第5章 抛体运动（高效培优·复习讲义）物理人教版必修第二册

该高中物理抛体运动单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，用对比表格呈现曲线运动与直线运动的区别、合运动性质等核心内容，以思维导图串联曲线运动、运动合成与分解、平抛实验及规律的内在逻辑，突出平抛推论、小船过河等重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与科学思维培养，如通过频闪照相实验题培养科学探究能力，关联速度问题借助模型建构深化运动合成理解，典例与高考题结合适配不同学生，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可高效突破重难。

第五章 抛体运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 曲线运动 1 题型2 运动的合成与分解 4 题型3 实验：探究平抛运动的特点 13 题型4 抛体运动的规律 18 【能力培优练】 27 【链接高考】 38 【重难题型讲解】 题型1 曲线运动 一、定义与特点 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 二、 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 三、曲线运动速率的变化 物体运动轨迹在速度和合力之间，其运动的速率与速度和合力的关系为： （1）合力方向与速度方向的夹角为锐角时：物体的速率增大。 （2）合力方向与速度方向的夹角为钝角时：物体的速率减小。 （3）合力方向与速度方向的夹角为垂直时：物体的速率不变。 【探究归纳】曲线运动是物体速度方向与合外力方向不共线时的运动，速度方向沿轨迹切线，合外力指向轨迹凹侧。 【典例1-1】如图所示，物体沿弯道运动的轨迹长度为60m，A到C直线距离为20m，A到B直线距离为40m，段运动用时10s，段运动用时6s，下列说法正确的是（　　） A．物体从A到B的运动过程中平均速度大小为3.75m/s B．物体从A到B的运动过程中平均速度大小为2.5m/s C．物体在A点瞬时速度方向沿线段方向 D．段的平均速度比段的平均速度更能反映物体在A点的瞬时速度 【答案】B 【详解】AB．平均速度的定义是位移与发生这段位移所用时间的比值。物体从A到B的位移为40m，所用时间为 故物体从A到B的运动过程中平均速度大小为，故A错误、B正确； C．物体做曲线运动，在某点的瞬时速度方向沿该点的切线方向，而不是沿线段AC方向，故C错误； D．平均速度是位移与时间的比值，当时间间隔趋近于0时，平均速度就趋近于瞬时速度。AC段的时间间隔比ACB段小，所以AC段的平均速度比ACB段的平均速度更能反映物体在A点的瞬时速度，故D错误。 故选B。 【典例1-2】（多选）在节假日放礼花弹时，一礼花弹斜向上射向高空中后绽放绚丽的光彩，不计空气阻力，则礼花弹绽放前在空中所做的运动为（　　） A．匀变速运动 B．变加速运动 C．直线运动 D．曲线运动 【答案】AD 【详解】礼花弹斜向上射向高空中后，由于忽略空气阻力，则其只受重力作用，故加速度为定值，则礼花弹绽放前在空中所做的运动为匀变速运动；且速度方向与加速度方向有夹角，故其做曲线运动。 故选AD。 跟踪训练1关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．曲线运动一定是变加速运动 B．在恒力作用下，物体也能做曲线运动 C．曲线运动的速度可以不变 D．曲线运动的速度大小一定不断变化 【答案】B 【详解】A．曲线运动的加速度可以是恒定的（如平抛运动），因此不一定是变加速运动，故A错误； B．恒力作用下，只要力与速度方向不共线（如平抛运动），物体即可做曲线运动，故B正确； C．曲线运动的速度方向必然变化，速度矢量一定变化，故C错误； D．曲线运动的速度大小可以不变（如匀速圆周运动），故D错误。 故选B。 跟踪训练2 （多选）在沿平直轨道上匀速行驶的列车中，乘客在某高度处相对于车厢无初速度释放一小球。不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．该乘客观察到小球做匀速直线运动 B．该乘客观察到小球做自由落体运动 C．站在地面的人观察到小球做曲线运动 D．站在地面的人观察到小球做匀速直线运动 【答案】BC 【详解】AB．物体开始时与列车的水平速度是相等的，所以坐在列车上的人观察，物体将相对于列车水平方向的位置不变，物体竖直向下运动。结合自由落体运动的特点可知，物体相对于车厢向下做自由落体运动，故A错误，B正确； CD．小球离手前与车相对于地面有相同的水平速度，只受重力，故站在地面的人观察到小球做平抛运动，是曲线运动，故C正确，D错误。 故选BC。 题型2 运动的合成与分解 一、察蜡块的运动分析 1、观察蜡块的运动（如下图） （1）在一端封闭、长约1m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块 上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。 （2）在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，观察蜡块的运动情况。 2、建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。 （1）蜡块x坐标的值等于它与y轴的距离，y坐标的值等于它与x轴的距离。若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x=vxt……① y=vyt……② 合并①和②试得，由于vx和vy都是常量， 所以也是常量，可见代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。 （2）蜡块运动的速度 根据勾股定理得： 根据三角函数的知识，还可以确定速度v的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它 的正切为 二、 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 三、 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 四、 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 4、“关联物体”速度的分解 （1）船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船接触的绳有沿与绳垂直的方向向下摆动的趋势。 （2）关联物体速度的分析思路 【探究归纳】运动的合成与分解遵循矢量运算法则（平行四边形定则），是把复杂的曲线运动拆解为简单的直线分运动来研究的等效替代方法。 【典例2-1】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【答案】B 【详解】A．当θ=90°时，即为电动小车P到达O点正下方时，此时演员Q的速度为零，故A错误； B．由题可知，P、Q用同一根细线连接，则电动小车P沿细线方向的速度与演员Q的速度相等，则当θ=60°时则有 解得，故B正确； CD．演员Q从开始运动到最低点的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，绳子的拉力始终大于演员的重力，故CD错误。 故选B。 【典例2-2】（多选）如图所示，小船在宽的河中渡河，水流速度是，船在静水中的速度是，关于小船渡河以下说法正确的是（　　） A．渡河时间最短是 B．渡河时间最短是 C．渡河位移最短是 D．当船头与上游河岸夹角为时，渡河位移最短 【答案】ACD 【详解】AB．当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间，A正确、B错误； C．船速大于水速，所以渡河位移最短是，等于河宽，故C正确； D．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，船的航程最短，设此时静水速的方向与河岸的夹角为，有 则当船头与上游河岸夹角为时，渡河位移最短，故D正确。 故选ACD。 【典例2-3】花样滑冰是冰上运动项目之一，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。花样滑冰的裁判会按照动作的质量与艺术性表现进行综合评分，一女运动员在冰面上运动，假设在x方向的速度时间图像和y方向的位移时间图像如图所示，运动员可视为质点。（计算结果保留根号） (1)女运动员的初速度大小； (2)1s末女运动员的速度大小； (3)2s内女运动员的位移大小。 【详解】（1）由x方向的速度图像可知，x方向初速度大小=2m/s 由y方向的位移图像可知，y方向做匀速直线运动，速度大小 女运动员的初速度 解得m/s （2）x方向，1s末女运动员速度大小=4m/s y方向，1s末女运动员速度大小仍为 1s末女运动员合速度大小 解得m/s （3）设x方向，2s内的位移大小为x，由图像与坐标轴所围的面积可知x=7m y方向，由位移图像知2s内位移大小y=4m 2s内合位移大小 解得m 跟踪训练1在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红色的小蜡块，用橡胶塞把开口塞紧。将玻璃管倒置，蜡块匀速上升。若蜡块匀速上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，蜡块的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】做曲线运动的物体，轨迹向加速度方向弯曲。将玻璃管沿水平方向向右先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，加速度先向右后向左，所以蜡块的运动轨迹是曲线先向右弯曲，后向左弯曲，不是折线。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为v C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力 【答案】AD 【详解】AB．将小车的速度分解 由关联速度知识可得物体A的速度大小为，故A正确，B错误； CD．小车向右匀速运动，则减小，增大，则物体A加速上升，对物体A受力分析，由牛顿第二定律 可得 则绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故C错误，D正确。 故选AD。 跟踪训练3某个质量为的物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向东的大小为的恒力作用，空气阻力不计。（下述讨论物体均未落地，以开始下落时为计时起点） (1)求它在时刻的速度。 (2)建立适当的坐标系，写出这个坐标系中物体运动的轨迹方程。 【详解】（1）将物体的运动分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的自由落体运动，水平方向有， 竖直方向有 可知物体在时刻的速度大小为 设物体在时刻的速度与水平方向的夹角为，则有 （2）以抛出点为坐标原点，水平向东为轴，竖直向下为轴，则有， 联立可得物体运动的轨迹方程为 题型3 实验：探究平抛运动的特点 1、实验目的：描出平抛物体的运动轨迹和求出平抛物体的初速度。 2、实验原理：平抛运动可以看作是两个分运动的合成：一是水平方向的匀速直线运动，其速度等于平抛物体运动的初速度；另一个是竖直方向的自由落体运动。利用铅笔确定做平抛运动的小球运动时若干不同位置，然后描出运动轨迹，测出曲线上任一点的坐标x和y，利用公式x=vt和就可求出小球的水平分速度，即平抛物体的初速度。 3、实验器材：斜槽（附金属小球）、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、刻度尺、三角板、重锤、铅笔。 4、实验步骤 （1）把斜槽放在桌面上，让其末端伸出桌面外，调节末端使其切线水平固定。 （2）在带有支架的木板上，用图钉钉好白纸，并让竖放木板左上方靠近槽口，使小球滚下飞出后的轨道平面跟板面平行。（如图所示） （3）把小球飞离斜槽末端时的球心位置投影到白纸上，描出点O，过O用重垂线描出竖直方向。 （4）让小球每次都从斜槽上同一适当位置滚下，在粗略确定的位置附近，用铅笔较准确地确定小球通过的位置，并记下这一点，以后依次改变x值，用同样的方法确定其他各点的位置。 （5）把白纸从木板上取下来，用三角板过O作与竖直方向垂直的x轴，将一系列所描的点用平滑的曲线连接起来，这就是小球平抛运动的轨迹。 5、数据处理（求平抛小球的初速度） （1）以O点为原点，水平方向为x轴，竖直向下方向为y轴建立坐标系。 （2）在平抛小球运动轨迹上选取A、B、C、D、E五个点，测出它们的x、y坐标值，记到表格内。 （3）把测到的坐标值依次代入公式，求出小球平抛的初速度，并计算其平均值。 6、误差分析 （1）安装斜槽时，其末端切线不水平。 （2）小球每次滚下的初位置不尽相同。 （3）建立坐标系时，可能误将斜槽末端端口作为坐标原点。 （4）空气阻力使小球不是真正的平抛运动。 ★特别提醒 （1）实验中必须保持通过斜槽末端的切线水平，木板必须处在竖直面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，并使小球的运动靠近图板但不接触。 （2）小球必须每次从斜槽上同一位置由静止滚下，即在斜槽上固定一个挡板，每次都从挡板位置释放小球。 （3）坐标原点（小球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球心在木板上的水平投影点。 （4）要在斜槽上适当的高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由图板左上角到达右下角；要在平抛轨迹上选取距O点远一些的点来计算小球的初速度，这样可以减小测量误差。 【归纳总结】本实验利用描迹法或频闪照相法记录平抛轨迹，验证平抛运动可分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动。 【典例3-1】图甲是研究“平抛物体的运动”的实验装置图。 (1)实验时每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保证每次平抛的 。 (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，小球初速度为v0，则该图像的函数表达式为 （用字母x、y、g、v0表示）；计算得此小球做平抛运动的初速度为 m/s（取g=10m/s2）。 (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L=5cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为 m/s（取g=10m/s2）。 【答案】(1)初速度相同 (2) 1.6 (3)1.5 【详解】（1）每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保证每次平抛的初速度相同。 （2）[1][2]根据水平方向 竖直方向 可得 将x=48.0 cm，y =45.0cm代入可得v0=1.6 m/s （3）在竖直方向有 解得T=0.1s 则初速度m/s 跟踪训练1兴趣小组采用如下实验方案做“探究平抛运动的特点”实验，在黑板正前方适当位置固定好手机，将手机调至频闪照相模式，紧贴着黑板安装好平抛实验仪，然后进行实验；如图甲所示。 (1)本实验中下列器材必需的是________（填正确答案标号）。 A．秒表 B．弹簧测力计 C．刻度尺 D．天平 (2)下列实验要求说法正确的是________（填正确答案标号）。 A．小球应选重而小的球 B．固定斜槽时要确保斜槽末端切线水平 C．小球每次必须从同一位置由静止释放 D．尽量减少小球与斜槽间的摩擦 (3)某次实验得到小球运动过程的频闪底片，在底片清洗时设计了沿平行重锤线方向的坐标纸，得到一张清晰照片，如图乙所示。已知照片与实物比例为，照片上坐标格长度，重力加速度取，则 ①坐标纸上的点 （填“是”或“不是”）平抛运动的起点。 ②手机频闪的频率为 。 ③小球做平抛运动的初速度大小 。（结果保留两位有效数字） 【答案】(1)C (2)ABC (3) 不是 【详解】（1）A．本实验采用频闪照相模式来探究平抛运动的特点，故不需要秒表来测量时间，故A不符合题意； BD．本实验不需要测量力和小球质量，故不需要弹簧测力计和天平，故BD不符合题意 C．本实验需要测量小球的水平位移和竖直位移，故需要刻度尺，故C符合题意。 故选C。 （2）A．小球应选重而小的球，这样可以减小阻力的影响，故A正确； B．固定斜槽时要确保斜槽末端切线水平，保证小球做平抛运动，故B正确； CD．小球每次必须从同一位置由静止释放，保证小球每次运动的初速度相等，小球与斜槽间的摩擦与此无关，故C正确，D错误。 故选ABC。 （3）[1]根据乙图，可知各点之间的水平位移相等，根据平抛运动的特点，水平方向做匀速直线运动，可知各点之间的时间间隔是相同的，但是各点之间的竖直位移之比为，若点是平抛运动的起点，竖直方向做初速度为0的匀变速直线运动，根据，可知各点之间的竖直位移之比应为，故点不是平抛运动的起点。 [2]照片与实物比例为，竖直方向，根据逐差公式可得 可得，根据，可得频率为 [3]照片与实物比例为，一个周期内的水平位移为 根据，解得初速度大小 跟踪训练2某实验小组利用频闪仪探究平抛运动的规律。如图甲所示，分别在该实验装置的正上方处和右侧正前方处安装一个照相机，在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的小球，于是胶片上记录了小球在几个闪光时刻的位置。得到的频闪照片如图乙所示，为抛出点小球球心的位置，请分析下列问题： (1)下面关于实验器材的说法正确的是___________ A．选择质量大，体积大的小球 B．须选择光滑的斜槽轨道 C．斜槽轨道末端切线须水平 D．须选用秒表记录时间 (2)处照相机所拍摄的频闪照片为乙图中的 （选填“”或“”）。 (3)该同学再对频闪照片进行测量，照片中小球两相邻位置的距离几乎均匀增大约为，则可估算出频闪的频率约为___________ A．2 B．3 C．7 D．1 (4)某同学对两频闪照片、进行测量，记录小球的位置与点的水平距离，以及对应的与点的竖直距离，作出图像如图所示，则图像不过原点的可能原因是所标的点在抛出点的小球圆心的 方。（选填“左”、“右”、“上”、“下”） 【答案】(1)C (2) (3)D (4)上 【详解】（1）A．为了减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大、体积小的小球，A错误； B．斜槽轨道是否光滑对实验没有影响，只要每次从同一位置由静止释放小球，保证小球平抛的初速度相同即可，B错误； C．斜槽轨道末端切线必须水平，这样才能保证小球做平抛运动，C正确； D．实验中利用频闪仪记录时间，不需要秒表，D错误。 故选C。 （2）小球做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，所以 A 处（正上方）照相机拍摄的频闪照片中，小球在水平方向的位置是均匀分布的，对应乙图中的a。 （3）小球在竖直方向做自由落体运动，根据 代入数据得 频闪频率 故选D。 （4）平抛运动中，竖直方向 水平方向 联立可得 正常情况下图像过原点。现在图像不过原点，且当时， 说明所标的O点在抛出点的小球圆心的上方。 题型4 抛体运动的规律 一、 1、定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动。 2、条件：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用。 3、性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线。 4、研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动。 5、的规律 （1）水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t，ax=0。 （2）竖直方向：自由落体运动，vy=gt，，ay=g。 （3）实际运动：，，a=g。 6、计算平抛运动时间的方法 （1）已知平抛高度h，则根据竖直方向上可得t=。 （2）已知水平位移x和初速度v0，则根据水平方向上x=v0t可得。 （3）已知某一时刻的速度v和书速度v0，则根据速度的合成有v2=v02+g2t2，从而可得 7、四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 ★特别提醒 1、做平抛运动的物体，水平方向的速度是恒定的，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，满足vy=gt。 2、平抛运动的物体在水平和竖直方向上的运动都是独立的，可以分别计算两个方向的位移，并与合位移构成矢量三角形（满足平行四边形定则）。 3、平抛运动的时间是连接水平和竖直运动的桥梁，时间的计算方法有很多种，要根据题目给出的条件选择恰当的方法。 4、平抛运动是匀变速曲线运动，速度变化量的计算要遵循矢量叠加原理，所以是不成立的。 二、平抛运动的两个重要推论 1、速度偏转角与位移偏转角：平抛运动是匀变速曲线运动，物体从抛出点运动一段时间后，速度与水平方向的夹角叫作速度偏转角，位移与水平方向的夹角叫作位移偏转角。 （1）做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ。 由平抛运动规律得：，，所以tanα=2tanθ。 （1）偏转角的应用：可以利用速度偏转角或位移偏转角计算平抛运动的时间。 ①已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ， 则gt=vsinθ，从而得到 ②已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ， 则，从而得到。 3、做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中B点为OC的中点。 证明：如图所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为（x，y），B点坐标为（x′，0），则x=v0t，，v⊥=gt，又，。 三、 1、类平抛运动的定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。 2、类平抛运动的运动特点:在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3、在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在斜面上做曲线运动的情形。如下图： 4、类平抛运动的求解方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 5、类平抛运动问题的求解思路：根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题--求出物体运动的加速度--根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。 6、类抛体运动：当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。 在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为： ①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。 ②求出这两个方向上的加速度、初速度。 ③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。 四、 1、斜抛运动的定义：将物体以一定的初速度沿斜上方抛出，仅在重力作用下的运动叫做斜抛运动。 2、斜抛运动的条件：①物体有斜向上的初速度；②仅受重力作用。 3、斜抛运动的规律：斜抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是竖直上抛运动，所以斜抛运动是匀变速曲线运动。 4、斜抛运动的基本规律： 图像分解 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 【归纳总结】抛体运动（含平抛、斜抛）是只受重力的匀变速曲线运动，可分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向匀变速直线运动（自由落体或竖直上/下抛）分析规律。 【典例4-1】一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g。根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是（　　） A．水平位移大小 B．下落高度 C．落地时速度大小和方向 D．从抛出到落地的位移大小 【答案】C 【详解】A．物体做平抛运动，水平位移 若仅知无法解出和，故A错误； B．物体做平抛运动，下落高度 解得飞行时间 但无法确定初速度，故B错误； C．设落地速度大小为，方向与水平夹角为，则初速度 竖直速度分 由于 解得 可知，能够同时确定 和，故C正确； D．总位移大小 其中， 可知，无法求解未知数和，故D错误。 故选C。 【典例4-2】（多选）如图所示，先后将、两小球从空中同一水平线上的两点沿同一方向水平抛出，两球的运动轨迹相交于P点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．抛出时，a球速度大于b球速度 B．抛出后，a球速度变化比b球快 C．经过P点时，两球竖直速度相等 D．从抛出至P点，a球速度变化量大于b球速度变化量 【答案】AC 【详解】A．由轨迹可知，两球的竖直位移相等，根据，可知两球的运动时间相等，球的水平位移大于球，根据，可知抛出时，a球的水平速度大于b球的水平速度，即抛出时，a球速度大于b球速度，故A正确； B．抛出后，两球的加速度均为重力加速度，即速度变化快慢相同，故B错误； C．竖直方向，根据，可知经过P点时两球竖直速度相等，故C正确； D．从抛出至P点，根据，可知两球速度变化量相同，故D错误。 故选AC。 【典例4-3】如图所示，长为的水平传送带BC以的速度顺时针匀速转动，将一物块轻轻放在传送带的左端的B点处，一段时间后，物块将从传送带右端的C点水平抛出，最后落到地面上的D点。已知C点距离地面的高度为，物块可看作质点，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)物块从点运动到点的时间； (2)物块水平抛出后的水平位移。 【详解】（1）物块刚刚轻放上传送带时做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 令加速至与传送带速度相等经历时间为，则有 解得 此过程物块的位移 之后匀速直线运动过程有 解得 则物块从点运动到点的时间 （2）物块飞出后做平抛运动，则有， 解得 跟踪训练1某次网球比赛运动员先后两次从同一位置水平打出的网球落到网上，网球落到网上的位置如图所示，忽略空气阻力，网球可视为质点，则两次网球在飞行过程中（　　） A．第一次打出的网球飞行的加速度大于第二次打出的网球飞行的加速度 B．第一次打出的网球飞行的时间大于第二次打出的网球飞行的时间 C．第一次打出的网球初速度大于第二次打出的网球初速度 D．第一次网球落到网上角度（速度方向与竖直方向夹角）小于第二次网球落到网上角度速度方向与竖直方向夹角 【答案】C 【详解】A．飞行的网球做平抛运动，加速度相同，都为重力加速度，故A错误； BC．飞行时间由竖直分运动自由落体运动决定，根据，可知网球2的下落高度大，飞行时间长；两次的水平位移相同，根据，可知第二次打出的网球初速度小，故B错误，C正确； D．速度与竖直方向的夹角满足，第二次打出的网球初速度小，时间长，则速度与竖直方向的夹角比第一次网球落到网上角度小，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙小球初速度大小之比为3∶4 B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则不能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 【答案】BD 【详解】A．甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有x甲＝v1t＝＝R，x乙＝v2t＝R 所以 因R＝gt2，v1＝，故A正确； B．平抛运动与球的质量无关，则若仅增大两球质量，则两球仍能相碰，B错误； C．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小，时间减少，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C正确； D．若甲球垂直击中圆环BC，设此时甲球抛出时的速度为v，则落点时速度的反向延长线过圆心O，由几何关系有2＋2＝R2， 联立解得v≠2v1，甲球能垂直击中圆环BC，但是速度不是原来的2倍，故D错误。 本题选择错误的，故选BD。 跟踪训练3某次飞镖比赛中，选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离为，靶心距离飞镖出手点竖直方向的距离为，设飞镖每次出手都以水平方向扔出，不计空气阻力，取。若掷出的飞镖恰好可以命中靶心，求： (1)飞镖的飞行时间； (2)飞镖的出手速度。 【详解】（1）由题意，飞镖做平抛运动，根据可得，飞镖的飞行时间 （2）据 可得飞镖的出手速度大小为 【能力培优练】 1．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐诗《渔歌子》中描述下雨的诗句。假设有一雨滴从静止开始自由下落一段时间，进入斜风区再下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地。若雨滴受到的阻力忽略不计，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】雨滴在斜风区受风力与重力作用，两个力的合力与速度方向不共线，所以雨滴在此区域内做曲线运动，且风力与重力合力的方向应该指向运动轨迹曲线内侧，在无风区重力方向与速度方向也不共线，雨滴运动轨迹也是曲线，曲线向重力方向弯曲。 故选B。 2．2025年乒乓球“WTT”北京站比赛中，中国选手在某次击球时打出精彩的“十佳穿越球”。如题图所示，乒乓球行至水平球台台面右下方A点时，经选手击打后，受空气影响，在空中划出美丽的弧线，穿越球网右侧后落入对方球台得分。则该乒乓球由A点到落点C的过程中（　　） A．乒乓球速度不变 B．乒乓球只受重力作用 C．乒乓球所受合力方向与速度方向共线 D．乒乓球所受合力方向与速度方向不共线 【答案】D 【详解】乒乓球受到重力和空气阻力共同作用，运动轨迹为曲线，速度时刻发生改变，所受合力方向与速度方向不共线。 故选D。 3．如图所示，青蛙先后两次从高处荷叶上的同一位置，跳到低处荷叶上A、B两点，A、B在同一水平面内且A点更靠近青蛙的起跳点。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则（　　） A．运动时间 B．运动时间 C．起跳速度 D．速度变化量 【答案】C 【详解】ABD．将青蛙的跳跃视为平抛运动，竖直方向有 由于，则有 根据，则有，故ABD错误； C．水平方向有 由于，，则有，故C正确。 故选C。 4．如图所示，在倾角为的斜面上，将小物体以某一初速度从A点抛出后，恰好以的速度水平打在斜面上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（    ） A．从A到B的过程，逆向来看是斜抛运动 B．小物体在空中运动的时间是 C．小物体在运动时离斜面最远 D．间的距离是 【答案】B 【详解】A．恰好以的速度水平打在斜面上的B点，说明小物体到达B点时速度是水平的，逆向来看是平抛运动，故A错误； B．根据平抛运动的规律，小物体在空中运动的时间是，故B正确； C．小物体的速度方向与斜面平行时离斜面最远，经过时离斜面最远，故C错误； D．间的距离是 解得，故D错误。 故选B。 5．如图，军事演习中战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后在两处释放炸弹，炸弹分别击中山坳两侧坡体的点（图中位置不代表的实际位置）。若释放两颗炸弹的时间间隔小于炸弹击中点的时间间隔，不计空气阻力。下列判断正确的是（    ） A．点离地高度等于点离地高度 B．点离地高度大于点离地高度 C．间的距离等于间的水平距离 D．间的距离大于间的水平距离 【答案】B 【详解】AB．若点离地高度等于点离地高度，则若释放两颗炸弹的时间间隔等于炸弹击中点的时间间隔；由于，所以击中Q点的炸弹在空中运动时间长，由下落高度，可知点离地高度大于点离地高度，故A错误，B正确； CD．水平方向，由于，所以间的距离小于间的水平距离，故CD错误。 故选B。 6．如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 【答案】D 【详解】A．当B匀速上升时，B的受力平衡，绳上拉力等于B的重力，所以绳对A的拉力大小也是B的重力，保持不变，故A错误； B．绳对A的拉力随着与水平面的夹角变小，竖直方向的分力减小， 所以支持力在增大，A对地面的压力也在增大，故B错误； CD．根据绳的关联速度公式，有 即，由于B匀速运动且角度逐渐减小，减小，A在向左做减速运动，故C错误，D正确。 故选D。 7．跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 【答案】A 【详解】AB．由图像可知，运动员在这段时间内水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，则加速度不变，合运动为曲线运动，选项A正确，B错误； C．时，运动员水平速度为vx=1m/s，竖直速度 合速度大小为，选项C错误； D．内，运动员的水平位移 竖直位移y=10m，则合位移大小为，选项D错误。 故选A。 8．一条小船在静水中的速度为，要渡过宽为、水流速度为的河流，则（　　） A．无论船头方向如何，小船都不可能在正对岸的上游着陆 B．当船头正对河岸时，航程最短 C．航程最短时，小船的渡河时间为24s D．当船头正对河岸航行时，小船将在正对岸的下游96m处着陆 【答案】D 【详解】A．当船速大于水流速度时，船可以调整航向使合速度方向指向上游，从而在正对岸上游着陆，故A错误； B．航程最短时，船头应偏向上游使合速度垂直河岸，而非正对河岸，故B错误； C．航程最短时，若船头指向与河岸夹角为θ，则 渡河时间，故C错误； D．船头正对河岸时，渡河时间 则沿河岸方向的横向位移，故D正确。 故选D。 9．（多选）如右图所示的曲线是某一质点的运动轨迹，为曲线上A点处的切线。质点从B点运动到A点所发生的位移为x，所用时间为t。下列说法正确的是（　　） A．表示质点从B点运动到A点过程的平均速度 B．质点从A点运动到B点的过程，平均速度的方向由B点指向A点 C．若B点越接近A点，则越接近质点在A点时的瞬时速度 D．质点经过A点时所受合力可能沿着的方向 【答案】AC 【详解】A．因x为由B到A的位移，则表示质点从点运动到A点过程的平均速度，故A正确； B．质点从A点运动到B点的过程，平均速度方向与位移方向相同，则平均速度的方向由A点指向B点，故B错误； C．若B点越接近A点，则t越短，则越接近质点在A点时的瞬时速度，故C正确； D．的方向是质点在A点的瞬时速度方向，质点做曲线运动，则速度方向与合力方向不共线，则质点经过A点时所受合力不可能沿着的方向，故D错误。 故选AC。 10．（多选）一倾角为的斜面固定在水平面上，可视为质点的物块从斜面上端点沿x轴正方向射入，物块与斜面之间的动摩擦因数，关于物块在斜面上的运动轨迹，下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于，因此滑动摩擦力 对某一时刻受力分析，如图所示 x方向做减速运动，y方向做加速运动，当减为零时，摩擦力和重力沿斜面的分力恰好等大反向，物体做匀速直线运动。 故选BC。 11．（多选）倾角为的斜面固定在水平地面上，在斜面顶端A处将一可视为质点的小球以与斜面成方向斜向上抛出，初速度大小为，一段时间后小球落到斜面上的D点。小球途经B、C两点，B为离地面的最高点，C为离斜面的最远点，重力加速度取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点运动到B点的时间为 B．C点离斜面的距离为 C．小球从A点运动到D点的时间为 D．A、D两点间的距离为 【答案】AD 【详解】A．将小球的初速度分解为竖直和水平，竖直分速度为，则从到的时间为，故A正确； B．将小球的初速度分解为垂直斜面和平行斜面两个分速度，垂直斜面分速度为，平行斜面分速度为，垂直斜面的加速度为，则点离斜面的距离为，故B错误； CD．小球沿斜面做匀加速直线运动，从到的运动时间为 沿斜面的加速度为，则距离为，故C错误，D正确。 故选AD。 12．（多选）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 【答案】AD 【详解】AB．由运动的合成和分解可得 A匀速向左运动过程中θ变小，vB增大，因此A匀速运动时，B加速上升，选项A正确，B错误； CD．根据 可得 可知当时，A与B的速度大小之比为，选项D正确，C错误。 故选AD。 13．在学习平抛运动以后，某同学要测量钢球离开桌面时速度的大小。在桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。 (1)实验中下列要求必要的是_______________ A．桌面必须是光滑的 B．桌面末端的切线必须调成水平 C．需要用游标卡尺测量小球的直径 (2)正确安装装置后，进行实验，小球应多次从 （选填“同一位置”或“不同位置”）由静止滚下。 (3)如图将各落点用一小圆圈起来，圆心为平均落点A，则 cm。取重力加速度，桌面到地面的高度为1.225m，根据以上数据可求得小球的初速度为 （本小题结果均保留两位小数）。 【答案】(1)B (2)同一位置 (3) 19.50（19.48~19.52） 0.39 【详解】（1）A．为了保证小球每次抛出时的速度相同，小球应每次从同一位置由静止滚下，但桌面不需要光滑，故A错误； B．为了保证小球抛出时的速度处于水平方向，桌面末端的切线必须调成水平，故B正确； C．本实验不需要用游标卡尺测量小球的直径，故C错误。 故选B。 （2）正确安装装置后，进行实验，为了保证小球每次抛出时的速度相同，小球应多次从同一位置由静止滚下。 （3）[1]由图可知，刻度尺的分度值为0.1cm，应估读到分度值的下一位，则有 [2]桌面到地面的高度为1.225m，竖直方向有 可得 水平方向有 可得小球的初速度为 14．某同学用如图（a）所示的装置进行“探究平抛运动的规律”的实验。为了准确地描绘出平抛运动的轨迹，下列说法正确的是（　　） A．斜槽轨道必须光滑 B．用折线把所有的点连接起来 C．y轴的方向根据重垂线来确定 D．小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放 【答案】CD 【详解】AD．为了保证小球平抛运动的初速度，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，斜槽的轨道不一定需要光滑，故A错误，D正确； B．用平滑曲线将尽可能多的点连接起来，故B错误； C．y轴的方向根据重垂线来确定，故C正确。 故选CD。 15．将一个物体以10m/s的速度从5m的高度水平抛出，（不计空气阻力，取g=10m/s2），问： (1)从抛出到落地所用时间t是多少？ (2)落地时它的速度v（合速度）是多少？ 【详解】（1）从抛出到落地所用时间为t，则有 解得 （2）落地时竖直方向的速度为 解得 落地时的速度为 合速度与水平方向的夹角为θ，则有 解得 16．如图所示，排球场总长为18 m，宽为9 m，女子排球的球网高度为2.2 m，运动员站在左侧场地的底线与边线的交点B竖直跳起发球，击球点高度为3.2 m，将球水平击出，球大小不计，排球不擦网且不出界，重力加速度为g。求： (1)球击出的最小速度； (2)球击出的最大速度。 【详解】（1）球击出时正对球网且恰好不擦网速度最小，设大小为，竖直方向有 水平方向有 解得 （2）当沿球场对角线方向击球，球恰好落在D点时，球击出的速度最大，设大小为，竖直方向有 水平方向有 解得 【链接高考】 1．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有 设球网高度为h，则对斜向下发出的球，有 对斜向上发出的球，有 联立以上各式，可得 故选C。 2．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 3．（2024·江西·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 4．（2024·山东·高考真题）（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 5．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为 薄板做加速运动的加速度 对物块 对薄板 解得 （2）物块飞离薄板后薄板得速度 物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为 则平台距地面的高度 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 抛体运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 曲线运动 1 题型2 运动的合成与分解 3 题型3 实验：探究平抛运动的特点 10 题型4 抛体运动的规律 13 【能力培优练】 20 【链接高考】 26 【重难题型讲解】 题型1 曲线运动 一、定义与特点 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 二、 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 三、曲线运动速率的变化 物体运动轨迹在速度和合力之间，其运动的速率与速度和合力的关系为： （1）合力方向与速度方向的夹角为锐角时：物体的速率增大。 （2）合力方向与速度方向的夹角为钝角时：物体的速率减小。 （3）合力方向与速度方向的夹角为垂直时：物体的速率不变。 【探究归纳】曲线运动是物体速度方向与合外力方向不共线时的运动，速度方向沿轨迹切线，合外力指向轨迹凹侧。 【典例1-1】如图所示，物体沿弯道运动的轨迹长度为60m，A到C直线距离为20m，A到B直线距离为40m，段运动用时10s，段运动用时6s，下列说法正确的是（　　） A．物体从A到B的运动过程中平均速度大小为3.75m/s B．物体从A到B的运动过程中平均速度大小为2.5m/s C．物体在A点瞬时速度方向沿线段方向 D．段的平均速度比段的平均速度更能反映物体在A点的瞬时速度 【典例1-2】（多选）在节假日放礼花弹时，一礼花弹斜向上射向高空中后绽放绚丽的光彩，不计空气阻力，则礼花弹绽放前在空中所做的运动为（　　） A．匀变速运动 B．变加速运动 C．直线运动 D．曲线运动 跟踪训练1关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．曲线运动一定是变加速运动 B．在恒力作用下，物体也能做曲线运动 C．曲线运动的速度可以不变 D．曲线运动的速度大小一定不断变化 跟踪训练2 （多选）在沿平直轨道上匀速行驶的列车中，乘客在某高度处相对于车厢无初速度释放一小球。不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．该乘客观察到小球做匀速直线运动 B．该乘客观察到小球做自由落体运动 C．站在地面的人观察到小球做曲线运动 D．站在地面的人观察到小球做匀速直线运动 题型2 运动的合成与分解 一、察蜡块的运动分析 1、观察蜡块的运动（如下图） （1）在一端封闭、长约1m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块 上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。 （2）在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，观察蜡块的运动情况。 2、建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。 （1）蜡块x坐标的值等于它与y轴的距离，y坐标的值等于它与x轴的距离。若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x=vxt……① y=vyt……② 合并①和②试得，由于vx和vy都是常量， 所以也是常量，可见代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。 （2）蜡块运动的速度 根据勾股定理得： 根据三角函数的知识，还可以确定速度v的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它 的正切为 二、 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 三、 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 四、 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 4、“关联物体”速度的分解 （1）船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船接触的绳有沿与绳垂直的方向向下摆动的趋势。 （2）关联物体速度的分析思路 【探究归纳】运动的合成与分解遵循矢量运算法则（平行四边形定则），是把复杂的曲线运动拆解为简单的直线分运动来研究的等效替代方法。 【典例2-1】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【典例2-2】（多选）如图所示，小船在宽的河中渡河，水流速度是，船在静水中的速度是，关于小船渡河以下说法正确的是（　　） A．渡河时间最短是 B．渡河时间最短是 C．渡河位移最短是 D．当船头与上游河岸夹角为时，渡河位移最短 【典例2-3】花样滑冰是冰上运动项目之一，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。花样滑冰的裁判会按照动作的质量与艺术性表现进行综合评分，一女运动员在冰面上运动，假设在x方向的速度时间图像和y方向的位移时间图像如图所示，运动员可视为质点。（计算结果保留根号） (1)女运动员的初速度大小； (2)1s末女运动员的速度大小； (3)2s内女运动员的位移大小。 跟踪训练1在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红色的小蜡块，用橡胶塞把开口塞紧。将玻璃管倒置，蜡块匀速上升。若蜡块匀速上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，蜡块的运动轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为v C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力 跟踪训练3某个质量为的物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向东的大小为的恒力作用，空气阻力不计。（下述讨论物体均未落地，以开始下落时为计时起点） (1)求它在时刻的速度。 (2)建立适当的坐标系，写出这个坐标系中物体运动的轨迹方程。 题型3 实验：探究平抛运动的特点 1、实验目的：描出平抛物体的运动轨迹和求出平抛物体的初速度。 2、实验原理：平抛运动可以看作是两个分运动的合成：一是水平方向的匀速直线运动，其速度等于平抛物体运动的初速度；另一个是竖直方向的自由落体运动。利用铅笔确定做平抛运动的小球运动时若干不同位置，然后描出运动轨迹，测出曲线上任一点的坐标x和y，利用公式x=vt和就可求出小球的水平分速度，即平抛物体的初速度。 3、实验器材：斜槽（附金属小球）、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、刻度尺、三角板、重锤、铅笔。 4、实验步骤 （1）把斜槽放在桌面上，让其末端伸出桌面外，调节末端使其切线水平固定。 （2）在带有支架的木板上，用图钉钉好白纸，并让竖放木板左上方靠近槽口，使小球滚下飞出后的轨道平面跟板面平行。（如图所示） （3）把小球飞离斜槽末端时的球心位置投影到白纸上，描出点O，过O用重垂线描出竖直方向。 （4）让小球每次都从斜槽上同一适当位置滚下，在粗略确定的位置附近，用铅笔较准确地确定小球通过的位置，并记下这一点，以后依次改变x值，用同样的方法确定其他各点的位置。 （5）把白纸从木板上取下来，用三角板过O作与竖直方向垂直的x轴，将一系列所描的点用平滑的曲线连接起来，这就是小球平抛运动的轨迹。 5、数据处理（求平抛小球的初速度） （1）以O点为原点，水平方向为x轴，竖直向下方向为y轴建立坐标系。 （2）在平抛小球运动轨迹上选取A、B、C、D、E五个点，测出它们的x、y坐标值，记到表格内。 （3）把测到的坐标值依次代入公式，求出小球平抛的初速度，并计算其平均值。 6、误差分析 （1）安装斜槽时，其末端切线不水平。 （2）小球每次滚下的初位置不尽相同。 （3）建立坐标系时，可能误将斜槽末端端口作为坐标原点。 （4）空气阻力使小球不是真正的平抛运动。 ★特别提醒 （1）实验中必须保持通过斜槽末端的切线水平，木板必须处在竖直面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，并使小球的运动靠近图板但不接触。 （2）小球必须每次从斜槽上同一位置由静止滚下，即在斜槽上固定一个挡板，每次都从挡板位置释放小球。 （3）坐标原点（小球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球心在木板上的水平投影点。 （4）要在斜槽上适当的高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由图板左上角到达右下角；要在平抛轨迹上选取距O点远一些的点来计算小球的初速度，这样可以减小测量误差。 【归纳总结】本实验利用描迹法或频闪照相法记录平抛轨迹，验证平抛运动可分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动。 【典例3-1】图甲是研究“平抛物体的运动”的实验装置图。 (1)实验时每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保证每次平抛的 。 (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，小球初速度为v0，则该图像的函数表达式为 （用字母x、y、g、v0表示）；计算得此小球做平抛运动的初速度为 m/s（取g=10m/s2）。 (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L=5cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为 m/s（取g=10m/s2）。 跟踪训练1兴趣小组采用如下实验方案做“探究平抛运动的特点”实验，在黑板正前方适当位置固定好手机，将手机调至频闪照相模式，紧贴着黑板安装好平抛实验仪，然后进行实验；如图甲所示。 (1)本实验中下列器材必需的是________（填正确答案标号）。 A．秒表 B．弹簧测力计 C．刻度尺 D．天平 (2)下列实验要求说法正确的是________（填正确答案标号）。 A．小球应选重而小的球 B．固定斜槽时要确保斜槽末端切线水平 C．小球每次必须从同一位置由静止释放 D．尽量减少小球与斜槽间的摩擦 (3)某次实验得到小球运动过程的频闪底片，在底片清洗时设计了沿平行重锤线方向的坐标纸，得到一张清晰照片，如图乙所示。已知照片与实物比例为，照片上坐标格长度，重力加速度取，则 ①坐标纸上的点 （填“是”或“不是”）平抛运动的起点。 ②手机频闪的频率为 。 ③小球做平抛运动的初速度大小 。（结果保留两位有效数字） 跟踪训练2某实验小组利用频闪仪探究平抛运动的规律。如图甲所示，分别在该实验装置的正上方处和右侧正前方处安装一个照相机，在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的小球，于是胶片上记录了小球在几个闪光时刻的位置。得到的频闪照片如图乙所示，为抛出点小球球心的位置，请分析下列问题： (1)下面关于实验器材的说法正确的是___________ A．选择质量大，体积大的小球 B．须选择光滑的斜槽轨道 C．斜槽轨道末端切线须水平 D．须选用秒表记录时间 (2)处照相机所拍摄的频闪照片为乙图中的 （选填“”或“”）。 (3)该同学再对频闪照片进行测量，照片中小球两相邻位置的距离几乎均匀增大约为，则可估算出频闪的频率约为___________ A．2 B．3 C．7 D．1 (4)某同学对两频闪照片、进行测量，记录小球的位置与点的水平距离，以及对应的与点的竖直距离，作出图像如图所示，则图像不过原点的可能原因是所标的点在抛出点的小球圆心的 方。（选填“左”、“右”、“上”、“下”） 题型4 抛体运动的规律 一、 1、定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动。 2、条件：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用。 3、性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线。 4、研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动。 5、的规律 （1）水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t，ax=0。 （2）竖直方向：自由落体运动，vy=gt，，ay=g。 （3）实际运动：，，a=g。 6、计算平抛运动时间的方法 （1）已知平抛高度h，则根据竖直方向上可得t=。 （2）已知水平位移x和初速度v0，则根据水平方向上x=v0t可得。 （3）已知某一时刻的速度v和书速度v0，则根据速度的合成有v2=v02+g2t2，从而可得 7、四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 ★特别提醒 1、做平抛运动的物体，水平方向的速度是恒定的，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，满足vy=gt。 2、平抛运动的物体在水平和竖直方向上的运动都是独立的，可以分别计算两个方向的位移，并与合位移构成矢量三角形（满足平行四边形定则）。 3、平抛运动的时间是连接水平和竖直运动的桥梁，时间的计算方法有很多种，要根据题目给出的条件选择恰当的方法。 4、平抛运动是匀变速曲线运动，速度变化量的计算要遵循矢量叠加原理，所以是不成立的。 二、平抛运动的两个重要推论 1、速度偏转角与位移偏转角：平抛运动是匀变速曲线运动，物体从抛出点运动一段时间后，速度与水平方向的夹角叫作速度偏转角，位移与水平方向的夹角叫作位移偏转角。 （1）做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ。 由平抛运动规律得：，，所以tanα=2tanθ。 （1）偏转角的应用：可以利用速度偏转角或位移偏转角计算平抛运动的时间。 ①已知某一时刻的速度v及速度偏转角θ， 则gt=vsinθ，从而得到 ②已知某一时刻的位移x及位移偏转角θ， 则，从而得到。 3、做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中B点为OC的中点。 证明：如图所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为（x，y），B点坐标为（x′，0），则x=v0t，，v⊥=gt，又，。 三、 1、类平抛运动的定义：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。 2、类平抛运动的运动特点:在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3、在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，物体做类平抛运动。本考点旨在研究物体在斜面上做曲线运动的情形。如下图： 4、类平抛运动的求解方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 5、类平抛运动问题的求解思路：根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题--求出物体运动的加速度--根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。 6、类抛体运动：当物体在巨力作用下运动时，若物体的初速度不为零且与外力不在一条直线上，物体所做的运动就是类抛体运动。 在类抛体运动中可采用正交分解法处理问题，基本思路为： ①建立直角坐标系，将外力、初速度沿这两个方向分解。 ②求出这两个方向上的加速度、初速度。 ③确定这两个方向上的分运动性质，选择合适的方程求解。 四、 1、斜抛运动的定义：将物体以一定的初速度沿斜上方抛出，仅在重力作用下的运动叫做斜抛运动。 2、斜抛运动的条件：①物体有斜向上的初速度；②仅受重力作用。 3、斜抛运动的规律：斜抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是竖直上抛运动，所以斜抛运动是匀变速曲线运动。 4、斜抛运动的基本规律： 图像分解 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 【归纳总结】抛体运动（含平抛、斜抛）是只受重力的匀变速曲线运动，可分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向匀变速直线运动（自由落体或竖直上/下抛）分析规律。 【典例4-1】一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g。根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是（　　） A．水平位移大小 B．下落高度 C．落地时速度大小和方向 D．从抛出到落地的位移大小 【典例4-2】（多选）如图所示，先后将、两小球从空中同一水平线上的两点沿同一方向水平抛出，两球的运动轨迹相交于P点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．抛出时，a球速度大于b球速度 B．抛出后，a球速度变化比b球快 C．经过P点时，两球竖直速度相等 D．从抛出至P点，a球速度变化量大于b球速度变化量 【典例4-3】如图所示，长为的水平传送带BC以的速度顺时针匀速转动，将一物块轻轻放在传送带的左端的B点处，一段时间后，物块将从传送带右端的C点水平抛出，最后落到地面上的D点。已知C点距离地面的高度为，物块可看作质点，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)物块从点运动到点的时间； (2)物块水平抛出后的水平位移。 跟踪训练1某次网球比赛运动员先后两次从同一位置水平打出的网球落到网上，网球落到网上的位置如图所示，忽略空气阻力，网球可视为质点，则两次网球在飞行过程中（　　） A．第一次打出的网球飞行的加速度大于第二次打出的网球飞行的加速度 B．第一次打出的网球飞行的时间大于第二次打出的网球飞行的时间 C．第一次打出的网球初速度大于第二次打出的网球初速度 D．第一次网球落到网上角度（速度方向与竖直方向夹角）小于第二次网球落到网上角度速度方向与竖直方向夹角 跟踪训练2（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙小球初速度大小之比为3∶4 B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则不能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 跟踪训练3某次飞镖比赛中，选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离为，靶心距离飞镖出手点竖直方向的距离为，设飞镖每次出手都以水平方向扔出，不计空气阻力，取。若掷出的飞镖恰好可以命中靶心，求： (1)飞镖的飞行时间； (2)飞镖的出手速度。 【能力培优练】 1．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐诗《渔歌子》中描述下雨的诗句。假设有一雨滴从静止开始自由下落一段时间，进入斜风区再下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地。若雨滴受到的阻力忽略不计，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 2．2025年乒乓球“WTT”北京站比赛中，中国选手在某次击球时打出精彩的“十佳穿越球”。如题图所示，乒乓球行至水平球台台面右下方A点时，经选手击打后，受空气影响，在空中划出美丽的弧线，穿越球网右侧后落入对方球台得分。则该乒乓球由A点到落点C的过程中（　　） A．乒乓球速度不变 B．乒乓球只受重力作用 C．乒乓球所受合力方向与速度方向共线 D．乒乓球所受合力方向与速度方向不共线 3．如图所示，青蛙先后两次从高处荷叶上的同一位置，跳到低处荷叶上A、B两点，A、B在同一水平面内且A点更靠近青蛙的起跳点。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则（　　） A．运动时间 B．运动时间 C．起跳速度 D．速度变化量 4．如图所示，在倾角为的斜面上，将小物体以某一初速度从A点抛出后，恰好以的速度水平打在斜面上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（    ） A．从A到B的过程，逆向来看是斜抛运动 B．小物体在空中运动的时间是 C．小物体在运动时离斜面最远 D．间的距离是 5．如图，军事演习中战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后在两处释放炸弹，炸弹分别击中山坳两侧坡体的点（图中位置不代表的实际位置）。若释放两颗炸弹的时间间隔小于炸弹击中点的时间间隔，不计空气阻力。下列判断正确的是（    ） A．点离地高度等于点离地高度 B．点离地高度大于点离地高度 C．间的距离等于间的水平距离 D．间的距离大于间的水平距离 6．如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 7．跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 8．一条小船在静水中的速度为，要渡过宽为、水流速度为的河流，则（　　） A．无论船头方向如何，小船都不可能在正对岸的上游着陆 B．当船头正对河岸时，航程最短 C．航程最短时，小船的渡河时间为24s D．当船头正对河岸航行时，小船将在正对岸的下游96m处着陆 9．（多选）如右图所示的曲线是某一质点的运动轨迹，为曲线上A点处的切线。质点从B点运动到A点所发生的位移为x，所用时间为t。下列说法正确的是（　　） A．表示质点从B点运动到A点过程的平均速度 B．质点从A点运动到B点的过程，平均速度的方向由B点指向A点 C．若B点越接近A点，则越接近质点在A点时的瞬时速度 D．质点经过A点时所受合力可能沿着的方向 10．（多选）一倾角为的斜面固定在水平面上，可视为质点的物块从斜面上端点沿x轴正方向射入，物块与斜面之间的动摩擦因数，关于物块在斜面上的运动轨迹，下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（多选）倾角为的斜面固定在水平地面上，在斜面顶端A处将一可视为质点的小球以与斜面成方向斜向上抛出，初速度大小为，一段时间后小球落到斜面上的D点。小球途经B、C两点，B为离地面的最高点，C为离斜面的最远点，重力加速度取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点运动到B点的时间为 B．C点离斜面的距离为 C．小球从A点运动到D点的时间为 D．A、D两点间的距离为 12．（多选）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 13．在学习平抛运动以后，某同学要测量钢球离开桌面时速度的大小。在桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。 (1)实验中下列要求必要的是_______________ A．桌面必须是光滑的 B．桌面末端的切线必须调成水平 C．需要用游标卡尺测量小球的直径 (2)正确安装装置后，进行实验，小球应多次从 （选填“同一位置”或“不同位置”）由静止滚下。 (3)如图将各落点用一小圆圈起来，圆心为平均落点A，则 cm。取重力加速度，桌面到地面的高度为1.225m，根据以上数据可求得小球的初速度为 （本小题结果均保留两位小数）。 14．某同学用如图（a）所示的装置进行“探究平抛运动的规律”的实验。为了准确地描绘出平抛运动的轨迹，下列说法正确的是（　　） A．斜槽轨道必须光滑 B．用折线把所有的点连接起来 C．y轴的方向根据重垂线来确定 D．小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放 15．将一个物体以10m/s的速度从5m的高度水平抛出，（不计空气阻力，取g=10m/s2），问： (1)从抛出到落地所用时间t是多少？ (2)落地时它的速度v（合速度）是多少？ 16．如图所示，排球场总长为18 m，宽为9 m，女子排球的球网高度为2.2 m，运动员站在左侧场地的底线与边线的交点B竖直跳起发球，击球点高度为3.2 m，将球水平击出，球大小不计，排球不擦网且不出界，重力加速度为g。求： (1)球击出的最小速度； (2)球击出的最大速度。 【链接高考】 1．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 3．（2024·江西·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东·高考真题）（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 5．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $