第11讲 函数的应用 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的应用核心知识点，系统梳理函数零点概念、零点存在性定理、二分法，以及一次、二次、指数、对数等函数模型，搭建从函数性质到方程求解再到实际问题解决的学习支架。 资料以思维导图构建知识网络，典例分析结合各地期中题分类型设计，如蒲草覆盖面积预测等实例，培养学生用数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言建模的能力。课中助力分层教学实施，课后便于学生回顾知识点与查漏补缺。

高一年级数学2025年秋学期课程第11讲 函数的应用 2025年 月 日 1、 思维导图 二、知识点梳理 知识点一　函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 知识点二　零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点三　二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点四　函数模型 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 知识点五　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点六　应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 三、典例分析 类型一　求函数的零点 【例1】函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________． 类型二　判断函数的零点所在的区间 【例2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 类型三　函数零点个数问题 命题角度1　判断函数零点个数 【例3】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 【变1】（25-26高一上·福建漳州·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 【变2】函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 命题角度2　根据零点情况求参数范围 【例4】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【变1】（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变2】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四　函数与方程的综合应用 【例5】（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ． 【变1】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 . 【变2】（25-26高一上·山东济南·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型五　函数模型的应用 命题角度1　二次函数模型的应用 【例6】（25-26高一上·河南洛阳·月考）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【变1】（25-26高一上·安徽·月考）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为，两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金3亿元，现在准备投入资金进行生产经市场调查与预测，生产型该设备的毛利润（亿元）与投入的资金成正比，比例系数；生产型该设备的毛利润（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示. (1)求与的函数关系式； (2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产，两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. （净利润=型毛利润+型毛利润研发耗费资金） 命题角度2　分式型函数模型的应用 【例7】（25-26高一上·湖南·月考）已知某企业只生产A产品，当年投入成本为万元时，获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，该企业获得的纯利润为万元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求该企业获得的纯利润； (3)为了让该企业获得更高的纯利润，在和中，你认为应该选择哪一个？请说明你的理由． 命题角度3　指数函数模型的应用 【例8】（25-26高一上·广东·月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化珠江上游水域的水质．省环保局于2024年年底在珠江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，经过2个月测得蒲草覆盖面积为，经过3个月测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积与经过个月的关系式有两个函数模型与可供选择． (1)根据以上测量数据，分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2024年年底投入蒲草之前测得原来蒲草覆盖的面积初始值为，从上述两个函数模型中选择更符合实际情况的一个模型，说明理由，并估算从2024年年底开始至少经过几个月蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，，）． 【变1】（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 命题角度4　分段函数模型的应用 【例9】（25-26高一上·甘肃张掖·月考）研究发现，注射某药物后，该药物在血液内的浓度（毫克/升）与时间（小时）满足关系式 ．现对小白鼠注射该种药物，假设多次注射该种药物后，小白鼠血液中药物的浓度等于每次注射后的浓度之和． (1)注射一次后，求第6个小时药物在血液中的浓度； (2)若第一次注射后，3小时后再注射一次，设第二次注射小时后药物在血液内的浓度为． ①求的表达式； ②当药物在血液内的浓度不低于56毫克/升时，则治疗效果显著，求第二次注射后药物治疗效果显著持续的时间． 【变1】（25-26高一上·江苏镇江·月考）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 命题角度5　对数函数模型的应用 【例10】（25-26高一上·广东·月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【变1】（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 20 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学2025年秋学期课程第11讲 函数的应用 2025年 月 日 1、 思维导图 二、知识点梳理 知识点一　函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 知识点二　零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点三　二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点四　函数模型 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 知识点五　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点六　应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 三、典例分析 类型一　求函数的零点 【例1】函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________． 答案　x＝1或x＝10 解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10. 总结　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标． 类型二　判断函数的零点所在的区间 【例2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由复合函数的单调性结合指数函数的单调性以及零点存在定理可得. 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又，， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 总结　在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点． 【变1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】根据题意，得到函数为单调递增函数，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在为单调递增函数， 且， 根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在区间为. 故选：C. 类型三　函数零点个数问题 命题角度1　判断函数零点个数 【例3】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点． 又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f(x)有且只有一个零点． 方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图． 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点． 总结　判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数． 【变1】（25-26高一上·福建漳州·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 【答案】CD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数、判断两个函数是否相等 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的应变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. 训练1、函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 答案　4 解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 命题角度2　根据零点情况求参数范围 【例4】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围. 【详解】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C 总结　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单． 【变1】（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 【变2】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 类型四　函数与方程的综合应用 【例5】（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填    【变1】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】首先说明函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合可得，，即可得解. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减， 令，解得，； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的图象如图所示，    因为存在，使，令， 则， 由图可得，关于点对称，， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 【变2】（25-26高一上·山东济南·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示， 对于A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，故A正确； 对于B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中，令， 当且仅当时，取得最小值，所以，故B正确； 对于C，因为是的两个根，所以，即，所以， 由，是的两个根，所以， 所以，故C错误； 对于D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，故D正确. 故选：ABD. 类型五　函数模型的应用 命题角度1 二次函数模型的应用 【例6】（25-26高一上·河南洛阳·月考）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 【变1】（25-26高一上·安徽·月考）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为，两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金3亿元，现在准备投入资金进行生产经市场调查与预测，生产型该设备的毛利润（亿元）与投入的资金成正比，比例系数；生产型该设备的毛利润（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示. (1)求与的函数关系式； (2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产，两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. （净利润=型毛利润+型毛利润研发耗费资金） 【答案】(1) (2)时，可以获得最大净利润亿元. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）由函数图象知图象经过的点坐标，将点坐标代入函数解析式，即可求得参数，即可求得解析式； （2）由题意写出与的函数关系式，由净利润公式写出表达式，通过换元将函数转变为二次函数，由二次函数的对称轴求得最大值； 【详解】（1）由函数图象可知，函数图象经过， ∴，解得， ∴ （2）由题意可知， 则， 设，则， ∴函数， 函数开口向下，且对称轴为， 则， 当，即时，函数取最大值. 即当投入亿元生产型号时，可以获得最大净利润亿元. 命题角度2　分式型函数模型的应用 【例7】（25-26高一上·湖南·月考）已知某企业只生产A产品，当年投入成本为万元时，获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，该企业获得的纯利润为万元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求该企业获得的纯利润； (3)为了让该企业获得更高的纯利润，在和中，你认为应该选择哪一个？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)7万元； (3)应该选择，理由见解析. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用 【分析】（1）根据题意设出，再根据企业年投入成本为万元时获得的利润解出，即可得解； （2）将代入函数解析式即可； （3）比较与时函数值的大小即可. 【详解】（1）依题意可设，则， 因为当年投入成本为5万元时，该企业获得的纯利润为8.4万元， 所以，解得， 所以y关于x的函数表达式为. （2）由（1）知时，，所以当时，该企业获得的纯利润为万元． （3）应该选择．理由如下： 因为，所以， 所以，故应该选择． 命题角度3　指数函数模型的应用 【例8】（25-26高一上·广东·月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化珠江上游水域的水质．省环保局于2024年年底在珠江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，经过2个月测得蒲草覆盖面积为，经过3个月测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积与经过个月的关系式有两个函数模型与可供选择． (1)根据以上测量数据，分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2024年年底投入蒲草之前测得原来蒲草覆盖的面积初始值为，从上述两个函数模型中选择更符合实际情况的一个模型，说明理由，并估算从2024年年底开始至少经过几个月蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，，）． 【答案】(1)； ； (2)，理由见解析；14 【知识点】指数式与对数式的互化、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2）、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意可得、，解方程组即可求解. （2）令，代入（1）中的函数表达式，计算值即可求解；由题意，解指数型不等式即可求解. 【详解】（1）由已知，所以； 由已知，所以 ； （2）若用模型，则当时，， 若用模型，则当时，， 更接近，使用模型更为合适. 由，所以，所以， 故取，所以至少经过14个月蒲草覆盖面积能达到. 【变1】（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 命题角度4　分段函数模型的应用 【例9】（25-26高一上·甘肃张掖·月考）研究发现，注射某药物后，该药物在血液内的浓度（毫克/升）与时间（小时）满足关系式 ．现对小白鼠注射该种药物，假设多次注射该种药物后，小白鼠血液中药物的浓度等于每次注射后的浓度之和． (1)注射一次后，求第6个小时药物在血液中的浓度； (2)若第一次注射后，3小时后再注射一次，设第二次注射小时后药物在血液内的浓度为． ①求的表达式； ②当药物在血液内的浓度不低于56毫克/升时，则治疗效果显著，求第二次注射后药物治疗效果显著持续的时间． 【答案】(1) (2)①；②4小时 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、基本不等式求和的最小值、分段函数模型的应用 【分析】（1）用代入法进行求解即可； （2）①根据题意，利用分类讨论思想进行求解即可； ②根据基本不等式，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）； （2）①第二次注射小时后药物在血液内的浓度为： 当时，； 当时，， 所以； ②当时， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号，所以， 当时，，即， 所以， 所以第二次注射后药物治疗效果显著所持续的时间为4小时. 【变1】（25-26高一上·江苏镇江·月考）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【知识点】分式型函数模型的应用、分段函数模型的应用 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 命题角度5　对数函数模型的应用 【例10】（25-26高一上·广东·月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【答案】(1)个单位 (2)20秒 【知识点】对数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】（1）利用指对互化解方程即可； （2）求出、时的速度，再根据距离差即可求出. 【详解】（1）当时，，即， 则，得个单位； （2）当时，. 当时，， 即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为， 因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼. 【变1】（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由见解析；(2)；(3)第16个月. 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求对数函数的解析式、对数函数模型的应用（2）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【详解】（1）由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 20 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $