重难03 万有引力与航天（重难专练）（北京专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难03 万有引力与航天 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一、开普勒行星运动定律理解 （1）由开普勒第二定律可得，，解得，可知近日点速度最大，远日点速度最小。 （2）开普勒第三定律中，值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体值不同，且该定律只能用在中心天体相同的星体之间。 （3）运行过程中行星的机械能守恒，即。 二、天体质量和密度的计算 三、分析卫星运动的两条思路 在地面附近静止 忽略自转：，故（黄金代换式） 考虑自转 两极： 赤道： （天体）卫星在圆轨道上运行 “高轨低速大周期” 四、卫星的发射及变轨 卫星的发射 第一宇宙速度：，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫星的运行速度；不同的星球、不同，第一宇宙速度不同 卫星的变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变大；由高轨变低轨，反之。 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 （3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长 五、两种特殊卫星 卫星 特点 地球同步卫星 （1）周期与地球自转周期相等，。 （2）高度固定不变，。 （3）运行速率约为 近地卫星 （1）轨道半径（地球半径）； （2）运行速度等于第一宇宙速度（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）； （3）（人造地球卫星的最小周期） 六、卫星追及问题中的规律（绕行方向相同） 1.相距最近到最近（或相距最远到最远）： （1）角度关系为； （2）圈数关系为，解得。 2.相距最远到最近（或相距最近到最远）： 或。 （建议用时：20分钟） 1. （2025·北京大兴·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A．可依据图像求出该星球质量 B．可求出距球心处质量为物体的重力势能 C．该星球的第二宇宙速度为 D．在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 2. （2025·北京海淀·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A．在近星点和远星点的速度满足 B．S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C．S2在点和点的加速度大小之比为 D．中心天体黑洞的半径至多为 3. （2025·北京西城·三模）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据表中信息，可以判断（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年 B．某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象 C．天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 4. （2025·北京大兴·三模）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功升空。此后，飞船顺利完成了与运行高度为400km的空间站的对接，将三名宇航员成功送入空间站。根据上述信息，下列有关说法正确的是（　　） A．神舟十九号的发射速度应该不低于11.2km/s B．神舟十九号随火箭升空的过程中，飞船内的宇航员处于失重状态 C．空间站正常运行时的线速度应略低于第一宇宙速度 D．空间站与地球同步卫星在相同的轨道上 5. （2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A． B． C． D． 6. （2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 7. （2025·北京通州·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道Ⅲ上运行。在上述过程中，飞船（    ） A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速 B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等 C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度 D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半 8. （2025·北京西城·一模）北斗卫星导航系统中包含地球静止卫星，即相对地面静止的卫星。静止卫星的（　　） A．周期大于地球自转的周期 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度 9. （2025·北京房山·一模）某航天器绕地球运行的轨道如图所示。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两点。下列说法正确的是（　　） A．航天器在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期 B．不论在轨道1还是在轨道2运行，航天器在Р点的速度大小相等 C．航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度 D．航天器在轨道2上从Р点运动到Q点过程中，地球对航天器的引力做正功 10. （2025·北京顺义·一模）空间站在距离地面高度为h的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务，此时航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．此时航天员所受合力为零 B．地球的质量为 C．空间站的线速度大小为 D．空间站的向心加速度大小为 （建议用时：30分钟） 1. （2025高三·北京·专题练习）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s 2. （2024·北京海淀·模拟预测）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　） A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期 B．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 C．该卫星在L2点处于平衡状态 D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 3. （2024·北京海淀·模拟预测）如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中错误的是（　　） A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 4. （2024·北京大兴·三模）2024年，我国探月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保持和地球、月球相对位置关系不变，以和月球相同的角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（　　） A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同 B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚 C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动 D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为 5. （2024·北京海淀·模拟预测）为简单计，把地-月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动，如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上。则图中四个点可能是“拉格朗日点”的是（    ） A．A、B、C点 B．A、B、D点 C．A、C、D点 D．B、C、D点 6. （2024·北京昌平·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球静止卫星与现在相比（　　）。 A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 7. （2024·北京通州·一模）我国发射的卫星“墨子号”与“济南一号”均使用了量子技术，“济南一号”比“墨子号”的运行周期短，“济南一号”和“墨子号”绕地球的运动均可视为匀速圆周运动。比较它们的运动，下列说法正确的是（  ） A．“济南一号”的线速度更大 B．“济南一号”的角速度更小 C．“济南一号”的向心加速度更小 D．“济南一号”的运行轨道半径更大 8. （2024·北京丰台·二模）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半径之比约为。根据以上信息可知这两颗卫星的（　　） A．线速度大小之比约为 B．周期之比约为 C．向心加速度大小之比约为 D．向心力大小之比约为 9. （2024·北京海淀·一模）在空间站中，宇航员长期处于失重状态，为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环旋转舱绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，宇航员可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员相对自身静止释放一小球，小球将悬浮在空间站中相对空间站静止 B．旋转舱的半径大小和转动角速度乘积是定值 C．宇航员在旋转舱与旋转中心之间的连接舱中时和在地球上感受相同 D．以旋转中心为参考系，宇航员在环形旋转舱的加速度大小等于重力加速度的大小 10. （2024·北京顺义·一模）科学家发现由于太阳内部的核反应而使其质量在不断减小。在若干年后，地球绕太阳的运动仍可视为匀速圆周运动。描述地球绕太阳运动的物理量与现在相比，下列说法正确的是（　　） A．半径变小 B．周期变大 C．速率变大 D．角速度变大 11. （2024·北京东城·一模）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的周期约为16小时的椭圆轨道，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入图中曲线2所示新轨道，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度为h，周期为。已知月球半径为r，万有引力常量为G，则以下正确的是（　　） A．卫星在16小时轨道上运行时，在近地点的机械能比在远地点的机械能小 B．24小时轨道与48小时轨道的半长轴之比为 C．卫星在地月转移轨道上运行时速度大于第二宇宙速度 D．月球的质量为 12. （2024·北京海淀·一模）2022年10月，我国发射的“夸父一号”太阳探测卫星成功进入距地面高度为720km、周期约为100分钟的太阳同步晨昏轨道，如图所示。所谓太阳同步晨昏轨道，从宇宙中看，卫星围绕地球在两极上空飞行（看作匀速圆周运动）且跟随着地球绕太阳公转，同时轨道平面围绕太阳转动，且保持这个面一直朝向太阳，可实现全天候对太阳磁场、太阳耀斑等进行观测。下列说法正确的是（　　） A．“夸父一号”每绕地球1周，地球自转25° B．“夸父一号”绕地球运动的向心加速度大于地球表面重力加速度 C．“夸父一号”绕垂直于地球自转轴旋转 D．“夸父一号”的发射速度大于 （建议用时：40分钟） 1. （2024·北京石景山·一模）如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点通过变轨进入预定圆轨道。则（　　） A．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的大 B．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小 C．在 B点变轨前后，飞船的机械能不变 D．在B点飞船通过减速从椭圆轨道进入预定圆轨道 2. （2024·北京海淀·一模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量约为月球质量的9倍、半径约为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面重力加速度大于火星表面重力加速度 B．嫦娥五号绕月球的运行速度大于天问一号绕火星的运行速度 C．相同时间内，嫦娥五号与月球的连线扫过的面积与天问一号与火星的连线扫过的面积相等 D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值小于天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值 3. （2024·北京延庆·一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北斗导航系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。 （1）求地球的质量M； （2）求该卫星的轨道距离地面的高度h； （3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v与第一宇宙速度v1的大小关系。 4. （2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B相对静止绕着共同的圆心O在同一平面内做匀速圆周运动，A、B连线经过O点，P是A、B连线与A运动轨道的交点，某时刻空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体C，应该也可以实现三个天体都绕着O匀速转动。若这是一个A、B、C组成的“三星系统”，则（　　） A．A的质量小于B的质量 B．C可能位于A、B连线的中垂线上 C．若C与A质量相等，C可能位于P点 D．若C的质量远小于A、B的质量，C一定在B的外侧 5. （25-26高三上·河北·期中）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步轨道距地面高度为。某时刻电梯舱停留在距地面高度为的点处。此时，电梯舱内一质量为的乘客站在体重计上，体重计示数为。引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．乘客在点受到的万有引力大小为 B．乘客在点的向心加速度小于 C．乘客在点的线速度大小为 D．体重计的示数 6. （2025·湖北·模拟预测）2025年4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验卫星准确送入预定轨道。如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为，且，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为，引力常量为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 7. （2025·广东·模拟预测）北京时间2023年9月，中国航天员在空间站梦天实验舱中圆满完成“天宫课堂”直播授课。中国空间站在距离地面约430 km的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为90 min，空间站的运动平面与赤道面的夹角约为，为实现空间站与地面直播互动交流，空间站的信号需要先传到在地球静止轨道上运行的中继卫星，然后再传回地面。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度比地面上观看直播的同学的线速度小 B．空间站的线速度大于地球的第一宇宙速度 C．空间站的加速度小于地球两极的重力加速度 D．若要完成一场90 min的直播授课，仅一颗中继卫星即可完成任务 8. （2025·安徽·模拟预测）2024年10月10日21时50分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。不同高度的卫星绕地球做圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积与卫星的线速度的倒数的关系图像如图，其斜率为。已知地球的半径为，引力常量为，卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若卫星的运动周期为，则卫星离地球表面的高度为 9. （2025·河北衡水·模拟预测）我国的北斗系统可提供全球导航服务，在轨工作卫星共33颗，包含5颗地球静止同步轨道卫星，7颗倾斜地球同步轨道卫星和21颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统中的两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A和地球静止同步轨道卫星B，卫星A环绕方向为顺时针，卫星B环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为，地球的半径为，卫星A和卫星B到地球表面的距离分别为、，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为120°，下列说法正确的是（　　） A．卫星B的动能一定小于卫星A的动能 B．地球的质量 C．卫星A围绕地球做圆周运动的周期 D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最远 10. （2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 11. （2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 12. （2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 13. （24-25高三上·北京顺义·阶段练习）建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。 (1)试推导第一宇宙速度v的表达式； (2)如图-1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图-2中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度vm； (3)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为R0和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 14. （2024·北京海淀·一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P 运动的示意图，在xOy 平面内，质量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。 （1）若认为木星位于坐标原点O， 根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量M0 ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。  请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。 （2）若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M0 与M'的大小关系。 15. （2024·北京石景山·一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径r叫做A点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。 （1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为T。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，求电子运动的轨道半径R。 （2）将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v₀抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为g，求其轨迹最高点P处的曲率半径r。 （3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点P的速度为v₁，近地点 P到地心的距离为R；在远地点Q的速度为v₂，远地点Q到地心的距离为r。一兴趣小组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到 请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难03 万有引力与航天 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一、开普勒行星运动定律理解 （1）由开普勒第二定律可得，，解得，可知近日点速度最大，远日点速度最小。 （2）开普勒第三定律中，值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体值不同，且该定律只能用在中心天体相同的星体之间。 （3）运行过程中行星的机械能守恒，即。 二、天体质量和密度的计算 三、分析卫星运动的两条思路 在地面附近静止 忽略自转：，故（黄金代换式） 考虑自转 两极： 赤道： （天体）卫星在圆轨道上运行 “高轨低速大周期” 四、卫星的发射及变轨 卫星的发射 第一宇宙速度：，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫星的运行速度；不同的星球、不同，第一宇宙速度不同 卫星的变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变大；由高轨变低轨，反之。 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 （3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长 五、两种特殊卫星 卫星 特点 地球同步卫星 （1）周期与地球自转周期相等，。 （2）高度固定不变，。 （3）运行速率约为 近地卫星 （1）轨道半径（地球半径）； （2）运行速度等于第一宇宙速度（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）； （3）（人造地球卫星的最小周期） 六、卫星追及问题中的规律（绕行方向相同） 1.相距最近到最近（或相距最远到最远）： （1）角度关系为； （2）圈数关系为，解得。 2.相距最远到最近（或相距最近到最远）： 或。 （建议用时：20分钟） 1. （2025·北京大兴·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法不正确的是（　　） A．可依据图像求出该星球质量 B．可求出距球心处质量为物体的重力势能 C．该星球的第二宇宙速度为 D．在距球心轨道上运行的卫星速度大小为 【答案】C 【详解】A．根据图像可得当时，此时加速度最大，故根据 可得，故可求出该星球质量，故A正确，不符合题意； B．距球心处质量为物体的重力势能为，由图像可求出在时，可得出对应的距离某星球球心处的重力加速度g的大小，故可求出此点的重力势能，故B正确，不符合题意； C．根据 可得第一宇宙速度为 由于第一宇宙速度与第二宇宙速度的关系为 则该星球的第二宇宙速度为，故C错误，符合题意； D．在距球心轨道上运行的卫星，根据 解得在距球心轨道上运行的卫星速度大小为，故D正确，不符合题意。 故选C。 2. （2025·北京海淀·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A．在近星点和远星点的速度满足 B．S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C．S2在点和点的加速度大小之比为 D．中心天体黑洞的半径至多为 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于远星点的速度，即，故A正确； B．根据开普勒第二定律 可得，故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 则S2在点和点的加速度大小之比为，故C正确； D．因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式 当时，可得 解得 所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。 本题选说法错误项，故选B。 3. （2025·北京西城·三模）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据表中信息，可以判断（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年 B．某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象 C．天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 【答案】A 【详解】根据开普勒第三定律有 解得行星的公转周期为 根据表格中数据计算出火星、木星、土星的周期分别为， ， 计算出天王星、海王星的周期分别为， 令相邻两次冲日的时间间隔为t，则有 解得，计算出火星、木星的t分别为， 计算出土星、天王星、海王星的t分别为，， 可知，火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确； B．结合上述可知，所有行星的冲日间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误； C．结合上述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔（1.01年）并非土星相邻两次冲日的时间间隔（1.04年）的一半，故C错误； D．结合上述可知，海王星间隔最短（约1.006年），而非最长，故D错误。 故选A。 4. （2025·北京大兴·三模）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功升空。此后，飞船顺利完成了与运行高度为400km的空间站的对接，将三名宇航员成功送入空间站。根据上述信息，下列有关说法正确的是（　　） A．神舟十九号的发射速度应该不低于11.2km/s B．神舟十九号随火箭升空的过程中，飞船内的宇航员处于失重状态 C．空间站正常运行时的线速度应略低于第一宇宙速度 D．空间站与地球同步卫星在相同的轨道上 【答案】C 【详解】A．第二宇宙速度（11.2 km/s）是脱离地球引力的最小速度，而飞船只需达到第一宇宙速度（7.9 km/s）即可绕地球运行。神舟飞船的轨道半径较小，发射速度不会达到11.2 km/s，故A错误； B．火箭升空时加速上升，加速度方向向上，宇航员处于超重状态，而非失重状态，故B错误； C．第一宇宙速度是近地轨道的最大环绕速度。空间站轨道半径（约6800 km）大于地球半径（约6371 km），根据万有引力提供向心力，解得 ，可知轨道半径越大，线速度越小，因此空间站线速度略低于第一宇宙速度，故C正确； D．地球同步卫星轨道高度约为36000 km，远高于空间站的400 km，两者轨道不同，故D错误。 故选C。 5. （2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有 联立解得“天链二号04星”的周期 故选C。 6. （2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对物块，由牛顿第二定律有 解得物块受到的支持力 根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为。 故选C。 7. （2025·北京通州·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道Ⅲ上运行。在上述过程中，飞船（    ） A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速 B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等 C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度 D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半 【答案】B 【详解】A．需在B处加速，做离心运动，才能由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，A错误； B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等，加速度大小为 ，B正确； C．根据，解得，轨道半径越小，速度越大，所以在轨道Ⅰ上A处的速度大于在轨道Ⅲ上B处的速度，C错误； D．根据开普勒第三定律，在轨道Ⅱ上运行周期小于在轨道Ⅲ上运行周期，所以在轨道Ⅱ上由A到B的时间小于在轨道Ⅲ上运行周期的一半，D错误。 故选B。 8. （2025·北京西城·一模）北斗卫星导航系统中包含地球静止卫星，即相对地面静止的卫星。静止卫星的（　　） A．周期大于地球自转的周期 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度 【答案】D 【详解】A．相对地面静止的卫星的周期与地球自转的周期相等，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 第一宇宙速度是在地球表面运动的卫星的速度，相对地面静止的卫星的轨道半径大于在地球表面运动的卫星，即静止卫星的线速度小于地球的第一宇宙速度，故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 可知向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误； D．根据可知向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度，故D正确。 故选D。 9. （2025·北京房山·一模）某航天器绕地球运行的轨道如图所示。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两点。下列说法正确的是（　　） A．航天器在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期 B．不论在轨道1还是在轨道2运行，航天器在Р点的速度大小相等 C．航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度 D．航天器在轨道2上从Р点运动到Q点过程中，地球对航天器的引力做正功 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 卫星在轨道1的运行周期小于其在轨道3的运行周期，故A错误； B．根据变轨原理可知，航天器从轨道1到轨道2，需正P点加速，则航天器在2轨道时经过P点的速度较大，故B错误； C．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周的最大环绕速度，所以航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度，故C正确； D．卫星在轨道2上从P点运动到Q点的过程中，引力做负功，故D错误。 故选C。 10. （2025·北京顺义·一模）空间站在距离地面高度为h的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务，此时航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．此时航天员所受合力为零 B．地球的质量为 C．空间站的线速度大小为 D．空间站的向心加速度大小为 【答案】C 【详解】A．航天员相对空间站静止，即航天员和空间站一起相对地球做圆周运动，所受合力不为零，A错误； B．设地表有一物体，质量为，忽略地球自转，有，解得地球的质量为，B错误； C．由，其中，得，代入地球质量，解得，C正确； D．由，其中，得，代入地球质量，解得，D错误。 故选C。 （建议用时：30分钟） 1. （2025高三·北京·专题练习）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s 【答案】B 【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 代入题中数据联立解得 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D错误。 故选B。 2. （2024·北京海淀·模拟预测）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　） A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期 B．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 C．该卫星在L2点处于平衡状态 D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 【答案】B 【详解】A．该卫星可以保持与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期等于地球公转周期，选项A错误； B．该卫星在L2处绕太阳转动的半径大于地球的公转半径，根据 可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，选项B正确； C．该卫星在L2点绕太阳做圆周运动，不是处于平衡状态，选项C错误； D．该卫星所受太阳和地球引力的合力等于绕太阳做圆周运动的向心力，根据 该卫星在L2处转动半径大于在L1处的转动半径，可知该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大，选项D错误。 故选B。 3. （2024·北京海淀·模拟预测）如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中错误的是（　　） A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力 B．周期关系为 C．线速度的大小关系为 D．向心加速度的大小关系为 【答案】A 【详解】A．b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力垂直于地轴的分力提供向心力，故A错误，符合题意； B．c为地球静止卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据开普勒第三定律有 由于 则有 可知 故B正确，不符合题意； C．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 则有 c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的线速度小于b的线速度，则有 故C正确，不符合题意； D．c为地球静止卫星，根据 a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有 根据 则有 c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，则有 故D正确，不符合题意。 故选A。 4. （2024·北京大兴·三模）2024年，我国探月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保持和地球、月球相对位置关系不变，以和月球相同的角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（　　） A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同 B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚 C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动 D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为 【答案】A 【详解】A．看不到月球的背面，就是因为月球的自转周期和公转周期相同，故A正确； B．嫦娥六号并没摆脱地球引力的束缚，因此发射速度不会超过第二宇宙速度，故B错误； C．以地球为参考系，鹊桥二号一方面绕地月系统共同的圆心做匀速圆周运动，另一方面绕P点做匀速圆周运动，因此以地心为参考系，它是两个匀速圆周运动的合运动，故C错误； D．鹊桥二号中继卫星受地球和月球共同引力的作用，月球只受地球的引力作用，则周期关系不满足开普勒第三定律，故D错误。 故选A。 5. （2024·北京海淀·模拟预测）为简单计，把地-月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动，如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上。则图中四个点可能是“拉格朗日点”的是（    ） A．A、B、C点 B．A、B、D点 C．A、C、D点 D．B、C、D点 【答案】C 【详解】B点处的物体受到地球与月球的万有引力的方向相同，而B到地球的之间小于月球到地球的距离，根据万有引力提供向心力可知，B处物体的向心加速度要大于月球的向心加速度，不能与月球具有相等的角速度，故B点不可能是“拉格朗日点”，同理分析，A、C、D点可能是“拉格朗日点”。 故选C。 6. （2024·北京昌平·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球静止卫星与现在相比（　　）。 A．距地面的高度变小 B．向心加速度变大 C．线速度变小 D．角速度变大 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力 解得 地球自转周期变大，则地球静止卫星轨道半径变大，距地面的高度变大，故A错误； B．根据牛顿第二定律 解得 地球自转周期变大，则地球静止卫星轨道半径变大，向心加速度变小，故B错误； CD．根据万有引力提供向心力 解得 ， 地球自转周期变大，则地球静止卫星轨道半径变大，则线速度变小，角速度变小，故C正确，D错误。 故选C。 7. （2024·北京通州·一模）我国发射的卫星“墨子号”与“济南一号”均使用了量子技术，“济南一号”比“墨子号”的运行周期短，“济南一号”和“墨子号”绕地球的运动均可视为匀速圆周运动。比较它们的运动，下列说法正确的是（  ） A．“济南一号”的线速度更大 B．“济南一号”的角速度更小 C．“济南一号”的向心加速度更小 D．“济南一号”的运行轨道半径更大 【答案】A 【详解】D．根据 “济南一号”比“墨子号”的运行周期短，则“济南一号”的运行轨道半径更小，故D错误； A．根据 “济南一号”的线速度更大，故A正确； B．根据 “济南一号”的角速度更大，故B错误； C．根据 “济南一号”的向心加速度更大，故C错误。 故选A。 8. （2024·北京丰台·二模）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半径之比约为。根据以上信息可知这两颗卫星的（　　） A．线速度大小之比约为 B．周期之比约为 C．向心加速度大小之比约为 D．向心力大小之比约为 【答案】B 【详解】根据 可得 ，， 两颗卫星的轨道半径之比约为，可知线速度大小之比约为2:1；周期之比约为；向心加速度大小之比约为16:1；因质量关系不确定，不能比较向心力大小。 故选B。 9. （2024·北京海淀·一模）在空间站中，宇航员长期处于失重状态，为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环旋转舱绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，宇航员可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员相对自身静止释放一小球，小球将悬浮在空间站中相对空间站静止 B．旋转舱的半径大小和转动角速度乘积是定值 C．宇航员在旋转舱与旋转中心之间的连接舱中时和在地球上感受相同 D．以旋转中心为参考系，宇航员在环形旋转舱的加速度大小等于重力加速度的大小 【答案】D 【详解】A．宇航员相对自身静止释放一小球，小球将悬浮在空间站中相对空间站做自由落体运动，故A错误； B．圆环绕中心匀速旋转使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致，向心加速度大小应为g，则 旋转舱的半径大小和转动角速度的平方的乘积是定值，故B错误； C．宇航员在旋转舱与旋转中心之间的连接舱中时，由于转动半径减小，则加速度减小，所以和在地球上感受不同，故C错误； D．以旋转中心为参考系，宇航员在环形旋转舱的加速度大小等于重力加速度的大小，故D正确。 故选D。 10. （2024·北京顺义·一模）科学家发现由于太阳内部的核反应而使其质量在不断减小。在若干年后，地球绕太阳的运动仍可视为匀速圆周运动。描述地球绕太阳运动的物理量与现在相比，下列说法正确的是（　　） A．半径变小 B．周期变大 C．速率变大 D．角速度变大 【答案】B 【详解】A．若太阳的质量减小，则太阳对地球的引力减小，则引力不足以提供地球做圆周运动的向心力，则地球将做离心运动，轨道半径变大，选项A错误； BCD．根据 可得 由于M减小，r变大，则周期T变大，速率变小，角速度变小，选项B正确，CD错误。 故选B。 11. （2024·北京东城·一模）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的周期约为16小时的椭圆轨道，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入图中曲线2所示新轨道，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度为h，周期为。已知月球半径为r，万有引力常量为G，则以下正确的是（　　） A．卫星在16小时轨道上运行时，在近地点的机械能比在远地点的机械能小 B．24小时轨道与48小时轨道的半长轴之比为 C．卫星在地月转移轨道上运行时速度大于第二宇宙速度 D．月球的质量为 【答案】B 【详解】A.卫星在16小时轨道上运行时，只有万有引力做功，机械能守恒。在近地点的机械能等于在远地点的机械能，故A错误； B.设24小时轨道与48小时轨道的半长轴分别为，，由开普勒第三定律有 得 故B正确； C.所有卫星的运行速度小于第一宇宙速度，而第一宇宙速度小于第二宇宙速度，所以卫星在地月转移轨道上运行时速度小于第二宇宙速度，故C错误； D.对卫星有 得 故D错误。 故选B。 12. （2024·北京海淀·一模）2022年10月，我国发射的“夸父一号”太阳探测卫星成功进入距地面高度为720km、周期约为100分钟的太阳同步晨昏轨道，如图所示。所谓太阳同步晨昏轨道，从宇宙中看，卫星围绕地球在两极上空飞行（看作匀速圆周运动）且跟随着地球绕太阳公转，同时轨道平面围绕太阳转动，且保持这个面一直朝向太阳，可实现全天候对太阳磁场、太阳耀斑等进行观测。下列说法正确的是（　　） A．“夸父一号”每绕地球1周，地球自转25° B．“夸父一号”绕地球运动的向心加速度大于地球表面重力加速度 C．“夸父一号”绕垂直于地球自转轴旋转 D．“夸父一号”的发射速度大于 【答案】A 【详解】A．地球自转一圈需要24h，“夸父一号”公转一圈需要100min，则“夸父一号”每绕地球1圈，地球自转的角度为 故A正确； B．根据 ， 可知 ， “夸父一号”的向心加速度小于地球表面重力加速度，故B错误； C．根据题意：“卫星围绕地球在两极上空飞行（看作匀速圆周运动）且跟随着地球绕太阳公转，同时轨道平面围绕太阳转动，且保持这个面一直朝向太阳”，“夸父一号”绕地球运动的轨道平面绕地球自转轴旋转，且每天绕地球自转轴旋转，大约为1°，故C错误； D．“夸父一号”的发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故D错误。 故选A。 （建议用时：40分钟） 1. （2024·北京石景山·一模）如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点通过变轨进入预定圆轨道。则（　　） A．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的大 B．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小 C．在 B点变轨前后，飞船的机械能不变 D．在B点飞船通过减速从椭圆轨道进入预定圆轨道 【答案】A 【详解】A．根据 可知，在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的大，选项A正确； B．根据开普勒第二定律可知，在椭圆轨道上运行时，飞船在近地点A点的速度比远点B点的大，选项B错误； C．在 B点变轨后，飞船的机械能增加，选项C错误； D．在B点飞船通过加速做离心运动从椭圆轨道进入预定圆轨道，选项D错误。 故选A。 2. （2024·北京海淀·一模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量约为月球质量的9倍、半径约为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面重力加速度大于火星表面重力加速度 B．嫦娥五号绕月球的运行速度大于天问一号绕火星的运行速度 C．相同时间内，嫦娥五号与月球的连线扫过的面积与天问一号与火星的连线扫过的面积相等 D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值小于天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值 【答案】D 【详解】A．物体环绕中心天体表面做圆周运动时有 可得 由此可得月球表面重力加速度与火星表面重力加速度之比为 则月球表面重力加速度小于火星表面重力加速度，故A错误； B．物体环绕中心天体表面做圆周运动时的速度即为第一宇宙速度，因此有 可得第一宇宙速度为 由于月球的重力加速度和半径都较小，则月球的第一宇宙速度较小，故B错误； C．根据开普勒第二定律可知，环绕同一中心天体且轨道半径相同的物体，相同时间内与中心天体中心的连线扫过的面积相等，而嫦娥五号与天问一号所环绕中心天体以及轨道半径均不同，故C错误； D．根据万有引力提供向心力 解得 火星的质量大于月球的质量，故D正确。 故选D。 3. （2024·北京延庆·一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北斗导航系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。 （1）求地球的质量M； （2）求该卫星的轨道距离地面的高度h； （3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v与第一宇宙速度v1的大小关系。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设一物体的质量为m1，在地球表面附近万有引定律等于重力 解得地球质量 （2）设卫星质量为m2，根据牛顿第二定律 解得 （3）根据牛顿第二定律 得 第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，即r=R时 该卫星的轨道半径 因此其速度。 4. （2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B相对静止绕着共同的圆心O在同一平面内做匀速圆周运动，A、B连线经过O点，P是A、B连线与A运动轨道的交点，某时刻空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体C，应该也可以实现三个天体都绕着O匀速转动。若这是一个A、B、C组成的“三星系统”，则（　　） A．A的质量小于B的质量 B．C可能位于A、B连线的中垂线上 C．若C与A质量相等，C可能位于P点 D．若C的质量远小于A、B的质量，C一定在B的外侧 【答案】B 【详解】A．设A、B间的距离为，的长度为，的长度为，A、B系统做圆周运动的角速度为，则根据万有引力提供向心力有， 解得 由于 所以A的质量大于B的质量，故A错误； B．当C位于A、B连线的中垂线上某点时，若此时天体A、B对C的万有引力的合力恰好指向圆心O，提供C做圆周运动的向心力，则C可以绕着O匀速转动。但必须满足C的质量远小于A、B的质量，以至于C的引力对A、B运动的影响可忽略，否则A、B不能绕着O匀速转动，故B正确； C．若C与A的质量相等，且C位于P点，因C与A角速度相等，则A和C受到的合力应相等，而A和C受到的合力大小分别为， 显然 所以，若C与A质量相等，C不可能位于P点，故C错误； D．若C的质量远小于A、B的质量，C的引力对A、B运动的影响可忽略，但C的向心力需由A、B引力的合力提供。C的位置不一定在B的外侧，也可能在A、B之间（需满足合力指向O），故D错误。 故选B。 5. （25-26高三上·河北·期中）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步轨道距地面高度为。某时刻电梯舱停留在距地面高度为的点处。此时，电梯舱内一质量为的乘客站在体重计上，体重计示数为。引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．乘客在点受到的万有引力大小为 B．乘客在点的向心加速度小于 C．乘客在点的线速度大小为 D．体重计的示数 【答案】BD 【详解】由题意可知，“太空电梯”上各点的运动周期及同步卫星的运动周期都与地球的自转周期相同，由可知，它们的角速度也相同。 A．乘客在点受到的万有引力大小为，故A错； B．地球同步轨道上空间站的向心加速度 因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在点的运动半径小于地球同步轨道半径，由 可知乘客在点的向心加速度小于，故B正确； C．乘客所受万有引力提供向心力时， 可解出 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在点的线速度不等于，故C错误； D．根据牛顿第三定律，体重计示数与体重计对乘客的支持力等大反向，分析乘客的受力得 可解得，故D正确。 故选BD。 6. （2025·湖北·模拟预测）2025年4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验卫星准确送入预定轨道。如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为，且，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为，引力常量为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 【答案】C 【详解】A．对地球表面的物体由 可得地球的半径，A错误； B．根据 可得 因，可知试验卫星线速度大于01星的线速度，B错误； C．根据 可知试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为，C正确； D．根据 可得 可知两卫星的周期分别， 若两颗卫星绕行方向一致，则两卫星与地心再次共线时，则　 可知至少经过时间， D错误。 故选C。 7. （2025·广东·模拟预测）北京时间2023年9月，中国航天员在空间站梦天实验舱中圆满完成“天宫课堂”直播授课。中国空间站在距离地面约430 km的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为90 min，空间站的运动平面与赤道面的夹角约为，为实现空间站与地面直播互动交流，空间站的信号需要先传到在地球静止轨道上运行的中继卫星，然后再传回地面。下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度比地面上观看直播的同学的线速度小 B．空间站的线速度大于地球的第一宇宙速度 C．空间站的加速度小于地球两极的重力加速度 D．若要完成一场90 min的直播授课，仅一颗中继卫星即可完成任务 【答案】C 【详解】A．由 可得 由于中继卫星的轨道半径比空间站的大，可知中继卫星的线速度小于空间站的线速度；地球自转角速度与中继卫星的角速度相同，且地球半径小于中继卫星的轨道半径，根据 可知地面上观看直播的同学随地球自转的线速度小于中继卫星的线速度，综合可知同学的线速度小于空间站的线速度，故A错误； B．由 可得 由于第一宇宙速度是卫星绕地表飞行的速度，其轨道半径比空间站的轨道半径小，故空间站的线速度小于地球的第一宇宙速度，故B错误； C．对地球两极附近质量为的物体有 可得地球两极的重力加速度 对空间站有 可得 可知，故C正确； D．要完成一场90 min的直播授课，空间站大约绕地球一圈，如图所示，需要两颗以上的中继卫星，故D错误。 故选C。 8. （2025·安徽·模拟预测）2024年10月10日21时50分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。不同高度的卫星绕地球做圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积与卫星的线速度的倒数的关系图像如图，其斜率为。已知地球的半径为，引力常量为，卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若卫星的运动周期为，则卫星离地球表面的高度为 【答案】BC 【详解】A．卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积 联立得，其斜率 可得地球的质量为，故A错误； B．地球的密度为，故B正确； C．由 地球的第一宇宙速度为，故C正确； D．由 卫星离地球表面的高度为，故D错误。 故选BC 。 9. （2025·河北衡水·模拟预测）我国的北斗系统可提供全球导航服务，在轨工作卫星共33颗，包含5颗地球静止同步轨道卫星，7颗倾斜地球同步轨道卫星和21颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统中的两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A和地球静止同步轨道卫星B，卫星A环绕方向为顺时针，卫星B环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为，地球的半径为，卫星A和卫星B到地球表面的距离分别为、，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为120°，下列说法正确的是（　　） A．卫星B的动能一定小于卫星A的动能 B．地球的质量 C．卫星A围绕地球做圆周运动的周期 D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最远 【答案】B 【详解】A．因两卫星的质量大小关系未知，则不能确定二者动能的大小关系，故A错误； B．对于地球静止同步轨道卫星B，有 解得地球的质量，故B正确； C．对两卫星，由开普勒第三定律，有 解得，故C错误； D．从图示时刻开始，到两卫星第一次相距最远，且由 有 解得时间，故D错误。 故选B。 10. （2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 11. （2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 12. （2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 【答案】(1)见解析 (2)，背向月球 (3)见解析 【详解】（1）表格如图所示 （2）根据牛顿第二定律可得 则地球转动的加速度为 不计地球自转，质点m0所受引潮力为 所以 方向背向月球； （3）以小行星为研究对象，研究小行星离地球最远的部分所受引潮力，该部分质量为m0，设小行星瓦解时到地球球心的距离为L，则有 根据题意，小行星被撕碎的临界条件为 联立可得 根据质量和密度的关系可得 由此可知，小行星在落到地球表面之前就已经被瓦解。 13. （24-25高三上·北京顺义·阶段练习）建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。 (1)试推导第一宇宙速度v的表达式； (2)如图-1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图-2中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度vm； (3)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为和，木星和地球的半径分别为R0和R，且。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，。】 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 地球的质量为 联立解得第一宇宙速度为 （2）距离地心为x时，小球受到的万有引力大小为 又 可得 当0＜x≤R时，引力方向指向南方，当-R≤x＜0时，引力方向指向北方，故小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像如图所示 小球位于地心时速度最大，根据动能定理 解得 （3）设木星质量为，地球质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有 物体在木星引力和地球引力作用下，有 其中 ， 当时，地球将被撕裂；由可得 整理得 因为，所以很小，则有 代入可得 可得“洛希极限”的表达式为 14. （2024·北京海淀·一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P 运动的示意图，在xOy 平面内，质量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。 （1）若认为木星位于坐标原点O， 根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量M0 ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。  请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。 （2）若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M0 与M'的大小关系。 【答案】（1）①；②；③见解析；（2） 【详解】（1）①卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式 ②根据 得木星的质量 ③如图 取向右为正方向 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。 （2）根据 得 由于 则 15. （2024·北京石景山·一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径r叫做A点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。 （1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为T。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，求电子运动的轨道半径R。 （2）将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v₀抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为g，求其轨迹最高点P处的曲率半径r。 （3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点P的速度为v₁，近地点 P到地心的距离为R；在远地点Q的速度为v₂，远地点Q到地心的距离为r。一兴趣小组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到 请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）根据库仑定律和牛顿第二定律      解得电子运动的轨道半径 （2）小球在最高点的速度为v₀cosα，根据牛顿第二定律           解得曲率半径 （3） 卫星在椭圆轨道上运行，由椭圆的对称性，近地点P和远地点Q的等效圆周运动的半径相等，设为l，根据万有引力定律和牛顿第二定律，卫星在近地点时   卫星在远地点时   解得   1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $