y方向运动的vy﹣t图像如图乙所示。质点在t＝1s时的速度大小为（　　） A． B．9m/s C．10m/s D．14m/s 【答案】A 【解析】解：由x﹣t可知，物体沿x轴方向做匀速直线运动，且水平方向的速度大小为vx3m/s。t＝1s时竖直方向的速度大小为，所以质点在t＝1s时的速度大小为vm/s＝3m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．如图，质量不可忽略的杆a被两侧光滑墙壁束缚只能竖直上下移动，杆的下方是光滑半圆柱体b水平放置，半圆柱体右侧有一可控制移动竖直挡板c。在移动挡板过程中，杆与半圆柱体，挡板与半圆柱体始终保持接触，且杆始终在圆柱体中轴线左侧。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．若控制挡板向左匀速移动，则杆向上匀速上升 B．若控制挡板向左加速移动，则杆也向上加速上升 C．若控制挡板向右缓慢移动，则墙壁对杆的作用力变小 D．若控制挡板向右匀速移动，则地面对半圆柱体的支持力小于杆与半圆柱体的重力之和 【答案】D 【解析】解：AB、若控制挡板向左移动，某时刻二者的速度如图所示： 二者沿半径方向分量相同，根据速度的合成与分解可得：v杆sinθ＝vcosθ 解得：v杆 如果若控制挡板向左匀速移动，θ增大，tanθ增大，则杆减速上升； 如果若控制挡板向左加速移动，v增大，θ增大，tanθ增大，则杆可能减速上升、匀速上升或加速上升，故AB错误； C、若控制挡板向右缓慢移动，以杆为研究对象，受力情况如图所示： 根据平衡条件可知，墙壁对杆的作用力：F，θ减小，tanθ减小，F增大，故C错误； D、若控制挡板向右匀速移动，将二者的速度沿半径方向进行分解，如图所示： 则有：v杆′sinθ＝v′cosθ，解得：v杆′ 控制挡板向右匀速移动，θ减小，tanθ减小，v杆′增大，杆加速下降，杆处于失重状态，整体分析可知，地面对半圆柱体的支持力小于杆与半圆柱体的重力之和，故D正确。 故选：D。 5．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据甲乙图可知在第一段时间，x方向、y方向均作匀速直线运动，即a＝0，故合运动为直线运动； 在第二段时间，x方向为匀速直线运动，y方向为匀减速直线运动，即a沿y轴负方向，此时合速度方向必然与a方向不同，故为曲线运动； 根据曲线运动中，合力指向轨迹的凹侧，可知轨迹的凹侧为y轴负方向，故BCD错误，A正确。 故选：A。 6.（多选）3D打印技术已经深入到生活各个方面，图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，t＝0时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移—时间图像和y轴方向的速度—时间图像如图乙、丙所示，关于打印喷头在xOy平面内的运动说法正确的是（　　） A．打印喷头做匀变速直线运动 B．0～1.0s内打印喷头位移大小为 C．t＝0.5s时打印喷头速度大小为0.25m/s D．打印喷头的轨迹方程为y 【答案】BD 【解析】解：A.由图乙可知，图像是一条倾斜的直线，说明打印喷头在x轴方向做匀速直线运动，由图丙可知，图像是一条倾斜的直线，说明打印喷头在y轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成与分解可知，打印喷头在xOy平面内的运动是匀变速曲线运动，而不是匀速直线运动，故A错误； B.由图可知，0﹣1s内乙通过的位移为m，丙通过的位移为： 即打印喷头通过的位移大小为：，故B正确； C.由图乙可知：，由丙图可知，当t＝0.5s时，vy＝0.2m/s 故t＝0.5s时打印喷头速度大小为：，故C错误； D.由图乙可知，打印喷头在x轴方向做匀速直线运动，其速度，则x＝vxt＝0.3t由图丙可知，打印喷头在v轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度，根据匀变速直线运动的位移公式（这里v0＝0），可得y＝0.2t2 由x＝ 0.3t，可得，将其代入y ＝ 0.2t2中，得到，所以打印喷头的轨迹方程为，故D正确。 故选：BD。 7.（多选）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速前进，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示，关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（　　） A．相对地面的运动轨迹为直线 B．相对地面做匀加速曲线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为v0+at D．t时间内猴子对地的位移大小为 【答案】BD 【解析】解：A、猴子在竖直方向上做初速度为0的匀加速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动，根据运动的合成，知合速度与合加速度不在同一条直线上，所以猴子运动的轨迹为曲线，故A错误； B、猴子在竖直方向上有恒定的加速度，在水平方向上的加速度为0，根据运动的合成，知猴子做曲线运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，故B正确； C、t时刻猴子在水平方向上的速度为v0，和竖直方向上的分速度为at，所以合速度 故C错误； D、在t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的位移分别为x和h，根据运动的合成，知合位移 故D正确。 故选：BD。 题型2 小船过河 【例题精讲】 1．端午赛龙舟是中华民族的传统，某龙舟在赛龙舟比赛中要渡过80m宽两岸平直的河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 【答案】C 【解析】解：A．当龙舟的船头始终垂直于河岸时渡河时间最短，有d＝v龙tmin，代入数据解得tmin＝10s，故A错误； B．由题可知船的速度小于水速，所以龙舟无法沿垂直河岸的航线抵达对岸，故B错误； C．结合之前的分析，当龙舟船头方向和龙舟的合速度方向垂直时，龙舟过河的位移最小，设龙舟船头与河岸上游成θ角时，最短位移过河，有，最小位移为，代入数据解得s＝100m，故C正确； D．当龙舟的船头垂直于河岸时，由之前分析可知，渡河时间仅取决于船速的垂直分量，与水速无关，所以渡河时间不变，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，一条宽度为d的小河，水流速度恒为v0，小船渡河时在水流作用下的分位移为ABd，在静水中的分位移为BC，合位移为AC，已知矢量三角形ABC中的∠A为直角，下列说法正确的是（　　） A．小船在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150° B．小船渡河的合位移为2d C．小船渡河的合速度为 D．小船渡河的时间为 【答案】A 【解析】解：A．在矢量三角形ABC中，有 可得 ∠B＝30° 所以小船在渡河时船头指向上游，在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150°，故A正确； B．根据矢量合成法则可知小船渡河的合位移等于河宽d，故B错误； CD．由小船沿河岸的分运动，易知小船的渡河时间为 则小船的合速度大小为 故CD错误。 故选：A。 3．如图所示，一条小船位于宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B． C．4m/s D． 【答案】B 【解析】解：当小船从A点正好到达危险区的对岸处时，小船有最小速度，如下图所示 根据图中几何关系可知α＝60°，所以当船头方向垂直小船的轨迹时速度最小，则小船的最小速度为v船＝v水sin60°＝4，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4．如图所示，两平行河岸的宽度为d，水流速度为v1恒定沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为θ时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为2θ，下列说法正确的是（　　） A．v2与v的大小关系为v2 B．v1与v的大小关系为v1＝v（sin2θ﹣sin2θtanθ） C．小船渡河时间为 D．小船渡河位移为 【答案】A 【解析】解：AB、把v、v2分别沿着河岸和垂直河岸分解， 由垂直河岸方向有vcos2θ＝v2cosθ 沿河岸方向有v2sinθ+v1＝vsin2θ 联立解得；v1＝v（sin2θ﹣cos2θtanθ） 故A正确，B错误； C、小船渡河的时间，故C错误； D、船速方向与垂直河岸方向的夹角为2θ，则由几何关系可得小船渡河的位移，故D错误。 故选：A。 5．如图所示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是（　　） A．甲船也能到达正对岸 B．甲船渡河时间一定短 C．两船相遇在NP直线上的某点（非P点） D．渡河过程中两船不会相遇 【答案】C 【解析】解：A．甲船行方向河岸成α角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂直河岸，即甲船不能垂直到达正对岸，故A错误； BCD．划船速度大小相等，设划船速度等于v，在垂直河岸方向上 v甲＝vsinα，v乙＝vsinα 故渡河时间 ， 所以渡河时间相等，因为在垂直河岸方向上分速度相等，又是同时出发的，故两船相遇在NP直线上的某点（非P点），故BD错误，C正确。 故选：C。 6.（多选）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河宽120m。船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，下列说法正确的是（　　） A．若小船渡河的时间最短，则最短时间为30s B．若小船渡河的位移最短，则渡河时间为40s C．调整船头的方向，小船在河水中的合速度可能达到10m/s D．若船头方向始终垂直于河岸渡河，则渡河位移为150m 【答案】AD 【解析】解；AD、若小船的船头始终垂直河岸，则小船的渡河时间最短，为，则沿河岸方向的位移为x＝vst＝3×30m＝90m，则渡河的位移为s，故AD正确； B、设船头方向和上游的夹角为θ时，小船渡河的位移最短，则有vccosθ＝vs，此时渡河时间为t，联立解得，故B错误； C、船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，当船速和水流速度方向一直时合速度最大为v＝vc+vs＝4m/s+3m/s＝7m/s，故C错误。 故选：AD。 7.（多选）如图所示，一条小河的水流方向平行于河岸，水流速度大小为3m/s，甲、乙两船相对静水的速度均为1m/s。已知甲船以最短时间渡河，乙船以最小位移渡河。则甲、乙两船（　　） A．渡河的时间之比为 B．渡河的时间之比为1：3 C．渡河的位移之比为 D．渡河的位移之比为 【答案】AD 【解析】解：AB、甲船以最短时间渡河，则甲船船头垂直河岸，甲船渡河的时间为： 乙船以最小位移渡河，船在静水中的速度小于水流速度，则乙船不能垂直渡河，乙船渡河的时间为：，则，故A正确，B错误； CD、甲船的位移为： 乙船的位移大小为：，所以甲、乙两船渡河的位移之比为：，故C错误，D正确。 故选：AD。 题型3 关联速度 【例题精讲】 1．如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．T小于mgsinθ B．T等于mgsinθ C．物体A做加速运动 D．物体A做匀速运动 【答案】C 【解析】解：物体B的速度分解如图所示： 由图可知绳端的速度为v绳＝vBsinα，物体B匀速向下运动时，α逐渐增大，sinα逐渐增大，因此v绳逐渐增大，可知物体A做加速运动；对A沿斜面方向有，T﹣mgsinθ＝ma（a＞0），可得拉力T＞mgsinθ。故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．如图，直杆OA的O端抵在墙角，A端始终靠在物块右侧的光滑竖直侧壁上，可以沿着侧壁滑动。用外力使物块向左运动时，直杆上的A点会在竖直面内运动，其轨迹为圆，圆心在O点。若当直杆与水平方向夹角为θ时A点的速度大小为v，则该时刻物块的速度大小为（　　） A． B． C．vsinθ D．vcosθ 【答案】C 【解析】解：将A点的速度分解为水平向左和竖直向下的方向，如下图所示： A点的合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以该时刻物块的速度大小为v1＝v sinθ，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 【答案】C 【解析】解：如图所示，把小环水平运动的速度v正交分解， 可知人拉细线的速度v1＝vcosθ是逐渐减小的，故ABD错误，C正确。 故选：C。 4．如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为v0＝6m/s，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角α＝37°，经时间t绳与水平方向的夹角为β＝53°，已知滑轮与小船上沿的高度差为hAB＝12m，不计定滑轮大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B．t＝1s C．α＝37°时小船的速度大小为7.5m/s D．β＝53°时小船的速度大小为8m/s 【答案】C 【解析】解：A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，如图所示 则v0＝vccosθ，θ为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，所以小船不会做匀速运动，故A错误； B．根据几何关系有，代入数据解得，故B错误； C．α＝37°时小船的速度大小为，故C正确； D．β＝53°时小船的速度大小为，故D错误。 故选：C。 5．如图所示为传动装置的简化示意图，滑块A、B放置在光滑水平面上，滑块均通过铰链和轻杆与球C相连，两杆长相同。A、B、C同时由静止释放，球C始终沿竖直方向运动，当杆与水平方向夹角均为θ时，球C的速度大小为v，则此时滑块A、B的速度大小为（　　） A． B． C．vtanθ D． 【答案】C 【解析】解：由于轻杆不可伸长和压缩，球C速度沿轻杆方向的分速度与滑块A、B的速度在杆方向的分速度大小相等，球C始终沿竖直方向运动，AB沿水平方向运动。 则有vsinθ＝vAcosθ＝vBcosθ 解得vA＝vB＝vtanθ，故C正确，ABD错误。 故选：C。 6.（多选）在没有起重机的年代，建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处，则（　　） A．当绳与水平方向成θ时，vB＝vAcosθ B．当物块B匀速上升时，小车向左加速运动 C．当小车匀速向左运动时，绳对B的拉力大于B对绳的拉力 D．当小车匀速向左运动时，物块B向上加速运动 【答案】AD 【解析】解：A、把小车的速度分解为沿绳方向和垂直于绳的方向，如下图所示 当绳与水平方向成θ时，vB＝vAcosθ，故A正确； B、由上面的分析可得当物块B匀速上升时，绳子和水平方向的夹角θ变小，由上面的分析可得，则小车向左减速运动，故B错误； C、绳对B的拉力和B对绳的拉力是一对相互作用力，总是大小相等的，故C错误； D、当小车匀速向左运动时，绳子和水平方向的夹角θ变小，根据vB＝vAcosθ可知物块B的速度增大，则B向上加速运动，故D正确。 故选：AD。 7.（多选）如图，套在竖直杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，B的质量较大。在释放B后，A将沿杆上升，不计一切摩擦和阻力。当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，A环上升速度为v且v≠0，则（　　） A．该时刻B的速度恰好为0 B．该时刻B的加速度恰好为0 C．该时刻A的加速度恰好为0 D．当A运动到绳与水平方向成30°角虚线位置时A的速度大小恰好是B的两倍 【答案】AD 【解析】解：AB．环上升过程中其速度v可分解为两个分速度v∥和v⊥，如下图所示 其中v∥为沿绳方向的速度，其大小等于重物B的速度为v2；v⊥为绕定滑轮转动的线速度，根据几何关系可得v2＝vcosθ，θ为v与v∥间的夹角，当A上升至与定滑轮的连线处于水平的位置时θ＝90° 即cosθ＝0 可得v2＝0 该时刻之前的瞬间和之后的瞬间的速度均不为零，故该时刻的加速度不为0， 故A正确，B错误； C．环A到达此位置时，此位置与定滑轮的连线处于水平位置，受到重力、绳子的拉力和杆的支持力，其中绳子的拉力和杆的支持力平衡，物体A的合力等于其重力，由牛顿第二定律得mg＝maA，解得aA＝g，故C错误； D．当A运动到绳与水平方向成30°角虚线位置时，由上分析可知v2＝vcos60° 可得 故D正确。 故选：AD。 课时精讲 一、单选题（共8小题） 1．如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，则在铅笔移动过程中（　　） A．物块做匀速运动 B．物块的速度越来越大 C．物块的速度大小可能等于2v D．当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时，物块速度大小为vsinθ 【答案】B 【解析】解：D．对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小v′＝v+vsinθ，故D错误； AB．由于θ不断增大，物块的速度不断增大，故A错误B正确； C．由于θ不断增大趋近于90°，物块最终的速度趋向于2v，但不可能等于2v，故C错误。 故选：B。 2．两岸平行且平直的河流，水流速度v1＝3.6km/h，汽艇在静水中的速度大小为v2。汽艇保持船头垂直于河岸方向从岸边匀速行驶到对岸，匀速返回时保持行驶路线与河岸垂直，已知往返所用时间的比值为，则v2为（　　） A．16km/h B．18km/h C．20km/h D．22km/h 【答案】B 【解析】解：设河岸宽度为d，水流速度v1＝3.6km/h。 汽艇保持船头垂直于河岸方向从岸边匀速行驶到对岸，则去程时间。 航线垂直河岸时，船的实际速度需垂直河岸，此时船在静水中的速度v2需抵消水流速度v1，垂直河岸的分速度为，则返程时间。 又，联立解得v2＝18km/h，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士在最短时间内将人送上岸，则最短时间为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】解：摩托艇在静水中的的速度的方向与江岸方向垂直时，运动的时间最短．根据等时性得，t．故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．如图所示，竖直墙壁上端固定一水平光滑长杆AO，在长杆正下方一定距离位置，用插在墙壁的一根水平轻杆固定轻质光滑定滑轮C（与长杆AO在同一竖直平面内），跨过定滑轮的轻绳分别连接物块a和小球b，已知物块a穿在长杆AO上，小球b竖直悬挂，轻绳伸直，某时刻从A点由静止释放物块a，当a运动至aC段轻绳与水平长杆间夹角为30°时，小球b的速度大小为v，则此时物块a的速度大小为（　　） A．v B．2v C． D． 【答案】D 【解析】解：把物体a的速度分解为沿绳方向和垂直绳的方向，如图所示 由图可得此时物块a的速度大小为，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（　　） A． B． C． D．v绳＝vcosθ 【答案】C 【解析】解：根据题意分析可知，飞机沿绳方向的速度分量等于阻拦索绳移动的速度大小，即 ，故C正确，ABD错误； 故选：C。 6．如图，粗细均匀的直杆AB、BC连接固定在竖直面内，∠ABC＝105°，a、b两球分别套在AB、BC杆上，用细线连接，给a球施加一个拉力，使a球沿BC杆向右运动，当细线与AB杆的夹角为45°时，a、b两球的速度大小之比为（　　） A．： B．： C．1： D．：1 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可知，将a、b两球的速度沿细线方向和垂直于细线方向分解可得， 由关联速度知识可知vax＝vbx 则a、b两球的速度大小之比为，故A正确，BCD错误； 故选：A。 7．如图所示，一个滑块套在水平固定的光滑杆上，并用不可伸长的轻绳通过定滑轮和光滑的小球连接，在外力作用下小球静止在固定的倾角为60°的斜面上，轻绳恰好伸直，滑轮左侧的轻绳和斜面平行。现撤去外力，小球由静止开始沿斜面向下运动，当小球的速度大小为v时（球未落地），滑轮右侧的轻绳和水平方向的夹角为30°，则此时滑块（未滑离杆）的速度大小为（　　） A．v B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设滑块的速度为v1，小球和滑块在沿绳方向上的速度大小相等，当小球的速度大小为v时，如图所示 可得v1cos30°＝v 解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 8．在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　） A．在水平方向做匀变速直线运动 B．第8s末的速度为5m/s C．0～8s内的位移大小为24m D．在相等时间内的速度变化量不相等 【答案】B 【解析】解：A、x﹣t图像斜率代表速度，由图甲x﹣t图像可知，重物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为，故A错误； D、由图乙可知，重物在竖直方向做匀变速直线运动，则重物的加速度保持不变，根据Δv＝at可知，在相等时间内的速度变化量相等，故D错误； B、由图乙可知，第8s末的竖直分速度为vy＝4m/s，根据速度的合成得第8s末的速度为，故B正确； C、根据运动学公式得0～8s内水平方向的位移大小为x＝24m，竖直方向的位移大小为， 则0～8s内的位移大小为，故C错误。 故选：B。 二、多选题（共3小题） 1.（多选）力、速度等矢量相加时遵从平行四边形定则。将运动的物体的合速度分解到两个不同方向上，分速度大小分别为6m/s、8m/s，则合速度大小可能为（　　） A．1m/s B．4m/s C．10m/s D．15m/s 【答案】BC 【解析】解：将运动的物体的合速度分解到两个不同方向上，分速度大小分别为6m/s、8m/s，根据矢量运算法则平行四边形定则可知，因为分速度可能方向关系，所以合速度大小可能为8m/s﹣6m/s＝2m/s≤v≤8m/s+6m/s＝14m/s。故AD错误，BC正确。 故选：BC。 2.（多选）某无人机运输质量为20kg的物件时，其水平x轴方向和竖直y轴方向的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，以竖直向上为正方向，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．该无人机在空中一直做曲线运动 B．在t＝2.5s时，无人机的速度大小为5m/s，方向与水平面间夹角的正切值为 C．在t＝17.5s时，物件所受合力大小为40N，方向竖直向上 D．0～20s内无人机运动的位移大小为250m 【答案】BD 【解析】解：A、由图可知，在5～15s内无人机的合运动为匀速直线运动，故A错误； B、在t＝2.5s时，vy＝2.5m/s，无人机的速度大小为v，代入数据解得v＝5m/s，方向与水平面间夹角的正切值为tanα，代入数据解得tanα，故B正确； C、由图乙可知，此时无人机加速度即为竖直方向的加速度，其大小为a＝2m/s2，方向竖直向下，由牛顿第二定律可得此时物件所受合力大小为40N，方向竖直向下，故C错误； D、v﹣t图像与坐标轴围成的面积表示的是位移，0～20s内无人机水平方向运动位移大小为x＝vxt，解得x＝200m， 竖直方向运动位移大小为y10m＝150m，故合位移大小为x总，解得x总＝250m，故D正确。 故选：BD。 3.（多选）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（　　） A．P的速率为v B．P的速率为vcosθ2 C．绳的拉力等于mgsinθ1 D．绳的拉力大于mgsinθ1 【答案】BD 【解析】解：AB、分解小车的速度v，如下图示 所以P的速率为v1＝vcosθ2，故A错误，B正确； CD、在小车向右运动的过程中，小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角θ2不断的减小，所以P的速度增大，P做的是加速运动，加速度方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律可知绳的拉力大于mgsinθ1，故C错误，D正确。 故选：BD。 三．解答题（共5小题） 1．小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，问（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）： （1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ （2）要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 【答案】（1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在40s、正对岸下游120m处到达对岸。 （2）要使小船到达河的正对岸，应船头指向与河岸的上游成53°角行驶，50s能到达对岸。 （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，船头指向与河岸的上游成60°角航行。 【解析】解：（1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间 小船沿河流方向的位移大小 x＝v水t＝3×40m＝120m 即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸。 （2）要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示 则 v合 代入数据解得v合＝4m/s 经历时间 又 cosθ 代入数据解得cosθ＝0.6 得 θ＝53° 即船头指向与河岸的上游成53°角。 （3）如果水流速度变为10m/s，如图乙所示 要使小船航程最短，应使v′合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有 cosθ′代入数据解得cosθ′ 解得 θ′＝60° 即船头指向与河岸的上游成60°角。 答：（1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在40s、正对岸下游120m处到达对岸。 （2）要使小船到达河的正对岸，应船头指向与河岸的上游成53°角行驶，50s能到达对岸。 （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，船头指向与河岸的上游成60°角航行。 2．如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块R正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动。从红蜡块通过坐标原点O开始计时（此时的水平x轴方向的初速度为零），直至蜡块运动到玻璃管顶端为止。试求，在此过程中： （1）红蜡块的轨迹方程； （2）红蜡块在t时刻的速度大小。 【答案】（1）红蜡块的轨迹方程； （2）红蜡块在t时刻的速度大小。 【解析】解：（1）由 有水平方向 竖直方向y＝v0t 解得； （2）由v＝v0+at有水平方向vx＝at 竖直方向vy＝v0 由 解得。 答：（1）红蜡块的轨迹方程； （2）红蜡块在t时刻的速度大小。 3．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质的定滑轮O，底端固定一垂直斜面的挡板。质量分别为2m、4m的物块甲、乙通过轻质弹簧连接在一起，物块甲静止在斜面底端紧靠挡板处。不可伸长的细绳跨过定滑轮一端与物块乙连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上的质量为m的物块丙连接。开始时物块丙静止在直杆上B点（细绳与直杆垂直），且恰好与直杆间的相互作用力为零；现对物块丙施加一水平向右的拉力F，使其缓慢移动，当移动到A点时，此时细绳与水平直杆的夹角α＝37°，已知滑轮与水平直杆间的垂直距离为d，弹簧的劲度系数，重力加速度大小为g。弹簧的轴线、物块乙与定滑轮之间的细绳共线且与斜面始终平行，不计滑轮大小，不计空气阻力和一切摩擦阻力，弹力始终未超过弹性限度，物块甲、乙、丙均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）开始时弹簧对乙的弹力大小； （2）当物块丙在A点时，甲对挡板的压力大小； （3）当物块丙在A点时，直杆对丙的弹力大小与方向。 【答案】（1）开始时弹簧对乙的弹力大小等于mg； （2）当物块丙在A点时，甲对挡板的压力大小等于0； （3）当物块丙在A点时，直杆对丙的弹力大小等于，方向竖直向下。 【解析】解：（1）在B点时，隔离丙由平衡条件得T＝mg 隔离乙由平衡条件得4mgsinθ＝T1+F1 解得：F1＝mg （2）在A点时，弹簧长度的改变量； 在B点时，弹簧处于压缩状态，弹簧的压缩量为x1由平衡条件可得kx1＝F1＝mg，； 故在A点时，弹簧处于拉伸状态弹簧的伸长量为， F2＝kx2＝mg 隔离甲由平衡条件得2mgsinθ＝N+F2 解得：N＝0 由牛顿第三定律可得甲对挡板的压力大小为0 （3）在A点，对甲、乙整体由平衡条件得T2＝（2m+4m）gsinθ 在A点，隔离丙，受力分析如图所示 由平衡条件得T2sinα＝N2+mg 解得，方向竖直向下 答：（1）开始时弹簧对乙的弹力大小等于mg； （2）当物块丙在A点时，甲对挡板的压力大小等于0； （3）当物块丙在A点时，直杆对丙的弹力大小等于，方向竖直向下。 4．一质量为2kg的质点在某xy平面上做匀加速曲线运动，在该平面上建立直角坐标系并将运动分解在x轴和y轴上进行研究，在x方向的位移—时间图线为抛物线，类似于自由落体，如图甲；在y方向的位移—时间图像为直线，如图乙，求： （1）t＝0时，质点在x方向的速度vx，y方向的速度vy，初速度v； （2）2s内质点的位移大小； （3）质点运动的加速度是多少？所受的合力F合多大？ 【答案】（1）t＝0时，质点在x方向的速度vx为0，y方向的速度vy为4m/s，初速度v为4m/s，方向沿y轴负方向； （2）2s内质点的位移大小为； （3）质点运动的加速度为4m/s2；所受的合力F合为8N，合力方向沿x轴正方向。 【解析】解：（1）由题图且抛物线的顶点为（0，0），可知质点在x轴方向上做初速度为零的匀加速运动，初速度vx0＝0 质点在y轴方向上做匀速直线运动，速度大小vy＝4m/s 则质点的初速度等于y方向的分速度，大小v＝vy＝4m/s，方向沿y轴负方向； （2）2s内质点在沿x轴方向的位移x＝8m；沿y轴方向位移的大小y＝8m 则质点2s内位移的大小 s （3）t＝0时刻沿x方向的位移为零，t＝2s时刻沿x方向的为为8m，由 xat2 知，质点的加速度 质点所受的合力大小 F合＝ma＝2×4N＝8N 合力方向沿x轴正方向。 答：（1）t＝0时，质点在x方向的速度vx为0，y方向的速度vy为4m/s，初速度v为4m/s，方向沿y轴负方向； （2）2s内质点的位移大小为； （3）质点运动的加速度为4m/s2；所受的合力F合为8N，合力方向沿x轴正方向。 5．如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.15，重力加速度为g＝10m/s2，当物体B运动到使斜绳与水平方向成α＝37°时，（已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）物体B所受摩擦力的大小； （2）物体B的速度大小。 【答案】（1）物体B所受摩擦力的大小等于0.6N； （2）物体B的速度大小等于2.5m/s。 【解析】解：（1）A物体匀速运动可得 T＝mg 当斜绳与水平方向成α角时，对B物体进行受力分析，根据共点力平衡，有 mg＝FN+Tsinα f＝μFN 解得 f＝0.6N （2）根据平行四边形定则，将B物体的速度沿绳子方向和垂直绳子方向进行分解有 vA＝vBcosα 解得B物体的速度大小 vB＝2.5m/s 答：（1）物体B所受摩擦力的大小等于0.6N； （2）物体B的速度大小等于2.5m/s。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 运动的合成与分解 【基础回顾】 一、运动的合成与分解 1. 遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2. 合运动与分运动的关系 （1）等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3. 合运动的性质判断 4. 两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线. 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 二、“关联”速度问题的处理 在实际生活中，常见到物体斜拉绳(或杆)或绳(或杆)斜拉物体的问题． 　　　　　　　 规律：由于绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相同．例如，小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B，某一时刻绳与水平方向的夹角为θ，如图所示．小船速度vB有两个效果(两个分运动)：一是沿绳方向的平动，二是垂直绳方向的转动．将vB沿着这两个方向分解，其中v1＝vBcos θ＝vA，v2＝vBsin θ. 三、小船渡河问题 渡河时间最短和航程最短两类问题： 1． 关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，如图所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝. 2．关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图所示，且cos θ＝；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 【必备知识】 1．合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 速度、加速度矢量图 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 匀变速直线运动 匀变速曲线运动 2．小船渡河问题的模型建构 两类常考题型的解题攻略 （1）最短时间渡河：只要船头垂直河对岸即可，实际航行方向斜向河下游. （2）最短位移渡河：要分情况，若v船＞v水，则最短位移等于河宽；若v船＜v水，则v船⊥v合时，位移最短. 3.关联速度 关联速度一般指两个物体通过绳（杆）相牵连，当两个物体都运动时，两物体的速度大小往往不相等，但两物体的速度沿绳（杆）方向的分速度大小相等. 4.解题的一般思路 （1）明确合速度→物体的实际运动速度v （2）明确分速度→ 5.常见模型 题型1 运动的合成与分解 【例题精讲】 1．曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗。大家坐在河渠两旁，觞从同一位置顺流而下，飘到岸边时在谁的面前，谁就取觞饮酒。如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东飘向下游时，受到风力恒定的北风作用，不计其他阻力，则（　　） A．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸 B．觞靠岸的时间和风力大小无关 C．觞靠岸的速度大小和风力大小无关 D．觞的速度方向一定时刻改变 2．如图所示，一辆带有竖直自动升降梯的路灯维修车正在工作。某段时间内升降梯匀速下降，同时车向左启动做匀加速直线运动，对于这段时间内站在梯子上的工人，描述正确的是（　　） A．工人一定做匀变速运动 B．工人对升降机的摩擦力水平向左 C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线 D．车的加速度增大，工人到达升降机底端的时间变短 3．一质点在平面直角坐标系xOy中运动，t＝0时，质点位于x轴上某点，它沿x方向的x﹣t图像如图甲所示，它沿y方向运动的vy﹣t图像如图乙所示。质点在t＝1s时的速度大小为（　　） A． B．9m/s C．10m/s D．14m/s 4．如图，质量不可忽略的杆a被两侧光滑墙壁束缚只能竖直上下移动，杆的下方是光滑半圆柱体b水平放置，半圆柱体右侧有一可控制移动竖直挡板c。在移动挡板过程中，杆与半圆柱体，挡板与半圆柱体始终保持接触，且杆始终在圆柱体中轴线左侧。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．若控制挡板向左匀速移动，则杆向上匀速上升 B．若控制挡板向左加速移动，则杆也向上加速上升 C．若控制挡板向右缓慢移动，则墙壁对杆的作用力变小 D．若控制挡板向右匀速移动，则地面对半圆柱体的支持力小于杆与半圆柱体的重力之和 5．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 6.（多选）3D打印技术已经深入到生活各个方面，图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，t＝0时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移—时间图像和y轴方向的速度—时间图像如图乙、丙所示，关于打印喷头在xOy平面内的运动说法正确的是（　　） A．打印喷头做匀变速直线运动 B．0～1.0s内打印喷头位移大小为 C．t＝0.5s时打印喷头速度大小为0.25m/s D．打印喷头的轨迹方程为y 7.（多选）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速前进，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示，关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（　　） A．相对地面的运动轨迹为直线 B．相对地面做匀加速曲线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为v0+at D．t时间内猴子对地的位移大小为 题型2 小船过河 【例题精讲】 1．端午赛龙舟是中华民族的传统，某龙舟在赛龙舟比赛中要渡过80m宽两岸平直的河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 2．如图所示，一条宽度为d的小河，水流速度恒为v0，小船渡河时在水流作用下的分位移为ABd，在静水中的分位移为BC，合位移为AC，已知矢量三角形ABC中的∠A为直角，下列说法正确的是（　　） A．小船在静水中的速度方向与水流速度的方向之间的夹角为150° B．小船渡河的合位移为2d C．小船渡河的合速度为 D．小船渡河的时间为 3．如图所示，一条小船位于宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B． C．4m/s D． 4．如图所示，两平行河岸的宽度为d，水流速度为v1恒定沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为θ时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为2θ，下列说法正确的是（　　） A．v2与v的大小关系为v2 B．v1与v的大小关系为v1＝v（sin2θ﹣sin2θtanθ） C．小船渡河时间为 D．小船渡河位移为 5．如图所示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是（　　） A．甲船也能到达正对岸 B．甲船渡河时间一定短 C．两船相遇在NP直线上的某点（非P点） D．渡河过程中两船不会相遇 6.（多选）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河宽120m。船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，下列说法正确的是（　　） A．若小船渡河的时间最短，则最短时间为30s B．若小船渡河的位移最短，则渡河时间为40s C．调整船头的方向，小船在河水中的合速度可能达到10m/s D．若船头方向始终垂直于河岸渡河，则渡河位移为150m 7.（多选）如图所示，一条小河的水流方向平行于河岸，水流速度大小为3m/s，甲、乙两船相对静水的速度均为1m/s。已知甲船以最短时间渡河，乙船以最小位移渡河。则甲、乙两船（　　） A．渡河的时间之比为 B．渡河的时间之比为1：3 C．渡河的位移之比为 D．渡河的位移之比为 题型3 关联速度 【例题精讲】 1．如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．T小于mgsinθ B．T等于mgsinθ C．物体A做加速运动 D．物体A做匀速运动 2．如图，直杆OA的O端抵在墙角，A端始终靠在物块右侧的光滑竖直侧壁上，可以沿着侧壁滑动。用外力使物块向左运动时，直杆上的A点会在竖直面内运动，其轨迹为圆，圆心在O点。若当直杆与水平方向夹角为θ时A点的速度大小为v，则该时刻物块的速度大小为（　　） A． B． C．vsinθ D．vcosθ 3．如图所示，在水平滑杆上套着一个小环，小环与细线的一端相连，人拉着绕过定滑轮的细线的另一端，若人静止不动拉细线，使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处拉至定滑轮的正上方的过程中，人拉细线的速度（　　） A．不变 B．变大 C．变小 D．先变小后变大 4．如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为v0＝6m/s，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角α＝37°，经时间t绳与水平方向的夹角为β＝53°，已知滑轮与小船上沿的高度差为hAB＝12m，不计定滑轮大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B．t＝1s C．α＝37°时小船的速度大小为7.5m/s D．β＝53°时小船的速度大小为8m/s 5．如图所示为传动装置的简化示意图，滑块A、B放置在光滑水平面上，滑块均通过铰链和轻杆与球C相连，两杆长相同。A、B、C同时由静止释放，球C始终沿竖直方向运动，当杆与水平方向夹角均为θ时，球C的速度大小为v，则此时滑块A、B的速度大小为（　　） A． B． C．vtanθ D． 6.（多选）在没有起重机的年代，建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处，则（　　） A．当绳与水平方向成θ时，vB＝vAcosθ B．当物块B匀速上升时，小车向左加速运动 C．当小车匀速向左运动时，绳对B的拉力大于B对绳的拉力 D．当小车匀速向左运动时，物块B向上加速运动 7.（多选）如图，套在竖直杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，B的质量较大。在释放B后，A将沿杆上升，不计一切摩擦和阻力。当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，A环上升速度为v且v≠0，则（　　） A．该时刻B的速度恰好为0 B．该时刻B的加速度恰好为0 C．该时刻A的加速度恰好为0 D．当A运动到绳与水平方向成30°角虚线位置时A的速度大小恰好是B的两倍 课时精讲 一、单选题（共8小题） 1．如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，则在铅笔移动过程中（　　） A．物块做匀速运动 B．物块的速度越来越大 C．物块的速度大小可能等于2v D．当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时，物块速度大小为vsinθ 2．两岸平行且平直的河流，水流速度v1＝3.6km/h，汽艇在静水中的速度大小为v2。汽艇保持船头垂直于河岸方向从岸边匀速行驶到对岸，匀速返回时保持行驶路线与河岸垂直，已知往返所用时间的比值为，则v2为（　　） A．16km/h B．18km/h C．20km/h D．22km/h 3．抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士在最短时间内将人送上岸，则最短时间为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图所示，竖直墙壁上端固定一水平光滑长杆AO，在长杆正下方一定距离位置，用插在墙壁的一根水平轻杆固定轻质光滑定滑轮C（与长杆AO在同一竖直平面内），跨过定滑轮的轻绳分别连接物块a和小球b，已知物块a穿在长杆AO上，小球b竖直悬挂，轻绳伸直，某时刻从A点由静止释放物块a，当a运动至aC段轻绳与水平长杆间夹角为30°时，小球b的速度大小为v，则此时物块a的速度大小为（　　） A．v B．2v C． D． 5．为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（　　） A． B． C． D．v绳＝vcosθ 6．如图，粗细均匀的直杆AB、BC连接固定在竖直面内，∠ABC＝105°，a、b两球分别套在AB、BC杆上，用细线连接，给a球施加一个拉力，使a球沿BC杆向右运动，当细线与AB杆的夹角为45°时，a、b两球的速度大小之比为（　　） A．： B．： C．1： D．：1 7．如图所示，一个滑块套在水平固定的光滑杆上，并用不可伸长的轻绳通过定滑轮和光滑的小球连接，在外力作用下小球静止在固定的倾角为60°的斜面上，轻绳恰好伸直，滑轮左侧的轻绳和斜面平行。现撤去外力，小球由静止开始沿斜面向下运动，当小球的速度大小为v时（球未落地），滑轮右侧的轻绳和水平方向的夹角为30°，则此时滑块（未滑离杆）的速度大小为（　　） A．v B． C． D． 8．在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　） A．在水平方向做匀变速直线运动 B．第8s末的速度为5m/s C．0～8s内的位移大小为24m D．在相等时间内的速度变化量不相等 二、多选题（共3小题） 1.（多选）力、速度等矢量相加时遵从平行四边形定则。将运动的物体的合速度分解到两个不同方向上，分速度大小分别为6m/s、8m/s，则合速度大小可能为（　　） A．1m/s B．4m/s C．10m/s D．15m/s 2.（多选）某无人机运输质量为20kg的物件时，其水平x轴方向和竖直y轴方向的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，以竖直向上为正方向，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．该无人机在空中一直做曲线运动 B．在t＝2.5s时，无人机的速度大小为5m/s，方向与水平面间夹角的正切值为 C．在t＝17.5s时，物件所受合力大小为40N，方向竖直向上 D．0～20s内无人机运动的位移大小为250m 3.（多选）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（　　） A．P的速率为v B．P的速率为vcosθ2 C．绳的拉力等于mgsinθ1 D．绳的拉力大于mgsinθ1 三．解答题（共5小题） 1．小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，问（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）： （1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ （2）要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ （3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 2．如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块R正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动。从红蜡块通过坐标原点O开始计时（此时的水平x轴方向的初速度为零），直至蜡块运动到玻璃管顶端为止。试求，在此过程中： （1）红蜡块的轨迹方程； （2）红蜡块在t时刻的速度大小。 3．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质的定滑轮O，底端固定一垂直斜面的挡板。质量分别为2m、4m的物块甲、乙通过轻质弹簧连接在一起，物块甲静止在斜面底端紧靠挡板处。不可伸长的细绳跨过定滑轮一端与物块乙连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上的质量为m的物块丙连接。开始时物块丙静止在直杆上B点（细绳与直杆垂直），且恰好与直杆间的相互作用力为零；现对物块丙施加一水平向右的拉力F，使其缓慢移动，当移动到A点时，此时细绳与水平直杆的夹角α＝37°，已知滑轮与水平直杆间的垂直距离为d，弹簧的劲度系数，重力加速度大小为g。弹簧的轴线、物块乙与定滑轮之间的细绳共线且与斜面始终平行，不计滑轮大小，不计空气阻力和一切摩擦阻力，弹力始终未超过弹性限度，物块甲、乙、丙均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）开始时弹簧对乙的弹力大小； （2）当物块丙在A点时，甲对挡板的压力大小； （3）当物块丙在A点时，直杆对丙的弹力大小与方向。 4．一质量为2kg的质点在某xy平面上做匀加速曲线运动，在该平面上建立直角坐标系并将运动分解在x轴和y轴上进行研究，在x方向的位移—时间图线为抛物线，类似于自由落体，如图甲；在y方向的位移—时间图像为直线，如图乙，求： （1）t＝0时，质点在x方向的速度vx，y方向的速度vy，初速度v； （2）2s内质点的位移大小； （3）质点运动的加速度是多少？所受的合力F合多大？ 5．如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.15，重力加速度为g＝10m/s2，当物体B运动到使斜绳与水平方向成α＝37°时，（已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）物体B所受摩擦力的大小； （2）物体B的速度大小。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $