第2章 实数的初步认识 期末复习学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

八年级数学上学期期末复习案(3) 实数的初步认识

【学习目标】

1、理解并掌握平方根、算术平方根、立方根、的概念及性质；

2、理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；

3、理解实数的概念及性质，会对实数进行分类,理解实数与数轴上的点是一一对应的关系.

【学习重点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.

【学习难点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.

【学习过程】

一、本章知识点：

知识点01 平方根、算术平方根与立方根

1、平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根（或二次方根）.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2、算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.

3、立方根：如果x3=a,那么x叫作a的立方根,也称为三次方根.正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.

知识点02 无理数与实数的概念、分类及性质

1、无理数：无限不循环小数叫作无理数.

2、实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的.

二、例题讲解

1、讲解例题1：（2025秋•西湖区校级期中）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．

有理数集合：{　                      　 …}；无理数集合：{　                         　 …}；

正数集合：{　                      　 …．}；负数集合：{　                            　 …}．

2、尝试练习：（2025秋•奉化区校级期中）把下列各数填入相应的集合里．

﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）．

正数集合：{　                       　  …}；分数集合：{　                         　  …}；

负有理数集合：{　                     　 …}；无理数集合：{　                       　  …}．

3、讲解例题2：（2025秋•未央区校级期中）根据平方根、立方根的定义解下列方程：

（1）（x﹣2）2﹣36＝0；                           （2）8（x+1）3＝﹣27．

4、尝试练习：（2024秋•宜兴市期末）根据平方根、立方根的定义求下列各式中的x：

（1）（x﹣3）2﹣1＝3；                            （2）8（x+1）3＝1．

 

 

5、讲解例题3：（2025秋•马边县期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：

①1.596（精确到0.01）：              ；②0.03057（精确到千分位）              ；

③2345000（精确到万位）            ；

6、尝试练习：（2025秋•江北区校级期中）用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值：

（1）245.635（精确到0.1）：              ；（2）175.65（精确到个位）：              ；

（3）12.004（精确到百分位）：            ；（4）6.5378（精确到0.01）：              ．

7、讲解例题4：（2025秋•新源县期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．

（1）a+c　   　 0，c　   　 0，a﹣b　   　 0．（用“＞”或“＜”填空）

（2）化简：|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|．

8、尝试练习：（2025秋•天府新区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：a﹣b　   　 0，b+c　   　 0，c﹣a　   　 0．

（2）化简|a+b|+|b+c|﹣|c﹣a|．

 

 

9、讲解例题5：（2024秋•淮阴区校级期末）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求a+32b﹣c的立方根．

10、尝试练习：（2025秋•西安校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．

（1）a=    ，b=    ，c=    ；（2）求2a﹣b的平方根．

11、讲解例题6：（2025秋•南山区）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：．

例如：比较与2的大小．

∵，

又∵，则，

∴，

∴．

请根据上述方法解答以下问题：

（1）的整数部分是　   　 ，的小数部分是　                　 ；

（2）　   　 ﹣3（比较这两个数的大小）；

（3）已知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，试用“比差法”比较与的大小；

【迁移应用】（4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？

 

7．（2025秋•顺德区校级月考）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．

小华的方法：因为，所以　   　 2，所以　   　 （填“＞”或“＜”）；

小英的方法：，因为19＞42＝16，所以　   　 0，所以　   　 0，所以　   　

（填“＞”或“＜”）．

（1）将上述材料补充完整；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．

八年级数学上学期期末复习案(3) 实数的初步认识（参考答案）

【学习目标】

1、理解并掌握平方根、算术平方根、立方根、的概念及性质；

2、理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；

3、理解实数的概念及性质，会对实数进行分类,理解实数与数轴上的点是一一对应的关系.

【学习重点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.

【学习难点】实数的概念及性质，会对实数进行分类.

【学习过程】

一、本章知识点：

知识点01 平方根、算术平方根与立方根

1、平方根：如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根（或二次方根）.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2、算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.

3、立方根：如果x3=a,那么x叫作a的立方根,也称为三次方根.正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.

知识点02 无理数与实数的概念、分类及性质

1、无理数：无限不循环小数叫作无理数.

2、实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的.

二、例题讲解

1、讲解例题1：（2025秋•西湖区校级期中）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．

有理数集合：{　①②③⑤⑥　 …}；无理数集合：{　④⑦　 …}；

正数集合：{　②③④⑦　   …．}；负数集合：{　①⑥　   …}．

2、尝试练习：（2025秋•奉化区校级期中）把下列各数填入相应的集合里．

﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）．

解：正数集合：{50%，2.1，3.1010010001…，，﹣（） …}；

分数集合：{﹣4.2，50%，﹣||，2.1，﹣（） …}；

负有理数集合：{﹣4.2，﹣||，﹣42…}；无理数集合：{3.1010010001…， …}．

3、讲解例题2：（2025秋•未央区校级期中）根据平方根、立方根的定义解下列方程：

（1）（x﹣2）2﹣36＝0；                           （2）8（x+1）3＝﹣27．

解：（1）由题意得：（x﹣2）2＝36，∴x﹣2＝±6，∴x﹣2＝6或x﹣2＝﹣6；解得：x＝8或x＝﹣4；

（2）解：由题意得：，∴，解得：．