裂项相消法求和专项训练+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

裂项相消法求和专题 1.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a=6,S。=42 (I)求数列{an}的通项公式： (2)若b,=1 ,数刻的前”项和为1，术证：乙<子 aan 2.设正项数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=a2+an (I)求数列an}的通项公式： 1 (2)设bn= 口+一，记数刻}的前碳和文、求让：了<对 3.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,ag=S;,a4=2a2-2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设6，。1 3,+2,求其前n项和为7. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,S;+a3=30 (1)求an及Sn; ②若3子求数列的前孩和T 第1页，共2页 5.在数列{an},{bn}中，若b=n+3,数列{an}的前n项和Sn满足3Sn=anb,-1n∈N (I)求数列{an}的通项公式. ②若数列c,满足c,3b,求数列c,的前项和T 6.设数列{a,}的前项和为S,已知S,=17,_S,} 5n+7J 是公差为，的等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)设b,=1 -,求数列{bn}的前n项和T,. aa 答案第1 7.已知数列an}满足a,+a2+a3+…+an=n2. (I)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 「1 的前n项和Sn· anan+) 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n,其中neN. (I)求{an}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和Hn. aan) 页，共2页 裂项相消法求和专题参考答案 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 2．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 3．(1) (2) 【分析】（1）把条件都用，表示出来，解方程求出，，可得等差数列的通项公式； （2）采用裂项求和的方法求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得. 所以：. （2）由（1）可得：， 所以：， 故：. 4．(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解， （2）根据裂项求和即可求解. 【详解】（1）设公差为，则由，可得： ，解得， 所以， （2）， 故 5．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到时的递推关系式，然后两式作差，最后利用累乘法求解出的通项公式； （2）先将的通项公式裂项，然后采用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由题设可得， 当时，，得， 当时，，两式相减得， 所以，即， 所以， 所以，显然符合的情况， 所以数列的通项为； （2）因为， 所以数列的前项和 . 6．(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得结合是公差为的等差数列可求得，根据之间的关系即可进一步求解； （2）首先得，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即． 当时，， 又适合上式， 所以． （2）， 故 ． 7．(1) (2) 【分析】（1）根据公式，即可求解； （2）根据（1）的结果得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）设数列的前项和为，由题意得，， 当 ， 当，适合上式. （2）因为， 所以. 8．(1)， (2) 【分析】（1） 利用与的关系式，分类讨论与即可得解； （2）利用裂项相消求和法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $裂项相消法求和 专题 1.已知数列{an}为等差数列， (1)求数列{an}的通项公式： 数列{bn}的前 Sn为其前n项和， n项和为T,求证： a3=6,S6=42. an=2+2(n-1)=2n. 1 1 T< 44n+4 2.设正项数列{an}的前n项和为Sn, (1)求数列{an}的通项公式； 1 2)设b,G+o11'i 记数列{bn}的前 (1)an=n; 28,a;+an. 北) n项和工，求证：工号 3.己知等差数列{an}的前n项和为Sn, (1)求数列{an}的通项公式；· (2设6，=8.十2， 求其前n项和为T. a3=S3,a4=2a2-2. an=4+(n-1)×2=2n+2. n 2(n+2) 6.设数列{an}的前n项和为Sn,已知S=17, (1)求{an}的通项公式；。 2)设6，=1,5 求数列{bn}的前n项和Tn. { 是公差为的等差数列.· )an=5n+1。 n T= 6(5n+6) 7.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an (1)求数列{an}的通项公式； 2求数列 ao 的前n项和Sn· 2 n (1)an=2n-1. n (2)2n+1 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n, (1)求{an}的通项公式； (2)求数列 d 的前n项和Hm. 其中neN.。 (1)an =2n,neN". (2)H.=4n+ 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3, (1)求an及Sn; (2若4=3” 求数列{bn}的前n项和Tn n+1 S5+a3=30 )an=2n-1,Sn=n2. 1 5.在数列{a},{b}中，若b=n+3,数列{a}的前n项和S,满足3Sn=a,b。-1(neN) (1)求数列{an}的通项公式. )a,2（n+100n+2) .1 ②)若数列c,}满足c3如，求数列c,}的前”项和工 n2+5n T。6(n+2)0n+3