2.象限角的判定（角与坐标系象限的对应）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 2.象限角的判定（角与坐标系象限的对应）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）落在第几象限，就称这个角为第几象限角。 ￮数学符号/表达式：设角为象限角，终边落在第象限（），则称为第象限角 ￮关键特征：角的顶点在原点、始边与轴非负半轴重合，终边不落在坐标轴上 ￮跨章节关联：适用于三角函数的符号判断、三角函数值的正负分析、诱导公式的应用 2. 【概念2】轴线角的定义 ￮定义表述：若角的终边（除端点外）落在轴或轴上，则称这个角为轴线角（或象限界角）。 ￮数学符号/表达式：轴线角可表示为（弧度制）；（角度制） ￮关键特征：终边在坐标轴上，不属于任何象限 ￮跨章节关联：是三角函数定义域分析的基础，关联正切函数无意义的情况（终边在轴上） 3. 【概念3】各象限角的集合表示（角度制） ￮定义表述：根据终边的位置，用集合形式表示出各象限角的取值范围。 ￮数学符号/表达式： - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： ￮关键特征：以为周期，取任意整数 ￮跨章节关联：是判断任意角所在象限的核心依据，关联三角函数的单调性区间 4. 【概念4】各象限角的集合表示（弧度制） ￮定义表述：用弧度制表示各象限角的取值范围，周期为。 ￮数学符号/表达式： - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： ￮关键特征：周期为，与角度制的集合表示一一对应 ￮跨章节关联：适用于弧度制下三角函数的图像与性质分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 象限角的判定前提 必须满足“顶点在原点，始边与轴非负半轴重合” 忽略坐标系的位置要求，直接根据终边位置判断 若角的顶点不在原点，即使终边在第一象限，也不能称为第一象限角 象限角与轴线角的区别 象限角终边不在坐标轴上，轴线角终边在坐标轴上，二者互斥 将轴线角归为某一象限角，如认为是第一象限角 错误判定为第三象限角，实际它是落在轴负半轴的轴线角 象限角的周期性 象限角的集合表示中，可以取任意整数（正、负、零） 只考虑的情况，忽略负角的象限判断 认为是第四象限角，却错误判定为第二象限角（实际是第三象限角） 同一终边角的象限一致性 终边相同的角，象限属性完全相同 认为终边相同的角可能属于不同象限 与终边相同的角都为第一象限角，不会改变象限 三、题型分类与例题精析 题型1：已知角度制下的角，判定其所在象限 题型特征：给出具体的角度值（含正角、负角），根据象限角的集合表示判断所在象限。 解题步骤： 1. 对大于的正角，减去的整数倍，化为范围内的角； 2. 对负角，加上的整数倍，化为范围内的角； 3. 根据内角的终边位置，判定原角所在的象限。 例题1：判断下列角所在的象限： (1) ；(2) ；(3) 举一反三1-1：下列角中，属于第二象限角的是（） A. B. C. D. 举一反三1-2：判断角所在的象限。 举一反三1-3：将下列角分类（填“第一象限角”“第二象限角”“第三象限角”“第四象限角”“轴线角”）： (1) ；(2) ；(3) 题型2：已知弧度制下的角，判定其所在象限 题型特征：给出具体的弧度数（含正、负），利用弧度制下象限角的集合表示判断所在象限。 解题步骤： 1. 对大于的正角，减去的整数倍；对负角，加上的整数倍，化为范围内的角； 2. 对照弧度制下各象限角的范围（：第一象限；：第二象限；：第三象限；：第四象限）； 3. 根据化简后的角的范围，判定原角所在的象限。 例题2：判断下列弧度制下的角所在的象限： (1) ；(2) ；(3) 答案：(1) 第四象限角；(2) 第三象限角；(3) 第四象限角 举一反三2-1：下列弧度制的角中，属于第一象限角的是（） A. B. C. D. 举一反三2-2：判断角所在的象限。 举一反三2-3：判断角所在的象限。 题型3：已知角所在象限，求该角的倍数角所在象限 题型特征：已知角是第象限角，求等倍数角所在的象限。 解题步骤： 1. 写出已知象限角的集合表示（角度制或弧度制）； 2. 对集合中的进行倍数运算，得到（或）的集合表示； 3. 对进行赋值（），确定（或）的范围，进而判断所在象限。 例题3：已知是第二象限角，判断和所在的象限。 举一反三3-1：已知是第一象限角，则所在的象限为（） A. 第一象限 B. 第一或第二象限 C. 第一或第三象限 D. 第二象限 举一反三3-3：已知是第四象限角，判断所在的象限。 题型4：象限角的集合表示与区间判断 题型特征：根据象限角的定义，写出指定象限角的集合；或判断某区间内的角是否为某象限角。 解题步骤： 1. 明确象限角的周期（角度制，弧度制）； 2. 写出（或）内该象限角的范围； 3. 加上周期的整数倍，得到该象限角的集合表示； 4. 若判断区间角，对比区间与象限角集合的包含关系。 例题4： (1) 用角度制写出第三象限角的集合； (2) 用弧度制写出第二象限角的集合。 举一反三4-1：用弧度制写出第四象限角的集合是（） A. B. C. D. 举一反三4-2：判断区间内的角是否都是第一象限角，并说明理由。 举一反三4-3：用角度制写出终边在第一、三象限角平分线上的角的集合。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：下列角中，属于第四象限角的是（） A. B. C. D. 2. 多选题：下列说法正确的有（） A. 角是轴线角 B. 终边相同的角一定是同一象限角 C. 负角也可以是象限角 D. 第一象限角一定是正角 3. 填空题：弧度制下，终边在第二象限的角的集合为______。 4. 解答题 (1) 判断角所在的象限。 (2) 判断弧度制角所在的象限。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：已知是第三象限角，则所在的象限为（） A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 2. 多选题：下列弧度制的角中，属于轴线角的有（） A. B. C. D. 3. 填空题：已知角是第四象限角，且，若与终边相同，则______。 4. 解答题 (1) 用角度制写出终边在第四象限的角的集合，并找出在范围内的角。 (2) 已知是第一象限角，判断所在的象限。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则的个数为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 多选题：设集合，，，则下列关系正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题：已知角是第二象限角，且，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知角的终边在直线上，且，求的所有可能值。 (2) 已知集合，，判断与的包含关系。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 2.象限角的判定（角与坐标系象限的对应）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的定义 ￮定义表述：在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）落在第几象限，就称这个角为第几象限角。 ￮数学符号/表达式：设角为象限角，终边落在第象限（），则称为第象限角 ￮关键特征：角的顶点在原点、始边与轴非负半轴重合，终边不落在坐标轴上 ￮跨章节关联：适用于三角函数的符号判断、三角函数值的正负分析、诱导公式的应用 2. 【概念2】轴线角的定义 ￮定义表述：若角的终边（除端点外）落在轴或轴上，则称这个角为轴线角（或象限界角）。 ￮数学符号/表达式：轴线角可表示为（弧度制）；（角度制） ￮关键特征：终边在坐标轴上，不属于任何象限 ￮跨章节关联：是三角函数定义域分析的基础，关联正切函数无意义的情况（终边在轴上） 3. 【概念3】各象限角的集合表示（角度制） ￮定义表述：根据终边的位置，用集合形式表示出各象限角的取值范围。 ￮数学符号/表达式： - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： ￮关键特征：以为周期，取任意整数 ￮跨章节关联：是判断任意角所在象限的核心依据，关联三角函数的单调性区间 4. 【概念4】各象限角的集合表示（弧度制） ￮定义表述：用弧度制表示各象限角的取值范围，周期为。 ￮数学符号/表达式： - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： ￮关键特征：周期为，与角度制的集合表示一一对应 ￮跨章节关联：适用于弧度制下三角函数的图像与性质分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 象限角的判定前提 必须满足“顶点在原点，始边与轴非负半轴重合” 忽略坐标系的位置要求，直接根据终边位置判断 若角的顶点不在原点，即使终边在第一象限，也不能称为第一象限角 象限角与轴线角的区别 象限角终边不在坐标轴上，轴线角终边在坐标轴上，二者互斥 将轴线角归为某一象限角，如认为是第一象限角 错误判定为第三象限角，实际它是落在轴负半轴的轴线角 象限角的周期性 象限角的集合表示中，可以取任意整数（正、负、零） 只考虑的情况，忽略负角的象限判断 认为是第四象限角，却错误判定为第二象限角（实际是第三象限角） 同一终边角的象限一致性 终边相同的角，象限属性完全相同 认为终边相同的角可能属于不同象限 与终边相同的角都为第一象限角，不会改变象限 三、题型分类与例题精析 题型1：已知角度制下的角，判定其所在象限 题型特征：给出具体的角度值（含正角、负角），根据象限角的集合表示判断所在象限。 解题步骤： 1. 对大于的正角，减去的整数倍，化为范围内的角； 2. 对负角，加上的整数倍，化为范围内的角； 3. 根据内角的终边位置，判定原角所在的象限。 例题1：判断下列角所在的象限： (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) ，终边与相同，是第一象限角，故是第一象限角； (2) ，终边与相同，是第三象限角，故是第三象限角； (3) 在范围内，故是第三象限角。 答案：(1) 第一象限角；(2) 第三象限角；(3) 第三象限角 举一反三1-1：下列角中，属于第二象限角的是（） A. B. C. D. 解析：选项A 是第一象限角；选项B 在之间，是第二象限角；选项C 是第三象限角；选项D 是第四象限角。 答案：B 举一反三1-2：判断角所在的象限。 解析：，终边与相同，是第三象限角，故是第三象限角。 答案：第三象限角 举一反三1-3：将下列角分类（填“第一象限角”“第二象限角”“第三象限角”“第四象限角”“轴线角”）： (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) ，终边在轴非负半轴，是轴线角； (2) ，终边在轴正半轴，是轴线角； (3) 在之间，是第四象限角。 答案：(1) 轴线角；(2) 轴线角；(3) 第四象限角 题型2：已知弧度制下的角，判定其所在象限 题型特征：给出具体的弧度数（含正、负），利用弧度制下象限角的集合表示判断所在象限。 解题步骤： 1. 对大于的正角，减去的整数倍；对负角，加上的整数倍，化为范围内的角； 2. 对照弧度制下各象限角的范围（：第一象限；：第二象限；：第三象限；：第四象限）； 3. 根据化简后的角的范围，判定原角所在的象限。 例题2：判断下列弧度制下的角所在的象限： (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) 在范围内，是第四象限角； (2) ，在范围内，故是第三象限角； (3) 在范围内，是第四象限角。 答案：(1) 第四象限角；(2) 第三象限角；(3) 第四象限角 举一反三2-1：下列弧度制的角中，属于第一象限角的是（） A. B. C. D. 解析：选项A 是第二象限角；选项B 在之间，是第一象限角；选项C 是第三象限角；选项D 是轴线角。 答案：B 举一反三2-2：判断角所在的象限。 解析：，在范围内，故是第三象限角。 答案：第三象限角 举一反三2-3：判断角所在的象限。 解析：，在范围内，故是第三象限角。 答案：第三象限角 题型3：已知角所在象限，求该角的倍数角所在象限 题型特征：已知角是第象限角，求等倍数角所在的象限。 解题步骤： 1. 写出已知象限角的集合表示（角度制或弧度制）； 2. 对集合中的进行倍数运算，得到（或）的集合表示； 3. 对进行赋值（），确定（或）的范围，进而判断所在象限。 例题3：已知是第二象限角，判断和所在的象限。 解析： 1. 是第二象限角，弧度制表示为； 2. 求的范围：，故是第三象限角或第四象限角或轴线角（当时，）； 3. 求的范围：； · 当为偶数时，令，则，是第一象限角； · 当为奇数时，令，则，是第三象限角； 综上，是第一象限角或第三象限角。 答案：是第三、四象限角或轴线角；是第一或第三象限角 举一反三3-1：已知是第一象限角，则所在的象限为（） A. 第一象限 B. 第一或第二象限 C. 第一或第三象限 D. 第二象限 解析：的范围是，则的范围是；为偶数时是第一象限角，为奇数时是第三象限角。 答案：C 举一反三3-2：已知是第三象限角，求所在的象限。 解析：的范围是，则的范围是，即；终边与范围内的角相同，故是第一象限角或第二象限角或轴线角。 答案：第一、二象限角或轴线角 举一反三3-3：已知是第四象限角，判断所在的象限。 解析：的范围是，则的范围是； · 当时，，第二象限角； · 当时，，第三象限角； · 当时，，第四象限角； 综上，是第二、三、四象限角。 答案：第二、三、四象限角 题型4：象限角的集合表示与区间判断 题型特征：根据象限角的定义，写出指定象限角的集合；或判断某区间内的角是否为某象限角。 解题步骤： 1. 明确象限角的周期（角度制，弧度制）； 2. 写出（或）内该象限角的范围； 3. 加上周期的整数倍，得到该象限角的集合表示； 4. 若判断区间角，对比区间与象限角集合的包含关系。 例题4： (1) 用角度制写出第三象限角的集合； (2) 用弧度制写出第二象限角的集合。 解析： (1) 内第三象限角的范围是，加上得集合：； (2) 内第二象限角的范围是，加上得集合：。 答案： (1) ； (2) 举一反三4-1：用弧度制写出第四象限角的集合是（） A. B. C. D. 解析：弧度制下第四象限角的范围是，对应选项D。 答案：D 举一反三4-2：判断区间内的角是否都是第一象限角，并说明理由。 解析：第一象限角的弧度制集合是；当时，集合为，因此该区间内的角都是第一象限角。 答案：是，理由见解析 举一反三4-3：用角度制写出终边在第一、三象限角平分线上的角的集合。 解析：终边在第一、三象限角平分线上的角，内为，相差，集合为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：下列角中，属于第四象限角的是（） A. B. C. D. 解析：在范围内，是第四象限角；选项A是第二象限角，选项B是第三象限角，选项D是第一象限角。 答案：C 2. 多选题：下列说法正确的有（） A. 角是轴线角 B. 终边相同的角一定是同一象限角 C. 负角也可以是象限角 D. 第一象限角一定是正角 解析：选项A正确，终边在轴正半轴；选项B错误，如和终边相同且为第一象限角，但和终边相同且为轴线角；选项C正确，如是第四象限角；选项D错误，如是第一象限角但为负角。 答案：AC 3. 填空题：弧度制下，终边在第二象限的角的集合为______。 解析：直接套用弧度制第二象限角的集合公式，即。 答案： 4. 解答题 (1) 判断角所在的象限。 解析：，在范围内，是第三象限角，故是第三象限角。 答案：第三象限角 (2) 判断弧度制角所在的象限。 解析：，在范围内，是第二象限角，故是第二象限角。 答案：第二象限角 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：已知是第三象限角，则所在的象限为（） A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 解析：的范围是，则的范围是；为偶数时是第二象限角，为奇数时是第四象限角。 答案：D 2. 多选题：下列弧度制的角中，属于轴线角的有（） A. B. C. D. 解析：轴线角的弧度制形式为；选项A、B、C均符合，选项D 是第四象限角。 答案：ABC 3. 填空题：已知角是第四象限角，且，若与终边相同，则______。 解析：与终边相同的角的为；令，解得，代入得。 答案： 4. 解答题 (1) 用角度制写出终边在第四象限的角的集合，并找出在范围内的角。 解析：第四象限角的集合为；令，得，即范围内的角为。 答案：集合为；范围内的角为 (2) 已知是第一象限角，判断所在的象限。 解析：的范围是，则的范围是；当时，，是第一、二、三象限角；综上，是第一、二、三象限角。 答案：第一、二、三象限角 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则的个数为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：与终边关于轴对称的角为；令，解得，对应4个角。 答案：A 2. 多选题：设集合，，，则下列关系正确的有（） A. B. C. D. 解析：选项A正确，锐角都是第一象限角，但第一象限角不都是锐角；选项B正确，锐角都小于，但小于的角不都是锐角；选项C错误，包含锐角和负的第一象限角；选项D错误，中大于的角不在中。 答案：AB 3. 填空题：已知角是第二象限角，且，则的取值范围是______。 解析：第二象限角的弧度制范围是；由得，故，取值范围为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边在直线上，且，求的所有可能值。 解析：终边在上的角的集合为；令，解得；代入得。 答案： (2) 已知集合，，判断与的包含关系。 解析：集合中，为偶数时是第一象限角的子区间，为奇数时是第三象限角的子区间；集合是为偶数时的的子集，故。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $