江苏省常州市2025-2026学年高二上学期数学期末自编模拟卷（五）（苏教版）

江苏省常州市上学期期末模拟卷（五） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修1第1章至第4章，苏教版2019选择性必修2第7章、第9章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 2．下列命题是真命题的为（    ） A．经验回归方程一定不过样本点 B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱 C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【分析】根据经验回归方程不一定经过所有样本点但可能经过部分样本点判断A；根据相关系数、决定系数R2、残差的意义可判断BCD. 【详解】对于A，经验回归方程不一定经过所有样本点但可能经过部分样本点,则说明A是假命题； 对于B，由样本相关系数的意义，当越接近0时，表示变量y与x之间的线性相关程度越弱，所以B是假命题； 对于C，用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好， 所以C是假命题； 对于D，由残差的统计学意义知，D是真命题. 故选：D 3．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 【答案】A 【分析】设男生人数为，根据独立性检验的原理，列出不等式，求出x的范围，结合题意确定其值，即可求得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为,依题意可得列联表如下： 性别 追星 合计 喜欢追星 不喜欢追星 男生 女生 合计 若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得， 因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则x至少为12，即男生至少有12人. 故选：A. 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 6．已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得点的轨迹为圆，得到圆的圆心和半径，把转化为到直线的距离的倍，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，得到最短距离为，进而得到答案. 【详解】由题意知：点，且， 可得，整理得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由， 则可看作是点到直线的距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 则点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 7．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 8．已知圆C：，若圆上存在两个不同的点A，B满足（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设AB的中点为，连接，利用几何性质可得，然后利用基本不等式及两边之和大于第三边得，求解即可. 【详解】设AB的中点为，连接，因为，所以， 所以，所以， 由得， 所以， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是.    故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 10．从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意对恒成立，代入计算可得、的值，可判断AB选项；依题意可得，，再利用累乘法求出，可判断C选项；再结合，计算可得，由放缩法得出，利用裂项相消法计算可判断D选项. 【详解】A，由题意知、、是公比为的等比数列， 所以对恒成立， 又，所以，，A对； B，因为，所以，B对； C，因为对恒成立，所以，， 所以， 当时也成立，所以，C错； D，因为，所以， 故， 当时，； 当时， ； 综上可得，D对. 故选：ABD 11．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B．直线的方程为 C．在椭圆上，则最大值为6 D．椭圆上存在点使得以点为顶点的四边形为平行四边形 【答案】ACD 【分析】对于A，求出离心率，即可判断；对于B，求出直线的方程，即可判断；对于C，令，求出直线与椭圆相切时的值，即可判断；对于D，求出的坐标，再根据为平行四边形，求出点坐标，再判断其是否在椭圆上即可判断. 【详解】对于A，由题意可知， 所以，,所以，故A正确； 对于B，设，， 因为是线段的中点， 所以， 又因为， 两式相减，得， 即，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即，故B错误； 对于C，令，即， 由，得， 则， 当直线与椭圆相切时， 则有，解得，    所以的最大值为6，即最大值为6，故C正确； 对于D，由B可知直线的方程为， 由，可得， 解得或，所以或， 不妨设， 因为为平行四边形，    所以, 所以，所以， 又因为点在椭圆上，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为 . 【答案】 【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出直线的斜率，由点斜式得出直线的方程，求截距即可. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 令，解得，所以直线在轴上的截距为. 方法二：由，得. 所以直线在轴上的截距为. 故答案为：. 13．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【答案】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 14．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，满足，且到轴的距离为，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、勾股定理及点到轴的距离建立关于、的方程，进而求出离心率. 【详解】由题意知，因为点在椭圆上，所以， 又，在中，由勾股定理可得， 对平方得， 即，即， 整理得， 又到轴的距离为，即边上的高， 可得，即， 解得，所以，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15．已知（是正整数） (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数； (2)设，当时，求的值． 【答案】(1)84 (2)166650 【分析】（1）根据展开式中第3项和第8项的系数相等，先求出，然后进而可求出的系数. （2）先求出的表达式，然后将代入求出结果即可. 【详解】（1）由题意知，，所以，所以， 所以，所以， 所以展开式中的系数为84. （2）由题意得，， 所以， 当时，. 16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)1 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程； （2）求得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得，，利用弦长公式求解即可； （3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 .    17．已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)3 【分析】（1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. 【详解】（1）， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： （2）由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 18．已知，分别是双曲线的左、右焦点，，是右支上一点，已知的最小值为． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作（为坐标原点），垂足为．则在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【分析】（1）利用焦距及的最小值求出和的值，进而求出的值，代入标准方程即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入直线的方程中，求出直线与轴交点，则为定值，利用直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，即可得到定值，求出中点坐标即可. 【详解】（1）因为，即，所以. 又是右支上一点，所以，即， 当最小时，即最小，而当为右顶点时，最小（最小值为）， 所以最小值为，所以，故. 双曲线中，，又，故. 故的标准方程为. （2）由（1）知，，设过点的直线的方程为， ，，则. 将代入中，整理得. 得到， 所以，， 直线的斜率为：， 直线的方程为， 设直线与轴交点为，令，由，得， 则 ， 即直线恒过点. 又，在中，斜边长， 所以当点为中点时，，此时点坐标为. 当直线斜率不存在时，将代入双曲线方程得，. 设，，则， 所以直线的方程为， 当时，，即直线过点，故满足条件. 故在轴上存在定点，使得为定值，此时点坐标为. 19．在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求; ②设数列的前项和，求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意得到数列的递推关系，利用累加法求解即可； （2）①利用等差数列和等比数列的通项公式求出，，代入解不等式即可；②利用分组求和和错位相减求解即可. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以当时， ， 又也满足上式， 所以. （2）①由题意， 令， 当时，，此时， 当时，， 又，所以， 此时 所以. ②， 记， ， ， 上述两式作差得 ， 所以， 当时，； 当时，， 又也满足上式， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市上学期期末模拟卷（五） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修1第1章至第4章，苏教版2019选择性必修2第7章、第9章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 2．下列命题是真命题的为（    ） A．经验回归方程一定不过样本点 B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱 C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 3．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 5．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 6．已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 7．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆C：，若圆上存在两个不同的点A，B满足（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 10．从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B．直线的方程为 C．在椭圆上，则最大值为6 D．椭圆上存在点使得以点为顶点的四边形为平行四边形 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为 . 13．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 14．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，满足，且到轴的距离为，则椭圆的离心率是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15． （13分） 已知（是正整数） (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数； (2)设，当时，求的值． 16．（15分） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 17．（15分） 已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 18．（17分） 已知，分别是双曲线的左、右焦点，，是右支上一点，已知的最小值为． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作（为坐标原点），垂足为．则在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求; ②设数列的前项和，求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市上学期期末模拟卷（五） 高二数学 参考答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A A C D D D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15.（1）由题意知，，所以， ………………2分 所以， 所以，所以， ………………4分 所以展开式中的系数为84. ………………6分 （2）由题意得，， 所以， ………………10分 当时，. ………………13分 16．（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； ………………3分 （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， ………………5分 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ………………7分 ； ………………9分 （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， ………………11分 所以 . ………………15分    17．（1）， ， ………………2分 因为 所以 ………………4分 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. ………………6分 可得： 即： ………………8分 （2）由（1）得，. 则， ………………10分 所以. ， ………………12分 由， 得， 所以，解得. ………………15分 18．（1）因为，即，所以. ………………1分 又是右支上一点，所以，即， 当最小时，即最小，而当为右顶点时，最小（最小值为）， 所以最小值为，所以，故. ………………3分 双曲线中，，又，故. 故的标准方程为. ………………5分 （2）由（1）知，，设过点的直线的方程为， ，，则. 将代入中，整理得. 得到， 所以，， ………………7分 直线的斜率为：， 直线的方程为， ………………9分 设直线与轴交点为，令，由，得， 则 ， 即直线恒过点. ………………12分 又，在中，斜边长， 所以当点为中点时，，此时点坐标为.………………14分 当直线斜率不存在时，将代入双曲线方程得，. 设，，则， 所以直线的方程为， 当时，，即直线过点，故满足条件. 故在轴上存在定点，使得为定值，此时点坐标为. ………………17分 19．（1）由题意知，所以， ………………2分 所以当时， ， ………………4分 又也满足上式， 所以. ………………5分 （2）①由题意，…………7分 令， 当时，，此时， ………………9分 当时，， 又，所以， 此时 所以. ………………11分 ②， 记， ， ， 上述两式作差得 ， 所以， ………………13分 当时，； ………………15分 当时，， 又也满足上式， . ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $