精品解析：甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）． A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法法则得到，进而得到，即可由乘法得解. 【详解】， 则，故. 故选：B 2. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素进行求解. 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 3. 记正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项的性质求得再根据求得公比，进而由即可求得. 【详解】设的公比为. 由，得，所以 则，即 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程的定义即可得到答案. 【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一，作出直线在平面的射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A. 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 6. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，确定所求双曲线的焦点在轴上，设其方程，由椭圆方程中的相关量求出即得. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，故， 故由题所求双曲线的焦点在轴上，可设其方程为， 则得，解得， 故双曲线方程为. 故选：A. 7. 已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中的系数. 【详解】展开式中各项系数之和为， 所以令，可得，解得， ， 的展开式的通项为， 当在项中取时，项中需取，不符合条件； 当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为； 当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为， 综上，展开式中的系数为. 故选：B. 8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【详解】由题意知，所以， 所以离心率． 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由准线的位置可计算得；对于B，设出，联立直线与抛物线，结合韦达定理，即可得解；对于C，由抛物线的性质将转化为，再将其转化为，结合直线倾斜角的范围，即可得解；对于D，由抛物线的性质可得，通分后结合韦达定理，即可得解. 【详解】由题可知，，故，故抛物线. 对于A：，故A正确； 对于B：易知直线的斜率存在，且不为0，故可设直线，， 联立直线与抛物线可得，，消得，， 解得或，. ，故B正确； 对于C：过点作准线的垂线，由抛物线的性质可知，， 故. 由B可知，，或，由对称性，不妨令，则，则，，，即，故C错误； 对于D：由B可知，，. 由抛物线的性质可知，， 故，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 二项展开式的各项系数和为 C. 二项展开式的二项式系数和为 D. 二项展开式中的常数项是第项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及二项式系数性质易得并求二项式系数和，应用赋值法求系数和，由展开式求常数项，即可判断各项正误. 【详解】因为的展开式中有且只有第项的二项式系数最大，所以，故A正确； 展开式的二项式系数和为，故C错误； 令，得二项展开式的各项系数和为，故B正确； 二项展开式的通项为， 令，解得，所以第项为常数项，故D正确. 故选：ABD 11. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它的一个焦点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解. 【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线的方程的方程，与双曲线方程联立求出，再取中点，计算推理判断为平行四边形即可计算得解. 【详解】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，取中点，连接， 直线的斜率，设直线的方程为， 由消去并整理得， 则，整理得，而， 则，解得，因此直线，四边形为平行四边形， 于是，， ，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出直线的斜率，确定四边形为平行四边形. 14. 已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用确定数列的递推关系，从而求得通项公式，利用可确定函数是周期函数且得出周期，由二项展开式确定除以4所得余数，由求得，最后利用周期性得结论． 【详解】因为， 当时，，， ，则， 所以， 所以是等比数列，公比为，， 所以， ，则， 所以，即是周期函数，且周期为4， ，则， ， 上述展开式中，从第二项开始每一项都是8的倍数，也是4的倍数， 所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：在已知数列的项与前项和关系时，一般利用确定数列的前后项之间的关系，从而求得通项公式，解题时要注意的情形是否对也适用． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆，圆，为坐标原点. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若圆上存在点，过点作圆的切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设的方程为，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得答案. （2）由题意，求出点Q的轨迹方程，要使在圆上，只需圆与圆有交点即可，根据两圆相交，圆心距，列出不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设直线的方程为，则， 化简得； 所以直线的方程为或 【小问2详解】 设，由，则， 化简得点的轨迹方程为：， 因为点在圆上， 所以点要存在，只要圆与圆有交点即可， 所以，解得， 所以实数的取值范围 16. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： （1）若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ （2）若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ （3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）相邻问题利用捆绑法； （3）不相邻问题利用插空法，先排3个歌舞类节目，再分小品节目和1个相声节目互不相邻及有一个相邻两种情况讨论. 【小问1详解】 因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位， 先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法， 故共有种排法. 【小问2详解】 先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法， 必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法， 故共有种排法. 【小问3详解】 分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法； 第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目： ①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法； ②若与中的其中一个相邻，则有种排法. 故共有种排法. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）根据分析，可得到轨迹为抛物线，根据抛物线的定义写出方程即可； （2）分类讨论直线是否与y轴平行.当不平行时，设斜率为k，联立方程，根据韦达定理，表示出坐标关系，代入数量积公式即可. 【小问1详解】 依题意知，动点P到定点的距离等于P到直线的距离， 曲线C是以原点为顶点，为焦点的抛物线 ∵， ∴ ∴曲线C方程是 【小问2详解】 当l平行于y轴时，即斜率不存在时，其方程为， 由解得，，则可设， 此时 当l不平行于y轴时，设其斜率为k(k不为0)， 则由得 恒成立. 设，则有，， ∴． 综上，的值为． 18. 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求， （2）求展开式中的一次项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 解得 （2）由（1）知，展开式的第项为： 令得 此时 所以，展开式中的一次项的系数为 19. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． （1）求E的方程； （2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线MN过定点． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可; （2）设出直线AP的方程为，与直线,椭圆联立，分别表示出M，P，N的坐标，进而表示出直线，求得定点. 【小问1详解】 由题意知 解得，，， 所以E的方程为． 【小问2详解】 显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为， 又直线BC的方程为，由，解得，， 即． 由得，解得或， 当时，，即， 所以直线CP的斜率， 所以直线CP的方程为，令，得，即． 所以直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即，所以直线MN过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省白银市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）． A. B. 2 C. D. 4 2. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 记正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 二项展开式的各项系数和为 C. 二项展开式的二项式系数和为 D. 二项展开式中的常数项是第项 11. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它的一个焦点 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则______． 14. 已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆，圆，为坐标原点. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若圆上存在点，过点作圆的切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 16. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： （1）若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ （2）若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ （3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 18. 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求， （2）求展开式中的一次项的系数. 19. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． （1）求E的方程； （2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $