3.轴线角的判定（终边在坐标轴上的角）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 3.轴线角的判定（终边在坐标轴上的角）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】轴线角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，若角的终边（除端点外）落在轴或轴上，则称这个角为轴线角（又称象限界角）。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：终边在坐标轴上，不属于任何象限；角的大小为（或）的整数倍 ￮跨章节关联：适用于三角函数定义域分析（如正切函数在轴线角处无意义）、诱导公式的特殊值计算 2. 【概念2】终边在轴上的轴线角 ￮定义表述：终边落在轴正半轴或负半轴上的轴线角，统称为终边在轴上的轴线角。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：角的大小为（或）的整数倍；终边在轴上 ￮跨章节关联：关联余弦函数的最值（）、正弦函数的零点（） 3. 【概念3】终边在轴上的轴线角 ￮定义表述：终边落在轴正半轴或负半轴上的轴线角，统称为终边在轴上的轴线角。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：角的大小为（或）与（或）整数倍的和；终边在轴上 ￮跨章节关联：关联正弦函数的最值（）、余弦函数的零点（） 4. 【概念4】终边在坐标轴各半轴上的轴线角集合 ￮定义表述：按终边所在的坐标轴半轴，将轴线角拆分为四个具体子集。 ￮数学符号/表达式（角度制+弧度制）： - 轴非负半轴： / - 轴非正半轴： / - 轴非负半轴： / - 轴非正半轴： / ￮关键特征：每个子集的角周期为（或），终边位置唯一 ￮跨章节关联：用于三角函数特殊值的精准计算，如无意义、 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 轴线角的本质属性 轴线角终边在坐标轴上，不属于任何象限 将轴线角归为某一象限角，如认为是第一象限角 错误判定为第二象限角，实际它是轴负半轴上的轴线角 轴线角的表达式特征 角度制为整数倍，弧度制为整数倍 混淆轴线角与象限角的表达式，如将轴轴线角写成 误把当作轴轴线角，实际该表达式包含轴轴线角 终边在轴/ 轴轴线角的区分 轴轴线角是（）整数倍；轴轴线角是（）加（）整数倍 无法区分轴与轴轴线角的表达式，混用公式 把归为轴轴线角，实际它是轴负半轴轴线角，表达式为 轴线角的周期性 轴线角的最小正周期为（），轴/ 轴轴线角周期为（） 认为所有轴线角的周期都是（） 写出轴正半轴轴线角集合时，错误使用而非 三、题型分类与例题精析 题型1：已知具体角，判定是否为轴线角及终边位置 题型特征：给出角度制或弧度制的具体角，判断其是否为轴线角；若为轴线角，进一步确定终边落在哪个坐标轴半轴。 解题步骤： 1. 角度制：将角化为的形式（），若能转化则为轴线角；弧度制：化为的形式（）。 2. 对分类讨论：为偶数时，进一步判断是否为轴轴线角；为奇数时，判断是否为轴轴线角。 3. 根据的具体取值，确定终边所在的坐标轴半轴。 例题1：判断下列角是否为轴线角，若是，指出终边所在的坐标轴半轴（角度制+弧度制） (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) ，是的整数倍，属于轴线角；又，终边在**轴负半轴**。 (2) ，是的整数倍，属于轴线角；，终边在**轴正半轴**。 (3) ，不是的整数倍，不是轴线角。 答案：(1) 是轴线角，终边在轴负半轴；(2) 是轴线角，终边在轴正半轴；(3) 不是轴线角 举一反三1-1：下列角中，属于轴线角的是（） A. B. C. D. 解析：选项C中，，是的整数倍，属于轴线角；其他选项均不是（或）整数倍。 答案：C 举一反三1-2：判断角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 解析：，是的整数倍，属于轴线角；又，终边在**轴负半轴**。 答案：是轴线角，终边在轴负半轴 举一反三1-3：判断弧度制角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 解析：，是的整数倍，属于轴线角；终边在**轴负半轴**。 答案：是轴线角，终边在轴负半轴 题型2：轴线角的集合表示（角度制+弧度制） 题型特征：根据终边所在的坐标轴位置，写出对应的轴线角集合；或根据轴线角集合，判断终边位置。 解题步骤： 1. 明确终边所在的坐标轴（轴正/负半轴、轴正/负半轴、轴、轴、任意坐标轴）。 2. 套用对应轴线角的集合公式，角度制以、、为周期，弧度制以、、为周期。 3. 检查集合表达式中的取值范围为，确保无遗漏。 例题2：用角度制和弧度制分别写出下列轴线角的集合 (1) 终边在轴上的角；(2) 终边在轴正半轴上的角 解析： (1) 终边在轴上的角是的整数倍，角度制集合：；弧度制集合：。 (2) 终边在轴正半轴上的角，角度制以为基础，周期，集合：；弧度制集合：。 答案： (1) 角度制：；弧度制： (2) 角度制：；弧度制： 举一反三2-1：终边在轴上的角的弧度制集合是（） A. B. C. D. 解析：终边在轴上的角包括正、负半轴，是加的整数倍，对应选项B；选项C、D仅表示轴正、负半轴，选项A是轴轴线角。 答案：B 举一反三2-2：用角度制写出终边在轴正半轴上的角的集合。 解析：终边在轴正半轴的角是的整数倍，集合为。 答案： 举一反三2-3：已知角的集合为，指出角终边所在的位置。 解析：该集合是加的整数倍，对应终边在**轴负半轴**上的轴线角。 答案：终边在轴负半轴上 题型3：轴线角与三角函数值的综合应用 题型特征：已知角为轴线角，求其三角函数值；或已知三角函数的特殊值，求对应的轴线角。 解题步骤： 1. 确定轴线角的终边位置（坐标轴半轴）。 2. 根据三角函数的定义，结合终边上点的坐标特征（如轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为）计算函数值。 3. 已知函数值时，反向推导终边位置，进而写出轴线角集合。 例题3： (1) 求轴线角的正弦值和余弦值；(2) 已知，求的集合（弧度制） 解析： (1) 是轴负半轴上的轴线角，终边上取点，则，。 (2) 时，角的终边在轴正半轴上，弧度制集合为。 答案：(1) ，；(2) 举一反三3-1：求的值为（） A. B. C. D. 不存在 解析：，是轴正半轴轴线角，，故。 答案：B 举一反三3-2：已知，求角度制下的集合。 解析：时，终边在轴负半轴，角度制集合为。 答案： 举一反三3-3：判断是否存在，并说明理由。 解析：是轴正半轴轴线角，终边上点的横坐标，而，分母为，故不存在。 答案：不存在，理由见解析 题型4：轴线角的范围求解与个数判断 题型特征：给定角的取值范围，求该范围内某类轴线角的个数；或写出该范围内的所有轴线角。 解题步骤： 1. 写出目标轴线角的集合表达式（角度制或弧度制）。 2. 根据给定范围列出不等式，求解整数的取值。 3. 根据的取值个数，确定轴线角的个数；代入值，写出所有轴线角。 例题4：求在范围内，终边在轴上的所有轴线角。 解析：终边在轴上的角的集合为；令，解得；取整数，代入得。 答案： 举一反三4-1：在范围内，终边在轴上的轴线角的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：终边在轴上的角的弧度制集合为；令，解得，，对应角，共3个。 答案：C 举一反三4-2：求在范围内，终边在轴正半轴上的轴线角。 解析：终边在轴正半轴的角的集合为；令，解得，，代入得。 答案： 举一反三4-3：在范围内，求所有轴线角的个数。 解析：轴线角集合为；令，解得，，共5个。 答案：5个 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：下列角中，不是轴线角的是（） A. B. C. D. 解析：轴线角是的整数倍，，不是整数倍，其余选项均为整数倍。 答案：C 2. 多选题：下列关于轴线角的说法正确的有（） A. 轴线角不属于任何象限 B. 终边在轴上的角都是轴线角 C. （）都是轴线角 D. 轴线角的正弦值要么是要么是 解析：选项A、B、C均符合轴线角定义；选项D错误，如是轴线角，，的，但轴线角的正弦值只有这三种情况，表述无错，本题全对。 答案：ABCD 3. 填空题：终边在轴上的角的角度制集合为______。 解析：终边在轴上的角是加的整数倍，集合为。 答案： 4. 解答题 (1) 判断角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 解析：，是的整数倍，属于轴线角，终边在轴正半轴。 答案：是轴线角，终边在轴正半轴 (2) 求的值，并写出满足的角的集合（弧度制）。 解析：；满足的角终边在轴负半轴，集合为。 答案：；集合为 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：在范围内，终边在轴负半轴上的轴线角的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：终边在轴负半轴的角的集合为；令，解得，，对应角，共3个。 答案：B 2. 多选题：已知是轴线角，则下列三角函数值可能不存在的有（） A. B. C. D. 以上都不存在 解析：正切函数，当终边在轴上时，，不存在；正弦、余弦函数在所有轴线角处均有定义。 答案：C 3. 填空题：已知角是轴线角，且，，则______。 解析：时，；令，解得，，对应。 答案： 4. 解答题 (1) 用弧度制写出终边在坐标轴上的角的集合，并说明该集合与轴线角集合的关系。 解析：终边在坐标轴上的角的集合为，该集合就是轴线角的集合。 答案：集合为；二者是同一个集合 (2) 已知角的终边在轴上，且，求所有满足条件的。 解析：终边在轴上的角的集合为；令，解得，，对应；注意不包含在内，也不包含。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：集合，，则与的关系是（） A. B. C. D. 无包含关系 解析：集合是所有轴线角，集合是终边在轴上的轴线角，故是的真子集。 答案：B 2. 多选题：已知角是轴线角，且，则的可能取值有（） A. B. C. D. 解析：轴线角集合为；令，解得，，对应；不包含在范围内。 答案：ABC 3. 填空题：若是轴线角，且不存在，，则的弧度制集合为______。 解析：不存在时，终边在轴上；时，终边在轴负半轴，集合为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边与角的终边重合，且，求的所有取值。 解析：与终边重合的角的集合为；令，解得，，代入得。 答案： (2) 已知集合，，判断与的关系，并说明理由。 解析：集合中，是轴轴线角，是轴轴线角，二者合并就是所有轴线角；集合也是所有轴线角，故。 答案：，理由见解析 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 3.轴线角的判定（终边在坐标轴上的角）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】轴线角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，若角的终边（除端点外）落在轴或轴上，则称这个角为轴线角（又称象限界角）。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：终边在坐标轴上，不属于任何象限；角的大小为（或）的整数倍 ￮跨章节关联：适用于三角函数定义域分析（如正切函数在轴线角处无意义）、诱导公式的特殊值计算 2. 【概念2】终边在轴上的轴线角 ￮定义表述：终边落在轴正半轴或负半轴上的轴线角，统称为终边在轴上的轴线角。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：角的大小为（或）的整数倍；终边在轴上 ￮跨章节关联：关联余弦函数的最值（）、正弦函数的零点（） 3. 【概念3】终边在轴上的轴线角 ￮定义表述：终边落在轴正半轴或负半轴上的轴线角，统称为终边在轴上的轴线角。 ￮数学符号/表达式：角度制：；弧度制： ￮关键特征：角的大小为（或）与（或）整数倍的和；终边在轴上 ￮跨章节关联：关联正弦函数的最值（）、余弦函数的零点（） 4. 【概念4】终边在坐标轴各半轴上的轴线角集合 ￮定义表述：按终边所在的坐标轴半轴，将轴线角拆分为四个具体子集。 ￮数学符号/表达式（角度制+弧度制）： - 轴非负半轴： / - 轴非正半轴： / - 轴非负半轴： / - 轴非正半轴： / ￮关键特征：每个子集的角周期为（或），终边位置唯一 ￮跨章节关联：用于三角函数特殊值的精准计算，如无意义、 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 轴线角的本质属性 轴线角终边在坐标轴上，不属于任何象限 将轴线角归为某一象限角，如认为是第一象限角 错误判定为第二象限角，实际它是轴负半轴上的轴线角 轴线角的表达式特征 角度制为整数倍，弧度制为整数倍 混淆轴线角与象限角的表达式，如将轴轴线角写成 误把当作轴轴线角，实际该表达式包含轴轴线角 终边在轴/ 轴轴线角的区分 轴轴线角是（）整数倍；轴轴线角是（）加（）整数倍 无法区分轴与轴轴线角的表达式，混用公式 把归为轴轴线角，实际它是轴负半轴轴线角，表达式为 轴线角的周期性 轴线角的最小正周期为（），轴/ 轴轴线角周期为（） 认为所有轴线角的周期都是（） 写出轴正半轴轴线角集合时，错误使用而非 三、题型分类与例题精析 题型1：已知具体角，判定是否为轴线角及终边位置 题型特征：给出角度制或弧度制的具体角，判断其是否为轴线角；若为轴线角，进一步确定终边落在哪个坐标轴半轴。 解题步骤： 1. 角度制：将角化为的形式（），若能转化则为轴线角；弧度制：化为的形式（）。 2. 对分类讨论：为偶数时，进一步判断是否为轴轴线角；为奇数时，判断是否为轴轴线角。 3. 根据的具体取值，确定终边所在的坐标轴半轴。 例题1：判断下列角是否为轴线角，若是，指出终边所在的坐标轴半轴（角度制+弧度制） (1) ；(2) ；(3) 举一反三1-1：下列角中，属于轴线角的是（） A. B. C. D. 举一反三1-2：判断角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 举一反三1-3：判断弧度制角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 题型2：轴线角的集合表示（角度制+弧度制） 题型特征：根据终边所在的坐标轴位置，写出对应的轴线角集合；或根据轴线角集合，判断终边位置。 解题步骤： 1. 明确终边所在的坐标轴（轴正/负半轴、轴正/负半轴、轴、轴、任意坐标轴）。 2. 套用对应轴线角的集合公式，角度制以、、为周期，弧度制以、、为周期。 3. 检查集合表达式中的取值范围为，确保无遗漏。 例题2：用角度制和弧度制分别写出下列轴线角的集合 (1) 终边在轴上的角；(2) 终边在轴正半轴上的角 举一反三2-1：终边在轴上的角的弧度制集合是（） A. B. C. D. 举一反三2-2：用角度制写出终边在轴正半轴上的角的集合。 举一反三2-3：已知角的集合为，指出角终边所在的位置。 题型3：轴线角与三角函数值的综合应用 题型特征：已知角为轴线角，求其三角函数值；或已知三角函数的特殊值，求对应的轴线角。 解题步骤： 1. 确定轴线角的终边位置（坐标轴半轴）。 2. 根据三角函数的定义，结合终边上点的坐标特征（如轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为）计算函数值。 3. 已知函数值时，反向推导终边位置，进而写出轴线角集合。 例题3： (1) 求轴线角的正弦值和余弦值；(2) 已知，求的集合（弧度制） 举一反三3-1：求的值为（） A. B. C. D. 不存在 举一反三3-2：已知，求角度制下的集合。 举一反三3-3：判断是否存在，并说明理由。 题型4：轴线角的范围求解与个数判断 题型特征：给定角的取值范围，求该范围内某类轴线角的个数；或写出该范围内的所有轴线角。 解题步骤： 1. 写出目标轴线角的集合表达式（角度制或弧度制）。 2. 根据给定范围列出不等式，求解整数的取值。 3. 根据的取值个数，确定轴线角的个数；代入值，写出所有轴线角。 例题4：求在范围内，终边在轴上的所有轴线角。 举一反三4-1：在范围内，终边在轴上的轴线角的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 举一反三4-2：求在范围内，终边在轴正半轴上的轴线角。 举一反三4-3：在范围内，求所有轴线角的个数。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：下列角中，不是轴线角的是（） A. B. C. D. 2. 多选题：下列关于轴线角的说法正确的有（） A. 轴线角不属于任何象限 B. 终边在轴上的角都是轴线角 C. （）都是轴线角 D. 轴线角的正弦值要么是要么是 3. 填空题：终边在轴上的角的角度制集合为______。 4. 解答题 (1) 判断角是否为轴线角，若是，指出终边位置。 (2) 求的值，并写出满足的角的集合（弧度制）。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：在范围内，终边在轴负半轴上的轴线角的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 多选题：已知是轴线角，则下列三角函数值可能不存在的有（） A. B. C. D. 以上都不存在 3. 填空题：已知角是轴线角，且，，则______。 4. 解答题 (1) 用弧度制写出终边在坐标轴上的角的集合，并说明该集合与轴线角集合的关系。 (2) 已知角的终边在轴上，且，求所有满足条件的。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：集合，，则与的关系是（） A. B. C. D. 无包含关系 2. 多选题：已知角是轴线角，且，则的可能取值有（） A. B. C. D. 3. 填空题：若是轴线角，且不存在，，则的弧度制集合为______。 4. 解答题 (1) 已知角的终边与角的终边重合，且，求的所有取值。 (2) 已知集合，，判断与的关系，并说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $