选择性必修第一册综合测试-2025-2026学年高二上学期数学湘教版

湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,q= 3a+a,=4,则S,=() A曾 B. 26 C.8 D.9 3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 1 1 1 【详解】设等差数列a}的公差为d,由4=行4+4=4，得计d+3十4d=4, 罪相d=子因此4+a=2以+d=2分+-号所以号=-空他选：A 2 2.在数列{a}中，若4，=2”+2-x3+2-2×32+2-3×3+…2232+2×3-+3”，则42= () A.32023-22023 B.3×22023-32024 C.32024-22024 D.2×32023-22024 【答案】C 【分析】先化简a.求出数列{a}的通项公式，再把n=2023代入通项公式求出423 【详解】4=2”+2-1×3+2-2×32+2-3x33+.+22×3”2+2x3"-1+3 73 Γ2 3+L2",又n=2023, 4o23=32024-22024,故C正确.故选：C 3.若直线1：x-3y-2=0的倾斜角是直线，：V3x-y+3=0的倾斜角的两倍，则实数= () A.3 B.35 C.-35 D.-5 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线马的倾斜角，进而求出l的倾斜角，再由斜率求出 【详解】直线l,:V3x-y+3=0的斜率k2=V3，其倾斜角日=60°， 因此直线名的倾斜角为29=120，其斜率为am20=-5-驾，所以m=-35故选：C 4.圆心在y轴，且经过点(0,1)和(1,2)的圆的方程是() A.(x-2)2+y2=1 B.(x+22+y2=1 C.x2+(y-2)2=1 D.x2+(y+2)2=1 【答案】C 【分析】设圆的方程为x2+(y-b)2=2,利用待定系数法即可求解 (1-b)2=r2 b=2 【详解】设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,则 +0-b°=：○-i 所以圆的方程是 x2+(y-2)2=1,故选：C 5.已知双曲线上-1的一个焦点与抛物线=8x的焦点重合，则双曲线的方程为() 3t t 321 A. B.y2 =1 62 C.x -=1 D 124 1 【答案】A 【分析】根据双曲线和抛物线的定义求解 【详解】因为2p=8,所以p=4,所以抛物线的焦点坐标为 所以双曲线上=1的一个焦点为(2,0)，所以+6=3X+1=c2=4,解得1=1， 3t t 所以双唐线的方程为号产=1，故速：A 6.己知P为椭圆C:亡+上-1上一点，R,R分别是椭圆C的左、右焦点.△PRR的面积 169 为2√万，则P的纵坐标的绝对值为( A.2 B.2 c.45 D.√万 3 【答案】B 【分析】结合椭圆的几何性质及椭圆中三角形的面积确定正确选项 【详解】依题意a=4,b=3,c=√万，设P的纵坐标的绝对值为y, 因为F=2√7，且aPRE的面积为2√7，则×27×.=2W万所以=2故选：B 7.某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工 顺序共有() A.96种 B.72种 C.48种 D.36种 【答案】C 【分析】先排相邻的2道工序，再把它与其它3道工序作全排列，即可得 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有AA4=2×24=48种.故选：C 8.某单位在5月1日一5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项 工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位 员工至少值一天班的概率是() 4品 15 24 48 B.128 C. D. 125 125 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率计算公式求概率. 【详解】每天安排一名员工值班，都有4种安排方案，根据分步乘法计数原理，5天假期的 安排方案共有：4种 若每位员工至少值一天班，则必定有1人值了2天班，可从4人中选1人，从5天中选2 天进行安排，安排方案为：CC；剩余3天，3人每人1天，安排方案为A.结合分步乘法 计数原理，每位员工至少值一天班的安排方法有：CCA: 所以每位员工至少值一天班的概率是：CCA=卢故选：A 45 64 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知(1-2x)°=a。+ax+a2x2+…+ax"，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列 说法正确的是() A.n=8 B.此二项式系数最大项为第4项 C.3=-160 D.a+a+…+a=3-1 【答案】BCD 【分析】先求n,利用二项式系数的特点可求二项式系数最大项，利用通项公式可求4，利 用赋值法可判断D. 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2”=64，解得=6，故A错 误：因为二项式系数为C6,所以当r=3时，C最大，即第4项最大，故B正确： 因为(1-2x)°展开式的通项为T+1=C%(-2x),r∈0,1,2,3,4,5,6， 所以4，x3=C6×(-2x)=-160x3,所以a=-160,故C正确： 由展开式的通项为T1=C6(-2x),r∈{0,12,3,4,56}得4,4,4<0,4,4,4,4，>0， 所以a+4+a2++a=a-a+42-+a6, 令x=-1,可得4-4+4-…+4=36，令x=0,可得4=1， 所以a+4,++a=3-1,故D正确.故选：BCD. 10.以下四个命题为真命题的是() A.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为y=-x+1 42 B.直线3x+y-2=0的一个方向向量为下=(1，-3) C.当a=5时，两直线l:3x+4y-14=0,☑2：(a-2)x+4y+a=0相互垂直 D.直线(m-1)x+(2-1)y=-3(eR)恒过定点(5，-2) 【答案】BD 【分析】A:需考虑过原点和不过原点两种情况：B:求出斜率，根据直线方向向量和斜率 关系即可判断：C:将α代入12方程化简，对比两直线方程，利用斜率关系即可判断两直线 位置关系：D:将方程中含m的项按m进行合并，令m的系数为零进行求解即可. 【详解】A:当直线过原点时，直线方程为y=-x; 当直线不过原点时，设直线方程为x+Y=1, Aa a 把点(1010代入，得日1，解得a-5,直线方程为y=子+宁 Aa a 42 综上，该直线方程为=该=子+片故A错误： B:3x+y-2=0→y=-3x+2,斜率k=-3,.下=(1，-3)为其一个方向向量，故B正确： C:当a=5时，直线l2:3x+4y+5=0,则∥12，故C错误： D:(-1)x+(2-1)y=m-3→m(x+2y-1)+(-x-y+3)=0, 「x+2y-1=0 x=5 故直线恒过定点(5，-2)，故D正确 -x-y+3=0' 解得 y=-2' 故选：BD 11.已知双曲线C:x上=1的左、右焦点分别为R,R,左、右顶点分别为A,8,过E 的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限)，PQ中点为M,△PFE,△FE 的内切圆圆心分别为1，I2,半径分别为1，？则下列结论正确的是() A.I,B,I2三点共线 B.直线l斜率存在时，ke·kow=3 43 C.若1=2，则直线1的斜率为√6 D.T+,的取值范围是 3 【答案】ABD 【分析】对于A,由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列 式即可判断；对于B,由斜率公式及点差法可判断；对于C,设直线I的倾斜角为日，得到 1 了面，=m号，根据2求出m号进面求出m0可判断C:对于D,构迹对勾 tan 2 函数即可判断 【详解】依题意，得a2=1,b2=3,得c2=4,则A(-1,0),B(1,0),耳(-2,0)，E(2,0), 设点P(5,片)，Q(x2,y2),M(x,), 对于A项，如图，设△P耳E的内切圆的切点为R,S,T,由双曲线的定义得，P-PF=2a, 而PR=PS,得R-|SF=2a,而R=T,SF=T,得T-TE引=2a,又因为 B-BF=(c+d)-(c-a=2a,得切点r与点B重合，得点T(1,0),则内心I,的横坐标为 1,同理可得，内心I2的横坐标也为1，得I1,B,I2三点共线，故A项正确： 3 对于B项，由 相减得，矿-=兰兰，得二业十共=3，即k0kw=3, 33 X1-2X1+X2 3 故B项正确： 对于C项，设直线l的倾斜角为O,连接IE,I2E, 则4RD=片号 又BF=c-a=1, 1 则 2tan am9,方=tam3,若5=2.，则am 2 √2 ta 2-2 1-tan2 1 =2W2,故C 2 1- 2 项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：y=士x,顿斜角分别为胥 3, 2 因为直线1与 则t∈ 3 则y=t+二在 3, 31 故D项正确， 故选：ABD, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知点A(0,1),B(4,3),直线AB在x轴上的截距为 【答案】-2 【分析】求出直线AB的方程，再令y=0即可 【详解】因为A(0,1),B(4,3),所以直线AB的斜率为 3-11 4-02' 则直线AB的方程为)=2+1，令y=0,得x=-2,故直线AB在x轴上的截距为-2。 故答案为：-2 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=1,S=4,则a,+as+4g+ao= 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得 【详解】在等差数列{a}中，S4=1,S=4,所以S4=1，S-S=3, 故S4,S-S4,S2-Sg,S6-S2,S20-S6构成公差为2的等差数列， 所以S0-Si6=1+(5-1)×2=9,即4，+48+a,+40=9.故答案为：9 14.甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军：存亡之战》《出人平安》《爆 款好人》《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有种： 【答案】64 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解 【详解】易知每个人都有4种选法，故不同的选法有4=64种.故答案为：64， 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)设正项数列{an}的前n项和为Sn,2S。=a+4 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)设b,= 2+a,记数列色}的前n项和7，求证：T< 1 【答案】(1)a.=n: (2)证明见解析. 【分析】(1)应用a.,S关系及已知递推关系得a,-41=1,结合等差数列的定义写出通项 公式： (2)由(1)及裂项相消法求T.,即可证 【详解】(1)当n=1时，由2S=G+4,得a(a-1)=0,a>0,得a=1, 又n22,2S-1=a21+a-1,且2Sn=a+a。，作差得2an=c-a-1+an-a-1, 所以(an+a-1)(an-a-1-1)=0,a+a-1>0，则a-a1=1且n≥2， 故数列{a}是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为a.=; 1周 1 (2)bn= x经引+业}分所ux 16.(15分)已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(3,0),B(1,2)两点， (1)求圆C的方程： (2)过点P(0,2)的直线1与圆C相交于M,N两点，且MW=23,求直线1的方程 【答案】(1)(x-1)2+y2=4 (2)x=0或3x+4y-8=0. 【分析】(1)设出圆C的标准方程(x-a+y2=r2,由圆C经过点A(3,0),B(1,2),代入 圆的方程，建立关于a和r的方程组，求得a和r,即可得圆的方程： (2)由直线1被圆C截得的弦长，求出C到1的距离，对直线1的斜率分是否存在两种情况 讨论，由弦心距列方程即可得答案 【详解】(1)因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(x-a)+y2=r2(r>0), 因为圆C经过A(3,0),B(1,2)两点， (3-a2+02=r2 a=1 -2+2=r2’解得 所以 =2 所以圆C的方程为(x-1)2+y2=4: (2)由(x-1)2+y2=4,可得圆心C1,0),半径为r=2, 因为直线1与圆C相交于M,N两点，且MW=2√5， 当直线I的斜率不存在时，直线1为x=0,满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=x+2,即x-y+2=0, 则长牛2=1，解得长-子所以直线的方程为y子+2.即3+4-80， 3 1+2 4 综上直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0. 7(15分)椭圆C:X+=1a>b>0)的离心率为，，左右顶点分别为4,4，上 3 顶点分别为B,B2,四边形AB,4,B,是边长为2√2的菱形. (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，F为椭圆C的右焦点，连接 AF与BE,并延长交椭圆C于D,E两点，若直线AB的斜率为k,直线DB的斜率为k, 是否为定值。若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由。 试探究k, 【答案】) 62 @定价套 【分析】(1)根据离心率和菱形的边长，建立关于a,b的方程组，求解即得椭圆方程： (2)设A(化，必)，求出k=,写出直线AD的方程并与椭圆方程联立，消去x后得到韦 达定理，从而用(，%表示出点D,E的坐标，写出：的算式并化简即可求出云的定值 【解0由e后令 6 3 可得a=0 又由题意，a2+b=(22)=8, a2=6, 联立两式，解得 b2=2. 所以椭圆C的方程为+ 62 =1. (2) 设A(x,y),则B(-x,-0),E(2,0),D(x,乃)， 则+35-6=0，=-(%)上 x。-(-x)o 则直线40：x-,之)+2与稀圆方程父+二-1联立， y。 62 消去x可得：（化。-2）}°+3y2+4(。-2)%y-2=0, 即(10-4x)y2+4(x。-2)yy-2=0. -2y6 显然△>0，yy=10-4x。 所以y 4025=2+25512 2y_-y0 2x。-5 2x。-51 所以D 5x。-12y6 同理可得E 5x。+12 2x-5’2x。-5 2x+5’2x。+5 vo 所以k,= 2x。-52x。+5 y(2x+5)-(2x。-5) 10y瓦。 5x-12_5x+12(5x。-12)(2x。+5)-5x。+12)2x。-5)2.x, 2x。-52x。+5 所心会 18.（17分)某大学组织学生无偿献血.在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A 型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人 (1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)29 (2)2310 (3)305 【分析】(1)根据分类加法原理即可求得答案： (2)根据分步计数原理即可求得答案： (3)根据分类加法原理即可求得答案： 【详解】(1)由题意得任选1名学生去献血，有11+7+6+5=29种不同的选法： (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有C,C,C,C=2310种不同的选法： (3)任选2名具有不同血型的学生去献血， 有CC+C,C6+CC+C,C+CC;+CC:=305种不同的选法 19.（17分)已知(3x-2)”=a,+ax+a2x2+…+a,x,且展开式中有且仅有第6项的二项式 系数最大 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此，所以.故选：A 2．在数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简求出数列的通项公式，再把代入通项公式求出． 【详解】 ，又， ，故C正确．故选：C． 3．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的倾斜角，进而求出的倾斜角，再由斜率求出. 【详解】直线的斜率，其倾斜角， 因此直线的倾斜角为，其斜率为，所以.故选：C 4．圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的方程为，利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的方程为，则，所以圆的方程是，故选：C. 5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线和抛物线的定义求解. 【详解】因为，所以所以抛物线的焦点坐标为， 所以双曲线的一个焦点为，所以，解得， 所以双曲线的方程为，故选：A. 6．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的几何性质及椭圆中三角形的面积确定正确选项. 【详解】依题意，设的纵坐标的绝对值为， 因为，且的面积为，则.所以.故选：B. 7．某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【分析】先排相邻的2道工序，再把它与其它3道工序作全排列，即可得. 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有种.故选：C 8．某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率计算公式求概率. 【详解】每天安排一名员工值班，都有4种安排方案，根据分步乘法计数原理，5天假期的安排方案共有：种. 若每位员工至少值一天班，则必定有1人值了2天班，可从4人中选1人，从5天中选2天进行安排，安排方案为：；剩余3天，3人每人1天，安排方案为.结合分步乘法计数原理，每位员工至少值一天班的安排方法有：. 所以每位员工至少值一天班的概率是：.故选：A 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（   ） A． B．此二项式系数最大项为第4项 C． D． 【答案】BCD 【分析】先求，利用二项式系数的特点可求二项式系数最大项，利用通项公式可求，利用赋值法可判断D. 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以，解得，故A错误；因为二项式系数为，所以当时，最大，即第4项最大，故B正确； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故C正确； 由展开式的通项为，得，， 所以， 令，可得，令，可得， 所以，故D正确．故选：BCD． 10．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的一个方向向量为 C．当时，两直线，相互垂直 D．直线恒过定点 【答案】BD 【分析】A：需考虑过原点和不过原点两种情况；B：求出斜率，根据直线方向向量和斜率关系即可判断；C：将a代入方程化简，对比两直线方程，利用斜率关系即可判断两直线位置关系；D：将方程中含m的项按m进行合并，令m的系数为零进行求解即可． 【详解】A：当直线过原点时，直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，解得，直线方程为． 综上，该直线方程为或．故A错误； B：，斜率，∴为其一个方向向量，故B正确； C：当时，直线，则，故C错误； D：， 令，解得，故直线恒过定点，故D正确． 故选：BD． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断；对于B，由斜率公式及点差法可判断；对于C，设直线的倾斜角为，得到，，根据求出，进而求出可判断C；对于D，构造对勾函数即可判断. 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知点，，直线在轴上的截距为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，再令即可. 【详解】因为，，所以直线的斜率为， 则直线的方程为，令，得，故直线在轴上的截距为. 故答案为：. 13．已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即.故答案为：9 14．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军：存亡之战》《出人平安》《爆款好人》《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种. 【答案】64 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解. 【详解】易知每个人都有4种选法，故不同的选法有种.故答案为：64. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴.又，所以. 16．（15分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， (1)求圆C的方程； (2)过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【详解】（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2）由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 17．（15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，． 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 18．（17分）某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． (1)从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ (3)从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)29 (2)2310 (3)305 【分析】（1）根据分类加法原理即可求得答案； （2）根据分步计数原理即可求得答案； （3）根据分类加法原理即可求得答案； 【详解】（1）由题意得任选名学生去献血，有种不同的选法； （2）从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法； （3）任选名具有不同血型的学生去献血， 有种不同的选法. 19．（17分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】(1)1024 (2) (3)第5项系数的绝对值最大 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用二项式系数之和公式求解. （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值. （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数. 【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的所有二项式系数之和为. （2）令，得. 令，得， 所以. （3）展开式的通项. 由得. 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 1.已知等差数列a}的前”项和为S,4=34,+a,=4,则8=（) A.当 B. C.8 D.9 2.在数列{a,}中，若a,=2”+2-1x3+2-2×32+2-3×33+…+2232+2×31+3”,则a2= () A.32023-22023 B.3×22023-32024 C.32024-22024 D.2×32023-22024 3.若直线l:x-3y-2=0的倾斜角是直线l,:√3x-y+3=0的倾斜角的两倍，则实数m= () A.5 B.35 C.-35 D.-5 4.圆心在y轴，且经过点(0,1)和(1,2)的圆的方程是() A.(x-2)2+y2=1 B.(x+22+y2=1 C.x2+(y-2)2=1 D.x2+(y+2)2=1 5.已知双曲线-少=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的方程为() 3t t A. 32=1 B.1 62 C.= 2y=1 124 D. 248 6已知P为椭圆C+。1上一点，R.R分别是椭圆C的左、石焦点，。P明空的面积 为2√7，则P的纵坐标的绝对值为() A月 B.2 c.4v5 D.√7 3 7.某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工 顺序共有() A.96种 B.72种 C.48种 D.36种 8.某单位在5月1日一5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项 工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位 员工至少值一天班的概率是() B.18 15 c 48 D. 125 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知(1-2x)°=a。+4x+a2x2+…+ax”,展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列 说法正确的是() A.n=8 B.此二项式系数最大项为第4项 C.a3=-160 D.4+a+.+a=3-1 10.以下四个命题为真命题的是() A.过点(00在轴上的截距是在v抽上截距的4倍的直线的方棉为y子士5 2 B.直线3x+y-2=0的一个方向向量为下=(1，-3) C.当a=5时，两直线/：3x+4y-14=0,1,:(a-2)x+4y+a=0相互垂直 D.直线(-1)x+(2-1)y=m-3(m∈R)恒过定点(5，-2) 11.已知双曲线C:x-上=1的左、右焦点分别为乃，B,左、右顶点分别为A,8,过耳 3 的直线l与双曲线的右支交于P,O两点(P在第一象限)，PO中点为M,△PE,△QF 的内切圆圆心分别为1，I2,半径分别为1，则下列结论正确的是() A.I1,B,I2三点共线 B.直线l斜率存在时，kpo'kou=3 C.若1=21，，则直线1的斜率为√6 D.+的取值范围是2， 4W3 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知点A(0,1),B(4,3),直线AB在x轴上的截距为 13.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,S4=1,S=4,则a,+4s+49+a2o= 14.甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军：存亡之战》《出人平安》《爆 款好人》《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有种 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)设正项数列{a}的前n项和为Sn,2S。=G+4 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=- +心记数列和}的前川项和三，求证：工<号 1 16.(15分)已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(3,0),B(1,2)两点， (1)求圆C的方程： (2)过点P(O,2)的直线1与圆C相交于M,N两点，且MW=2V3,求直线l的方程 云+=1(a>b>0)的离心率为 17.(15分)椭圆c:+少 3 ,左右顶点分别为A,4,上下 顶点分别为B,B,,四边形AB,A,B,是边长为2√2的菱形. (1)求椭圆C的方程： (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，F,为椭圆C的右焦点，连接 AF,与BE,并延长交椭圆C于D,E两点，若直线AB的斜率为k,直线DE的斜率为k,, 左是否为定值，若是，则求出这个定值：若不是，请说明理由. 试探究 18.（17分)某大学组织学生无偿献血.在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A 型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人. (1)从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ (3)从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 19.(17分)己知(3x-2)”=4+4x+a2x2+…+anx,且展开式中有且仅有第6项的二项式 系数最大 (1)求(3x-2)”展开式的所有二项式系数之和： (2)求及+++的值： 332 ”3” (3)判断(3x-2)“的展开式中第几项系数的绝对值最大. 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 2．在数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 3．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 4．圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 7．某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 8．某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（   ） A． B．此二项式系数最大项为第4项 C． D． 10．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的一个方向向量为 C．当时，两直线，相互垂直 D．直线恒过定点 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知点，，直线在轴上的截距为 . 13．已知等差数列的前项和为，，，则 . 14．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军：存亡之战》《出人平安》《爆款好人》《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 16．（15分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， (1)求圆C的方程； (2)过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 17．（15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 18．（17分）某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． (1)从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ (3)从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 19．（17分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 学科网（北京）股份有限公司 $