29.1 投影（第2课时 正投影）（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦正投影概念、线段与平面图形在不同位置的正投影特征及简单立体图形正投影画法，通过复习平行投影和中心投影，结合生活中影子现象引入新知，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此设计以动手探究（铁丝、正方形纸板正投影模拟）培养几何直观与空间观念，通过正方体正投影例题转化立体为平面提升推理能力，多样巩固练习促进数学表达，助力学生理解投影规律，为教师提供清晰教学路径。

29.1 投影（第2课时 正投影） 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版九年级下册数学第二十九章《投影与视图》第1节的第2课时，核心内容包括：①正投影的概念：投影线垂直于投影面的平行投影；②探究线段在平行、倾斜、垂直于投影面三种位置下的正投影特征；③探究平面图形在平行、倾斜、垂直于投影面三种位置下的正投影特征；④掌握点、线段、平面图形及简单立体图形（正方体）的正投影画法；⑤运用正投影知识解决简单的投影判断与绘制问题． 2.内容解析 正投影是平行投影的特殊形式，是投影知识的深化与应用，更是后续学习三视图（主视图、俯视图、左视图）的核心基础，体现了“从一般到特殊”的数学思想．其本质是投影线与投影面垂直时的投影规律，线段、平面图形的正投影特征由它们与投影面的位置关系决定，“物体某个面平行于投影面时，投影与原面形状大小完全相同”是核心规律，为机械制图、建筑设计等实际应用提供理论支撑． 教学重点：理解正投影的概念；掌握线段、平面图形的正投影特征；能画出简单图形（含正方体）的正投影． 二、目标和目标解析 1.目标 （1）通过观察、探究、分析，了解正投影的概念，明确正投影与平行投影的关系． （2）掌握线段、平面图形在不同位置下的正投影特征，能归纳正投影的核心规律． （3）学会点、线段、平面图形及简单立体图形的正投影画法，能根据给定情形画出正方体的正投影． 2.目标解析 （1）学生通过对比三角尺的三种投影（中心投影、倾斜平行投影、垂直平行投影），能准确区分正投影与其他投影，清晰理解“投影线垂直于投影面”这一本质特征，建立正投影的概念认知． （2）通过动手操作（模拟铁丝、正方形纸板在不同位置的正投影）和观察分析，学生能自主总结线段、平面图形在平行、倾斜、垂直于投影面时的正投影形状及大小关系，掌握“平行不变、倾斜缩小、垂直聚点/成线”的核心规律． （3）学生能运用“作投影面垂线” “先画端点投影再连线”的方法，完成点、线段的正投影绘制；通过正方体正投影的典型例题解析，能将立体图形正投影转化为平面图形的投影综合，具备绘制简单立体图形正投影的能力． 三、教学问题诊断分析 1.概念混淆：部分学生可能将正投影与一般平行投影混淆，忽视“投影线垂直于投影面”的关键条件，导致判断正投影时出现偏差． 2.特征理解片面：学生容易只记住线段、平面图形的正投影形状，忽略“位置关系决定投影特征”的逻辑，在解决不同位置下的投影问题时难以灵活运用． 3.立体图形投影转化困难：绘制正方体等立体图形的正投影时，学生难以将立体图形的各个面、棱与投影面的位置关系转化为点和线段的投影，容易出现漏画、错画的情况． 教学难点：掌握立体图形正投影的绘制方法；灵活运用正投影特征解决不同位置下的投影问题． 四、教学过程设计 （一）复习回顾 1．一般地，用光线照射物体，在某个平面 （地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的________ ，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做________． 答案：投影，投影线，投影面 2．由平行光线形成的投影叫做________． 答案：平行投影 3．由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做________． 答案：中心投影 【设计意图】巩固上节课核心概念，为正投影（特殊平行投影）的引入搭建知识桥梁，明确新旧知识的关联． （二）新知引入 导言：同学们，每天早晨阳光洒进教室时，课桌上的文具会在地面投下影子；夜晚打开台灯，课本又会在墙面留下轮廓——这些生活中常见的“影子”其实都是“投影”现象！大家观察过吗：当我们移动文具时，影子的形状、大小会跟着变化；用手电筒斜照和垂直照同一本书，影子也大不一样． 今天我们就从这些熟悉的场景出发，先看看三角尺的三种投影． 【设计意图】结合生活实例和直观图形，引发学生思考投影线角度对投影的影响，自然引出正投影的探究主题． （三）新知讲解 思考：如图是表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（３）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 预设：图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影． 图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面． 归纳：像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 指出：在实际制图中，经常应用正投影． 探究1：如图所示，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）． 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ 预设：通过观察、测量可知： （1）当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，它们的大小关系为AB＝A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，它们的大小关系为AB＞A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3． 探究2：如图所示，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置： （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ 预设：通过观察、测量可知： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小一样； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段． 归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 【设计意图】通过实验探究和图示分析，让学生自主发现正投影特征，理解位置关系与投影的关联，掌握核心规律和画法，突破新知重点． （四）典型例题 例：画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影． （1）正方体的一个面ABCD平行于投影面（图（1））； （2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面（图（2））． 提示：不妨用一个盒子作为模型，观察它在墙壁上的投影． 分析：（1）当正方体在如图（1）的位置时，正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A′B′C′D′．正方形A′B′C′D′的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影是一个正方形． （2）当正方体在如图（2）的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′．因此，正方体的投影是矩形F′G′C′D′，其中线段A′B′把矩形一分为二． 解：（1）如图（1），正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系． （2）如图（2），正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影． 归纳：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关． 针对练习：如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 解：（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 归纳：画图形的正投影的方法 类别 画图方法 作空间点在投影面上的正投影 过空间点作投影面的垂线，垂线与投影面的交点就是空间点在投影面上的正投影 作直线在投影面上的正投影 先分别作出直线上两个不同的点在投影面上的正投影，再过两投影点作直线即可 作平面图形、立体图形在投影面上的正投影 画平面图形、立体图形的正投影其实是画点、线段的正投影的综合．因此，画平面图形、立体图形的正投影可转化为画点、线段的正投影 【设计意图】通过正方体两种典型位置的正投影绘制，强化立体图形转化为平面投影的思路，突破教学难点，提升学生绘图能力． （五）当堂巩固 1．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 2．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可． 【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 3．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 【答案】圆、矩形 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 4．把下列物体与它们的投影用线连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正投影，理解投影的定义成为解答本题的关键． 根据正投影的定义即可解答． 【详解】 5．【能力提升】如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 【设计意图】通过不同题型的练习，涵盖正投影的判断、特征应用和绘图操作，全面检测学生对新知的掌握程度，及时巩固重点知识． （六）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】帮助学生梳理知识脉络，提炼核心要点，加深对正投影知识的理解和记忆． 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $