山东省泰安肥城市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 高 一 数 学 试 题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合,则 A. B. C. D. 2. 下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是 A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 3. 下列有关不等式的推理中，结论不正确的是 A. B. C. D. 4. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 5. 函数的图象恒过定点 A． B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数 A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 8. 已知且，若函数在上单调递减，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设集合,，，，则 A． B． C． D． 10. 下列大小关系正确的是 A． B． C． D． 11. 给定函数，.，用表示，中的最大者，记为，则 A．的图象不可能是一条直线 B. 的图象可能是一条抛物线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围 是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 计算： ▲ . 13. 已知幂函数的图象过点，则 ▲ . 14. 不等式对一切实数都成立，则的最大值为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 集合，. （1）求，； （2）求. 16.（15分） 已知函数. （1）证明：是奇函数； （2）证明：在上单调递增； （3）若命题为真命题，求实数的取值范围. 17.（15分） 已知实数满足. （1）证明：“”是“”的充要条件； （2）若，且，证明：. 18.（17分） 为了满足市场需求，某公司成功自主研发了两款产品，产品一经上市，便呈现供不应求的热销局面. 运用大数据统计，该公司获得了两款产品天内（包括第天）的销售量、销售收入等数据. 根据统计数据显示产品的销售价格为元/件，日销售量（单位：千元）与第天的部分对应数据如下表： 现给出三个函数模型：①；②；③. （1）请根据上表中数据的变化趋势，从中选择一种函数模型，恰当地描述产品的日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式和定义域； （2）已知产品这天的日销售收入（单位：千元）与时间（单位：天）的函数关系式近似满足，求这天内产品的日销售收入不少于产品的天数. 19.（17分） 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形. （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式 对任意实数都成立，求的取值范围. 1 高一数学试题 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1）由，解得， ……………………………………2分 所以. ………………………………………………4分 所以， ………………………………………………6分 . …………………………………………………………………8分 （2）因为，………………………………………………………11分 所以. ……………………………………………………………13分 16.（15分） 解：（1）因为的定义域为.……………………………1分 对于任意，都有，且，………………………3分 所以是奇函数. ………………………………………………………4分 （2） 设任意的，，且，则， ， ………………………………………8分 因为，，， ………………………………………9分 所以，，即有，………………………11分 所以在上单调递增. …………………………………12分 （3）由（2）可知：在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， ……………………………………………………………………14分 所以. ……………………………………………………………………15分 17．（15分） 解：（1）证明：充分性：因为， 所以. …………………………………………………2分 必要性：因为，， 所以， …………………………3分 所以， ……………………………………………………4分 所以. ……………………………………………………5分 所以“”是“”的充要条件. ……………………………6分（2）因为 ，，， 所以，，， ……………………………………………………8分 所以. ……………………………………11分 当且仅当时，等号成立. ……………………………………………………………12分 则由，得，…………………………………………………………………13分 所以， ………………………………………………………………………14分 所以. ………………………………………………………………………15分 18.（17分） 解：（1）由表格中的数据可知，随着时间的增大，的值呈现先增后减的变化趋势，而①②两个函数模型描述的是单调函数，不符合数据变化趋势.所以选函数模型③. 即：. ……………………………………………………4分 由表中数据可知，所以可求得，………………………………………6分 再由，得，解得. 所以. ……………………………………………………8分 由题意得的定义域为. ……………………………10分 （2）因为产品的日销售收入不少于产品的日销售收入， 所以， …………………………………12分 化简得. ………………………………………………13分 解得，即， 所以，即. …………………………………15分 由于， 所以这天内产品的日销售收入不少于产品的天数为天. …………………17分 19.（17分） 解：（1）因为， 所以， …………………………………2分 所以为奇函数， 所以的图象关于点成中心对称图形. ………………………………4分 （2）（ⅰ）因为函数的图象关于点成中心对称图形， 由题意可知，函数是奇函数， …………………………………5分 即，整理得. ………7分 由式子代换上式中的变量得. …………………………9分 （ⅱ）因为函数的图象过点，可得， 整理得，因为，解得,所以. ……………………10分 由（1）知，所以得到 ， 从而. ……………………12分 因为， ………………………13分 由于，当且仅当时，即时取等号， 所以. ………………………………………………14分 ①当时，不等式对任意恒成立；…………………………15分 ②当时，不等式，对任意恒成立时，解得. ………………………………………………………16分 综上所述：. ………………………………………………………17分 1 高一数学试题参考答案及评分意见 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $