5.1.2 弧度制 题型专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.2 弧度制 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一：弧度的概念 1．关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据弧度制的知识确定正确答案. 【详解】1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 与圆的半径无关，据此可知③正确，①②错误． 故选：B 2．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 【答案】D 【分析】根据角的弧度制定义逐一判断即可. 【详解】因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 所以选项ABC说法不正确，D正确， 故选：D 题型二：角度化为弧度 1．把下列各角的角度化成弧度（用含的代数式表示）. (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】直接利用角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （2）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （3）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （4）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. 2．把下列各角度化为弧度（用含的代数式表示）. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】角度化为弧度，变换规则是度数乘以即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型三：弧度化为角度 1．把下列各角的弧度化成度： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据弧度可化为即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 2．把下列各角从弧度化为度： （1）；    （2）；    （3）；    （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】根据弧度与度数之间的转换公式计算． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型四：角度与弧度的互化 1．把下列角度与弧度进行互化． (1)；(2)；(3)；(4).(5) (6)(7)(8)(9)(10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 2．填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边. 度 弧度 【答案】答案见解析. 【分析】先用角度与弧度的关系求解，再在直角坐标系下作图即可. 【详解】解：根据角度与弧度的互化关系得下表： 度 弧度 0 平面直角坐标系中，对应角的终边如图： 题型五：用弧度制表示角的集合 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 2．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，. 故选：B 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 【答案】ABC 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确； B.终边在轴上的角的集合是，故正确； C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确； D.终边在上角的集合，故错误； 故选：ABC 4．如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 【答案】 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 5．用弧度制写出终边落在直线上的角的集合 【答案】{α|α＝，n∈Z}． 【分析】由直线方程求出直线的倾斜角，再分别写出终边落在直线向上和向下方向上的角的集合，由集合的并集运算求出终边落在直线yx上的角的集合． 【详解】∵直线y＝x的斜率为，则倾斜角为60°， ∴终边落在射线yx（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}， 终边落在射线yx（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°+k•360°，k∈Z}， ∴终边落在直线yx上的角的集合是： S＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}∪{α|α＝240°+k•360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°+2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝60°+（2k+1）•180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°+n•180°，n∈Z}． 即{α|α＝，n∈Z}． 故答案为{α|α＝，n∈Z}． 【点睛】本题考查了终边相同角的集合求法，以及集合的并集的运算，需要将集合的元素化为统一的形式，属于中档题． 6．已知角. (1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，第二象限角 (2)和 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）， 因为为第二象限，所以是第二象限角； （2）与终边相同的角可以写出， 由， 得当时，， 当时，， 所以在区间上与终边相同的角为和． 7．把下列角化为的形式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），因为，所以. （2）， 因为，所以. 题型六：扇形的弧长、面积计算 1．扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算得解. 【详解】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为. 故选：D 2．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式直接计算求解即可. 【详解】圆心角为，即圆心角为， 又扇形的弧长为，所以，解得该扇形的半径， 故选：C 3．已知一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为， 所以扇形的面积为. 故选：C. 4．（多选）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意知半径为R的圆弧所对的弦长为，即可求其圆心角大小，进而求圆弧的长度即可. 【详解】由分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为， ∴弦所对的圆心角为， ∴分界线的长度为. 故选：ABD. 5．（多选）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】BC 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】，所以A错； 弧长，所以B对； 扇形的周长为，所以C对； 面积为，所以D错； 故选：BC 6．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 7．如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【详解】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 题型七：扇形中的最值问题 1．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 2．如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 题型八：扇形弧长公式与面积公式的应用 1．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】 (1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1） 根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2） 依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 2．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积； （2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可. 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 【点睛】关键点点睛： （1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件. 3．如图，扇形中有一个小扇形，已知，，． (1)求的长； (2)若，求和扇形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式即可求解， （2）根据扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可化简求解. 【详解】（1）由题意可得，则， 解得，所以． （2）如图，过点作，垂足为，因为，，则， 由（1）知扇形的半径为3，所以． 在中，，， 所以，所以，则， 故． 4．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】(1) (2)时，面积最大 (3)cm2. 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【详解】（1）由，则扇形的弧长(cm). （2）由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. （3）设弓形面积为，由，得， 所以. 5．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得扇形面积，再减去三角形面积即可得所求弓形面积； （2）由扇形面积公式，得(定值)，利用基本不等式求周长即的最小值即可. 【详解】（1） 由题意，当时，扇形面积； 如图，扇形中，连接，则， 所以是正三角形，则， 故所求弓形面积为； （2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则， 则扇形的周长， 当且仅当，即时等号成立， 此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 弧度制 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一：弧度的概念 题型二：角度化为弧度 题型三：弧度化为角度 题型四：角度与弧度的互化 题型五：用弧度制表示角的集合 题型六：扇形的弧长、面积计算 题型七：扇形中的最值问题 题型八：扇形弧长公式与面积公式的应用 题型一：弧度的概念 1．关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 题型二：角度化为弧度 1．把下列各角的角度化成弧度（用含的代数式表示）. (1)； (2)； (3)； (4)． 2．把下列各角度化为弧度（用含的代数式表示）. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 题型三：弧度化为角度 1．把下列各角的弧度化成度： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．把下列各角从弧度化为度：（1）；    （2）；    （3）；    （4）． 题型四：角度与弧度的互化 1．把下列角度与弧度进行互化． (1)；(2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2．填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边. 度 弧度 题型五：用弧度制表示角的集合 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 2．与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 4．如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 5．用弧度制写出终边落在直线上的角的集合 6．已知角. (1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 7．把下列角化为的形式： (1)；(2). 题型六：扇形的弧长、面积计算 1．扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 2．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 3．已知一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 6．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 7．如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 题型七：扇形中的最值问题 1．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 2．如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 题型八：扇形弧长公式与面积公式的应用 1．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 2．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 3．如图，扇形中有一个小扇形，已知，，． (1)求的长； (2)若，求和扇形的面积之比． 4．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 5．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $