精品解析：广东省江门市福泉2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

江门市福泉奥校2025-2026第一学期12月月考 八年级数学（A） 本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个底面是正方形的长方体，高为8，底面正方形的边长为如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加（） A. B. C. D. 5. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x和y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 7. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 8. 若，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 8 D. 64 9. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 13，14 B. 15，16 C. 16，17 D. 15，17 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点是点，则点的坐标是_____． 12. 计算：__________． 13. 若分式的值为0，则x的值是________． 14. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 15. 已知，则_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 计算图中阴影部分的面积． 18. 如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知． （1）化简． （2）若，求的值． 20. 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． （1）用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． （2）①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 21. （1）若的结果中不含项，求a的值． （2）已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分） 22. 阅读与思考： 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：用配方法因式分解： ． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法填空：． （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 23. 问题探究． （1）特例探究：如图，，射线在这个角的内部，点，在的边，上，且，于点，于点，则，，之间的数量关系为：_____； （2）归纳证明：如图，点，在的边，上，点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，若的面积为，求与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市福泉奥校2025-2026第一学期12月月考 八年级数学（A） 本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘法， 根据分式的基本性质约分即可得出答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 3. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 一个底面是正方形的长方体，高为8，底面正方形的边长为如果它的高不变，底面正方形的边长增加，那么它的体积增加（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．先计算原长方体的体积，再计算边长增加后的新体积，两者之差即为体积增加量． 【详解】解：原长方体的体积为底面积乘以高，即． 当底面正方形边长增加后，新边长为，新体积为． 展开新体积表达式： 体积增加量为新体积减去原体积： 因此，体积增加量为， 故选：D． 5. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式因式分解，通过因式分解的提公因式法和公式法（如完全平方公式）逐一验证各选项，只有C选项正确使用完全平方公式 【详解】A、， A错误； B、， B错误； C、， C正确； D、， D错误； 故选：C 6. 如果把分式中的x和y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质进行计算是解题关键． 通过代入扩大后的值计算分式的变化，并与原式比较即可． 【详解】解：∵ x和y同时扩大为原来的3倍，即，， ∴ 新分式为 ， ∴ 分式的值缩小为原来的 ． 故选：A． 7. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，将写成是解答本题的关键．先将变为，可得，即可求得的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ∴， 即． 故选：C． 8. 若，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 8 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 9. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开已知条件，通过加减运算求出的值，再求其平方即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 两式相减得：， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 13，14 B. 15，16 C. 16，17 D. 15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点是点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 直接根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】点关于轴的对称点坐标是 点的坐标是 故答案为：． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，掌握好整式除法的运算法则是解题关键． 根据分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据整式除法的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 13. 若分式的值为0，则x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 故答案为：． 14. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 15. 已知，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握好“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）运用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 18. 如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． 在与中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，根据三角形的内角和定理和对顶角相等求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ，． ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知． （1）化简． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式把除法转换为乘法后，再进行约分即可； （2）先根据得到，再代入中，求值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算以及分式的化简求值，正确把分子与分母因式分解是解答本题的关键． 20. 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． （1）用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． （2）①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】（1）； （2） ① ② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴； ②． 21. （1）若的结果中不含项，求a的值． （2）已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）2 （2）， 移项并拆项得，， 利用完全平方公式合并得，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）先按照多项式乘法的法则进行展开，合并同类项后，项的系数为0，计算出a的值； （2）先移项到等式左边，利用完全平方公式进行分组因式分解，再根据非负数的性质，求出a，b，c之间的关系，并判断的形状． 【详解】解：（1）， ∵结果中不含项， ∴，即； （2） 略 【点睛】本题考查多项式乘法，代数式不含某一项问题以及完全平方公式的应用和非负数的性质，掌握好相关的知识点是解题关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分） 22. 阅读与思考： 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：用配方法因式分解： ． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法填空：． （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 【答案】（1）9，3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，因式分解和非负数的性质，熟练掌握配方法是解题关键． （1）使用配方法进行填空即可； （2）仿照例题，先配方，再使用平方差公式进行因式分解即可； （3）使用配方法，结合非负数的性质，判断出最小值． 【小问1详解】 解：由配方法可知，， 故答案为：9，3； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，取最小值． 23. 问题探究． （1）特例探究：如图，，射线在这个角的内部，点，在的边，上，且，于点，于点，则，，之间的数量关系为：_____； （2）归纳证明：如图，点，在的边，上，点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1） （2） 证明：∵，，， ∴， 同理可得，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得，进而得到，即得，，再根据线段的和差关系即可求证； （）利用三角形外角性质可得，，即得，进而得到，，再根据线段的和差关系即可求证； （）由可得，同理（）可证，得到，即得到，即可求解； 本题考查了余角性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $