福建省厦门第一中学2026届高三上学期数学选填专项训练1（9.20）

厦门一中2026届高三上数学选填专项训练2025.09.20 选填专项训练1 一、单项选择题 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 3．（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 4．已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 7．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 8．若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（    ）    A．该校男生和女生人数之比为 B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为 D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 10．函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 11．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 三、填空题 12．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 13． 已知函数的图象关于点对称，则 ． 14．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于，两点，若成等差数列，且与方向相反，则双曲线的离心率为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2026届高三上数学选填专项训练2025.09.20 选填专项训练1 一、单项选择题 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 2．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【答案】B 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 3．（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】D 【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值. 【详解】 故选: D 4．已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用特殊值、、依次判断A、B、D；再由，结合导数有判断C. 【详解】对于A，令，则有，错误； 对于B，令，则，又，从而，错误； 对于C，对任意的有，， 令，则，即， 令且，则， 所以在上单调递减，则，即， 从而，（利用，则），正确； 对于D，令，则，又，从而，错误. 故选：C 5．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 6．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 7．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（    ） A． B．． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象，定义，以及几何性质，转化为三角形相似问题，即可求解. 【详解】如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点， 由题意可知．设，则， 易证，则，即，整理得， 解得，故． 故选：C 8．若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得，即可求出a的取值范围即可. 【详解】由题意知，，由，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在在单调递减， 知函数在在单调递减，且，所以， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 二、多项选择题 9．为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（    ）    A．该校男生和女生人数之比为 B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为 D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 【答案】ABC 【分析】根据分层随机抽样的特点判断A；结合题意判断B；先求出样本中学生手机成瘾的频率，再利用频率估计概率即可判断C；根据条件概率求出从样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率，再用频率估计概率即可判断D. 【详解】根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为， 用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比为，故A正确； 样本中男生有手机成瘾，女生有手机成瘾，比例关系差异很大， 男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率，故B正确； 结合样本数据以及等高堆积条形图可知， 男生中有人手机成瘾，女生中有人手机成瘾， 即样本的100人中有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的频率为， 用频率估计概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率为， 故C正确； 根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为， 用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为， 故D错误. 故选：ABC. 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 11．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 【答案】BC 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 三、填空题 12．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 13．已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 14．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于，两点，若成等差数列，且与方向相反，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意可设，由勾股定理可得：，进而得到，结合渐近线方程可得，，再根据两角和的正切公式可得，进而求解双曲线的离心率. 【详解】设双曲线方程为， 由成等差数列，且与方向相反， 所以可设， 由勾股定理可得：， 得：，即， 所以， 又的方程为，的方程为， 即，， 而， 解得， 则离心率． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $