江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期期末考试数学模拟卷（苏科版）

南京市2025-2026学年八年级上学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．的值介于（   ） A．30与35之间 B．35与40之间 C．40与45之间 D．45与50之间 6．我们知道是函数的一种表达方式．形如（为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的图象关于轴对称 D．的图象经过原点 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 8．任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 ． 9．如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 第9题 第10题 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为 ． 11．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 第11题 第13题 12．已知平面直角坐标系中一点到两坐标轴的距离相等时，则 ， 13．如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为 ． 14．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 15．如图，直线交轴、轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 第15题 第16题 16．如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题4分）计算：． 18．（本题6分）求下列各式中的： (1) (2) 19．（本题6分）如图所示，点E在上，，，．求证：． 20．（本题6分）已知正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点． (1)求k的值； (2)当正比例函数的值大于一次函数的值时，求x的取值范围． 21．（本题6分）如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 (1)当，时，求点E到点C之间的最短距离； (2)若时，试说明： 22．（本题7分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 23．（本题7分）人体在某种程度上就是一系列精妙的“函数关系”在三维空间中的表达．根据人体构造学的研究表明，一般情况下人的身高和胫骨的长度存在某种关系．胫骨俗称“小腿迎面骨”，是小腿主要承重的长骨，在个体正常发育的过程中，胫骨的生长与脊柱的生长受共同的遗传和生长激素的调控，维持着相对固定的身体比例．某数学综合实践小组对人体的胫骨长和身高之间的关系进行了如下探究： 【观察测量】数学综合实践小组通过对八年级男性师生抽样调查，收集数据，并抽取部分样本得到了下面的表格： 胫骨长 36 38 40 42 44 身高 【探究发现】 （1）如图，实践小组建立了平面直角坐标系，横轴表示胫骨长，纵轴表示身高，请你以表中数据为坐标，在图中描出这些点； （2）结合表中的数据和图象，实践小组发现表中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现，经过纠正，该组数据应为：胫骨长为_________ ，身高约为________ ． （3）经过探究，实践小组发现胫骨长和身高之间近似存在一个特定的函数关系，该函数关系的类型是__________；该函数的表达式为_________． 【实践应用】 （4）通过查阅资料，实践小组的同学了解到胫骨骨长和身高的比例关系被广泛应用于生活中，例如，法医鉴定、考古学研究、儿童生长发育评估和人体工程学与服装设计等．请你应用上面发现的规律解决下面的问题： ①某考古遗址中发现的一段胫骨骨长约为，据此可推测胫骨主人的身高约为________ ； ②据调查显示，青少年初期的身高与年龄的关系近似为一次函数，其函数模型近似为：身高（年龄），已知小文今年14岁，据此估计小文的胫骨长约为__________ ．（结果精确到） 24．（本题8分）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 25．（本题8分）在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． (1)点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 26．（本题10分）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2025-2026学年八年级上学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数准确分析是解题的关键． 根据平方根和立方根的性质逐项分析判断即可； 【详解】表示算术平方根，结果为4，而非，错误； 负数没有实数平方根，错误； ，，故正确； ，，而，且，故错误； 故选． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3．如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由已知可得是公共角，，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， A. 添加条件，根据可以证明，该选项不符合题意 B. 添加条件    ，根据可以证明，该选项不符合题意， C. 添加条件，不可以证明，该选项符合题意， D. 添加条件，连接， ∵， ∴， ∴，再根据可以证明，该选项不符合题意， 故选：C． 4．若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，熟练掌握“x轴上点的纵坐标为0”以及“各象限内点的坐标符号规律”是解题的关键． 先利用x轴上点的坐标特征求出的值，再代入得到点的坐标，最后根据象限内点的坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为即， ∵点的横坐标，纵坐标 ∴点在第三象限 故选：C． 5．的值介于（   ） A．30与35之间 B．35与40之间 C．40与45之间 D．45与50之间 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算．利用夹逼法进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故的值介于45与50之间； 故选D． 6．我们知道是函数的一种表达方式．形如（为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的图象关于轴对称 D．的图象经过原点 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数形式，代入给定关系式求出，从而得到，再分析各选项即可． 【详解】解：设 ， ∵ ， ∴ ， 化简得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故选项A和B错误； ， 当 时，，图象经过原点，故D正确； 的图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误． 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 8．任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 ． 【答案】 ，（答案不唯一） 【知识点】无理数、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的概念、实数的大小比较，掌握实数的大小比较法则、无理数的概念是解题的关键． 根据算术平方根的性质，把6和7表示成带根号的数，只需在介于这两个被开方数之间写出两个即可． 【详解】解：，， 且，， 和都是大于6小于7的无理数． 故答案为，（答案不唯一）． 9．如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线的函数表达式为，代入到函数表达式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵把直线往下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， 代入点得，， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，解决本题的关键是利用数形结合的思想，二元一次方程组的解就是两直线交点的坐标． 【详解】解：由函数图象可知直线与的交点坐标是， 关于、的二元一次方程组的解是， 方程组整理可得：， 方程组的解是， 故答案为：． 11．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 12．已知平面直角坐标系中一点到两坐标轴的距离相等时，则 ， 【答案】或0 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标性质与绝对值方程的解法，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横坐标与纵坐标的绝对值相等”是解题的关键．根据点到两坐标轴距离相等的性质，得到横坐标与纵坐标的绝对值相等，据此列绝对值方程求解． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 故答案为：或． 13．如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的结合，利用角平分线的 “到角两边距离相等” 及面积比例关系是解题关键．先根据线段比例推出三角形面积关系，再结合角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过面积比建立的比例关系． 【详解】解：， ， 又， ， ， 为的中点， ， ， ， 如图，过点作，， ， 又平分， ， ， 即． 14．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 15．如图，直线交轴、轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，轴对称的性质，求平面直角坐标系内点的坐标， 连接，先求出点，可得，再根据“角边角”证明，可得，然后设，则，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当时，； 当时，， ∴点， ∴． ∵点P与点关于直线对称， ∴， ∴． ∵点在第一象限，且纵坐标为4， ∴轴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴点P的横坐标是． 故答案为：． 16．如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值，熟练掌握轴对称求最小值的方法，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式是解题的关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，当时最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题4分）计算：． 【答案】3 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的立方根、有理数的加减混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，算术平方根，立方根，掌握知识点是解题的关键． 先计算乘方，算术平方根，立方根，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解： ． 18．（本题6分）求下列各式中的： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，也考查了利用平方根、立方根的定义解高次方程的能力．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个正数只有一个正的立方根． （1）首先移项，然后把方程两边同时开平方即可求解； （2）首先移项，然后把方程两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴． 19．（本题6分）如图所示，点E在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．通过“”证明即可得到． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 20．（本题6分）已知正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点． (1)求k的值； (2)当正比例函数的值大于一次函数的值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】此题考查正比例函数与一次函数交点问题，比较函数值大小， （1）将点A的坐标代入，得m的值，再将点A的坐标代入，求出k即可； （2）根据两个函数图象交点即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入，得，解得， 点A坐标为， 将点A的坐标代入，得，解得； （2）由（1）得点A坐标为， 当正比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围为． 21．（本题6分）如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 (1)当，时，求点E到点C之间的最短距离； (2)若时，试说明： 【答案】(1)10 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， ， 点E到点C之间的最短距离为10； （2）证明：， ， ， ， ∴ 22．（本题7分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 23．（本题7分）人体在某种程度上就是一系列精妙的“函数关系”在三维空间中的表达．根据人体构造学的研究表明，一般情况下人的身高和胫骨的长度存在某种关系．胫骨俗称“小腿迎面骨”，是小腿主要承重的长骨，在个体正常发育的过程中，胫骨的生长与脊柱的生长受共同的遗传和生长激素的调控，维持着相对固定的身体比例．某数学综合实践小组对人体的胫骨长和身高之间的关系进行了如下探究： 【观察测量】数学综合实践小组通过对八年级男性师生抽样调查，收集数据，并抽取部分样本得到了下面的表格： 胫骨长 36 38 40 42 44 身高 【探究发现】 （1）如图，实践小组建立了平面直角坐标系，横轴表示胫骨长，纵轴表示身高，请你以表中数据为坐标，在图中描出这些点； （2）结合表中的数据和图象，实践小组发现表中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现，经过纠正，该组数据应为：胫骨长为_________ ，身高约为________ ． （3）经过探究，实践小组发现胫骨长和身高之间近似存在一个特定的函数关系，该函数关系的类型是__________；该函数的表达式为_________． 【实践应用】 （4）通过查阅资料，实践小组的同学了解到胫骨骨长和身高的比例关系被广泛应用于生活中，例如，法医鉴定、考古学研究、儿童生长发育评估和人体工程学与服装设计等．请你应用上面发现的规律解决下面的问题： ①某考古遗址中发现的一段胫骨骨长约为，据此可推测胫骨主人的身高约为________ ； ②据调查显示，青少年初期的身高与年龄的关系近似为一次函数，其函数模型近似为：身高（年龄），已知小文今年14岁，据此估计小文的胫骨长约为__________ ．（结果精确到） 【答案】（1）见详解（2），（3）一次函数，（4）①② 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了画函数图象，求一次函数的解析式，一次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再把表格的数据在图中描出来，即可作答． （2） 胫骨的生长与脊柱的生长受共同的遗传和生长激素的调控，维持着相对固定的身体比例．结合表中的数据和图象，实践小组发现表中有一组身高的数据有误，故该组数据应为：胫骨长为，身高约为，即可作答． （3）运用待定系数法进行求出函数解析式，则该函数关系的类型是一次函数；该函数的表达式为． （4）①由（3）得，理解题意，把代入， 得，即可作答． ②把年龄代入身高（年龄），进行计算，得出身高，依题意，把代入，故，即可作答． 【详解】解：（1）在图中描出点，如图所示： （2）∵胫骨的生长与脊柱的生长受共同的遗传和生长激素的调控，维持着相对固定的身体比例．结合表中的数据和图象，实践小组发现表中有一组身高的数据有误， ∴该组数据应为：胫骨长为，身高约为． （3）经过探究，实践小组发现胫骨长和身高之间近似存在一个特定的函数关系， 设， 把代入， 得， 解得， ∴， 该函数关系的类型是一次函数；该函数的表达式为． （4）①由（3）得， ∵某考古遗址中发现的一段胫骨骨长约为， ∴把代入， 得， ∴推测胫骨主人的身高约为； ②据调查显示，青少年初期的身高与年龄的关系近似为一次函数，其函数模型近似为：身高（年龄），已知小文今年14岁， ∴身高， 把代入， 得， ∴ ∴估计小文的胫骨长约为． 24．（本题8分）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 【答案】(1)图见解析 (2)满足条件的点P共有4个；图见解析 (3)图见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理与网格问题、三角形三边关系的应用、画轴对称图形 【分析】（1）根据题意作出关于直线对称的； （2）利用线段垂直平分线的性质与勾股定理求解； （3）利用三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴满足条件的点P共有4个， 故答案为：4； （3）如图，是异于的上任意一点，连接、， 则， 当、、三点在同一直线上时，有最大值，最大值为， 故延长交于点，点即为所求作． 25．（本题8分）在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． (1)点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)k的值为，c的值为 (3)的取值范围是 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据一次函数的定义求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了新定义“联动点”的理解与应用，涉及分段函数、一次函数图象性质． （1）根据题中的对于“联动点”的定义进行解答即可； （2）设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，，由点，在一次函数图象上将两点代入到一次函数解析式中，解得k和c的值； （3）设点P在一次函数上的坐标表达式为，分情况讨论当时和当时的取值情况，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴当时，， ∴点的联动点坐标为， 对于点，有， ∴当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：，． （2）解：设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，， ∵点，在一次函数图象上，将点，代入，得 ，解得 ， ∴k的值为，c的值为． （3）解：∵点P在一次函数的图象上， ∴设点P坐标为，则， ∴当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即； 综上所述，的取值范围是． 26．（本题10分）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可； （2）设直线l交x轴于点H，交于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明后，根据的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可； （3）在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，当A、P、T共线时，的最小值为的长，可得的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求出直线的解析式为，可得，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴此一次函数的“伴随函数”表达式为； （2）解：存在，理由如下： 设直线l交x轴于点H，交于点K， 令，则， ∴，即， ∵，取线段中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 作点M关于x轴的对称点，如图， 此时，， ∴， ∴； 综上，点M坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接， ∴，即， 当A、P、T共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵将点向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $