重难04 功、功率和机械能（重难专练）（北京专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难04 功、功率和机械能 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一、功的计算方法 恒力的功 用计算 合力的功 方法1：先求合力，再用 求合力做的功； 方法2：先求各个力做的功、、、 ，再应用 求合力做的功 变力的功 （1）应用动能定理； （2）等效转化法； （3）微元法； （4）平均力法； （5）图像法； （6）由计算 二、功率的计算方法 平均功率 （1）利用； （2）利用 ，其中为物体运动的平均速度（适用于匀变速直线运动） 瞬时功率 （1）利用公式 ，其中为时刻的瞬时速度； （2）利用公式，其中为物体的速度在力方向上的分速度； （3）利用公式，其中为物体受到的外力在速度方向上的分力 三、机车两种启动方式的图像分析 项目 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 图像 图像 图像 图像 应用的规律 ， 恒定阶段：，，；恒定阶段：，， 四、应用动能定理解题思路 五、判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法 定义判断法 看动能与势能（重力势能和弹性势能）之和是否变化 能量转化判断法 没有与机械能以外的其他形式的能发生转化时，系统机械能守恒 做功判断法 只有重力（或系统内弹力）做功时，系统机械能守恒 六、机械能守恒定律的表达式 七、连接体的机械能守恒问题 速率相等模型 两物体的速度大小相等 （1）杆或绳对两个物体都做功，单个物体机械能不守恒。 （2）对于两物体组成的系统，如果忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他外力对系统做功，则系统机械能守恒。 （3）根据连接体牵连的特点找出两物体高度变化的关系 角速度相等模型 同轴转动的两物体角速度相等 速率不相等模型 两物体沿绳或杆方向的速度大小相等 轻弹簧模型 （1）含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不一定守恒。 （2）同一根弹簧在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等。 （3）由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零） 八、常见功能关系 能量 功能关系 表达式 势能 重力做功等于重力势能减少量 弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量 机械能 除重力和系统内弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 摩擦产生的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 电能 克服安培力做的功等于电能增加量 九、应用能量守恒定律解题的思路方法 （建议用时：20分钟） 1. （2025·北京·三模）风力发电是利用风能的一种 方式，风力发电机可以将风能（气流的动能）转化为电能，其主要部件如图所示。已知风力发电机将风能转化为电能的效率和空气密度均保持不变。当风速为且风向与风力发电机受风面垂直时，风力发电机输出的电功率为。在同样的风向条件下，风速为时这台风力发电机输出的电功率为（　　） A． B． C． D． 2. （2025·北京西城·三模）如图所示，不计质量的轻质滑轮下方悬挂重物A和B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力对A做的功等于A的动能增加量 B．重力对B做的功等于A、B两物体的动能增加量 C．细线上拉力的大小为0.6mg D．A的加速度大小等于0.5g 3. （2025·北京大兴·三模）在利用重锤、纸带验证机械能守恒实验中，大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是__。 A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 4. （2025·北京昌平·二模）如图所示，运动员将质量为m的足球从水平地面上位置1以速度踢出，足球经过最高点（位置2），落在地面上位置3，位置2距离地面的高度为h，1与2和2与3间的水平距离不等。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．从1到2，足球动能的减少量大于mgh B．从1到2，足球动能的减少量小于mgh C．从1到2，足球的加速度保持不变 D．在位置2，足球的动能等于 5. （2025·北京昌平·二模）如图所示，重物M放在长木板OP上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中，重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．支持力和摩擦力均逐渐增大 B．支持力和摩擦力的合力逐渐增大 C．支持力和摩擦力均对重物做正功 D．支持力对重物做正功，摩擦力不做功 6. （2025·北京大兴·模拟预测）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为，喷水速度约为，水的密度为，则该喷头（   ） A．单位时间的喷水量约为 B．单位时间的喷水量约为 C．喷水的功率约为 D．喷水的功率约为 7. （2025·北京朝阳·一模）物体a、b质量分别为ma和mb，且ma<mb，它们的初动能相同。若a和b分别只受到恒定阻力Fa和Fb的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为xa和xb。下列说法正确的是（　　） A．Fa>Fb，xa<xb B．Fa>Fb，xa>xb C．Fa<Fb，xa>xb D．Fa<Fb，xa<xb 8. （2025·北京东城·二模）如图所示，水平传送带以速度匀速运动，将质量为的小物块无初速度放在传送带的左端，传送带足够长，物块到达右端之前已经与传送带共速。下列说法正确的是（　　） A．物块与传送带共速后，物块受到向右的静摩擦力 B．传送带运动速度越大，物块加速运动的时间越短 C．物块与传送带共速前，摩擦力对物块做负功 D．物块与传送带之间因摩擦产生的热量等于 9. （2025·北京海淀·二模）如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求： (1)弹簧被压缩至A点时的弹性势能。 (2)物体通过D点时的速度大小。 (3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。 10. （2025·北京·一模）有一项荡绳过河的拓展项目，将绳子一端固定，人站在高台边缘抓住绳子另一端，像荡秋千一样荡过河面，落到河对岸的平地上。 为方便研究，将人看作质点A，如图所示。已知人的质量，A到悬点O的距离，A与平地的高度差，人站在高台边缘时，AO与竖直方向的夹角为。 某次过河中，人从高台边缘无初速度离开，在最低点B处松开绳子，落在水平地面上的C点。忽略空气阻力，取重力加速度，，，求： (1)人到达B点时的速率v； (2)人到达B点，松开绳之前，绳对人的拉力大小F； (3)若高台边缘到对面河岸共，请分析人能否安全荡到对岸。 （建议用时：30分钟） 1. （2025·北京丰台·二模）如图所示，一物体在恒力F作用下沿斜面向上加速运动，已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，重力加速度为g，在物体移动距离x的过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面对物体的摩擦力大小为 B．斜面对物体作用力的大小为 C．斜面对物体的摩擦力做功为 D．物体动能增加了 2. （2025·北京海淀·一模）2024年6月，“嫦娥六号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”被月球捕获进入月球轨道的部分过程如图所示：探测器在椭圆轨道1运行经过P点时变轨进入椭圆轨道2、在轨道2上经过P点时再次变轨进入圆轨道3。三个轨道相切于P点，Q点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是（　　） A．探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速 B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，机械能越来越大 C．探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点时的加速度相同 D．探测器在轨道3上运行的周期大于其在轨道1上运行的周期 3. （2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能利用来计算其动能，将所有小块的动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（　　） A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度平方成反比 B．若飞轮质量均匀，匀速转动时，转轴所受合力为0 C．若飞轮质量不均匀，匀速转动时，转轴将受恒力作用 D．保持角速度不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变 4. （2025·北京顺义·模拟预测）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C，取水平面为零势能面。下列说法正确的是（　　） A．物体在C点的速度为零 B．物体在C点所受合力为零 C．物体在B点时轨道对物体的支持力等于物体的重力 D．物体在A点时弹簧的弹性势能大于物体在C点的重力势能 5. （2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能根据来计算其动能，将所有小块的动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（　　） A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度成正比 B．飞轮转动的动能与其质量分布是否均匀无关 C．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变 D．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能变小 6. （2025·北京西城·一模）如图所示，一个质量为m的小球，用轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于P点。第一次小球在水平拉力F1的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ；第二次小球在水平恒力F2的作用下，从P点开始运动恰好能到达Q点。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．第二次水平恒力的大小为 B．第二次到达Q点时绳的拉力比第一次小 C．第二次水平力做的功比第一次多 D．两个过程中绳的拉力均逐渐增大 7. （2025·北京延庆·一模）汽车研发机构在某款微型汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，微型汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了微型汽车的动能Ek与位移x关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知微型汽车的质量为1000kg，为便于讨论，设其运动过程中所受阻力恒定。根据图像所给的信息可求出（　　） A．汽车行驶过程中所受阻力为1000N B．汽车的额定功率为120kW C．汽车加速运动的时间为22.5s D．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105J 8. （2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 9. （2025·河南·一模）如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为，，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d（d点未画出），物块A在c点的加速度大小为，，弹性势能表达式为，Δx为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为，.下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为0.5 B．轻弹簧的劲度系数为144N/m C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为0.4kg 10. （2025·广西·模拟预测）传送带经常用于分拣货物。如图（a）为倾斜传送带输送机简化模型图，传送带顺时针匀速转动，在传送带下端点无初速度放上货物。货物从下端点运动到上端点的过程中，其机械能与位移的关系图像（以点所在水平面为零势能面）如图（b）所示。货物视为质点，关于货物从点运动到点的过程说法正确的是（　　） A．该过程中货物受到的摩擦力不变 B．货物与传送带间相对滑动产生的热量为 C．货物对传送带做的功为 D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为 （建议用时：40分钟） 1. （2025·北京大兴·三模）如图所示，一根内壁光滑的圆弧形细圆管竖直放置，且管口A与圆心O连线水平，圆弧半径为R，已知重力加速度为g，细管半径和R相比可忽略。 (1)一小球从管口A的正上方h1高处自由下落后，恰好能到达管口C处，求h1。 (2)若质量为m的小球从管口A的正上方某高度自由下落，它能从管口C处飞出后又落到管口A处，求： a．小球释放位置距A的高度h2； b．在该过程中，小球到细管最低点时对细管的压力大小。 2. （2025·北京·三模）图甲为游乐园中“空中飞椅”的娱乐设施，中央是一个由电动机驱动的水平转盘，转盘的边缘固定许多绳子，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上，随着转盘的加速，人的高度也逐渐上升。可将上述装置做如图乙所示的简化：人和座椅视为质量为m=100kg的质点；绕竖直轴OO′无摩擦转动的转盘视为质量为M=4000kg、半径为R=3m的匀质圆盘；长为l=5m的轻绳不可伸长。圆盘从静止开始缓慢加速转动，经过一段时间后，圆盘匀速转动，此时绳与竖直方向的夹角为θ=37°。空中飞椅和游客数均为N=10，不计空气阻力和其他摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。 (1)求圆盘匀速转动的角速度ω。 (2)对于定轴转动的物体，其动能可表示为，对于匀质转盘，电动机的效率为η=0.9。求圆盘从静止到匀速转动的过程电动机消耗的电能。（结果保留1位有效数字） (3)加速度对时间的变化率叫做“急动度”，汽车工程师常常用急动度来评判乘客不舒适程度的指标，急动度越大，乘客将会觉得越不舒适。求匀速转动时，质点急动度的大小j以及合力随时间的变化率。 3. （2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计了如图2所示的过山车模型，质量为的小球在A点由静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道BC进入半径的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道进入“水滴形”曲线轨道，点的曲率半径，“水滴形”轨道最高点与圆形轨道最高点等高。忽略所有轨道摩擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，取。 (1)求小球释放点A距离水平面的高度； (2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点与最高点的向心加速度大小的差值； (3)在“水滴形”轨道上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道上任意一点的曲率半径随距地面高度变化的函数表达式（即：用和表示）。 4. （2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 5. （2025·北京·二模）水平桌面上的甲、乙两物体在水平拉力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度a与所受拉力F的关系如图所示。甲、乙两物体的质量分别为，与桌面间的动摩擦因数分别为。下列说法正确的是（　　） A． B． C．若拉力相同，经过相同时间拉力对甲做功少 D．若拉力相同，通过相同位移甲获得的动能小 6. （2025·北京昌平·二模）荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均为L的细绳悬挂于固定横梁上，质量为m的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，此时两绳与竖直方向夹角均为。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。 (1)当秋千静止时，求水平外力的大小F。 (2)将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。 (3)若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下的过程中空气阻力所做的功。 7. （2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的小球，另一端通过光滑的轻质小圆环套在点的钉子上，小球在高为的光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球的速度缓慢增大，当细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小； (2)小球落地点到桌面边缘的水平距离； (3)小球落地时的动能。 8. （2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 9. （2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 10. （2025·北京西城·二模）如图所示，小物块的质量，以速度开始运动，运动至水平桌面右端抛出。物块的抛出点距水平地面的高度，落地点与桌面右端的水平距离，重力加速度。不计空气阻力。求： (1)物块在空中运动的时间t； (2)物块离开桌面右端时速度的大小v； (3)桌面摩擦力对物块做的功W。 11. （2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑洞的质量分别为、，两者间距为，引力常量为。 (1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小； (2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械能逐渐减小。已知机械能随时间的变化率为，其中可以定义为两黑洞的靠近速度。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率，其中为电磁波在真空中的传播速度。当较大时，靠近速度很小，不计两黑洞各自质量的变化。 a.求的值； b.请推导的表达式。 12. （2025·北京顺义·模拟预测）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 (1)求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的8倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 13. （2025·北京丰台·一模）如图所示，冰车静止在冰面上，小孩与冰车的总质量。大人用恒定拉力，使冰车开始沿水平冰面移动，拉力方向与水平面的夹角为。已知冰车与冰面间的动摩擦因数，重力加速度，，。求。 (1)小孩与冰车受到的支持力的大小。 (2)小孩与冰车的加速度的大小。 (3)拉力作用时间，冰车位移的大小。 (4)拉力作用时间内，合外力做的功。 14. （2025·北京大兴·一模）在2024年的巴黎奥运会中，我国小将全红婵力压群芳，取得了女子10米跳台比赛的冠军。假设全红婵的质量为m = 50 kg，其体型可等效为长度l = 1 m、底面积S = 0.06 m2的圆柱体，不计空气阻力，当她起跳到达最高点时，她的重心离跳台表面的高度为0.8 m。 (1)求全红婵起跳瞬间的速度大小； (2)全红婵落水后将受到水的浮力。若以落水点为坐标原点，竖直向下为正方向建立x轴，请在答题纸给出的坐标上画出她所受浮力F的大小随落水深度x变化的函数关系图像（已知物体在水中所受浮力为F = ρgV，V为物体所排开的水的体积）； (3)若全红婵从跳台自由下落，忽略空气阻力和她入水后受到的水的阻力，为了确保她的安全，求水池中水的深度h至少应等于多少？（水的密度ρ = 1.0 × 103 kg/m3，g = 10 m/s2）。 15. （2025·北京顺义·一模）双星系统是指由两颗恒星组成的引力束缚系统，它们在相互的引力作用下围绕共同的质心（质量中心）做轨道运动。 (1)如图所示为某双星系统，恒星A、B绕其连线的中点O做角速度相等的匀速圆周运动，A、B的质量均为，恒星A、B中心之间的距离为L，引力常量为G，求恒星A绕O点做圆周运动的角速度。 (2)宇宙中某双黑洞系统可以看成双星模型，随着时间推移，系统会通过引力波辐射能量，导致轨道逐渐收缩，最终合并成一个黑洞。假设该双黑洞系统中，两个黑洞的质量均为M，中心之间的距离为r，已知此时这个系统辐射引力波的功率，其中G为引力常量，c为光在真空中传播的速度。 a.该双黑洞系统到地球的距离为D（D远大于r），不计传播过程中引力波能量的损失，求地球表面接收到该系统此时刻辐射引力波的能流密度S（能流密度是指单位时间内通过垂直于能量传播方向上单位面积的能量，单位为）。 b.已知质量为和，距离为R的两个质点间的引力势能。设黑洞合并过程中系统的机械能全部转化为引力波的能量，在t时间内该双黑洞之间的距离由r收缩为，求此过程中该双黑洞系统辐射引力波的平均功率。 16. （2025·北京顺义·一模）如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 17. （2025·北京延庆·一模）如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一质量可以看成质点的物体从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动恰好能通过B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。求： (1)物体通过B点时速度的大小； (2)A与C之间距离x的大小； (3)物体刚进入圆轨道A点时轨道对物体支持力的大小。 18. （2025·山东·模拟预测）如图所示，长为的轻杆一端连着质量为的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的点，初始时小球静止于地面上，边长为、质量为的正方体左侧静止于点处。现在杆中点处施加一大小始终为（为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力所做的功为 B．拉力撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为 D．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 19. （2025·浙江·一模）如图所示，倾角的倾斜传送带AB长m，以速率v顺时针匀速运转。一小煤块轻放在传送带上端A处，经B到达点进入螺旋圆环轨道，通过轨道最高点，继续沿轨道经过点，然后从D点离开平台，最后落在倾角为的斜坡上。环间距正好让小煤块通过，且与圆轨道半径相比可以忽略。已知小煤块与传送带表面间的动摩擦因数为，其它地方摩擦不计，传送带底部与水平面平滑过渡，m，，。 (1)若，小煤块恰能过圆环最高点，求圆环轨道最大半径R； (2)若m/s，求小煤块在传送带上留下的痕迹长度； (3)要使小煤块垂直打在斜坡上，求传送带的速率v。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难04 功、功率和机械能 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一、功的计算方法 恒力的功 用计算 合力的功 方法1：先求合力，再用 求合力做的功； 方法2：先求各个力做的功、、、 ，再应用 求合力做的功 变力的功 （1）应用动能定理； （2）等效转化法； （3）微元法； （4）平均力法； （5）图像法； （6）由计算 二、功率的计算方法 平均功率 （1）利用； （2）利用 ，其中为物体运动的平均速度（适用于匀变速直线运动） 瞬时功率 （1）利用公式 ，其中为时刻的瞬时速度； （2）利用公式，其中为物体的速度在力方向上的分速度； （3）利用公式，其中为物体受到的外力在速度方向上的分力 三、机车两种启动方式的图像分析 项目 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 图像 图像 图像 图像 应用的规律 ， 恒定阶段：，，；恒定阶段：，， 四、应用动能定理解题思路 五、判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法 定义判断法 看动能与势能（重力势能和弹性势能）之和是否变化 能量转化判断法 没有与机械能以外的其他形式的能发生转化时，系统机械能守恒 做功判断法 只有重力（或系统内弹力）做功时，系统机械能守恒 六、机械能守恒定律的表达式 七、连接体的机械能守恒问题 速率相等模型 两物体的速度大小相等 （1）杆或绳对两个物体都做功，单个物体机械能不守恒。 （2）对于两物体组成的系统，如果忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他外力对系统做功，则系统机械能守恒。 （3）根据连接体牵连的特点找出两物体高度变化的关系 角速度相等模型 同轴转动的两物体角速度相等 速率不相等模型 两物体沿绳或杆方向的速度大小相等 轻弹簧模型 （1）含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不一定守恒。 （2）同一根弹簧在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等。 （3）由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零） 八、常见功能关系 能量 功能关系 表达式 势能 重力做功等于重力势能减少量 弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量 机械能 除重力和系统内弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 摩擦产生的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 电能 克服安培力做的功等于电能增加量 九、应用能量守恒定律解题的思路方法 （建议用时：20分钟） 1. （2025·北京·三模）风力发电是利用风能的一种 方式，风力发电机可以将风能（气流的动能）转化为电能，其主要部件如图所示。已知风力发电机将风能转化为电能的效率和空气密度均保持不变。当风速为且风向与风力发电机受风面垂直时，风力发电机输出的电功率为。在同样的风向条件下，风速为时这台风力发电机输出的电功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】单位时间内垂直吹向旋转叶片有效受风面积的空气的质量为，这些空气所具有的动能为 设风力发电机将风能转化为电能的效率为k，则风力发电机输出的电功率为 当风速为时输出的电功率；故选C。 2. （2025·北京西城·三模）如图所示，不计质量的轻质滑轮下方悬挂重物A和B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力对A做的功等于A的动能增加量 B．重力对B做的功等于A、B两物体的动能增加量 C．细线上拉力的大小为0.6mg D．A的加速度大小等于0.5g 【答案】C 【详解】A．由动能定理可知，细线拉力与重力对A所做的总功等于A的动能增加量，故A错误； B．由动能定理可知，重力对A、B做的总功等于A、B两物体的动能的增加量，故B错误； CD．设细线拉力大小为F，A的加速度大小为a，由滑轮组之间的关系可知，B的加速度大小为2a。根据牛顿第二定律得， 联立解得a=0.2g，F=0.6mg，故C正确；D错误。 故选C。 3. （2025·北京大兴·三模）在利用重锤、纸带验证机械能守恒实验中，大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是__。 A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差 C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差 【答案】D 【详解】在验证机械能守恒的实验中，重力势能的减少量（）略大于动能的增加量（），主要原因是空气阻力和打点计时器与纸带间的摩擦阻力导致部分机械能转化为热能。这种误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差，偶然误差可以通过多次测量取平均值的方法来减小，故选D。 4. （2025·北京昌平·二模）如图所示，运动员将质量为m的足球从水平地面上位置1以速度踢出，足球经过最高点（位置2），落在地面上位置3，位置2距离地面的高度为h，1与2和2与3间的水平距离不等。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．从1到2，足球动能的减少量大于mgh B．从1到2，足球动能的减少量小于mgh C．从1到2，足球的加速度保持不变 D．在位置2，足球的动能等于 【答案】A 【详解】C．由于1与2和2与3间的水平距离不等，结合题图可知，足球在空中受到空气阻力的作用，由于空气阻力是变力，所以从1到2，足球所受合力是变力，足球的加速度发生变化。故C错误； AB．从1到2，设克服空气阻力做功为，根据动能定理可得 可知足球动能的减少量大于mgh，故A正确，B错误； D．从1到2，根据动能定理可得 可知位置2，足球的动能为 故D错误。 故选A。 5. （2025·北京昌平·二模）如图所示，重物M放在长木板OP上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中，重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．支持力和摩擦力均逐渐增大 B．支持力和摩擦力的合力逐渐增大 C．支持力和摩擦力均对重物做正功 D．支持力对重物做正功，摩擦力不做功 【答案】D 【详解】A．设长木板的倾角为，设重物的质量为，以重物为对象，根据平衡条件可得， 由于逐渐增大，可知支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，故A错误； B．根据受力平衡可知，支持力和摩擦力的合力与重物的重力等大反向，则支持力和摩擦力的合力保持不变，故B错误； CD．由于摩擦力与重物的运动方向总是垂直，所以摩擦力对重物不做功；由于支持力与重物的运动方向相同，则支持力对重物做正功，故C错误，D正确。 故选D。 6. （2025·北京大兴·模拟预测）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为，喷水速度约为，水的密度为，则该喷头（   ） A．单位时间的喷水量约为 B．单位时间的喷水量约为 C．喷水的功率约为 D．喷水的功率约为 【答案】D 【详解】AB．单位时间的喷水量约为 故AB错误； CD．设时间内从喷头流出的水的质量为 喷头喷水的功率等于时间内喷出的水的动能增加量，即W 故C错误，D正确； 故选D。 7. （2025·北京朝阳·一模）物体a、b质量分别为ma和mb，且ma<mb，它们的初动能相同。若a和b分别只受到恒定阻力Fa和Fb的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为xa和xb。下列说法正确的是（　　） A．Fa>Fb，xa<xb B．Fa>Fb，xa>xb C．Fa<Fb，xa>xb D．Fa<Fb，xa<xb 【答案】C 【详解】设物体a、b的初动能为Ek0，则有；又ma<mb；可知；根据题意，经相同的时间停下来，则有，可知；根据动能定理有；可得；可得 故选C。 8. （2025·北京东城·二模）如图所示，水平传送带以速度匀速运动，将质量为的小物块无初速度放在传送带的左端，传送带足够长，物块到达右端之前已经与传送带共速。下列说法正确的是（　　） A．物块与传送带共速后，物块受到向右的静摩擦力 B．传送带运动速度越大，物块加速运动的时间越短 C．物块与传送带共速前，摩擦力对物块做负功 D．物块与传送带之间因摩擦产生的热量等于 【答案】D 【详解】A．物块与传送带共速后，做匀速直线运动，则水平方向上处于平衡状态，故不受摩擦力，故A错误； BC．物块在与传送带共速前，受到水平向右的滑动摩擦力，使物块向右加速，摩擦力做正功；根据牛顿第二定律可得加速度为定值，根据可得，若达到与传送带相同的速度，则加速度为定值，传送带运动速度越大，物块加速运动的时间越长，故BC错误； D．对物体分析， 传送带的位移为，划痕为 摩擦产生的热量 故D正确。 故选D。 9. （2025·北京海淀·二模）如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求： (1)弹簧被压缩至A点时的弹性势能。 (2)物体通过D点时的速度大小。 (3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由能量守恒可知，弹簧弹性势能完全转化为物体的动能 可得弹簧被压缩至A点时的弹性势能 （2）物体恰好能通过D点，则根据牛顿运动定律有 解得 （3）物体沿半圆轨道运动过程中由动能定理有 解得 10. （2025·北京·一模）有一项荡绳过河的拓展项目，将绳子一端固定，人站在高台边缘抓住绳子另一端，像荡秋千一样荡过河面，落到河对岸的平地上。 为方便研究，将人看作质点A，如图所示。已知人的质量，A到悬点O的距离，A与平地的高度差，人站在高台边缘时，AO与竖直方向的夹角为。 某次过河中，人从高台边缘无初速度离开，在最低点B处松开绳子，落在水平地面上的C点。忽略空气阻力，取重力加速度，，，求： (1)人到达B点时的速率v； (2)人到达B点，松开绳之前，绳对人的拉力大小F； (3)若高台边缘到对面河岸共，请分析人能否安全荡到对岸。 【答案】(1) (2) (3)人能安全荡到对岸 【详解】（1）人从离开高台到B点的过程中，由机械能守恒有 代入数据解得人到达B点时的速率 （2）在B点由牛顿第二定律有 代入数据得人到达B点，松开绳之前，绳对人的拉力大小为 （3）人从离开高台到B点的过程中水平位移为 人从B到C的运动过程Z做平抛运动，由平抛运动知识有， 则人从开始运动到落地水平位移为 联立解得 故人能安全荡到对岸 （建议用时：30分钟） 1. （2025·北京丰台·二模）如图所示，一物体在恒力F作用下沿斜面向上加速运动，已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，重力加速度为g，在物体移动距离x的过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面对物体的摩擦力大小为 B．斜面对物体作用力的大小为 C．斜面对物体的摩擦力做功为 D．物体动能增加了 【答案】D 【详解】AB．根据题意，对物体受力分析，如图所示 垂直斜面方向，由平衡条件有 沿斜面方向，由牛顿第二定律有 则摩擦力 斜面对物体作用力的大小为 故AB错误； C．由做功公式可得，斜面对物体的摩擦力做功为 故C错误； D．由动能定理有 由牛顿第二定律有 又有 联立可得物体动能增加了 故D正确。 故选D。 2. （2025·北京海淀·一模）2024年6月，“嫦娥六号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”被月球捕获进入月球轨道的部分过程如图所示：探测器在椭圆轨道1运行经过P点时变轨进入椭圆轨道2、在轨道2上经过P点时再次变轨进入圆轨道3。三个轨道相切于P点，Q点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是（　　） A．探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速 B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，机械能越来越大 C．探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点时的加速度相同 D．探测器在轨道3上运行的周期大于其在轨道1上运行的周期 【答案】C 【详解】A．由轨道1变到轨道2，半径减小，做近心运动，因此需要在P点减速，故A错误； B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误； C．根据牛顿第二定律，有 由于探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点的距离r相同，所以经过P点时的加速度相同，故C正确； D．根据开普勒第三定律 可知，轨道1的半长轴大于轨道3的半长轴，所以在轨道1上运行的周期比在轨道3上运行的周期大，故D错误。 故选C。 3. （2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能利用来计算其动能，将所有小块的动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（　　） A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度平方成反比 B．若飞轮质量均匀，匀速转动时，转轴所受合力为0 C．若飞轮质量不均匀，匀速转动时，转轴将受恒力作用 D．保持角速度不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变 【答案】B 【详解】A．由，可得 可知动能与其转动的角速度平方成正比，故A错误； B．若飞轮质量均匀，匀速转动时，转轴对与其接触的部分的向里的拉力提供向心力，则由牛顿第三定律可知，与转轴接触的部分对转轴的拉力向外，向外的拉力的合力为0，故B正确； C．若飞轮质量不均匀，匀速转动时，一般情况下（质量分布不对称），转轴将受到指向飞轮某部位的力的作用，方向时刻在改变，不是恒力，故C错误； D．绕其直径转动时的转动惯量小于绕通过圆心与圆盘平面垂直的转轴转动时的转动惯量，由公式，可知绕通过圆心与圆盘平面垂直的转轴转动时的动能较大，故D错误。 故选B。 4. （2025·北京顺义·模拟预测）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C，取水平面为零势能面。下列说法正确的是（　　） A．物体在C点的速度为零 B．物体在C点所受合力为零 C．物体在B点时轨道对物体的支持力等于物体的重力 D．物体在A点时弹簧的弹性势能大于物体在C点的重力势能 【答案】D 【详解】AB．物体恰好能够到达最高点C，说明在C点物体只受重力，根据牛顿第二定律有 解得 故AB错误； C．物体在B点时加速度向上，处于超重状态，轨道对物体的支持力大于物体的重力，故C错误； D．物体从A到C的过程，只有重力和弹簧弹力做功，弹簧和物体组成的系统机械能守恒，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的重力势能和动能之和，故物体在A点时弹簧的弹性势能大于物体在C点的重力势能，故D正确。 故选D。 5. （2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能根据来计算其动能，将所有小块的动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（　　） A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度成正比 B．飞轮转动的动能与其质量分布是否均匀无关 C．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变 D．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能变小 【答案】D 【详解】圆盘上的各点同轴转动，角速度相等，质量为m距转轴距离为r的点的速度 其动能 其中为转动惯量。 A．圆盘绕垂直于盘面的轴转动时 其中m为圆盘质量，R为圆盘半径，飞轮转动时的动能 则飞轮转动时的动能与其转动角速度的平方成正比，故A错误； B．转动惯量I与飞轮的质量分布是否均匀有关，飞轮转动的动能与其质量分布是否均匀有关，故B错误； CD．飞轮绕垂直于盘面且过盘心的轴转动时的转动惯量 绕过直径的轴转动时的转动惯量 保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能变小，故C错误，D正确。 故选D。 6. （2025·北京西城·一模）如图所示，一个质量为m的小球，用轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于P点。第一次小球在水平拉力F1的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ；第二次小球在水平恒力F2的作用下，从P点开始运动恰好能到达Q点。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．第二次水平恒力的大小为 B．第二次到达Q点时绳的拉力比第一次小 C．第二次水平力做的功比第一次多 D．两个过程中绳的拉力均逐渐增大 【答案】B 【详解】AB．第一次小球缓慢移动，小球处于平衡状态，解得 绳中张力 随着的逐渐增大，力F、T逐渐增大，当时，有， 在第二次运动过程中，根据动能定理有 解得 故第一个过程中，拉力F在逐渐变大，且最大值一定大于F′，选项B正确，A错误； C．第一次小球缓慢上升，可认为速度为零；第二次在水平恒力F′作用下，从P点开始运动并恰好能到达Q点，此过程中，小球恰能到达Q点，说明vQ=0，即两次拉力做功都等于小球重力势能的增加量，选项C错误； D．在第二次运动过程中，根据平行四边形定则可知，重力与水平拉力的合力为，恒定不变，方向与竖直方向成角，整个过程中小球先加速后减速，当小球运动至轻绳与竖直方向成角时，速度最大，根据牛顿第二定律和向心力公式 可得 可知此时轻绳中的拉力亦最大，即第二种情况下轻绳的拉力先增加后减小，选项D错误。 故选B。 7. （2025·北京延庆·一模）汽车研发机构在某款微型汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，微型汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了微型汽车的动能Ek与位移x关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知微型汽车的质量为1000kg，为便于讨论，设其运动过程中所受阻力恒定。根据图像所给的信息可求出（　　） A．汽车行驶过程中所受阻力为1000N B．汽车的额定功率为120kW C．汽车加速运动的时间为22.5s D．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105J 【答案】D 【详解】A．对于图线①，根据动能定理得：-fx=0-Ek 得到阻力为： 选项A错误； B．设汽车匀速运动的速度为v，则有 汽车的额定功率为：P=Fv=fv=2000×40W=80kW 故B错误。 C．对于加速运动过程，根据动能定理得：Pt-fs=Ek2-Ek1 得到 故C错误。 D．根据功能关系得到：汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为：E=Ek-fs＇=8×105J-2000×1.5×102J=5×105J 故D正确。 故选D。 8. （2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 【答案】D 【详解】A．径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据可知，它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误； B．飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有 飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分析可知 需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静止，故B错误； C．对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有 解得 对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误； D．对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于“停泊点”，飞船的机械能增加，故D正确； 故选D。 9. （2025·河南·一模）如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为，，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d（d点未画出），物块A在c点的加速度大小为，，弹性势能表达式为，Δx为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为，.下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为0.5 B．轻弹簧的劲度系数为144N/m C．物块A下滑的最大速度为 D．物块B的质量为0.4kg 【答案】A 【详解】A．剪断轻绳后，物块A沿斜面体向下加速运动，由牛顿第二定律得 解得 又 联立解得，A正确； B．设bc间的距离为x，物块A由b到c的过程中，对物块A由动能定理得 在c点时对物块A由牛顿第二定律得 解得，，B错误； C．设物块A下滑的速度最大时轻弹簧的压缩量为，此时物块A的加速度为0，则 对物块A由动能定理得 联立解得，C错误； D．剪断细绳前，对物块A由力的平衡条件得 又， 垂直斜面方向有 解得，D错误。 故选A。 10. （2025·广西·模拟预测）传送带经常用于分拣货物。如图（a）为倾斜传送带输送机简化模型图，传送带顺时针匀速转动，在传送带下端点无初速度放上货物。货物从下端点运动到上端点的过程中，其机械能与位移的关系图像（以点所在水平面为零势能面）如图（b）所示。货物视为质点，关于货物从点运动到点的过程说法正确的是（　　） A．该过程中货物受到的摩擦力不变 B．货物与传送带间相对滑动产生的热量为 C．货物对传送带做的功为 D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为 【答案】D 【详解】A．根据功能关系可知E-x图像的斜率表示摩擦力大小，图中图像发生转折，可知摩擦力大小发生变化，故A错误； B．由于摩擦力发生变化，则变化的位置一定在货物与传送带共速时的位置，且共速前为滑动摩擦力，共速后为静摩擦力，即共速后货物与传送带相对静止，因加速阶段滑动摩擦力做功为5J，即 设传送带的速度为v，则货物与传送带间相对滑动产生的热量为，B错误； C．加速阶段货物对传送带做功 匀速阶段货物对传送带做功为 可知货物对传送带做的功为，C错误； D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为产生的热能与货物机械能的增量之和，即，D正确。 故选D。 （建议用时：40分钟） 1. （2025·北京大兴·三模）如图所示，一根内壁光滑的圆弧形细圆管竖直放置，且管口A与圆心O连线水平，圆弧半径为R，已知重力加速度为g，细管半径和R相比可忽略。 (1)一小球从管口A的正上方h1高处自由下落后，恰好能到达管口C处，求h1。 (2)若质量为m的小球从管口A的正上方某高度自由下落，它能从管口C处飞出后又落到管口A处，求： a．小球释放位置距A的高度h2； b．在该过程中，小球到细管最低点时对细管的压力大小。 【答案】(1)R (2)a．；b．5.5mg 【详解】（1）小球到达C处速度为零，由动能定理得 可得 （2）a．小球从C点做平抛运动， 可得 小球从释放点到C点过程中，由动能定理得 解得 b．从最低点到C，由动能定理得 解得 在最低点，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律得压力为5.5mg 2. （2025·北京·三模）图甲为游乐园中“空中飞椅”的娱乐设施，中央是一个由电动机驱动的水平转盘，转盘的边缘固定许多绳子，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上，随着转盘的加速，人的高度也逐渐上升。可将上述装置做如图乙所示的简化：人和座椅视为质量为m=100kg的质点；绕竖直轴OO′无摩擦转动的转盘视为质量为M=4000kg、半径为R=3m的匀质圆盘；长为l=5m的轻绳不可伸长。圆盘从静止开始缓慢加速转动，经过一段时间后，圆盘匀速转动，此时绳与竖直方向的夹角为θ=37°。空中飞椅和游客数均为N=10，不计空气阻力和其他摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。 (1)求圆盘匀速转动的角速度ω。 (2)对于定轴转动的物体，其动能可表示为，对于匀质转盘，电动机的效率为η=0.9。求圆盘从静止到匀速转动的过程电动机消耗的电能。（结果保留1位有效数字） (3)加速度对时间的变化率叫做“急动度”，汽车工程师常常用急动度来评判乘客不舒适程度的指标，急动度越大，乘客将会觉得越不舒适。求匀速转动时，质点急动度的大小j以及合力随时间的变化率。 【答案】(1) (2)5×104J (3)， 【详解】（1）对游客进行分析。根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据能量守恒定律有 解得 （3）质点匀速圆周运动的加速度大小 令经历时间Δt，质点匀速圆周运动转过的圆心角为α，则有 根据矢量合成可知，加速度的变化量大小为 则急动度 解得 当时间Δt→0时有 解得 代入数据解得 合力随时间的变化率 解得 3. （2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计了如图2所示的过山车模型，质量为的小球在A点由静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道BC进入半径的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道进入“水滴形”曲线轨道，点的曲率半径，“水滴形”轨道最高点与圆形轨道最高点等高。忽略所有轨道摩擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，取。 (1)求小球释放点A距离水平面的高度； (2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点与最高点的向心加速度大小的差值； (3)在“水滴形”轨道上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道上任意一点的曲率半径随距地面高度变化的函数表达式（即：用和表示）。 【答案】(1)2m (2)40 m/s2 (3)或 【详解】（1）小球恰能做完整的圆周运动，则在D点，由牛顿第二定律有 由A到D，由机械能守恒定律有   解得H =2m （2）由A到C，由机械能守恒定律有   在圆轨道上C点，向心加速度 结合上述有 （3）小球在E点，向心加速度 根据机械能守恒定律有 解得 由题意可知，小球在轨道EFG上任意一点的向心加速度均为2g。设小球运动到距地面高为h处，速度大小为v，由机械能守恒定律有 由于 解得r=2.5R1-h或r=2-h 4. （2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得 （2）设地球质量为M，探测器质量为，卫星质量为，探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒定律得 发射前，由牛顿第二定律得 联立解得 （3）小华的观点正确。 设发射后卫星的速度为，发射过程由动量守恒得 发射后卫星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为，近地点到地心距离为，由开普勒第二定律得 由能量守恒定律得 设发射后卫星绕地球运动的周期为，由开普勒第三定律得 联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。 5. （2025·北京·二模）水平桌面上的甲、乙两物体在水平拉力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度a与所受拉力F的关系如图所示。甲、乙两物体的质量分别为，与桌面间的动摩擦因数分别为。下列说法正确的是（　　） A． B． C．若拉力相同，经过相同时间拉力对甲做功少 D．若拉力相同，通过相同位移甲获得的动能小 【答案】BD 【详解】AB．物体运动后，由牛顿第二定律可知 即 由图像的斜率以及截距可知， A错误，B正确； C．由图像可知，若拉力相同，加速度大小无法判断，根据 可知在相同的内无法判断拉力做功的大小，C错误； D．根据结合图像的横截距可知物体滑动过程中甲所受的滑动摩擦力更大，根据可知拉力和距离相同时，甲获得的动能更小，D正确。 故选BD。 6. （2025·北京昌平·二模）荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均为L的细绳悬挂于固定横梁上，质量为m的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，此时两绳与竖直方向夹角均为。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。 (1)当秋千静止时，求水平外力的大小F。 (2)将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。 (3)若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下的过程中空气阻力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）秋千静止时，受三个力的作用：重力G、细绳拉力T和水平拉力F作用。根据共点力平衡知识得 解得 （2）不计空气阻力，秋千从静止摆到最低点的过程中，由机械能守恒得 秋千运动到最低点，拉力与重力的合力提供向心力，则有 解得 （3）若考虑空气阻力，秋千最终停在最低点。根据动能定理得 又 解得 7. （2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的小球，另一端通过光滑的轻质小圆环套在点的钉子上，小球在高为的光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球的速度缓慢增大，当细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小； (2)小球落地点到桌面边缘的水平距离； (3)小球落地时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）细绳拉力为F时，根据牛顿第二定律可知 解得 细绳拉断后小球将以速度 从水平桌面上抛出。 （2）根据平抛运动的规律， 解得 （3）由机械能守恒定律可知，小球落地时的动能 8. （2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则有 解得 （2）动能的变化量 势能的变化量 机械能的变化量 结合上述有 即有 解得 上述表达式也可为， （3）情况1：从到释放，卫星与地心的距离先减小后增大； 情况2：在释放，卫星与地心的距离保持不变； 情况3：从到释放，卫星与地心的距离先增大后减小； 情况4：从到释放，卫星与地心的距离一直增大。 其中，当时，卫星脱离地球束缚，联立同步卫星的动力学方程： 解得 9. （2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 10. （2025·北京西城·二模）如图所示，小物块的质量，以速度开始运动，运动至水平桌面右端抛出。物块的抛出点距水平地面的高度，落地点与桌面右端的水平距离，重力加速度。不计空气阻力。求： (1)物块在空中运动的时间t； (2)物块离开桌面右端时速度的大小v； (3)桌面摩擦力对物块做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块离开桌面后做平抛运动，在竖直方向上有   代入数据解得 （2）物块在水平方向上有 代入数据解得物块离开桌面时速度的大小 （3）物块在水平桌面上的运动过程，根据动能定理有 代入数据解得 11. （2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑洞的质量分别为、，两者间距为，引力常量为。 (1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小； (2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械能逐渐减小。已知机械能随时间的变化率为，其中可以定义为两黑洞的靠近速度。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率，其中为电磁波在真空中的传播速度。当较大时，靠近速度很小，不计两黑洞各自质量的变化。 a.求的值； b.请推导的表达式。 【答案】(1) (2)a. ；b. 【详解】（1）两黑洞绕其质心做匀速圆周运动，设轨道半径分别为，，根据牛顿第二定律， 因为 联立解得 （2）a.根据可知P(辐射功率)的单位是 的单位是； G(引力常量)的单位是； r(半径)的单位是m； c(光速)的单位是m/s； 辐射功率的表达式为 等式左右单位应相同，即 化简得 解得 b.双星系统的辐射功率 又因为 所以 12. （2025·北京顺义·模拟预测）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 (1)求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的8倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 【答案】(1)（） (2)（） (3) 【详解】（1）由题可知，星系中心就是半径为R的球体的球心，区域的恒星设其质量为绕星系中心做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得（） （2）由题意通过类比可知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。设在区域内，半径为r的球体内的内物质总质量为；根据球体积公式 可得 同理，由万有引力提供向心力得 解得区域内的恒星的速度大小v与r的关系为（） （3）设太阳的辐射功率为P，日地之间的距离为r，地球上每单位面积上获得的热功率为，则有 宇宙中某恒星质量单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，且地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，则有 解得地球在新公转轨道上运动的轨道半径为 卫星在轨道半径为r上做匀速圆周运动时周期为T，根据万有引力提供向心力，则有 解得 所以有 13. （2025·北京丰台·一模）如图所示，冰车静止在冰面上，小孩与冰车的总质量。大人用恒定拉力，使冰车开始沿水平冰面移动，拉力方向与水平面的夹角为。已知冰车与冰面间的动摩擦因数，重力加速度，，。求。 (1)小孩与冰车受到的支持力的大小。 (2)小孩与冰车的加速度的大小。 (3)拉力作用时间，冰车位移的大小。 (4)拉力作用时间内，合外力做的功。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）对小孩与冰车，竖直方向有 代入题中数据，解得 （2）对小孩与冰车，由牛顿第二定律有 其中摩擦力 联立以上，解得加速度大小 （3）拉力作用时间，冰车位移 （4）拉力作用时间内，合外力做的功 14. （2025·北京大兴·一模）在2024年的巴黎奥运会中，我国小将全红婵力压群芳，取得了女子10米跳台比赛的冠军。假设全红婵的质量为m = 50 kg，其体型可等效为长度l = 1 m、底面积S = 0.06 m2的圆柱体，不计空气阻力，当她起跳到达最高点时，她的重心离跳台表面的高度为0.8 m。 (1)求全红婵起跳瞬间的速度大小； (2)全红婵落水后将受到水的浮力。若以落水点为坐标原点，竖直向下为正方向建立x轴，请在答题纸给出的坐标上画出她所受浮力F的大小随落水深度x变化的函数关系图像（已知物体在水中所受浮力为F = ρgV，V为物体所排开的水的体积）； (3)若全红婵从跳台自由下落，忽略空气阻力和她入水后受到的水的阻力，为了确保她的安全，求水池中水的深度h至少应等于多少？（水的密度ρ = 1.0 × 103 kg/m3，g = 10 m/s2）。 【答案】(1) (2) (3)53 m 【详解】（1）设全红婵起跳瞬间的速度大小v0，则 解得 （2）向上为正，由浮力概念可得， 图像如图 （3）为保证安全，则运动员到达水底时速度恰减为零，则由能量关系 其中 可得 15. （2025·北京顺义·一模）双星系统是指由两颗恒星组成的引力束缚系统，它们在相互的引力作用下围绕共同的质心（质量中心）做轨道运动。 (1)如图所示为某双星系统，恒星A、B绕其连线的中点O做角速度相等的匀速圆周运动，A、B的质量均为，恒星A、B中心之间的距离为L，引力常量为G，求恒星A绕O点做圆周运动的角速度。 (2)宇宙中某双黑洞系统可以看成双星模型，随着时间推移，系统会通过引力波辐射能量，导致轨道逐渐收缩，最终合并成一个黑洞。假设该双黑洞系统中，两个黑洞的质量均为M，中心之间的距离为r，已知此时这个系统辐射引力波的功率，其中G为引力常量，c为光在真空中传播的速度。 a.该双黑洞系统到地球的距离为D（D远大于r），不计传播过程中引力波能量的损失，求地球表面接收到该系统此时刻辐射引力波的能流密度S（能流密度是指单位时间内通过垂直于能量传播方向上单位面积的能量，单位为）。 b.已知质量为和，距离为R的两个质点间的引力势能。设黑洞合并过程中系统的机械能全部转化为引力波的能量，在t时间内该双黑洞之间的距离由r收缩为，求此过程中该双黑洞系统辐射引力波的平均功率。 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）根据题意可知，由于A、B的质量均为，则恒星A、B做圆周运动的半径为，由万有引力提供向心力有 解得 （2）a.根据题意可知，时间内引力波辐射的能量为 形成的面积为 则能流密度 b.根据题意，由万有引力提供向心力有， 系统增加的动能 联立解得 系统减小的势能 系统减小的机械能 根据能量守恒定律有 解得 16. （2025·北京顺义·一模）如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 （2）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 在点，由牛顿第二定律有 解得 （3）小球从点飞出后做平抛运动，飞行时间为 C、E两点的距离 17. （2025·北京延庆·一模）如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一质量可以看成质点的物体从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动恰好能通过B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。求： (1)物体通过B点时速度的大小； (2)A与C之间距离x的大小； (3)物体刚进入圆轨道A点时轨道对物体支持力的大小。 【答案】(1)2.0m/s (2)0.8m (3)30N 【详解】（1）物体恰好通过B点时，根据牛顿第二定律可得 可得 （2）物体从B点飞出做平抛运动，根据 A与C之间的距离为 可得 （3）物体经A点时受力分析如图所示 根据动能定理，物体由A点运动到B点的过程中，有 根据牛顿第二定律可得 可得 18. （2025·山东·模拟预测）如图所示，长为的轻杆一端连着质量为的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的点，初始时小球静止于地面上，边长为、质量为的正方体左侧静止于点处。现在杆中点处施加一大小始终为（为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力所做的功为 B．拉力撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为 D．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 【答案】ABD 【详解】A．小球恰好能到达O点正上方，则小球在最高点时速度为零，对小球从初始位置到最高点，由动能定理有WF－mgL＝0 解得WF＝mgL，故A正确； B．设撤去力F时杆与水平方向的夹角为α，则有WF＝Fs＝F·α 解得α＝ 从撤去力F到小球运动到最高点的过程中，小球的机械能守恒，由机械能守恒定律有mgL（1－sin α）＝mv2 解得撤去力F时小球的速度大小为，故B正确； C．如图所示 设杆与水平地面夹角为θ时，小球的速度大小为v1，接触点沿着弹力的方向速度相等，有正方体的速度大小为 即小球与正方体的速率之比为，故C错误； D．对小球与正方体组成的系统，由机械能守恒定律有 联立解得；故D正确。 故选ABD。 19. （2025·浙江·一模）如图所示，倾角的倾斜传送带AB长m，以速率v顺时针匀速运转。一小煤块轻放在传送带上端A处，经B到达点进入螺旋圆环轨道，通过轨道最高点，继续沿轨道经过点，然后从D点离开平台，最后落在倾角为的斜坡上。环间距正好让小煤块通过，且与圆轨道半径相比可以忽略。已知小煤块与传送带表面间的动摩擦因数为，其它地方摩擦不计，传送带底部与水平面平滑过渡，m，，。 (1)若，小煤块恰能过圆环最高点，求圆环轨道最大半径R； (2)若m/s，求小煤块在传送带上留下的痕迹长度； (3)要使小煤块垂直打在斜坡上，求传送带的速率v。 【答案】(1)0.12m (2)0.2m (3) 【详解】（1）恰能过最高点，由动能定理有 解得 （2）小煤块从A点到与皮带同速，由牛顿定律，有 运动距离 用时 小煤块相对传送带位移 小煤块从与皮带同速到B点，有 速度为 用时 小煤块相对传送带位移 所以小煤块在传送带上留下的痕迹长度为0.2m （3）要使小煤块垂直打在斜坡上，有 以D点为坐标原点，水平为x方向，竖直向下为y方向，有， D点速度m/s 小煤块从A点到B全过程分析 解得m/s 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $