1.任意角的概念（正角、负角、零角）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 1.任意角的概念（正角、负角、零角）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角 ￮ 定义表述：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转开始时的射线叫始边，旋转结束时的射线叫终边，射线的端点叫角的顶点。 ￮ 数学符号/表达式：角可以用小写希腊字母表示，如；也可用三个大写字母表示，如（为顶点） ￮ 关键特征：角的大小与旋转方向、旋转量有关，突破了初中阶段角的范围限制 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数、平面向量的旋转、解析几何中直线的倾斜角等内容 2. 【概念2】正角、负角、零角 ￮ 定义表述：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转时形成的角叫做零角。 ￮ 数学符号/表达式：设旋转量为，正角，负角，零角 ￮ 关键特征：正角和负角的区分在于旋转方向，零角的始边与终边重合 ￮ 跨章节关联：与三角函数的诱导公式、周期函数的定义紧密相关，也应用于物理中的角速度计算 3. 【概念3】终边相同的角 ￮ 定义表述：具有相同始边和终边的角叫做终边相同的角，所有与角终边相同的角（包括本身）构成一个集合。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：终边相同的角相差的整数倍；零角的终边相同角集合为 ￮ 跨章节关联：用于三角函数的定义域求解、角的象限判断等题型 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边相同角的等价性 角与角终边相同 1. 遗漏这个条件；2. 混淆角度制与弧度制的书写 对比：指数函数与（）的图象平移，是“左右平移”，而终边相同角是“周期旋转” 正角、负角与角的大小关系 正角不一定大于负角，角的大小由旋转量的绝对值和方向共同决定 认为“正角一定大于负角”，如是正角，是负角，但 对比：二次函数中，开口向上，开口向下，符号决定性质，但不能直接说“大函数值就大” 零角的唯一性 零角的始边与终边重合，但始边与终边重合的角不一定是零角 认为“始边与终边重合的角就是零角”，忽略等终边与零角重合的角 对比：幂函数与的定义域差异，定义域为，定义域为，形式相似但本质不同 三、题型分类与例题精析 题型1：任意角的概念辨析（正角、负角、零角的判断） 题型特征：以文字描述或图形呈现射线的旋转过程，判断角的类型；或结合终边位置判断角的正负性，属于基础概念辨析题。 解题步骤： 1. 确定射线的旋转方向（逆时针/顺时针/无旋转） 2. 根据旋转方向判断角的类型（正角/负角/零角） 3. 结合终边位置验证结论的合理性 例题1 下列说法中正确的是（） A. 零角的始边与终边重合 B. 终边相同的角一定相等 C. 顺时针旋转形成的角是正角 D. 角的大小与旋转的始边位置有关 解析： · 选项A：根据零角的定义，零角是射线没有旋转形成的角，始边与终边重合，A正确； · 选项B：终边相同的角相差的整数倍，如和终边相同，但不相等，B错误； · 选项C：顺时针旋转形成的角是负角，逆时针旋转形成的角是正角，C错误； · 选项D：角的大小由旋转方向和旋转量决定，与始边位置无关，D错误。 答案：A 举一反三1-1 射线绕端点顺时针旋转到位置，再逆时针旋转到位置，则的类型是（） A. 正角 B. 负角 C. 零角 D. 无法确定 解析：顺时针旋转形成的角为，逆时针旋转形成的角为，则，所以是正角。 答案：A 举一反三1-2 给出下列四个命题：① 零角是最小的角；② 正角的旋转方向为逆时针，负角的旋转方向为顺时针；③ 终边与始边重合的角一定是零角；④ 角与角终边相同。其中正确的命题是__________（填序号） 解析： ① 错误，角没有最小的，如小于零角； ② 正确，符合正角、负角的定义； ③ 错误，如的终边与始边重合，但不是零角； ④ 正确，，满足终边相同角的公式。 答案：②④ 举一反三1-3 若射线绕端点旋转，依次得到角，，，则这三个角中，终边在轴上方的角是__________ 解析：是正角，终边在第一象限，位于轴上方；是负角，终边在第四象限，位于轴下方；终边在轴正半轴上，不在轴上方。 答案： 题型2：终边相同的角的集合表示与应用 题型特征：已知一个角的度数，求与其终边相同的角的集合；或根据终边相同角的集合，判断角的所在象限，属于核心考点题型。 解题步骤： 1. 明确终边相同角的集合公式 2. 代入已知角的度数，写出集合表达式 3. 根据的取值，判断角的象限或求解具体角的度数 例题2 写出与角终边相同的角的集合，并求出该集合中在范围内的角。 解析：根据终边相同角的集合公式，与角终边相同的角的集合为： 令， 解得：，即 因为，所以 将代入得： 答案：集合为；范围内的角为 举一反三2-1 与角终边相同的角中，最小的正角是__________，最大的负角是__________ 解析：因为，所以与终边相同的角的集合为 令，得最小的正角为；令，得最大的负角为 答案：； 举一反三2-2 已知角的终边与角的终边相同，求在范围内的角的所有可能值。 解析：与角终边相同的角的集合为 令， 解得：，即 当时，； 当时，； 当时， 答案： 举一反三2-3 集合，集合，则集合与集合的关系是__________ 解析：对于集合，，令，，则，与集合的表达式一致，所以 答案： 题型3：象限角与轴线角的判断 题型特征：已知角的度数或终边相同角的集合，判断角所在的象限；或判断角是否为轴线角（终边在坐标轴上的角），属于高频考点题型。 解题步骤： 1. 明确各象限角的范围：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限（） 2. 将已知角转化为范围内的角 3. 根据转化后的角的度数，判断其所在象限或是否为轴线角 例题3 判断角和分别是第几象限角。 解析： · 对于角，将其转化为范围内的角：，因为，所以是第三象限角； · 对于角，将其转化为范围内的角：，因为，所以是第二象限角。 答案：是第三象限角；是第二象限角 举一反三3-1 下列角中，终边在轴正半轴上的是（） A. B. C. D. 解析：终边在轴正半轴上的角的集合为，当时，，符合条件。 答案：B 举一反三3-2 已知角是第四象限角，则角是第__________象限角。 解析：因为是第四象限角，所以，，两边同乘得：，即，令，，则，所以是第一象限角。 答案：一 举一反三3-3 集合表示的角的终边所在的位置是__________ 解析：当（）时，，终边在轴正半轴；当时，，终边在轴正半轴；当时，，终边在轴负半轴；当时，，终边在轴负半轴。综上，集合表示的角的终边在坐标轴上。 答案：坐标轴上 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 下列关于角的说法正确的是（） A. 正角是大于负角的角 B. 零角的始边与终边重合 C. 终边相同的角一定相等 D. 角的大小与旋转量无关 解析：选项A错误，如；选项B正确，符合零角定义；选项C错误，终边相同的角相差整数倍；选项D错误，角的大小与旋转方向和旋转量有关。 答案：B 2. 多选题 下列角中，与角终边相同的角是（） A. B. C. D. 解析：终边相同角的公式为，。 A选项：，符合； B选项：，符合； C选项：，不是整数，不符合； D选项：，符合。 答案：ABD 3. 填空题 射线绕端点逆时针旋转形成的角是__________，顺时针旋转形成的角是__________。 解析：逆时针旋转形成正角，顺时针旋转形成负角。 答案：； 4. 解答题 (1) 写出与角终边相同的角的集合，并求出该集合中在范围内的角。 解析：与终边相同的角的集合为。令，解得，代入得。 答案：集合为；范围内的角为 (2) 判断角是第几象限角，并说明理由。 解析：将转化为范围内的角：，因为，所以是第三象限角。 答案：第三象限角；理由见解析 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边与角的终边相同，则的终边不可能在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：，，则。当为偶数时，终边在第一象限；当为奇数时，终边在第三象限。所以不可能在第二、四象限，选项中选D。 答案：D 2. 多选题 下列说法正确的有（） A. 终边在轴上的角的集合为 B. 终边在轴上的角的集合为 C. 第一象限角一定是锐角 D. 锐角一定是第一象限角 解析：A正确，终边在轴正半轴为，负半轴为，合并为；B正确，同理合并可得；C错误，如是第一象限角，但不是锐角；D正确，锐角范围，属于第一象限角。 答案：ABD 3. 填空题 若角是第三象限角，则角是第__________象限角。 解析：是第三象限角，即，则，所以，即是第四象限角。 答案：四 4. 解答题 (1) 已知集合，集合，判断集合与集合的包含关系。 解析：集合中，当时，；时，；时，。集合中，，即是整数倍的角的集合。中的元素等不是的整数倍，中的元素等不在中，所以与互不包含。 答案：与互不包含 (2) 已知角的终边在直线上，求角的集合。 解析：终边在直线上的角，在范围内有和，所以角的集合为。 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 设集合，，则集合与集合的关系是（） A. B. C. D. 以上都不对 解析：是整数倍的角的集合，是整数倍的角的集合，是的偶数倍，所以中的元素都在中，但中存在元素如不在中，故。 答案：A 2. 多选题 已知角满足，角与角的终边相同，则角的可能值为（） A. B. C. D. 解析：由题意得，即，。因为，所以时，；时，（舍去）。 答案：B 3. 填空题 若角和角的终边关于轴对称，则角和角的关系是__________。 解析：设的终边与单位圆交于点，则的终边与单位圆交于点，所以，，即，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角是第二象限角，求角的终边所在的象限。 解析：是第二象限角，即，，则。 当时，，第一象限； 当时，，第二象限； 当时，，第四象限。 综上，的终边在第一、二、四象限。 答案：第一、二、四象限 (2) 一个小于的正角，它的倍角的终边与该角的终边重合，求这个角的大小。 解析：设这个角为，，则，，即，。 因为，所以，对应的为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 1.任意角的概念（正角、负角、零角）（基础）（全国通用）（原卷版） 仅保留题干内容，不出现任何答案、解析、解题步骤 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角 ￮ 定义表述：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转开始时的射线叫始边，旋转结束时的射线叫终边，射线的端点叫角的顶点。 ￮ 数学符号/表达式：角可以用小写希腊字母表示，如；也可用三个大写字母表示，如（为顶点） ￮ 关键特征：角的大小与旋转方向、旋转量有关，突破了初中阶段角的范围限制 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数、平面向量的旋转、解析几何中直线的倾斜角等内容 2. 【概念2】正角、负角、零角 ￮ 定义表述：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转时形成的角叫做零角。 ￮ 数学符号/表达式：设旋转量为，正角，负角，零角 ￮ 关键特征：正角和负角的区分在于旋转方向，零角的始边与终边重合 ￮ 跨章节关联：与三角函数的诱导公式、周期函数的定义紧密相关，也应用于物理中的角速度计算 3. 【概念3】终边相同的角 ￮ 定义表述：具有相同始边和终边的角叫做终边相同的角，所有与角终边相同的角（包括本身）构成一个集合。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：终边相同的角相差的整数倍；零角的终边相同角集合为 ￮ 跨章节关联：用于三角函数的定义域求解、角的象限判断等题型 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 终边相同角的等价性 角与角终边相同 1. 遗漏这个条件；2. 混淆角度制与弧度制的书写 对比：指数函数与（）的图象平移，是“左右平移”，而终边相同角是“周期旋转” 正角、负角与角的大小关系 正角不一定大于负角，角的大小由旋转量的绝对值和方向共同决定 认为“正角一定大于负角”，如是正角，是负角，但 对比：二次函数中，开口向上，开口向下，符号决定性质，但不能直接说“大函数值就大” 零角的唯一性 零角的始边与终边重合，但始边与终边重合的角不一定是零角 认为“始边与终边重合的角就是零角”，忽略等终边与零角重合的角 对比：幂函数与的定义域差异，定义域为，定义域为，形式相似但本质不同 三、题型分类与例题精析 题型1：任意角的概念辨析（正角、负角、零角的判断） 题型特征：以文字描述或图形呈现射线的旋转过程，判断角的类型；或结合终边位置判断角的正负性，属于基础概念辨析题。 解题步骤： 1. 确定射线的旋转方向（逆时针/顺时针/无旋转） 2. 根据旋转方向判断角的类型（正角/负角/零角） 3. 结合终边位置验证结论的合理性 例题1 下列说法中正确的是（） A. 零角的始边与终边重合 B. 终边相同的角一定相等 C. 顺时针旋转形成的角是正角 D. 角的大小与旋转的始边位置有关 举一反三1-1 射线绕端点顺时针旋转到位置，再逆时针旋转到位置，则的类型是（） A. 正角 B. 负角 C. 零角 D. 无法确定 举一反三1-2 给出下列四个命题：① 零角是最小的角；② 正角的旋转方向为逆时针，负角的旋转方向为顺时针；③ 终边与始边重合的角一定是零角；④ 角与角终边相同。其中正确的命题是__________（填序号） 举一反三1-3 若射线绕端点旋转，依次得到角，，，则这三个角中，终边在轴上方的角是__________ 题型2：终边相同的角的集合表示与应用 题型特征：已知一个角的度数，求与其终边相同的角的集合；或根据终边相同角的集合，判断角的所在象限，属于核心考点题型。 解题步骤： 1. 明确终边相同角的集合公式 2. 代入已知角的度数，写出集合表达式 3. 根据的取值，判断角的象限或求解具体角的度数 例题2 写出与角终边相同的角的集合，并求出该集合中在范围内的角。 举一反三2-1 与角终边相同的角中，最小的正角是__________，最大的负角是__________ 举一反三2-2 已知角的终边与角的终边相同，求在范围内的角的所有可能值。 举一反三2-3 集合，集合，则集合与集合的关系是__________ 题型3：象限角与轴线角的判断 题型特征：已知角的度数或终边相同角的集合，判断角所在的象限；或判断角是否为轴线角（终边在坐标轴上的角），属于高频考点题型。 解题步骤： 1. 明确各象限角的范围：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限（） 2. 将已知角转化为范围内的角 3. 根据转化后的角的度数，判断其所在象限或是否为轴线角 例题3 判断角和分别是第几象限角。 举一反三3-1 下列角中，终边在轴正半轴上的是（） A. B. C. D. 举一反三3-2 已知角是第四象限角，则角是第__________象限角。 举一反三3-3 集合表示的角的终边所在的位置是__________ 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 下列关于角的说法正确的是（） A. 正角是大于负角的角 B. 零角的始边与终边重合 C. 终边相同的角一定相等 D. 角的大小与旋转量无关 2. 多选题 下列角中，与角终边相同的角是（） A. B. C. D. 解析：终边相同角的公式为，。 A选项：，符合； B选项：，符合； C选项：，不是整数，不符合； D选项：，符合。 3. 填空题 射线绕端点逆时针旋转形成的角是__________，顺时针旋转形成的角是__________。 4. 解答题 (1) 写出与角终边相同的角的集合，并求出该集合中在范围内的角。 (2) 判断角是第几象限角，并说明理由。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边与角的终边相同，则的终边不可能在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 多选题 下列说法正确的有（） A. 终边在轴上的角的集合为 B. 终边在轴上的角的集合为 C. 第一象限角一定是锐角 D. 锐角一定是第一象限角 3. 填空题 若角是第三象限角，则角是第__________象限角。 4. 解答题 (1) 已知集合，集合，判断集合与集合的包含关系。 (2) 已知角的终边在直线上，求角的集合。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 设集合，，则集合与集合的关系是（） A. B. C. D. 以上都不对 2. 多选题 已知角满足，角与角的终边相同，则角的可能值为（） A. B. C. D. 3. 填空题 若角和角的终边关于轴对称，则角和角的关系是__________。 4. 解答题 (1) 已知角是第二象限角，求角的终边所在的象限。 (2) 一个小于的正角，它的倍角的终边与该角的终边重合，求这个角的大小。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $