江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学模拟卷（苏科版）

南京市2025-2026学年九年级上学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 2．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 第2题 第4题 3．在世界读书日即将到来之际，某班级开展了“读书分享会”活动，并统计了全班30名同学在过去一个月的读书数量（单位：本），数据如下： 读书数量（本） 1 2 3 4 5 人数 5 8 7 6 4 根据以上表中数据，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的众数是8 B．这组数据的中位数是3 C．这组数据的平均数是3 D．这组数据的中位数和众数相同 4．如图，在网格中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 5．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．对于方程的根的情况，下列判断中正确的一项是（    ）. A．该方程有且仅有一个实数根． B．该方程有且仅有两个实数根． C．该方程有且仅有三个实数根． D．该方程无实数根． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则 ． 8．方程的解为： ． 9．如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为 . 第9题 第10题 10．如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 11．关于x的一元二次方程的一个根是2，它的另一个根是 ． 12．如果矩形的长边为2，短边为1，若另一矩形的周长和面积分别是其周长和面积的3倍，则另一矩形的长边为 ． 13．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ． 14．将一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ． 15．如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 第15题 第16题 16．如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(本题8分) 解方程 (1) (2) 18．(本题6分) 如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 19．(本题8分) 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生5次引体向上的有效个数整理成如图的折线统计图，其中乙同学第5次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学5次引体向上测试成绩的平均数相同，乙同学测试成绩的方差． (1)①计算乙同学第5次的测试成绩，并补全折线统计图． ②乙同学5次引体向上测试成绩的中位数 ，众数 ，甲的方差 ； (2)现需从甲、乙两名同学中选择一名代表班级参加校级比赛： 嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少9个才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（1）的分析，选择其中一人的说法进行说理； (3)若乙同学再做一次引体向上，与之前的5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化，则乙同学第6次测试成绩的最大值为 个． 20．(本题8分) 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 21．(本题7分) 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； (2)若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 22．(本题7分) 已知二次函数（是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 23．(本题8分) 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．(本题9分) 对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： (1)根据新运算规则，新函数可改写为： ； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； (3)写出该函数的一条性质： ； (4)①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 ． 25．(本题8分) 【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 ；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 26．（本题8分）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 27．（本题11分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，，对角线平分，请问______，此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长______． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2025-2026学年九年级上学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 2．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 3．在世界读书日即将到来之际，某班级开展了“读书分享会”活动，并统计了全班30名同学在过去一个月的读书数量（单位：本），数据如下： 读书数量（本） 1 2 3 4 5 人数 5 8 7 6 4 根据以上表中数据，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的众数是8 B．这组数据的中位数是3 C．这组数据的平均数是3 D．这组数据的中位数和众数相同 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数， 通过计算数据的众数、中位数和平均数，逐一验证选项的正确性． 【详解】解：∵读书数量为2本的人数最多（8人）， ∴众数为2，选项A错误； ∵总数据个数为30（偶数），中位数为第15和第16个数据的平均值， 累计人数：读书数量1本有5人（第1~5），2本有8人（第6~13），3本有7人（第14~20）， ∴第15和第16个数据均为3， ∴中位数为(3+3)/2=3，选项B正确； ∵总和，总人数， ∴平均数，选项C错误； ∵众数为2，中位数为3， ∴众数与中位数不同，选项D错误． 故选：B． 4．如图，在网格中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的性质，开口向上，为正值，开口越小，值越大，建立平面直角坐标系，求出值即可． 【详解】 解：∵二次函数图像开口向上， ， ∵二次函数的开口越小，值越大， ∴如图，建立平面直角坐标系， 在二次函数的图像上， ∴， 解得：，，， 故选：A． 5．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 6．对于方程的根的情况，下列判断中正确的一项是（    ）. A．该方程有且仅有一个实数根． B．该方程有且仅有两个实数根． C．该方程有且仅有三个实数根． D．该方程无实数根． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断不是的根，然后通过，得到，不妨设，，然后根据二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，可得其交点只有一个，从而得出答案． 【详解】解：∵当时，， ∴不是的根， ∵， ∴， ∴， 不妨设，， ∵，， ∴其图象开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， ∵，， ∴其图象过第一，第三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 画出，图象，如图所示： 可以判断，只有一个交点， ∴方程有且仅有一个实数根． 故选：A． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，准确的计算是解决本题的关键． 由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求代数式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（其中）， ∴． 故答案为：． 8．方程的解为： ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 9．如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为 . 【答案】/ 【知识点】由平行判断成比例的线段、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、圆周角定理、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 11．关于x的一元二次方程的一个根是2，它的另一个根是 ． 【答案】99 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系，利用已知根和常数项，求另一根即可． 本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设方程的两根为α和β，且， 根据题意，得， 故， 解得， 故答案为：99． 12．如果矩形的长边为2，短边为1，若另一矩形的周长和面积分别是其周长和面积的3倍，则另一矩形的长边为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设另一矩形的长边为x，根据新矩形的周长是原矩形的3倍可得另一矩形的宽为，根据另一矩形的面积是原面积的3倍列出方程，通过解一元二次方程求出长边． 【详解】解：设另一矩形的长边为x，则另一矩形的宽为，根据题意得： ， 整理得， 解得， ∵x为长边， ∴， 故答案为：． 13．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 14．将一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 2 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算等知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式．根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为 ，则底面周长为 ， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 15．如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形、判断确定圆的条件、垂径定理的推论 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可判定正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上，然后根据勾股定理分别求出平移前和平移后，最小覆盖圆的圆心到F的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上， 如图，设与的交点为P，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， 根据题意，得，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即； 向左移动后，如图，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， ∵过点A，G，K， ∴点在的垂直平分线上， ∴点在的延长线上． 根据题意，得，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴最小面积圆的圆心经过路程是， 故答案为：． 16．如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、由平行判断成比例的线段、利用菱形的性质求面积 【分析】连接交于点，设交于点，交于点，连接，先证明四边形是矩形，得到，，证明，推出四边形为平行四边形，推出三点共线，且，再证明，得到，证明四边形，四边形均为平行四边形，得到，平行线分线段成比例，推出，根据菱形的面积分别求出四边形和的面积，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接交于点，设交于点，交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点共线，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：5． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(本题8分) 解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是方程（1）配方成完全平方式；方程（2）先移项，再提取公因式，注意不要直接约去． （1）方程可用配方法：将常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式后开方求解．也可直接用公式法． （2）先移项使右边为0，提取公因式，转化为两个一次方程求解． 【详解】（1）解： 移项得： 配方得： 整理得： 开平方得： 移项得：； 解得：，； （2）解： 移项得： 整理得： 或 解得：，． 18．(本题6分) 如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同弧或等弧所对的圆周角相等、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 19．(本题8分) 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生5次引体向上的有效个数整理成如图的折线统计图，其中乙同学第5次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学5次引体向上测试成绩的平均数相同，乙同学测试成绩的方差． (1)①计算乙同学第5次的测试成绩，并补全折线统计图． ②乙同学5次引体向上测试成绩的中位数 ，众数 ，甲的方差 ； (2)现需从甲、乙两名同学中选择一名代表班级参加校级比赛： 嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少9个才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（1）的分析，选择其中一人的说法进行说理； (3)若乙同学再做一次引体向上，与之前的5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化，则乙同学第6次测试成绩的最大值为 个． 【答案】(1)①5个，折线统计图见解析；②9，9， (2)见解析 (3)8 【知识点】求中位数、根据方差判断稳定性、求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查的是折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）①先计算出甲成绩的平均数，再进一步求解即可； ②根据中位数，众数和方差的定义求解即可； （2）根据中位数、众数和方差的意义求解即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【详解】（1）解：①甲同学测试成绩的平均数为（个）， ∴乙同学测试成绩的平均数为8个， ∴乙同学第5次测试成绩为（个）， 补全图形如下： ②乙5次测试成绩为5、7、9、9、10， 所以其成绩的中位数为9，众数为9； 甲同学的方差为：， 故答案为：9，9，． （2）解：选择淇淇的说法， 由于乙同学的中位数是9次，众数也是9次，获胜的可能性较大，而甲同学的众数和中位数都是8次，均低于9次，所以选择乙同学； （3）解：乙同学的5次测试成绩为5、7、9、9、10， 因为乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化， 所以乙同学第6次测试成绩的最大值为8个， 故答案为：8． 20．(本题8分) 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 21．(本题7分) 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； (2)若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 【答案】(1)， (2)的长度分别为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，根据建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， 故答案为：，； （2）解：设收纳盒高为，则 所以 所以（舍去）， 所以， ， 所以收纳盒底面的边的长度分别为． 22．(本题7分) 已知二次函数（是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示n即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 所以该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：将点坐标代入二次函数解析式得，， 所以，， 所以当时，取得最大值为． 23．(本题8分) 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 24．(本题9分) 对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： (1)根据新运算规则，新函数可改写为： ； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； (3)写出该函数的一条性质： ； (4)①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)函数图象关于轴对称 (4)①；②或 【知识点】新定义下的实数运算、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行变形即可； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）根据（2）中的函数图象写出函数的一条性质即可； （4）①画出函数图象，由函数图象得出结论； ②画出函数图象，由函数图象得出结论 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：画函数的图象如下： （3）解：由图象知，函数图象关于轴对称； 故答案为：函数图象关于轴对称； （4）解：①如图，当时，直线与的图象有四个交点， 所以，方程有四个不相等的实数根时，t的取值范围是； 故答案为：； ②如图，当直线与相切时，直线与函数的图象有三个交点， 令， 整理得， ∴， 解得，； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以，函数的图象与直线有两个交点时，b的取值范围是或． 故答案为：或． 25．(本题8分) 【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 ；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 【答案】（1）=；（2）108；（3）平方米． 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SSS综合（SSS）、利用垂径定理求值、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）长不变，只要边上的高最大，面积最大；由图知当C是优弧的中点时，边上的高最大，面积最大，求得优弧的中点到的距离就可求得最大面积； （3）过C作交的延长线于F，得，先证得四边形的面积的面积；根据得点F在以为边向外作的等边的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，的面积最大，即四边形的面积最大．最后计算出的面积即是四边形的面积最大值． 【详解】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 又， ∴； 故答案为：=； （2）如图②，取优弧的中点记为，过作的垂线，垂足为D， 由垂径定理知过点O，且． 过点C作的平行线， 当直线向上平移时，与的距离增大，即的边上的高增大， ∴当CE运动到最高点C时，的边上的高最大． 又为定值， ∴当C运动到时，的面积最大， 连接， ，的直径为20， ， 在中，． ． 的面积为． 面积的最大值为108． （3）如图，过点C作交的延长线于F． ． ． ， 四边形是平行四边形． ． ， ． ． 又由（1）的结论知， ． 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边，再作等边的外接圆，过点G作于点J．如图， ， 点F在的外接圆上． 由第（2）问的解决知，当点F运动到点G时，． 在中，（米）， （米）， （米）， （平方米）． 四边形面积的最大值为平方米． 26．（本题8分）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【知识点】求四边形外接圆的直径、解直角三角形的相关计算、判断三角形外接圆的圆心位置、根据旋转的性质求解 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 27．（本题11分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，，对角线平分，请问______，此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长______． 【答案】(1)见解析； (2)①135，是四边形的“亲子线”，理由见解析；②10； (3)或． 【知识点】勾股定理与网格问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，理解新定义以及判断两三角形相似的方法是解本题的关键． （1）先运用勾股定理求出，再分情况求出或，然后根据或的长作图即可； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列比例式求出的值即可； （3）先由得出、，再分两种情况，①如图，延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；②如图，设与交于点G，先得出为等腰直角三角形，再得出，再得出，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图：，，，， 四边形是以为“亲子线”的四边形， 当时，或， 或， 或， 或， 同理：当时，或； 故如图，点，，，即为所求． （2）解：①是四边形的“亲子线”，理由如下： ，平分， ， ， 又， ， ， ∴是四边形的“亲子线”． 故答案为：135； ②， ， ， ， ． （3）解：①由（2）可知为等腰直角三角形，， ， ，且相似比为， ，， 如图，延长交于点H，由题意可得：于H， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ． ②如图，设与交于点G， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 同理可证：， ，即， ； 综上，或． 故答案为：或 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $