6 .终边在指定区域内的角的集合表示（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 6 终边在指定区域内的角的集合表示（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边相同的角 ￮ 定义表述：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，该集合中的角与的终边位置完全一致。 ￮ 数学符号/表达式：（角度制）；（弧度制） ￮ 关键特征：终边位置相同；角之间相差（或）的整数倍；取遍所有整数 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的周期性、诱导公式的推导 2. 【概念2】终边在指定区域内的角的集合 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，终边落在某一特定区域（直线、射线、扇形等）内的所有角的集合，称为终边在指定区域内的角的集合。 ￮ 数学符号/表达式：根据区域边界角（），集合可表示为（开区域，角度制）等形式 ￮ 关键特征： 集合由无数个区间组成，相邻区间间隔（或）；需明确区域的边界是否包含（含边界用，不含用） ￮ 跨章节关联： 适用于三角函数的定义域求解、三角函数值的符号判断 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边在直线上的角的集合 终边在过原点的直线上的角的集合，需分射线讨论，最终合并为（为直线与轴正半轴夹角） 1. 遗漏，错写为；2. 未考虑直线分两条相反射线 对比：正切函数的定义域是，其终边不在轴上，间隔为 区域角的区间开闭性 当区域边界为虚线（不含边界）时，集合用或；边界为实线（含边界）时，用或 1. 混淆虚线与实线对应的不等号；2. 端点角未加 对比：一元一次不等式与的解集差异，边界点的取舍规则一致 三、题型分类与例题精析 题型1：终边在扇形区域内的角的集合表示（不含边界，角度制） 题型特征： 给定平面直角坐标系中的扇形开区域（边界为虚线），已知边界角的度数，求终边落在该区域内的角的集合；区域通常位于一个象限或跨两个相邻象限。 解题步骤： 1. 确定扇形区域的两个边界角，满足且 2. 写出一个周期内（）的角的范围： 3. 加上周期倍数（），得到集合表达式 例题1 写出终边落在图中阴影区域（不含边界）内的角的集合（阴影区域介于与之间）。 解析： 第一步，确定边界角为和；第二步，一个周期内的范围是；第三步，加上周期项，得到集合。 答案： 举一反三1-1 写出终边落在第二象限内的角的集合（不含边界）。 解析： 第二象限的边界角为和，一个周期内范围是， 加上周期项即可。 答案： 举一反三1-2 写出终边落在轴正半轴与轴正半轴所夹扇形区域（不含边界）内的角的集合。 解析： 该区域边界角为和，一个周期内范围是， 加上周期项。 答案： 举一反三1-3 写出终边落在与之间扇形区域（不含边界）内的角的集合。 解析： 直接确定边界角和， 一个周期内范围， 加上周期项。 答案： 题型2：终边在扇形区域内的角的集合表示（含边界，弧度制） 题型特征： 给定平面直角坐标系中的扇形闭区域（边界为实线），已知边界角的弧度数，求终边落在该区域内的角的集合；常与三角函数的定义域结合考查。 解题步骤： 1. 确定扇形区域的两个边界角（弧度制，且） 2. 写出一个周期内（）的角的范围： 3. 加上周期倍数（），得到集合表达式 例题2 写出终边落在图中阴影区域（含边界）内的角的集合（阴影区域介于与之间，弧度制）。 解析： 第一步，确定边界角弧度数为和；第二步，一个周期内的范围是；第三步，加上周期项，得到集合。 答案： 举一反三2-1 写出终边落在第三象限内的角的集合（含边界，弧度制）。 解析： 第三象限的边界角为和， 一个周期内范围是， 整理后可得集合。 答案： 举一反三2-2 写出终边落在与之间扇形区域（含边界）内的角的集合（弧度制）。 解析： 确定边界角弧度数和， 一个周期内范围， 加上周期项。 答案： 举一反三2-3 写出终边落在轴负半轴与轴负半轴所夹扇形区域（含边界）内的角的集合（弧度制）。 解析： 该区域边界角为和， 一个周期内范围是， 整理后得到集合。 答案： 题型3：终边在直线上的角的集合表示 题型特征： 给定过原点的直线，求终边落在该直线上的所有角的集合；直线分两条相反射线，需合并区间。 解题步骤： 1. 确定直线与轴正半轴的夹角 2. 分别写出终边在两条射线上的角的集合：和 3. 合并两个集合，得到（角度制）；弧度制为 例题3 写出终边落在直线上的角的集合（角度制）。 解析： 第一步，直线与轴正半轴夹角为；第二步，终边在射线上的集合为，终边在射线上的集合为；第三步，合并得。 答案： 举一反三3-1 写出终边落在轴上的角的集合（角度制）。 解析： 轴与轴正半轴夹角为， 终边在轴正半轴的集合， 负半轴集合， 合并得。 答案： 举一反三3-2 写出终边落在直线上的角的集合（弧度制）。 解析： 直线与轴正半轴夹角为， 终边在两条射线上的集合分别为和， 合并得。 答案： 举一反三3-3 写出终边落在轴上的角的集合（弧度制）。 解析： 轴与轴正半轴夹角为， 终边在轴正、负半轴的集合分别为和， 合并得。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 终边落在与之间（不含边界）的角的集合是（） A. B. C. D. 解析： 终边在指定扇形开区域的角的集合，需在一个周期范围基础上，加上的周期项，A选项缺少周期项，B、C选项周期项添加不全，故选D。 答案： D 2. 多选题 下列关于终边在直线上的角的集合的表述，正确的有（） A. B. C. D. 解析： 终边在直线上的角，周期为（或），A是角度制正确形式，B是弧度制正确形式；C、D的周期为（或），只表示了终边在射线上的角，不完整。故选AB。 答案： AB 3. 填空题 写出终边落在第四象限内的角的集合（弧度制，不含边界）：__________ 解析： 第四象限的边界角为和， 一个周期内范围是， 加上周期项， 整理得集合。 答案： 4. 解答题 (1) 写出终边落在阴影区域（含边界，角度制，阴影介于与之间）内的角的集合。 解析： 边界角为和， 含边界用， 加上周期项即可得到集合。 答案： (2) 写出终边落在阴影区域（不含边界，弧度制，阴影介于与之间）内的角的集合。 解析： 边界角弧度数为和， 不含边界用， 加上周期项得到集合。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边落在射线上，角的终边落在射线上，则角与角的集合关系是（） A. B. C. D. 解析： 射线与是相反射线，终边相差， 因此， 故选B。 答案： B 2. 多选题 下列角中，终边落在集合内的有（） A. B. C. D. 解析： 当时， 区间为，在此区间内；当时， 区间为，在此区间内；和不在任何一个周期区间内，故选AC。 答案： AC ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 6 终边在指定区域内的角的集合表示（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边相同的角 ￮ 定义表述：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，该集合中的角与的终边位置完全一致。 ￮ 数学符号/表达式：（角度制）；（弧度制） ￮ 关键特征：终边位置相同；角之间相差（或）的整数倍；取遍所有整数 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的周期性、诱导公式的推导 2. 【概念2】终边在指定区域内的角的集合 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，终边落在某一特定区域（直线、射线、扇形等）内的所有角的集合，称为终边在指定区域内的角的集合。 ￮ 数学符号/表达式：根据区域边界角（），集合可表示为（开区域，角度制）等形式 ￮ 关键特征： 集合由无数个区间组成，相邻区间间隔（或）；需明确区域的边界是否包含（含边界用，不含用） ￮ 跨章节关联： 适用于三角函数的定义域求解、三角函数值的符号判断 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边在直线上的角的集合 终边在过原点的直线上的角的集合，需分射线讨论，最终合并为（为直线与轴正半轴夹角） 1. 遗漏，错写为；2. 未考虑直线分两条相反射线 对比：正切函数的定义域是，其终边不在轴上，间隔为 区域角的区间开闭性 当区域边界为虚线（不含边界）时，集合用或；边界为实线（含边界）时，用或 1. 混淆虚线与实线对应的不等号；2. 端点角未加 对比：一元一次不等式与的解集差异，边界点的取舍规则一致 三、题型分类与例题精析 题型1：终边在扇形区域内的角的集合表示（不含边界，角度制） 题型特征： 给定平面直角坐标系中的扇形开区域（边界为虚线），已知边界角的度数，求终边落在该区域内的角的集合；区域通常位于一个象限或跨两个相邻象限。 解题步骤： 1. 确定扇形区域的两个边界角，满足且 2. 写出一个周期内（）的角的范围： 3. 加上周期倍数（），得到集合表达式 例题1 写出终边落在图中阴影区域（不含边界）内的角的集合（阴影区域介于与之间）。 举一反三1-1 写出终边落在第二象限内的角的集合（不含边界）。 举一反三1-2 写出终边落在轴正半轴与轴正半轴所夹扇形区域（不含边界）内的角的集合。 举一反三1-3 写出终边落在与之间扇形区域（不含边界）内的角的集合。 题型2：终边在扇形区域内的角的集合表示（含边界，弧度制） 题型特征： 给定平面直角坐标系中的扇形闭区域（边界为实线），已知边界角的弧度数，求终边落在该区域内的角的集合；常与三角函数的定义域结合考查。 解题步骤： 1. 确定扇形区域的两个边界角（弧度制，且） 2. 写出一个周期内（）的角的范围： 3. 加上周期倍数（），得到集合表达式 例题2 写出终边落在图中阴影区域（含边界）内的角的集合（阴影区域介于与之间，弧度制）。 举一反三2-1 写出终边落在第三象限内的角的集合（含边界，弧度制）。 举一反三2-2 写出终边落在与之间扇形区域（含边界）内的角的集合（弧度制）。 举一反三2-3 写出终边落在轴负半轴与轴负半轴所夹扇形区域（含边界）内的角的集合（弧度制）。 题型3：终边在直线上的角的集合表示 题型特征： 给定过原点的直线，求终边落在该直线上的所有角的集合；直线分两条相反射线，需合并区间。 解题步骤： 1. 确定直线与轴正半轴的夹角 2. 分别写出终边在两条射线上的角的集合：和 3. 合并两个集合，得到（角度制）；弧度制为 例题3 写出终边落在直线上的角的集合（角度制）。 举一反三3-1 写出终边落在轴上的角的集合（角度制）。 举一反三3-2 写出终边落在直线上的角的集合（弧度制）。 举一反三3-3 写出终边落在轴上的角的集合（弧度制）。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 终边落在与之间（不含边界）的角的集合是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于终边在直线上的角的集合的表述，正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 写出终边落在第四象限内的角的集合（弧度制，不含边界）：__________ 4. 解答题 (1) 写出终边落在阴影区域（含边界，角度制，阴影介于与之间）内的角的集合。 (2) 写出终边落在阴影区域（不含边界，弧度制，阴影介于与之间）内的角的集合。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边落在射线上，角的终边落在射线上，则角与角的集合关系是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列角中，终边落在集合内的有（） A. B. C. D. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $