4.终边相同的角的集合表示与书写（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 4.终边相同的角的集合表示与书写（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边相同的角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若两个角的终边位置完全相同，则称这两个角为终边相同的角。 ￮数学符号/表达式：与角终边相同的角的集合为 （角度制）；（弧度制） ￮关键特征：终边相同的角之间相差（或）的整数倍；取任意整数（正、负、零） ￮跨章节关联：适用于象限角、轴线角的集合拓展，三角函数周期性的推导与应用 2. 【概念2】终边相同角的集合的本质 ￮定义表述：终边相同的角的集合是一个无限集，的每一个取值对应集合中的一个元素，这些角的终边重合但大小不一定相等。 ￮数学符号/表达式：以为例，集合为 ￮关键特征：时，；时，为的正周期角；时，为的负周期角 ￮跨章节关联：是三角函数周期性质的核心依据，用于求解三角函数的定义域、值域 3. 【概念3】终边相同角的集合的规范书写 ￮定义表述：书写终边相同角的集合时，需明确角的单位（角度制或弧度制）、基准角（通常取或）、周期倍数。 ￮数学符号/表达式：角度制规范形式：；弧度制规范形式： ￮关键特征：基准角的取值范围统一，便于集合之间的运算与比较 ￮跨章节关联：用于解决角的范围求解、集合交集并集运算等问题 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边相同角的差值特征 终边相同的两个角的差一定是（或）的整数倍 认为终边相同的角的差是的整数倍 误判与的差是的2倍，实际是的1倍 集合书写的单位统一性 同一集合中，角度制和弧度制不能混用 在一个集合中同时出现角度和弧度，如 写出错误集合，单位不统一 基准角的取值范围 基准角通常取或，便于标准化 选取超出该范围的角作为基准角，导致集合书写不规范 书写与终边相同的角时，直接写，未化简基准角 的取值范围 必须取全体整数，包含正整数、负整数、零 遗漏的情况，只考虑正周期角 认为与终边相同的角只有等，忽略等负角 三、题型分类与例题精析 题型1：已知基准角，写出终边相同的角的集合（角度制+弧度制） 题型特征：给定一个具体的角，要求用角度制或弧度制写出与其终边相同的角的集合，并按规范选取基准角。 解题步骤： 1. 确定角的单位（角度制或弧度制），若基准角超出或，先化简为该范围内的角。 2. 套用终边相同角的集合公式：角度制；弧度制。 3. 检查单位是否统一、的取值范围是否标注。 例题1：分别用角度制和弧度制写出与下列角终边相同的角的集合 (1) ；(2) ；(3) 举一反三1-1：与角终边相同的角的集合（角度制）是（） A. B. C. D. 举一反三1-2：用弧度制写出与角终边相同的角的集合。 举一反三1-3：用角度制写出与角终边相同的角的集合，并选取规范基准角。 题型2：已知终边相同的角的集合，求指定范围内的角 题型特征：给出终边相同角的集合，要求找出在特定范围（如或）内的所有角。 解题步骤： 1. 根据集合表达式列出不等式，将的范围转化为关于的不等式。 2. 求解不等式，得到整数的取值。 3. 将的每个取值代入集合表达式，计算出对应的角。 例题2：已知与角终边相同的角的集合为，求在范围内的角。 举一反三2-1：与角终边相同的角的集合为，在范围内的角有（） A. B. C. D. 举一反三2-2：已知与角终边相同的角的集合为，求在范围内的角。 举一反三2-3：用弧度制写出与角终边相同的角的集合，并找出在范围内的角。 题型3：终边相同角的集合的运算（交集、并集） 题型特征：已知两个终边相同角的集合，求它们的交集或并集；或根据交集、并集的结果，确定角的范围。 解题步骤： 1. 将两个集合化为规范形式，确保基准角在统一范围内。 2. 分析两个集合中角的终边位置，确定交集或并集的特征。 3. 写出交集或并集的集合表达式，或根据运算结果求解参数。 例题3：设集合，，判断集合与的关系。 举一反三3-1：集合，，则与的关系是（） A. B. C. D. 无包含关系 举一反三3-2：设集合，，求和。 答案：； 举一反三3-3：已知集合，，求。 题型4：终边相同角的集合与象限角、轴线角的综合应用 题型特征：结合象限角、轴线角的定义，写出指定终边位置的角的集合；或根据终边相同角的集合，判断角所在的象限或轴线位置。 解题步骤： 1. 确定指定终边位置的基准角（如第一象限角取，轴正半轴取）。 2. 套用终边相同角的集合公式，写出集合表达式。 3. 若判断象限或轴线位置，化简角为或范围内的角，再进行判断。 例题4：写出终边在第一、三象限角平分线上的角的集合（角度制）。 举一反三4-1：终边在第二、四象限角平分线上的角的集合（弧度制）是（） A. B. C. D. 举一反三4-2：写出终边在轴正半轴上的角的集合（角度制+弧度制）。 举一反三4-3：已知角，判断所在的象限。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：与角终边相同的角的集合（角度制）中，规范基准角为（） A. B. C. D. 2. 多选题：下列关于终边相同角的说法正确的有（） A. 终边相同的角一定相等 B. 相等的角终边一定相同 C. 终边相同的角相差整数倍 D. 终边相同的角的集合是无限集 3. 填空题：用弧度制写出与角终边相同的角的集合为______。 4. 解答题 (1) 用角度制写出与角终边相同的角的集合，并找出在范围内的角。 (2) 判断角所在的象限。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：在范围内，与角终边相同的角的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 多选题：已知集合，，则下列关系正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题：已知角与角终边相同，且，则______。 4. 解答题 (1) 写出终边在直线上的角的集合（弧度制）。 (2) 设集合，，判断与的包含关系。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：已知角是第二象限角，且与角终边相同，则是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 多选题：已知集合，，则（） A. B. 是轴线角集合 C. 中角都是轴线角 D. 3. 填空题：若角与角终边相同，且，则______（用表示）。 4. 解答题 (1) 已知角的终边与角的终边关于轴对称，写出与终边相同的角的集合（角度制）。 (2) 已知集合，，，求，。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 4.终边相同的角的集合表示与书写（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边相同的角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若两个角的终边位置完全相同，则称这两个角为终边相同的角。 ￮数学符号/表达式：与角终边相同的角的集合为 （角度制）；（弧度制） ￮关键特征：终边相同的角之间相差（或）的整数倍；取任意整数（正、负、零） ￮跨章节关联：适用于象限角、轴线角的集合拓展，三角函数周期性的推导与应用 2. 【概念2】终边相同角的集合的本质 ￮定义表述：终边相同的角的集合是一个无限集，的每一个取值对应集合中的一个元素，这些角的终边重合但大小不一定相等。 ￮数学符号/表达式：以为例，集合为 ￮关键特征：时，；时，为的正周期角；时，为的负周期角 ￮跨章节关联：是三角函数周期性质的核心依据，用于求解三角函数的定义域、值域 3. 【概念3】终边相同角的集合的规范书写 ￮定义表述：书写终边相同角的集合时，需明确角的单位（角度制或弧度制）、基准角（通常取或）、周期倍数。 ￮数学符号/表达式：角度制规范形式：；弧度制规范形式： ￮关键特征：基准角的取值范围统一，便于集合之间的运算与比较 ￮跨章节关联：用于解决角的范围求解、集合交集并集运算等问题 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边相同角的差值特征 终边相同的两个角的差一定是（或）的整数倍 认为终边相同的角的差是的整数倍 误判与的差是的2倍，实际是的1倍 集合书写的单位统一性 同一集合中，角度制和弧度制不能混用 在一个集合中同时出现角度和弧度，如 写出错误集合，单位不统一 基准角的取值范围 基准角通常取或，便于标准化 选取超出该范围的角作为基准角，导致集合书写不规范 书写与终边相同的角时，直接写，未化简基准角 的取值范围 必须取全体整数，包含正整数、负整数、零 遗漏的情况，只考虑正周期角 认为与终边相同的角只有等，忽略等负角 三、题型分类与例题精析 题型1：已知基准角，写出终边相同的角的集合（角度制+弧度制） 题型特征：给定一个具体的角，要求用角度制或弧度制写出与其终边相同的角的集合，并按规范选取基准角。 解题步骤： 1. 确定角的单位（角度制或弧度制），若基准角超出或，先化简为该范围内的角。 2. 套用终边相同角的集合公式：角度制；弧度制。 3. 检查单位是否统一、的取值范围是否标注。 例题1：分别用角度制和弧度制写出与下列角终边相同的角的集合 (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) 角度制，在范围内，集合为。 (2) 弧度制，在范围内，集合为。 (3) 角度制，，化简基准角为，集合为。 答案： (1) (2) (3) 举一反三1-1：与角终边相同的角的集合（角度制）是（） A. B. C. D. 解析：角度制中终边相同的角相差整数倍，选项B直接以为基准角，正确；选项D将化为（），也正确。 答案：BD 举一反三1-2：用弧度制写出与角终边相同的角的集合。 解析：，化简基准角为，集合为。 答案： 举一反三1-3：用角度制写出与角终边相同的角的集合，并选取规范基准角。 解析：，规范基准角为，集合为。 答案： 题型2：已知终边相同的角的集合，求指定范围内的角 题型特征：给出终边相同角的集合，要求找出在特定范围（如或）内的所有角。 解题步骤： 1. 根据集合表达式列出不等式，将的范围转化为关于的不等式。 2. 求解不等式，得到整数的取值。 3. 将的每个取值代入集合表达式，计算出对应的角。 例题2：已知与角终边相同的角的集合为，求在范围内的角。 解析： 列出不等式：， 移项得：， 两边除以得：， 整数取。 · 当时，； · 当时，； · 当时，。 答案： 举一反三2-1：与角终边相同的角的集合为，在范围内的角有（） A. B. C. D. 解析：列不等式，解得，整数。代入得角为，但，排除D。 答案：ABC 举一反三2-2：已知与角终边相同的角的集合为，求在范围内的角。 解析：列不等式，解得，整数，对应角为；当时，也在范围内。 答案： 举一反三2-3：用弧度制写出与角终边相同的角的集合，并找出在范围内的角。 解析：，集合为；列不等式，解得，整数，对应角为。 答案：集合为；范围内的角为 题型3：终边相同角的集合的运算（交集、并集） 题型特征：已知两个终边相同角的集合，求它们的交集或并集；或根据交集、并集的结果，确定角的范围。 解题步骤： 1. 将两个集合化为规范形式，确保基准角在统一范围内。 2. 分析两个集合中角的终边位置，确定交集或并集的特征。 3. 写出交集或并集的集合表达式，或根据运算结果求解参数。 例题3：设集合，，判断集合与的关系。 解析： 化简集合中的基准角：，因此，与集合的表达式完全相同。 答案： 举一反三3-1：集合，，则与的关系是（） A. B. C. D. 无包含关系 解析：，集合可化为，与相同。 答案：C 举一反三3-2：设集合，，求和。 解析： 集合中的角是加整数倍，终边在第一、三象限角平分线上；集合中的角是加整数倍，终边在四条象限角平分线上。 因此，。 答案：； 举一反三3-3：已知集合，，求。 解析：，集合中的角终边在和上，相差，因此。 答案： 题型4：终边相同角的集合与象限角、轴线角的综合应用 题型特征：结合象限角、轴线角的定义，写出指定终边位置的角的集合；或根据终边相同角的集合，判断角所在的象限或轴线位置。 解题步骤： 1. 确定指定终边位置的基准角（如第一象限角取，轴正半轴取）。 2. 套用终边相同角的集合公式，写出集合表达式。 3. 若判断象限或轴线位置，化简角为或范围内的角，再进行判断。 例题4：写出终边在第一、三象限角平分线上的角的集合（角度制）。 解析： 终边在第一、三象限角平分线上的基准角为和，两个角相差，因此集合为。 答案： 举一反三4-1：终边在第二、四象限角平分线上的角的集合（弧度制）是（） A. B. C. D. 解析：终边在第二、四象限角平分线上的基准角为，相差整数倍，对应集合B。 答案：B 举一反三4-2：写出终边在轴正半轴上的角的集合（角度制+弧度制）。 解析： 终边在轴正半轴上的基准角为（角度制）或（弧度制），因此角度制集合为，弧度制集合为。 答案：角度制：；弧度制： 举一反三4-3：已知角，判断所在的象限。 解析： 化简：，在范围内，属于第四象限角，因此是第四象限角。 答案：第四象限角 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：与角终边相同的角的集合（角度制）中，规范基准角为（） A. B. C. D. 解析：，规范基准角为。 答案：C 2. 多选题：下列关于终边相同角的说法正确的有（） A. 终边相同的角一定相等 B. 相等的角终边一定相同 C. 终边相同的角相差整数倍 D. 终边相同的角的集合是无限集 解析：终边相同的角不一定相等，如和；相等的角终边一定相同；终边相同的角相差整数倍；集合包含无限个元素。 答案：BCD 3. 填空题：用弧度制写出与角终边相同的角的集合为______。 解析：，集合为。 答案： 4. 解答题 (1) 用角度制写出与角终边相同的角的集合，并找出在范围内的角。 解析：，集合为；列不等式，解得，对应角为。 答案：集合为；范围内的角为 (2) 判断角所在的象限。 解析：，在范围内，属于第四象限角。 答案：第四象限角 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：在范围内，与角终边相同的角的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：集合为，列不等式，解得，对应4个角。 答案：C 2. 多选题：已知集合，，则下列关系正确的有（） A. B. C. D. 解析：集合是轴线角集合，集合是终边在轴上的轴线角集合，因此，，。 答案：ABC 3. 填空题：已知角与角终边相同，且，则______。 解析：，列不等式，解得，对应。 答案： 4. 解答题 (1) 写出终边在直线上的角的集合（弧度制）。 解析：终边在上的角的基准角为，相差整数倍，集合为。 答案： (2) 设集合，，判断与的包含关系。 解析：集合中的角是加整数倍，集合中的角是加整数倍，是的4倍，因此。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：已知角是第二象限角，且与角终边相同，则是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：，，，当为偶数时是第一象限角，为奇数时是第三象限角；是第二象限角，为偶数，是第一象限角。 答案：A 2. 多选题：已知集合，，则（） A. B. 是轴线角集合 C. 中角都是轴线角 D. 解析：集合和均表示轴线角集合，二者相等，且。 答案：ABCD 3. 填空题：若角与角终边相同，且，则______（用表示）。 解析：由得，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边与角的终边关于轴对称，写出与终边相同的角的集合（角度制）。 解析：与终边关于轴对称的角为（或），集合为。 答案： (2) 已知集合，，，求，。 解析：是的子集，故；是的子集，故。 答案：； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $