利用导数运算法则构造函数的策略 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学复习讲义通过框架图系统梳理了利用导数构造函数的知识体系，将12类常见构造方法按导数条件与函数形式的对应关系分类呈现，清晰展示“导数条件-构造函数-单调性应用”的内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于分题型设计例题与练习，如针对“f(x1)-f(x2)/(x1-x2)＞k”构造f(x)-kx的题型，结合具体题目培养学生数学思维和逻辑推理能力。基础题巩固方法，综合题提升应用，助力不同层次学生掌握，也为教师精准教学提供系统素材。

利用导数的运算法则构造函数的策略 1、 考点梳理 利用导数的运算法则构造函数，考查根据导函数与原函数的关系构造函数解题，考查函数单调性的应用；考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及推理论证能力、运算能力。常见的构造方法有： 1．对于或，构造函数，即曲线上任意两点，的斜率大于或小于. 2．对于或，构造函数；对于，构造函数. 3．对于，构造函数. 4．对于，构造函数. 5．对于，构造函数；，构造函数. 6．对于，构造函数；，构造函数. 7．对于，构造函数；，构造函数. 8．对于，构造函数；，构造函数. 9．对于，构造函数. 10．对于，构造函数. 11．对于，构造函数. 12．对于，构造函数. 2、 题型示例 题型一．对于或，构造函数，即曲线上任意两点，的斜率大于或小于. 例1. 已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】方法一．不妨设，则由题意得， 即，这等价于函数在内单调递增，即在内恒成立，所以在内恒成立，故，选D. 方法二．若对于两个不等的正实数，，都有恒成立，则当时，恒成立，即在在内恒成立， 故，选D. 练习 1．已知函数. 证明：若，则对任意，，，有. 证明：不妨设， 则 令则在内单调递增， ， 因为所以， 所以， 所以在内单调递增． 2．已知函数f(x)的定义域为,f=e,对任意的x1,x2∈,当x2>x1时,有>.若f>2e-aln a,则实数a的取值范围是 (　B　) A. B. C. D. 【解析】 由题意可知,当x2>x1>0时,有>, 即f-f>x2-x1,即f+x1>f+x2. 令g(x)=f(x)+xex,则当x2>x1>0时,g>g, 则函数g(x)在上单调递减. 由f=e,f>2e-aln a可得f+×eln a>f+1×e1, 即g>g,所以0<ln a<1,解得1<a<e, 即实数a的取值范围是. 题型二．对于或，构造函数；对于，构造函数. （一）．对于或，构造函数. 例2．已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x-1的解集为 (　B　) A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2} 【解析】 令g(x)=f(x)-(x-1),则g'(x)=f'(x)-1<0, 所以g(x)在R上单调递减. 又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0. 由f(x)>x-1,得g(x)>0,解得x<2. 练习 1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f'(x)<,则f(x)<+的解集为(　D　) A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1} 【解析】 构造函数h(x)=f(x)--,所以h'(x)=f'(x)-<0,故h(x)在R上单调递减,且h(1)=f(1)--=0,故h(x)<0的解集为{x|x>1}. 2．定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式的解集是 【解析】，令，则， 设，则，所以，即函数单调递减，又因为，为偶函数，所以，即 3．已知函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】令，则，所以在上单调递减 因为不等式，可等价于， 即，所以，所以或. 4．设是定义域为的函数的导函数，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】因为，即， 设函数，，则在上单调递减， 又，所以， 不等式转化为：，即，所以. 5已知函数的定义域为，，若对任意实数都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】记， ∵对任意实数都有，∴， ∴函数是定义在上的单调递增函数， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵函数是定义在上的单调递增函数 ∴ （二）．对于，构造函数. 例3．设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. c. D. 【解析】∵，即， 构造函数， 根据题意可知：在上，，故在上单调递减， ∵为奇函数， ∴， 即为奇函数，故在上单调递减， 因此原不等式可化为：，即，解得. 练习 1．已知定义在上的奇函数，若的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，则，所以， 又因为不等式的解集等价于不等式的解集. 所以 题型三．对于，构造函数. 例3．设，是上的可导函数，，，求不等式的解集． 【解析】的原函数为， 构造新函数可知，单调递减， 又因为即， 所以的解集是 练习 1．设，在上的导函数分别是，，且满足，则当时，有（ ） 【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数， 令，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即选 题型四．对于，构造函数. 例4．设、是定义域为的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ） A. B. C. D. 【解析】设，则， 由，得， 因为所以， 又、是定义域为的恒大于0的可导函数， 故.. 练习 1．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】构造函数，因为，故是奇函数. 又，故当时，，单调递减. 又，再根据奇偶性画出的简图. 易得的解集为，即不等式的解集是 题型五．对于，构造函数；，构造函数. （1） ．对于，构造函数. 例5．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有 (　A　) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 【解析】 设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减或g(x)为常函数.∵a<b, ∴g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b). 练习 1．已知是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，，若，则必有（ ） A. B. C. D. 【解析】构造函数，. 由于，故函数在上单调递减或为常函数. 所以对任意正数，，若，则必有. 又因为，且，结合不等式性质，有，. 综上所述，. 2．已知是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若 ，，，则，，的大小关系是 【解析】令，由条件知，时，，即在上单调递减. 又为偶函数，则为奇函数，故在上单调递减. 又，所以. 3．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】令，则，故为上的增函数， 所以，即. 4．已知定义为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ） D. 【解析】令，则. ∵当时， ∴当时，，即当时，，因此当时，函数单调递增. ∵函数为奇函数，∴， ∵，∴，即. 5．已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） 【解析】 令单调递减 6．已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f'(x)>0,则下列说法正确的是 (　C　) A.f(1)=0 B.f(x)<0 C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<0 【解析】 令g(x)=(x-1)f(x), 则g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)>0, 所以g(x)在R上是增函数,又因为g(1)=0, 所以当x>1时,g(x)=(x-1)f(x)>0; 当x<1时,g(x)=(x-1)f(x)<0, 所以当x≠1时,f(x)>0. 又f(1)+(1-1)f'(1)=f(1)>0,所以ABD错误,C正确. （二）．，构造函数. 例6．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】因为为上的奇函数，所以，设， 所以，所以为上奇函数， 对求导，得， 而当时，有 故时，，即单调递增， 又为上可到，在处连续，所以在上单调递增， 不等式， ， ， 即，所以，解得 练习 1．已知函数的定义域为，且其图象关于坐标原点对称，当时，对（为的导函数），则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】令，由题可知为奇函数， ∴也为奇函数，， ∵当时，，即. 当时，，∴在上单调递减. ∵在上为奇函数，∴在上单调递减，且， 当时，，即， 当时，， 当时，， ∵， ∴①当时，由，得，解得解集为； ②当时，，则的解集为空集； ③当时，由，的，解得的解集为 综上所述，的取值范围为. 2．设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】令，， 所以在上单调递增， ，即， 所以. ，所以. 题型六．对于，构造函数；，构造函数. （一）．对于，构造函数. 例7．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　A　) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 【解析】 构造函数h(x)=,因为f(x)为奇函数,所以h(x)为偶函数,又因为h'(x)=,且当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,根据对称性知h(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=0,所以f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 练习 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有>0,则不等式x2f(x)>0的解集是　 　.  【解析】 令g(x)=(x≠0),则g'(x)=. ∵当x>0时,>0,即g'(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=0, ∴g(1)=f(1)=0, ∴在(0,+∞)上,g(x)>0的解集为(1,+∞),g(x)<0的解集为(0,1). ∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数, ∴在(-∞,0)上,g(x)>0的解集为(-∞,-1),g(x)<0的解集为(-1,0). 由x2f(x)>0,得f(x)>0(x≠0). 又f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞), ∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 2．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ） A． B． C． D． 【解析】是偶函数，则的对称轴为， 构造函数，则关于对称， 当时，由，得， 则在上单调递增，在上也单调递增， 故，∴．本题选择A选项． 3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围时（ ） A. B. C. D. 【解析】构造函数，则， 因为当时，， 故当时，，所以在上单调递减； 又因为上是奇函数，故函数是偶函数， 所以在上单调递增，且. 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，使得成立的的取值范围是. （二）．，构造函数. 例8．已知g(x)是定义域为R的偶函数,g(2)=0,当x≥0时,xg'(x)-5g(x)>0(g'(x)是g(x)的导函数),则不等式g(x)>0的解集为 (　A　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 【解析】 当x=0时,由xg'(x)-5g(x)>0得g<0. 当x≠0时, 设f(x)=,则f'(x)==. ∵当x>0时,xg'(x)-5g(x)>0, ∴当x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在上单调递增. ∵g(x)是偶函数,∴f(-x)==-=-f(x),∴f(x)是奇函数, ∴f(x)在上单调递增. ∵g(2)=0,∴f(-2)=-f(2)=-=0, 作出f(x)的大致图象,如图所示. 由g(x)=x5f(x)>0,得或 数形结合可知不等式g(x)>0的解集为∪. 综上,不等式g(x)>0的解集为∪. 练习 1．已知函数的导数为，若，且，则不等式 的解集是 【解析】由可得， 所以，即. 令，即，则单调递增. 不等式， 而， 所以不等式， 所以，解得. 题型七．对于，构造函数；，构造函数. （一）对于，构造函数. 例9．设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)<0,且f(0)=1,则不等式f(x)>e-x的解集是 (　B　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0,1) 【解析】 设函数g(x)=exf(x),因为f(x)+f'(x)<0,所以g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,所以g(x)在定义域R上单调递减.又因为f(0)=1,所以g(0)=e0f(0)=1,所以不等式f(x)>e-x,即exf(x)>1,即g(x)>g(0),解得x<0. 练习 1．设f(x)在R上存在导数f'(x),满足f'(x)+f(x)>0,且有f(2)=2,则ex-2f(x)>2的解集为 (　D　) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 【解析】 令F(x)=exf(x),x∈R,则F'(x)=ex·>0,x∈R, 所以函数F(x)在R上单调递增.又F=e2·f=2e2, 所以ex-2f(x)>2,即exf(x)>2e2,即F(x)>F的解集为. 2．已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则 (　A　) A.e-2 025f(-2 025)<f(0),e2 025f(2 025)>f(0) B.e-2 025f(-2 025)<f(0),e2 025f(2 025)<f(0) C.e-2 025f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)>f(0) D.e-2 025f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)<f(0) 【解析】 构造函数h(x)=exf(x), 则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以函数h(x)在R上单调递增, 故h(-2 025)<h(0),即e-2 025f(-2 025)<e0f(0), 即e-2 025f(-2 025)<f(0). 同理,h(2 025)>h(0),即e2 025f(2 025)>f(0). 3．已知函数的定义域为R，且对任意的，则对任意正数必有（ ） A. B. C. D. 【解析】构造函数，则，故在上单调递增， 又，所以，即，所以，故选. 4．已知为上的可导函数，且对任意的，均有.是比较与的大小 【解析】构造函数， 则，即在上单调递减， 故，即，即. 5．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） . 【解析】 令 所以为上的单调减函数， 又因为，故不等式的解集为 6．定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________. 【解析】因为，设，则， 不等式， 设函数，， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 综上可判断出在定义域内单调增且， 因此原不等式的解集为. （二）对于，构造函数. 例10．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 而可化为，又， 即，解得， 所以不等式的解集是. 题型八．对于，构造函数；，构造函数. （1） 对于，构造函数． 例11．已知是上的可导函数，且任意，均有，则有（ ） A. . C. D. 【解析】构造函数，则， 所以函数在上单调递减， 故，即，； 同理，，即，故选D 练习 1．已知定义在R上的可导函数的部分导函数为，满足且为偶函数，，求不等式的解集. 【解析】设函数，则， 所以函数是上的单调递减函数。 又为偶函数，， 所以，函数关于直线对称且， 则，即，即， 而函数是上的单调递减函数， 所以，即不等式的解集为. 2．已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的 底数，则（ ） 【解析】由，构造函数，求导得， 函数在定义域内单调递增，所以 3．[多选题]已知f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则 (　AB　) A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 【解析】 令g(x)=,则g'(x)=<0, 故g(x)在R上单调递减,而ln 2>0,2>0, 故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0), 即<,<, 所以f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0). 4．设函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且满足f(x)>f'(x)+1,f(2)=e2+1,则不等式e-xf(x)≥e-x+1的解集是 (　B　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) 【解析】 设g(x)=,∵f(x)>f'(x)+1,即f'(x)-f(x)+1<0,∴g'(x)=<0,∴g(x)在R上单调递减. 又f(2)=e2+1, ∴不等式e-xf(x)≥e-x+1⇔≥1=, 即g(x)≥g(2),∴x≤2,∴原不等式的解集为(-∞,2]. （二）对于，构造函数. 例12．已知是定义在R上的偶函数，当时，若，则的解集为（ ） A.（-2,2） B. C. D. 【解析】由，而知：在上单调减， 而，即， 又知：， ∴在上有，又是定义在上的偶函数， 则在上为偶函数， 所以在上单调增， 即，可得， 综上，有. 练习 1．已知定义在R上的函数,满足恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 【解析】得，前面有系数3，应涉及到复合函数求导问题. 构造函数，得， 所以函数在上单调递减，故有， 所以；同理，即. 题型九．对于，构造函数. 例13．已知f(x)是定义在上的函数,其导函数为f'(x),f=2,且当x∈时,f'(x)sin x+f(x)cos x>0,则不等式f(x)sin x<3的解集为  　 ． 【解析】 因为当x∈时,f'(x)sin x+f(x)cos x>0, 所以[f(x)sin x]'>0,x∈, 令g(x)=f(x)sin x, 则当x∈时,g'(x)>0,g(x)在上单调递增, 因为f=2,所以g=fsin=3, 不等式f(x)sin x<3,即g(x)<g. 因为g(x)在上单调递增, 所以原不等式的解集为. 题型十．对于，构造函数. 例14．函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集是 【解析】∵，∴， 构造函数，则， 当时，，∴在单调递增， ∴不等式，即， ∴ 练习 1．函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)均满足f'(x)sin x>f(x)cos x,则下列不等式成立的是(　C　) A.f<f B.f<f C.f>2f D.f<f 【解析】 由函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x, 得f'(x)sin x-f(x)cos x>0,即'>0, 所以y=在(0,π)上单调递增,所以<,即2f<f,C正确. 2．已知函数f(x)定义在上,f=,其导函数是f'(x),且f(x)cos x<f'(x)·sin x恒成立,则不等式f(x)>2sin x的解集为  　.  【解析】 ∵f(x)cos x<f'(x)sin x, ∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0, 构造函数g(x)=,则g'(x)=, 当x∈时,g'(x)>0,∴g(x)在上单调递增. ∵不等式f(x)>2sin x,∴>2==, 即g(x)>g,∴<x<,故不等式的解集为. 题型十一．对于，构造函数. 例15．设函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=f,b=0,c=-f,则a,b,c的大小关系是　 　.  【解析】 设函数g(x)=f(x)cos x,则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x, 因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在(0,π)上单调递增, a=f=fcos =g, b=0=fcos=g, c=-f=fcos =g, 所以a<b<c. 题型十二．对于，构造函数. 例16．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】∵且，∴是奇函数, 设， 则时，，∴在上是减函数. 又是奇函数， ∴也是奇函数，因此在是递减， 从而，在上是减函数， 不等式为，即，∴. 练习 1．已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈均满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则下列不等式中不成立的是(　A　) A.f<f B.f>f C.f(0)<f D.f<f 【解析】 ∵偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,且f'(x)cos x+f(x)·sin x=f'(x)cos x-f(x)(cos x)', ∴可构造函数g(x)=,则g'(x)=>0, ∴g(x)为偶函数且在上单调递增, ∴g=g==2f,g= g==f, g==f. 由函数的单调性可知,g<g<g, 即f<f<2f,∴B,D正确,A错误. 又g=g=f>g(0)=f(0),∴C正确.故选A. 2．已知定义域为的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,其导函数为f'(x),当0≤x<时,f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<fcos x的解集为 (　B　) A.∪ B. C.∪ D.∪ 【解析】 ∵f(x)+f(-x)=0且x∈,∴f(x)是奇函数, 设g(x)=,则当0≤x<时,g'(x)=<0, ∴g(x)在上单调递减. 又f(x)是奇函数,∴g(x)=也是奇函数, ∴g(x)在上单调递减,从而g(x)在上单调递减. ∵不等式f(x)<fcos x,∴<, 即g(x)<g,∴<x<. 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数的运算法则构造函数的策略 1、 考点梳理 利用导数的运算法则构造函数，考查根据导函数与原函数的关系构造函数解题，考查函数单调性的应用；考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及推理论证能力、运算能力。常见的构造方法有： 1．对于或，构造函数，即曲线上任意两点，的斜率大于或小于. 2．对于或，构造函数；对于，构造函数. 3．对于，构造函数. 4．对于，构造函数. 5．对于，构造函数；，构造函数. 6．对于，构造函数；，构造函数. 7．对于，构造函数；，构造函数. 8．对于，构造函数；，构造函数. 9．对于，构造函数. 10．对于，构造函数. 11．对于，构造函数. 12．对于，构造函数. 2、 题型示例 题型一．对于或，构造函数，即曲线上任意两点，的斜率大于或小于. 例1. 已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习 1．已知函数. 证明：若，则对任意，，，有. 2．已知函数f(x)的定义域为,f=e,对任意的x1,x2∈,当x2>x1时,有>.若f>2e-aln a,则实数a的取值范围是 (　 　) A. B. C. D. 题型二．对于或，构造函数；对于，构造函数. （一）．对于或，构造函数. 例2．已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x-1的解集为 (　 ) A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2} 练习 1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f'(x)<,则f(x)<+的解集为(　D　) A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1} 2．定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式的解集是 3．已知函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4．设是定义域为的函数的导函数，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5．已知函数的定义域为，，若对任意实数都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. （二）．对于，构造函数. 例3．设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. c. D. 练习 1．已知定义在上的奇函数，若的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 题型三．对于，构造函数. 例3．设，是上的可导函数，，，求不等式的解集． 练习 1．设，在上的导函数分别是，，且满足，则当时，有（ ） 题型四．对于，构造函数. 例4．设、是定义域为的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ） A. B. C. D. 练习 1．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 题型五．对于，构造函数；，构造函数. （1） ．对于，构造函数. 例5．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有 (　　) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 练习 1．已知是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，，若，则必有（ ） A. B. C. D. 2．已知是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若 ，，，则，，的大小关系是 3．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4．已知定义为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ） D. 5．已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） 6．已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f'(x)>0,则下列说法正确的是 (　 　) A.f(1)=0 B.f(x)<0 C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<0 （二）．，构造函数. 例6．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 练习 1．已知函数的定义域为，且其图象关于坐标原点对称，当时，对（为的导函数），则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2．设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 题型六．对于，构造函数；，构造函数. （一）．对于，构造函数. 例7．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　 　) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 练习 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有>0,则不等式x2f(x)>0的解集是　 　.  2．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ） A． B． C． D． 3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围时（ ） A. B. C. D. （二）．，构造函数. 例8．已知g(x)是定义域为R的偶函数,g(2)=0,当x≥0时,xg'(x)-5g(x)>0(g'(x)是g(x)的导函数),则不等式g(x)>0的解集为 (　 　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 练习 1．已知函数的导数为，若，且，则不等式 的解集是 ． 题型七．对于，构造函数；，构造函数. （一）对于，构造函数. 例9．设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)<0,且f(0)=1,则不等式f(x)>e-x的解集是 (　 　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0,1) 练习 1．设f(x)在R上存在导数f'(x),满足f'(x)+f(x)>0,且有f(2)=2,则ex-2f(x)>2的解集为 (　 　) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 2．已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则 (　 　) A.e-2 025f(-2 025)<f(0),e2 025f(2 025)>f(0) B.e-2 025f(-2 025)<f(0),e2 025f(2 025)<f(0) C.e-2 025f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)>f(0) D.e-2 025f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)<f(0) 3．已知函数的定义域为R，且对任意的，则对任意正数必有（ ） A. B. C. D. 4．已知为上的可导函数，且对任意的，均有.是比较与的大小 5．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ） . 6．定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________. （二）对于，构造函数. 例10．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 题型八．对于，构造函数；，构造函数. （1） 对于，构造函数． 例11．已知是上的可导函数，且任意，均有，则有（ ） A. . C. D. 练习 1．已知定义在R上的可导函数的部分导函数为，满足且为偶函数，，求不等式的解集. 2．已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的 底数，则（ ） 3．[多选题]已知f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则 (　 　) A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 4．设函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且满足f(x)>f'(x)+1,f(2)=e2+1,则不等式e-xf(x)≥e-x+1的解集是 (　 　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) （二）对于，构造函数. 例12．已知是定义在R上的偶函数，当时，若，则的解集为（ ） A.（-2,2） B. C. D. 练习 1．已知定义在R上的函数,满足恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 题型九．对于，构造函数. 例13．已知f(x)是定义在上的函数,其导函数为f'(x),f=2,且当x∈时,f'(x)sin x+f(x)cos x>0,则不等式f(x)sin x<3的解集为  　 ． 题型十．对于，构造函数. 例14．函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集是 练习 1．函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)均满足f'(x)sin x>f(x)cos x,则下列不等式成立的是(　 　) A.f<f B.f<f C.f>2f D.f<f 2．已知函数f(x)定义在上,f=,其导函数是f'(x),且f(x)cos x<f'(x)·sin x恒成立,则不等式f(x)>2sin x的解集为  　.  题型十一．对于，构造函数. 例15．设函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=f,b=0,c=-f,则a,b,c的大小关系是　 　.  题型十二．对于，构造函数. 例16．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 练习 1．已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈均满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则下列不等式中不成立的是(　 　) A.f<f B.f>f C.f(0)<f D.f<f 2．已知定义域为的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,其导函数为f'(x),当0≤x<时,f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<fcos x的解集为 (　 　) A.∪ B. C.∪ D.∪ 学科网（北京）股份有限公司 $