必修第一册综合测试-2025-2026学年高一上学期湘教版数学必修第一册

湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.若集合A={-1,0,1,2,4,B={xx2∈A,x∈R},则A∩B=() A.0,1,2} B.1,2,4} C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,4} 2.设函数f(x= e2-3张x0则f-2)=() f(x+2),x≤0 A.-4 B.-2 C.0 D.2 3.者19 ix y 1(x>0,y>0),且不等式x+y<a2-6a有解，则a的取值范围是() A.(-o,-2)U(8,+∞) B.(-2,8) C.（-∞，-8)U(2,+∞) D.(-82) 4.已知函数f(x)=2+x-1在(-2，+∞)是单调增函数，则实数a的取值范围为() c D. 5。函数（四的部分图象大致为《） 6.已知函数f()=Asin(ax+p)A>0,w>0,网<)的部分图象如图所示，给出下列结论： ①f(0)=3: ②当xe50时.jee[-6: ③数/（✉）的草河道塔区创为[b,u+哥，k:Z: ④将f(y)的图象向右平移”个单位，得到y=2si2x的图象：其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.一支田径队有男运动员60人，女运动员30人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运 动员中抽取一个容量为9的样本，那么应抽取女运动员的人数为() A.2 B.3 C.6 D.9 8.若f(x)=in.xco- 3, 则f(x)在 上的最大值为() 4月 B.-1 D.0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=1og(1+x)-log3(1-x),则下列选项正确的是() B.f(x)在(-1,1)上单调递减 C.f(x)是奇函数 D.若fx-)>f0-小，则e到 10.已知函数f(x)=sin +写 则() A.兀是f(x)的一个周期 B.f在 内单调递增 C.f(x)是奇函数 D.四的图象关于（是0中心对称 11.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经 过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 频率 频率 组距 组距 0.040 8:89 0.012 0.010 0.002 0.002 95100105110115120125130指标 0707580859095100105指标 患病者 未患病者 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于 或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未 患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是() A.某人的医学指标大于临界值c,那么他可能是患病者 B.在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C.在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D.指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.若“x>5”是“x>a-1的充分不必要条件，则a的取值范围是 13.已知函数f(x)=a+bx-5,f(8)=8,则f(-8)= 14.已知函数f(x)= 「3-2，x<3 883则函数88))书的零点个数为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设集合A={xx2+4x=0},B={xx2+2(a+1)x+a2-1=0} (1)写出集合A的所有子集： (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 16.(15分)设f(x)=ax2+1-a)x+a-2. (1)若不等式f(x)≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R) 17.(15分)己知函数f(x)= 3-x2,x∈[-1,2]， x-3,x∈(2,5] (1)画出f(x)的图像： (2)写出f(x)的单调增区间： (3)根据图像，求f(x)有最值. 18.(17分)某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析 这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计 表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 [0,20) 3 0.015 16 [20,40) a b 32.1 [40,60) 25 0.125 55 [60,80) 0.5 74 [80,100) 62 0.31 88 (1)求a,b,c的值： (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注： 60分及60分以上为及格). 19.(17分)已知函数 $$f \left( x \right) = A \sin \left( \omega x + \varphi \right) + B \left( A > 0 ， \omega > 0 | \varphi < \frac { \pi } { 2 } \right) ，$$ ，在同一个周期内，当 $$x = \frac { \pi } { 6 }$$ 时， 取得最大值2，当 $$x = \frac { 2 \pi } { 3 }$$ 时， f(x) 取得最小 值-4. (1)求f(x)的解析式，并求 f(x\right. )在 [-π，0] 上的单调递增区间 (2)将f(x)的图象向右平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上 各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.若函数 y=g(x)-m $$\left[ 0 ， \frac { \pi } { 4 } \right]$$ 有2个零点，求 m 的取值范围.湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.若集合A={-1,0,1,2,4,B={xx2∈A,x∈R},则A∩B=() A.0,1,2} B.1,2,4} C.{-10,1,2} D.{0,1,2,4} 【答案】C 【分析】理解集合B描述法的意义，并用列举法表示，然后根据交集的定义求解， 【详解】集合A={-1,0,1,2,4},由B={x2∈A,x∈R},得B={2,-2,-10,1,V5,2} 所以A∩B={-1,0,1,2}.故选：C 2.设函数f(x)= f(x+2),x≤0 x2-3x>0,则f(-2)=() A.-4 B.-2 C.0 D.2 【答案】B 【分析】代入计算，得到f(-2)=f(2)=-2. 【详解】f(-2)=f(-2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=2-6=-2.故选：B 3.若+？-1(x>0,y>0),且不等式x+y<d-6a有解，则a的取值范围是() x V A.（-∞，-2)U(8+∞) B.(-2,8) C.(-w,-8)(2,+∞) D.(-82) 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得x+y取得最小值16，转化为a2-6a>16,结合 元二次不等式的解法，即可求解 【详解)由x>0,y>0且上+9=1，可得x+y x v 当且仅当=9x时，即x=4y=12时，x+y取得最小值16， x V 因为不等式x+y<a2-6a有解，可得a2-6a>16,即a2-6a-16>0, 解得a<-2或a>8,所以实数a的取值范围为(-o,-2)U(8,+∞).故选：A. 4.已知函数f(x)=2+x-1在(-2，+∞)是单调增函数，则实数a的取值范围为() B. 0,4 .0, D 【答案】C a>0 【分析】易知当a=0时满足题意，当a≠0时，由题意可得 1 解之即可求解 2a 【详解】当a=0时，f(x)=x-1,在R上单调递增，满足题意： a>0 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x= 由题意得， 2a 1 解得0<a≤4 2a 综上，0≤a≤.故选：C 5.函数f()= 2x In x+1 的部分图象大致为() 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的判断方法判断出函数的奇偶性，从而 可得选项B和D错误，再结合f(1)值的正负，可得选项C错误，即可求解 【详解】由nx+1≠0，得nx1,则x≠0x。所以x≠0且≠±。 1 e 则数四-的定义城为(。(Q ,定义域关于原点对 称 -2x 2x 又f八)n-x中nx币-， 所以f)nx+1 2x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故选项B和D错误， 又1c(仁+，且10)=2>0，所以选项c错误故运：A 6.已知函数f(y=Asin(am+p)4>0o>0,<的部分图象如图所示，给出下列结论： Oπ 12 ①f(0)=V3: ②当x∈ 0时.f)e-5: ③函数f(x)的单调递增区间为阢- 12 12 ④将f(x)的图象向右平移亚个单位，得到y=2sin2x的图象：其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可 得到答案， 【详解1由图象可知：42，名号吾手7=合=2 0 由=骨列-，又所以-景以=22引 因为f(0)=2$im亚=5，故0正确： 当0时x+所以-1m2+ 2,所以-2≤f(x)≤5，故 ②精误：由2流-登≤2x+ <2+ >E∈Z→π-≤x≤π+ ,k∈Z, 所以函数f(y的单调递增区间为m π] 2km+2,teZ故③正确： 将的图象向右平移个单位，得到=2m女-哥》司-2m2:}的图象，故④错误。 故选：B. 7.一支田径队有男运动员60人，女运动员30人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运 动员中抽取一个容量为9的样本，那么应抽取女运动员的人数为() A.2 B.3 c.6 D.9 【答案】B 【分析】根据分层抽样可求得女运动员所抽取的人数 【详解】设女运动员抽取的人数为”，由分层抽样得”= 9 3030+60, 解得n=3.故选：B. 8.若f(x)=sinx cosx- 则∫(x)在 0, 上的最大值为() A昌 B.-1 2 D.0 【答案】D 【分析】由5()-=9n2x},利用正张函数的性质求解 2 【详解】解：f(x)=sino-}=sin2x- 所以2x∈ 3 0, 。则 22 sin2x∈[0,1]，所以f(x)∈ 1 0, 所以f()在0， 上的最大值为O,故选：D 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=log(1+x)-log3(1-x),则下列选项正确的是() B.f(x)在(-1,1)上单调递减 C.f(x)是奇函数 D.若f->f0-少，则写》 【答案】AC 【分析】由对数的运算性质可得A正确；由复合函数的单调性可得B错误：由奇函数的性 质可得C正确：由函数的单调性解不等式组可得D错误： 【详解】对于A, 了付)，1,3=1：故A正确 对于B,易得f(x)的定义域为(-1,1)，y=log,(1+x)在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得y=-log(1-x)在定义域上单调递增， 所以∫(x)在(-1,1)上单调递增，故B错误： 对于C,f(x)的定义域为(-1,1)，f(-x)=1og(1-x)-log3(1+x)=-f(x), 所以∫(x)是奇函数，故C正确： r2t-1>1-t 对于D,因为2->f-),所以1长2-1<1，解得号<1<1，放D错误： -1<1-t<1 故选：AC 10已知函数=4+ 则() A.π是f(x)的一个周期 B.在哥 内单调递增 C.f(x)是奇函数 D.f(x)的图象关于 中心对称 【答案】AD 【分析】对于A,根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B,利用整 体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误：对于C,根据奇函数的必要 条件，利用举反例，可得其正误：对于D,根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得 其正误， 【样解1南-小-4小骨引-（款分》+写}因何是 问的个调期.A正商：女2子号派+分c乙，则空≤经e2。 2 所以函数f()的单调递增区间为厂红5江：+元 k∈Z, L224’224 令2m+4+s2m+3,k∈Z,则+亚sx≤ 3 224 机+7π，keZ, 224 所以函数f(x)的单调递减区间为 「kr,πk阢，Tπ 24'224 kEZ, 2 所以函数f(9)在0,24 上单调递增， π兀 在 24'12 上单调递减， 所以f(x)在区间 内不单调，B错误： f(0)=sin ≠0，所以f(x)不是奇函数，C错误： 3 由于f八i2 sin0=0,则f(x)的图象关于 -亚，0中心对称，D正确：故选：AD, 12 11.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经 过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 频率 频率 个组距 8:88 组距 0.040-------- 0.036上====-= 0.034 0.012 0.010 0.002 0.002 A 95100105110115120125130指标 O707580859095100105指标 患病者 未患病者 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于 或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未 患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是() A.某人的医学指标大于临界值c,那么他可能是患病者 B.在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C.在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D.指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 【答案】ABC 【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数 的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第P百分位数的算法，判断选项C的 正误：根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误： 【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确： 在患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知0.002×5+0.012x×5+0.034×5+0.036×5=0.42, 0.5-0.42+115=117, 0.04 则中位数为117，平均数为 97.5×0.002×5+102.5×0.012×5+107.5×0.034×5+112.5×0.065417.50.045H22.50.045H27.50.0365116.6, 所以B正确：在未患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知0.038×5=0.19， 0.25-0.19 +75=76.5,即第25百分位数为76.5，所以C正确： 0.04 当95<c<105时，患病者该指标为x。,则95<x。<c的患病者为漏诊，c<x。<105的未患病 者为误诊，根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D 错误；故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.若“x>5”是“x>a-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 【答案】{ala< 【分析】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可」 【详解】因为“x>5”是“x>a-1”的充分不必要条件，则{xx>5}是{xx>a-1}的真子集， 所以a-l<5,解得a<6,所以实数a的取值范围是{aa<6.故答案为：{ala<6。 13.已知函数f(x)=ax+bx-5,f(8)=8,则f(-8)= 【答案】-18 【分析】由f(8)=8,可得α8+b.8=13,进而将x=-8代入函数解析式进行求解即可. 【详解】己知f(8)=8,得：f(8)=a8+b.8-5=8,即：a.82+b.8=13, 由此可得：f(-8)=a(-8)+b.(-8)-5=-(a8+b.8)-5=-13-5=-18 故答案为：-18 14.已知函数f(x)= 3-2,x<3 2-8x+I照之3则函数8()=1)的要点个数为 【答案】3 【分折】函数8()-了)-的零点个数等价于)y=八)与)-的交点个数，画出图家即 可求解 【群解1西数)=了-的零点个数等价于y=)与=的交点个数， 当x<3时，y=f(x)单调递增，此时0<f(x)<3: 当3<x<4时，y=∫(x)单调递减，此时2<∫(x)<3; 当x>4时，y=f(x)单调递增，此时f(x)>2: x=4时取得极小值2， 如图： y=f(x) 由图可知y=f()与y=氵有三个交点，故函数g(x)=f(x)-有三个零点 2 2 故答案为：3 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设集合A={xx2+4x=0},B={xx2+2(a+1)x+a2-1=03 (1)写出集合A的所有子集： (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围， 【答案】(1)②，0}，{4}，{0，-4 (2)a=1或a≤-1 【分析】(1)根据条件得A={0,-4),即可求解： (2)根据条件得B三A,再对△=8a+8进行讨论，即可求解」 【详解】(1)由x2+4x=0,得到x=4或x=0,所以A={0,-4}, 故集合A的所有子集为0,0，{-4}，0，-4} (2)因为A∩B=B,则B三A,又A={0,-4, 方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,△=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8, 若△<0，即a<-1,方程x2+2(a+1)x+d-1=0无解，此时B=⑦，满足题意： 若△=0，即a=-1,由x2+2a+1rx+a2-1=0,即x2=0,解得x=0,此时B={0},满足题意： 若△>0，即a>-1,要使B三A,则方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解集为{x|x=-4或x=0}, a2-1=0 6+2a+)x(4)+a2-1=0'解得a=1,综上所述，a=1或a≤-1 则 16.(15分)设f(x)=ax2+1-a)x+a-2」 (I)若不等式f(x)≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)<a-l(a∈R)】 1 【答案】（四3+0 (②)答案见解析 【分析】(1)分a=0、a≠0两种情况，结合一元二次函数的性质可求； (2)因式分解，根据a=0、a>0、a<0以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象 求 【详解】(1)不等式∫(x)≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实 数x恒成立，当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意： a>0 当a≠0时， △=1-a-n≤0：解得a产}综上，实数a的取值范围为 (2)不等式f(x)<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0,即(ax+1)(x-1)<0, 当a=0时，不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{<1}： 当a>0时，不等式可化为+}x-)<0,此时-。1，所以不等式的解集为a 当a<0时，不等武可化为x+》k-1>0, a ①当a=-1时，-1=1，不等式的解集为{r≠1： a ②当-1<a<0时，->1，不等式的解集为(x>-上或x<1): a ③当a<-1时，-是<1，不等式的解集为k1或x<- 综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x<1}, 当a>0时。不等式的解集为日< 当a=-1时，不等式的解集为{x≠1}， 当-1<a<0时，不等式的解集为x>-1或x<1}, a 当a<-1时，不等式的解集为xx1或x<- 1 a 3-x2,x∈[-1,2] 17.(15分)已知函数f(x)= x-3,x∈(2,5]： (1)画出f(x)的图像； (2)写出f(x)的单调增区间： (3)根据图像，求f(x)有最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间为[-1,0]和[2,5] (3)最大值3：最小值-1. 【分析】(1)根据分段函数解析式画出函数的图像： (2)根据函数的图像判断函数的增区间； (3)根据函数的图像求出函数的最值. 【详解】(1)根据表达式作出函数∫(x)的图像如图. (2)单调增区间为[-1,0]和[2,5]. (3)由图像可知，当x=0时，f(x)有最大值3：当x=2时，∫(x)有最小值-1. 18.(17分)某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析 这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计 表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 [0,20) 0.015 16 [20,40) b 32.1 [40,60) 25 0.125 55 「60,80) 0.5 74 [80,100) 62 0.31 88 (1)求a,b,c的值： (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注： 60分及60分以上为及格). 【答案】(1)a=10,b=0.05,c=100 (2)0.81 【分析】(1)根据统计图中数据分析得到a,b,c的值： (2)计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学 测验及格的概率 【详解】20-05，解得c=10,故a=20-3-25-10-62=10.b-0-05, 200 (2)抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为0.5+0.31=0.81， 故估计这名学生该次数学测验及格的概率P=0.81 19.17分已知函数y)=Am(a+到+n(40m0引，在铜-一个周期内，当x-君 时，取得最大值2，当x时，)取得最小值4 (1)求f(x)的解析式，并求f(x)在[-兀，O]上的单调递增区间. 湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 6．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 8．若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是奇函数 D．若，则 10．已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 11．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（   ） A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 13．已知函数，则 . 14．已知函数，则函数的零点个数为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 17．（15分）已知函数 (1)画出的图像； (2)写出的单调增区间； (3)根据图像，求有最值． 18．（17分）某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 19．（17分）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解集合描述法的意义，并用列举法表示，然后根据交集的定义求解. 【详解】集合，由，得， 所以.故选：C. 2．设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】代入计算，得到. 【详解】.故选：B 3．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且，可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为.故选：A. 4．已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知当时满足题意，当时，由题意可得，解之即可求解. 【详解】当时，，在R上单调递增，满足题意； 当时，函数的对称轴为，由题意得，，解得， 综上，.故选：C. 5．函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的判断方法判断出函数的奇偶性，从而可得选项B和D错误，再结合值的正负，可得选项C错误，即可求解. 【详解】由，得，则且，所以且， 则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故选项B和D错误， 又，且，所以选项C错误.故选：A. 6．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以.所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误；由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 7．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样可求得女运动员所抽取的人数. 【详解】设女运动员抽取的人数为，由分层抽样得，解得.故选：B. 8．若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由，利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：，因为，所以，则，所以，所以在上的最大值为0，故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】由对数的运算性质可得A正确；由复合函数的单调性可得B错误；由奇函数的性质可得C正确；由函数的单调性解不等式组可得D错误； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，易得的定义域为，在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为，， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 10．已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 【答案】AD 【分析】对于A，根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B，利用整体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误；对于C，根据奇函数的必要条件，利用举反例，可得其正误；对于D，根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得其正误. 【详解】由可得是的一个周期，A正确；令，则， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 所以函数的单调递减区间为，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调，B错误； ，所以不是奇函数，C错误； 由于，则的图象关于中心对称，D正确．故选：AD. 11．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（   ） A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 【答案】ABC 【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第百分位数的算法，判断选项C的正误；根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误； 【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确； 在患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，， 则中位数为，平均数为， 所以B正确；在未患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，，即第25百分位数为76.5，所以C正确； 当时，患病者该指标为，则的患病者为漏诊，的未患病者为误诊，根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误；故选：ABC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：. 13．已知函数，则 . 【答案】 【分析】由，可得，进而将代入函数解析式进行求解即可. 【详解】已知，得：，即：， 由此可得：. 故答案为： 14．已知函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】 【分析】函数的零点个数等价于与的交点个数，画出图象即可求解 【详解】函数的零点个数等价于与的交点个数， 当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时； 当时，单调递增，此时； 时取得极小值， 如图： 由图可知与有三个交点，故函数有三个零点. 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件得，即可求解； （2）根据条件得，再对进行讨论，即可求解. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得，此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得，综上所述，或. 16．（15分）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【详解】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得；综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17．（15分）已知函数 (1)画出的图像； (2)写出的单调增区间； (3)根据图像，求有最值． 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间为和． (3)最大值3；最小值． 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数的图像； （2）根据函数的图像判断函数的增区间； （3）根据函数的图像求出函数的最值. 【详解】（1）根据表达式作出函数的图像如图． （2）单调增区间为和． （3）由图像可知，当时，有最大值3；当时，有最小值． 18．（17分）某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 【答案】(1) (2)0.81 【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值； （2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率. 【详解】（1），解得，故，， （2）抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为， 故估计这名学生该次数学测验及格的概率. 19．（17分）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得、，结合周期可得，代入定点可得，即可得解析式，结合正弦型函数性质的求法可得在上的单调递增区间； （2）得出变换后的解析式，结合函数单调性与对应定义域分析即可得. 【详解】（1）依题意，有，解得， 又，则，可得， 此时，，由， 得，其中，又，所以，所以，， 由，解得， 又，所以在上的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的函数的表达式为， 因为，所以，可知在上单调递增，在上单调递减，又， 所以，若函数在上有2个零点时，的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $