第三章　函数 习题课件 2026年中考数学一轮复习教材梳理(广东)

该初中数学中考复习课件聚焦平面直角坐标系核心考点，覆盖点的坐标特征、对称与平移变换、象限判断等中考必考点。依据中考说明分析考点权重，基础题占比约60%，能力题结合几何图形变换占30%，创新题融入跨知识联系占10%，并按选择、填空、解答题型归纳常考模式，体现备考针对性。 课件亮点在于分层训练与真题实战结合，如A组通过2025年眉山、广州等地模拟题，以点P(2,-3)对称题示范坐标规律，培养几何直观；B组点M到x轴距离题结合方程求解，训练运算能力与推理意识。助力学生掌握坐标变换技巧，教师可分层教学，提升复习效率与中考得分率。

第一轮　基础复习 第三章　函数 第13讲　一次函数 1. 把函数y＝x向上平移3个单位长度，下列在该平移后 的直线上的点是(　D　) A. (2，2) B. (2，3) C. (2，4) D. (2，5) D A组 基础过关 2. (2025·广州天河区二模)一次函数y＝2x＋1图象上有两 点(2，y1)，(－1，y2)，则y1 y2.(填“＞”“＜”或 “＝”) ＞ A组 基础过关 3. 如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与 x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x 的方程 kx＋b＝0的解为 ⁠. 第3题图 x＝－2 A组 基础过关 4. 点A(x1，y1)，B(x2，y2)在一次函数y＝(a－2)x＋1 的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围 是 ⁠ ⁠. a＜2 A组 基础过关 5. (2025·广州黄埔区二模)关于一次函数y＝x＋1，下列 说法正确的是(　A　) A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点(0，1) C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当x＞－1时，y＜0 A A组 基础过关 6. (2025·广州模拟)如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x ＋m的图象相交于点P(n，－4)，则关于x的不等式2x＋ m＜－x－2的解集为(　C　) A. x＞－4 B. x＜－4 C. x＜2 D. x＞2 第6题图 C A组 基础过关 7. (2025·广州番禺区二模)科学实验发现，声音 在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且 满足某种函数关系.某兴趣小组为探究空气的温 度x(℃)与声音在空气中传播的速度y(m/s)之间 的关系，在标准实验室里进行了多次实验.记录的一些 数据如表. 温度x/℃ … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速 度y/(m/s) … 331 334 337 340 343 … A组 基础过关 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出上面数据所对 应的点； 解：(1)如图所示. 解：(1)如图所示. 温度x/℃ … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速 度y/(m/s) … 331 334 337 340 343 … A组 基础过关 (2)根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上， 则这个函数的类型最有可能是 (填“一次”“二 次”或“反比例”)函数，并求出该函数的表达式； 解：设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b， ∵图象过(0，331)，(5，334)， ∴ 解得 ∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.6x＋331； 一次 解：设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b， ∵图象过(0，331)，(5，334)， ∴ 解得 ∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.6x＋331； A组 基础过关 (3)某地冬季的室外温度是－10 ℃，小明同学看到烟花3 s后才听 到声响，利用第(2)问的函数，求小明与烟花爆炸处的距离. 解：(3)由题意，当x＝－10时，y＝0.6×(－10)＋331＝325， ∴当气温是－10 ℃时，声音在空气中传播的速度为325 m/s. ∵小明同学看到烟花3 s后才听到声响， ∴325×3＝975(m). ∴小明与燃放烟花地的距离为975 m. A组 基础过关 8. (2025·广州天河区二模)“中国石化”推出促销活动， 一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油 卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油 卡的面值能够一次性全部用完. (1)实际花了多少钱购买加油卡？ 解：(1)由题意知，1 000×0.9＝900(元). 答：实际花了900元购买会员卡. 解：(1)由题意知，1 000×0.9＝900(元). 答：实际花了900元购买会员卡. B组 能力提升 (2)减价后每升油的单价为y元/L，原价为x元/L，求y关 于x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 解：(2)由题意知，y＝0.9(x－0.30)， 整理得y＝0.9x－0.27. ∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x－0.27. 解：(2)由题意知，y＝0.9(x－0.30)， 整理得y＝0.9x－0.27. ∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x－0.27. 8. (2025·广州天河区二模)“中国石化”推出促销活动， 一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油 卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油 卡的面值能够一次性全部用完. B组 能力提升 (3)油的原价是7.30元/L，优惠后油的单价比原价便宜多 少元？ 解：(3)当x＝7.30时，y＝0.9×7.30－0.27＝6.30， ∵7.30－6.30＝1.00， ∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元. 解：(3)当x＝7.30时，y＝0.9×7.30－0.27＝6.30， ∵7.30－6.30＝1.00， ∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元. 8. (2025·广州天河区二模)“中国石化”推出促销活动， 一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油 卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油 卡的面值能够一次性全部用完. B组 能力提升 9. (2025·广州天河区校级二模)2025年国家卫健委建议实施“体重管 理年”三年行动.某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备 了A，B两种食品作为午餐.A食品每包的热量为700千焦，蛋白质为 5 g.B食品每包热量为800千焦，蛋白质为10 g. (1)若要从这两种食品中摄入3 700千焦热量和35 g蛋白质，应选用A， B两种食品各多少包？ 解：(1)设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得解得 答：选用A种食品3包，B种食品2包. B组 能力提升 (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午 餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低 于55 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 解：(2)设选用A种食品a包，则选用B种食品(7－a)包. 根据题意，得5a＋10(7－a)≥55， 解得a≤3. 设总热量为w千焦，则w＝700a＋800(7－a)＝－100a＋5 600. ∵－100＜0，∴w随a的增大而减小. ∴当a＝3时，w最小. ∴7－a＝7－3＝4. 答：选用A种食品3包，B种食品4包. B组 能力提升 10. (2025·广州花都区二模)在气象观测实践课中，同学们利用AI控制 器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降. 气球甲从地面以m m/s的速度上升，气球乙从距离地面高10 m的观测 台同时上升.9 s时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数 据(持续一定时间)，完成后按原速继续上升.最终两气球同时到达距 离地面100 m的空中进行了n s的联合观测，观测完毕后两气球释放 部分气体，以相同速度降落至地面.甲，乙两探 空气球所在的位置距离地面的高度y(m)与气球 飞行的时间x(s)之间的函数关系如图所示. 请结合图象解答下列问题： (1)m＝ m/s，n＝ s； 4 15 C组 中考创新思维 (2)求线段AB所在直线的函数解析式(不要求写出x的取值范围)； 解：(2)由图象知，B(25，100)， ∵气球乙的速度为(55－10)÷9＝5(m/s)， ∴气球乙匀速从55 m到100 m所用时间为(100－55)÷5＝9(s). ∴25－9＝16(s). ∴A(16，55). 设线段AB所在直线的函数解析式为y＝kx＋b. 将A(16，55)，B(25，100)代入， 得 解得 ∴线段AB所在直线的函数解析式为y＝5x－25. C组 中考创新思维 (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们 之间的竖直高度的差为16 m？ 解：(3)如图所示. 由题意得，线段CD所在直线的函数解析式为y＝ 5x＋10，线段AD所在直线的函数解析式为y＝55. ∵B(25，100)， ∴线段OB所在直线的函数解析式为y＝4x. 当0≤x≤9时，由题意，得5x＋10－4x＝16，解得x＝6； 当9＜x≤16时，由题意得｜4x－55｜＝16， C组 中考创新思维 (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度 的差为16 m？ 解得x＝ 或x＝ (舍去)； 当16＜x≤25时，由题意得4x－(5x－25)＝16，解得x＝9(舍去). 综上所述，甲，乙两个智能探空气球飞行到6或 s时， 它们之间的竖直高度的差为16 m. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第三章　函数 第16讲　二次函数的综合应用 1. (2025·深圳模拟)如图，若被击打的小球飞行高度h(单 位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝30t －6t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s. 5 A组 基础过关 2. (2025·茂名三模)高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠 久而驰名中外.在销售荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高 于80元，商家发现销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元) 之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数关系式； 解：(1)由图，可知销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元) 之间的函数关系为一次函数， 设y＝kx＋b，将(40，90)，(80，40)分别代入， 得 解得 ∴y关于x的函数关系式为y＝－ x＋140(40≤x≤80). A组 基础过关 (2)设该商家挂绿荔枝的销售额为w(单位：元)，当 每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售 额是多少？ 2. (2025·茂名三模)高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠 久而驰名中外.在销售荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高 于80元，商家发现销售量y(单位：kg)与每千克售价 x(单位：元)之间的函数关系如图所示. 解：(2)根据题意，得w＝ x＝－ (x－56)2＋3 920. ∵－ ＜0，40≤x≤80， ∴当x＝56时，w有最大值，最大值为3 920. 答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3 920元. A组 基础过关 3. (2025·广州模拟)如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝 对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化， 提高开花结果的数量和质量.如图2是一棵树枝AB在平面直角坐标系中 的示意图，树枝AB近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度y(m)与它 到树干OA的水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝0.1x ＋1，树枝AB经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点 P距离地面0.7 m，且与树干OA的水平距离为1.5 m. (1)求该抛物线的解析式(无需写出自变量的取值范围)； 解：(1)一次函数关系y＝0.1x＋1与x轴交于点A， 当x＝0时，得y＝1，∴A(0，1). 设该抛物线的解析式为y＝a(x－1.5)2＋0.7. 把A(0，1)代入，得1＝a(0－1.5)2＋0.7，解得a＝ . ∴y＝ (x－1.5)2＋0.7. A组 基础过关 (2)经过压枝，树枝生长一段时间后依 然满足(1)中的抛物线，且测得树枝端 点C处距离地面1.9 m.为了使果树间 不相互影响，要求树枝的最外端距离 树干OA不得超过4.7 m，试通过计算 判断此树枝是否需要修剪. 解：(2)此树枝不需要修剪.理由如下： 把y＝1.9代入y＝ (x－1.5)2＋0.7，得1.9＝ (x－1.5)2＋0.7， 解得x1＝4.5，x2＝－1.5(不合题意，舍去). ∵4.5＜4.7，∴此树枝不需要修剪. A组 基础过关 4. 如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的 夹角为30°，点A在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则a 的值为 ⁠. － B组 能力提升 5. (2025·广州二模)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满 足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物 体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向 上发射小球(发射台离地面距离忽略不计). (1)当v0＝12时， ①求小球离地面的最大高度； 解：(1)由题意，当v0＝12时， 解：(1)由题意，当v0＝12时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝－5t2＋12t， ∴对称轴是直线t＝－ ＝ ＝1.2. ∴最大高度h＝－5×(1.2)2＋12×1.2＝7.2. B组 能力提升 ②经过多少时间小球的高度达到4 m？ 解：②由题意，令h＝4，则－5t2＋12t＝4，整理为－5t2 ＋12t－4＝0， ∴t＝0.4或t＝2. 答：经过0.4 s或2 s小球的高度达到4 m. 解：②由题意，令h＝4，则－5t2＋12t＝4， 整理为－5t2＋12t－4＝0， ∴t＝0.4或t＝2. 答：经过0.4 s或2 s小球的高度达到4 m. 5. (2025·广州二模)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满 足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物 体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向 上发射小球(发射台离地面距离忽略不计). (1)当v0＝12时， B组 能力提升 (2)通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球 时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2， 则 的值为常数.判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请 说明理由；如果不正确，举例说明. 解：(2)结论正确，理由如下： 小球总时间t满足－5t2＋v0t＝0. ∴t＝ . ∴v0＝5t. 两次发射时， ＝ ＝5. ∴该比值为常数5. B组 能力提升 6. (2025·广安)如图，二次函数y＝ x2＋bx＋c (b，c为常数)的图象交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，已知点B的坐标为(9，0)，点C的坐 标为(0，－3)，连接AC，BC. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)把B(9，0)，C(0，－3)代入到y＝ x2＋bx＋c中， 得 ∴ ∴抛物线解析式为y＝ x2－ x－3. C组 中考创新思维 (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时， 求点P的坐标； 解：(2)如图1，当点P在BC下方时， 解：(2)如图1，当点P在BC下方时， 图1 ∵∠PCB＝∠OBC，∴PC∥OB. ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称. ∵抛物线对称轴为直线x＝－ ＝4， ∴点P的坐标为(8，－3). 如图2，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H， ∵∠PCB＝∠OBC，∴CH＝BH. ∴CH2＝BH2. 设H(m，0)，∴(0－m)2＋(－3－0)2＝(9－m)2. 图2 C组 中考创新思维 解得m＝4.∴H(4，0). 设直线PC解析式为y＝k1x＋b1， ∴ ∴ ∴直线PC解析式为y＝ x－3. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时， 求点P的坐标； 联立解得 或 (舍去). C组 中考创新思维 ∴点P的坐标为 . 综上所述，点P的坐标为(8，－3)或 . (2)若点P为抛物线上的一个动点， 连接PC，当∠PCB＝∠OBC时， 求点P的坐标； C组 中考创新思维 (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2 个单位长度后得 到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称 轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平 行四边形，请直接写出点E的坐标. 解：(3)点E的坐标为(－5，14) 或(13，38)或 . C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第三章　函数 第12讲　变量与函数 1. (2025·广州模拟)函数y＝ 中，自变量x的取值 范围是(　B　) A. x＞2 B. x≥2 C. x≤－2 D. x≠2 B A组 基础过关 2. 函数 y＝ 中，自变量x的取值范围是 　x≠－ 　. 3. (2025·深圳模拟)函数y＝ 的自变量x的取值范围 是(　D　) A. x＞0 B. x≠1 C. x＞0且x≠1 D. x≥0且 x≠1 x≠－ D A组 基础过关 4. (2025·成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一 段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书 店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家 的距离与时间的关系.下列说法正确的是(　C　) A. 小明家到体育馆的距离为2 km B. 小明在体育馆锻炼的时间为45 min C. 小明家到书店的距离为1 km D. 小明从书店到家步行的时间为40 min C A组 基础过关 5. 一辆汽车油箱现有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的 油量y(单位：L)随行驶里程x(单位：km)的增加而减少，平均耗 油量为 0.1 L/km. (1)写出表示y与x的函数解析式； 解：(1)y与x的函数解析式为y＝50－0.1x. (2)指出自变量x的取值范围； 解：(2)令0≤0.1x≤50，解得0≤x≤500. ∴自变量x的取值范围是0≤x≤500. 解：(1)y与x的函数解析式为y＝50－0.1x. 解：(2)令0≤0.1x≤50，解得0≤x≤500. ∴自变量x的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：(3)当x＝200时，y＝50－0.1×200＝30. 答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. 解：(3)当x＝200时，y＝50－0.1×200＝30. 答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油. A组 基础过关 6. (2025·广州白云区一模)小云从家跑步去体育场，在体 育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用 品，在文具店停留一小段时间后散步走回家.小云离家的 距离y(km)与她所用的时间x(min)的关系如图所示，解 答下列问题： (1)小云家离体育场的距离为 km； 2.5 A组 基础过关 (2)请求出小云第35 min时离家的距离. 解：(2)当30＜x≤45时，设y＝kx＋b， ∴ 解：(2)当30＜x≤45时，设y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－ x＋ ， 当x＝35时，y＝－ ×35＋ ＝ . 即小云第35 min时离家的距离为 km. A组 基础过关 7. 如图是一个函数运算程序示意图，若开始输入x的值 为3，则输出y的值为 ⁠. 2 B组 能力提升 8. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时 开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内 底部所受水的压强为y(单位：Pa)，时间为x(单位：s)， 则y关于x的函数图象大致为(　B　) B A B C D B组 能力提升 9. (2025·广州白云区一模)描点法是探究函数图象变化规 律的重要方法.请用该方法探究函数y＝ 的图象变 化规律. (1)求函数自变量x的取值范围； 解：(1)∵2－x≥0， ∴x≤2， ∴函数自变量x的取值范围为x≤2. 解：(1)∵2－x≥0， ∴x≤2， ∴函数自变量x的取值范围为x≤2. B组 能力提升 (2)请按照描点法的步骤(列表、描点、连线)，在平面直 角坐标系xOy中画出该函数的图象； x … … y … … x … －7 －2 0 1 2 y … 3 2 ​ 1 0 解：(2)列表： 描点，连线，图象如下， B组 能力提升 (3)已知点A(m，n)是函数图象上的点，若n＞ ，求m的 取值范围. 解：(3)由函数图象可知，在自变量 的取值范围内，函数值y随着x的 增大而减小，当n＝ 时，m＝－ ， 即当n＞ 时，m＜－ . B组 能力提升 10. 如图，等边三角形ABC、等边三角形DEF的边长分别为 3和2.开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上， △DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止.在此过程 中，设△ABC，△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动 的距离为x，则y与x的函数图象大致为(　C　) C A B C D C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第三章　函数 第14讲　反比例函数及其应用 1. (2025·广州越秀区二模)在反比例函数y＝ 的每一 条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以 是(　A　) A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 A A组 基础过关 2. (2025·广州黄埔区二模)如图，正比例函数y1＝kx的图 象与反比例函数y2＝ 的图象相交于A，B两点，点B的 横坐标为4，当y2＞y1时，x的取值范围是(　B　) A. x＜－4或x＞4 B. x＜－4或0＜x＜4 C. －4＜x＜0或0＜x＜4 D. －4＜x＜0或x＞4 B A组 基础过关 3. (2025·广州二模)若点P(a，－4)和点Q(b，－2)都在反 比例函数y＝ 的图象上，且a＜b，则k的值可以 是 .(写一个即可) －3(答案不唯一) A组 基础过关 4. (2025·广州越秀区二模)电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦 娥六号探测器就是通过无线电波(电磁波的一种)与地球通信，电磁波 的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化. 已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表： 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长λ(m) 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出 波长λ(m)关于频率f(MHz)的函数表达式. 解：(1)由表格可知，fλ＝300， ∴λ与f的函数表达式为λ＝ . A组 基础过关 (2)当该电磁波的频率为50 MHz时，它的波长是多少米？ 解：(2)当f＝50时，λ＝ ＝6. 答：当该电磁波的频率为50 MHz时，它的波长是6 m. 4. (2025·广州越秀区二模)电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦 娥六号探测器就是通过无线电波(电磁波的一种)与地球通信，电磁波 的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化. 已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表： 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长λ(m) 60 30 20 15 12 10 A组 基础过关 5. (2025·广州)如图，曲线G：y＝ (x＞0)经过点P(4，t). (1)求t的值； 解：(1)∵y＝ 过点P(4，t)， ∴t＝ ＝ . A组 基础过关 (2)直线l：y＝－x＋b也经过点P，求l与y轴交点 的坐标，并在图中画出直线l； 解：(2)由(1)得t＝ ，故P . ∵直线l：y＝－x＋b也经过点P， ∴把 代入y＝－x＋b，得 ＝－4＋b，解得b＝4.5. ∴y＝－x＋4.5. 令x＝0，则y＝0＋4.5＝4.5， ∴l与y轴交点的坐标为(0，4.5). 直线的函数图象，如图所示. A组 基础过关 (3)在(2)的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机 取一个格点(横、纵坐标都是整数的点)，求该格点在曲线G上的概率. 解：(3)根据题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包 括边界)的格点共有6个，分别是(1，3)，(1，2)，(1， 1)， (2，1)， (2，2)，(3，1). ∵曲线G：y＝ (x＞0)， 1×3＝3≠2，1×2＝2，1×1≠2，2×1＝2，2×2＝4≠2，3×1＝3≠2， ∴格点(1，2)，(2，1)在曲线G上，即有两个格点在曲线G上. ∴该格点在曲线G上的概率为 ＝ . A组 基础过关 6. (2025·广州番禺区二模)如图，在平面直角坐标系中， 四边形AOCB为菱形，tan∠AOC＝ ，且点A落在反比 例函数y＝ 上，点B落在反比例函数y＝ (k≠0)上，则 k＝(　B　) A. 4 B. 8 C. 12 D. 32 B B组 能力提升 7. (2025·广州越秀区三模)如图，在△ABO中，A(0，4)，B(－3， 0)，AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC， 若反比例函数y＝ 与直线AC仅有一个公共点E. (1)求直线AC和反比例函数y＝ 的解析式； 解：(1)∵A(0，4)，B(－3，0)， ∴OA＝4，OB＝3，AB＝ ＝5. 由旋转的性质，得BC＝AB＝5， ∴OC＝5－3＝2. ∴C(2，0). 设直线AC的解析式为y＝kx＋4，代入C(2，0)得0＝2k＋4， B组 能力提升 解得k＝－2. ∴直线AC为y＝－2x＋4. 令－2x＋4＝ ，整理得2x2－4x＋m＝0， ∵反比例函数y＝ 与直线AC仅有一个公共点E， ∴Δ＝0，即(－4)2－4×2×m＝0，解得m＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝ . 7. (2025·广州越秀区三模)如图，在△ABO中，A(0，4)，B(－3， 0)，AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC， 若反比例函数y＝ 与直线AC仅有一个公共点E. (1)求直线AC和反比例函数y＝ 的解析式； B组 能力提升 (2)已知△ACD与△ABC关于直线AC对称. ①尺规作图：作△ACD；(保留作图痕迹，不写作法) 解：(2)①如图所示，△ACD即为所求. 解：(2)①如图所示，△ACD即为所求. B组 能力提升 ②若AD与反比例函数交于点F，连接CF，求△FCD的面积. 解：②如图，由旋转的性质得AB＝BC. ∵△ACD与△ABC 关于直线AC对称，∴AB＝AD，BC＝CD. ∴AB＝BC＝CD＝DA. ∴四边形ABCD是菱形. ∴AD∥BC. ∴点F的纵坐标为4，把y＝4代入y＝ ， 得x＝ . (2)已知△ACD与△ABC关于直线AC对称. B组 能力提升 ②若AD与反比例函数交于点F，连接CF，求△FCD的面积. (2)已知△ACD与△ABC关于直线AC对称. ∴AF＝ . ∵AD＝AB＝5，∴ ＝ . ∴S△ACD＝S△ABC＝ BC·OA＝ ×5×4＝10. ∴△FCD的面积为9. B组 能力提升 8. (2025·茂名模拟)综合与实践. 【项目主题】用“数”法搬家. 【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中 需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件 家具都能顺利搬入，他展开了以下研究： 【任务一：实地勘测】 (1)如图1，小明将一根长为2 m的细木棍AB抵在墙上， 通过测量，发现当木棍的中点C紧贴于内侧墙时，木棍 恰好不能通过弯道(木棍厚度忽略不计).此时，∠OAB ＝45°，小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面 直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的 解析式； 解：(1)如图，过点C作CP⊥AO于点P，CQ⊥BO于点 Q. 解：(1)如图，过点C作CP⊥AO于点P，CQ⊥BO于点Q. C组 中考创新思维 由条件，可知△APC为等腰直角三角形. 设PC＝AP＝x m，∵AB＝2 m，点C为AB的中点， ∴AC＝BC＝1 m. 在Rt△APC中，x2＋x2＝1， 【任务一：实地勘测】 (1)如图1，小明将一根长为2 m的细木棍AB抵在墙上，通过测量，发现 当木棍的中点C紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道(木棍厚度忽 略不计).此时，∠OAB＝45°，小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙 为平面直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的解析式； 解得x1＝ ，x2＝－ (舍去). ∴PC＝ m. C组 中考创新思维 同理，可得CQ＝ m， ∴点C . 设该反比例函数的解析式为y＝ ， 【任务一：实地勘测】 (1)如图1，小明将一根长为2 m的细木棍AB抵在墙上，通过测量，发现 当木棍的中点C紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道(木棍厚度忽 略不计).此时，∠OAB＝45°，小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙 为平面直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的解析式； 将点C代入，得k＝ × ＝ ， ∴该反比例函数的解析式为y＝ . C组 中考创新思维 【任务二：实物测试】 (2)如图2，小明将长方形箱子如此放置，箱 子恰好不能通过弯道，其原理与木棍通过弯 道类似，已知直线HG与外墙分别交于点M， N. 假设长方形箱子的长为m m，宽为n m， 则m和n需要满足怎样的关系时，箱子能顺 利通过？ 解：(2)由(1)，得当直线HG与外墙OM的夹角为45°且MN＜2 m时， 箱子能顺利通过. 在长方形EFGH中，∠FGH＝90°，FG＝n m， ∵∠GNF＝45°，∴△FGN为等腰直角三角形. C组 中考创新思维 【任务二：实物测试】 (2)如图2，小明将长方形箱子如此放置，箱 子恰好不能通过弯道，其原理与木棍通过弯 道类似，已知直线HG与外墙分别交于点M， N. 假设长方形箱子的长为m m，宽为n m， 则m和n需要满足怎样的关系时，箱子能顺 利通过？ ∴GN＝FG＝n m. 同理，可得MH＝EH＝n m. ∴MN＝MH＋HG＋GN＝(m＋2n)m＜2 m. ∴m＋2n＜2. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第三章　函数 第15讲　二次函数 1. (2025·广州模拟)抛物线y＝(x－4)2＋5的顶点坐标 为 ⁠. 2. (2025·广州越秀区模拟)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1 个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的 解析式为 ⁠. (4，5) y＝2x2＋4x A组 基础过关 3. (2025·罗定一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分 图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的解为 ⁠. 第3题图 4. (2025·东莞模拟)二次函数y＝x2－4x－3的最小值 为 ⁠. x1＝3，x2＝－1 －7 A组 基础过关 5. (2025·肇庆一模)已知二次函数y＝x2＋2x－1，当y随 x的增大而减小时，x的取值范围是(　D　) A. x≥1 B. x≤1 C. x≥－1 D. x≤－1 D A组 基础过关 6. (2025·广州越秀区二模)一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与 二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不 等式ax2＋(b－m)x＋c＞n的解集为(　C　) A. x＜3 B. x＞－4 C. －4＜x＜3 D. x＞3或x＜－4 第6题图 C A组 基础过关 7. (2025·惠州模拟)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A，点B(－1，0)，则①二次函数的最大值为a ＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0 时，－1＜x＜3，其中正确的是 .(填序号) ①④ A组 基础过关 8. (教材母题改编)一个滑雪者从山坡滑下，为了得 出滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间 的关系式，测得一些数据(如下表). 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48 【实验猜想】 (1)为观察s与t之间的关系，请在方格图坐标系中描 出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们； 解：(1)如图，曲线即为所求. 解：(1)如图，曲线即为所求. (2)试猜想这个图象应该是我们已经学过的函数图象 (填“直线”“抛物线”或“双曲线”)的一部分，因此，s应该是t 的 函数； 抛物线 二次 A组 基础过关 【推理验证】 (3)试求s关于t的函数表达式； 解：(3)设s关于t的函数表达式为s＝at2＋bt，把(2， 14)， (4，48)代入，得 解得 ∴s关于t的函数表达式为s＝ t2＋2t. A组 基础过关 【数据分析】 (4)若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是270m，他 需要多长时间才能到达终点？ 解：(4)当s＝270时， t2＋2t＝270， 方程整理，得5t2＋4t－540＝0， 解得t1＝10，t2＝－10.8(不符合题意，舍去). 答：他需要10s才能到达终点. A组 基础过关 9. (2025·广州二模)已知二次函数y＝x2＋2x－4，当－3 ＜x≤0时，y的取值范围是(　C　) A. －4≤y≤－1 B. －4≤y＜－1 C. －5≤y＜－1 D. －5≤y≤－4 C B组 能力提升 10. (2025·广州南沙区一模)如图，已知抛物线经过点(－ 2，－3)和(3，－3)两点，如果点(1，y1)与(2，y2)在此抛 物线上，那么y1 y2.(填“＞” “＜”或“＝”) ＞ B组 能力提升 11. (2025·广州模拟)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交直线y＝－x＋ 4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵直线y＝－x＋4与坐标轴交于B，C两点， ∴B(4，0)，C(0，4). ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c交直线y＝－x＋4于坐标轴上B，C两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. B组 能力提升 (2)若点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC， 交x轴于点E. ①连接AD，求△ADE面积的最大值； 解：(2)①如图， ∵抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 当y＝0时，－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0). ∵C(0，4)，∴yAC＝4x＋4. ∵直线l∥AC，设yDE＝4x＋n， ∵点D为线段BC上一点，设D(m，－m＋4)，代入得n＝－5m＋4， ∴yDE＝4x－5m＋4. B组 能力提升 ∴E .∴AE＝ m. ∴S△ADE＝ × m ＝－ m2＋ m＝－ ＋ . 当m＝2时，S△ADE有最大值 . (2)若点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E. ①连接AD，求△ADE面积的最大值； ②若在直线l上存在点P，使得以点A，C，D，P为 顶点的四边形为菱形，请直接写出点P的坐标. 解：②点P的坐标为 或(4，5). B组 能力提升 12. (2025·广州海珠区一模)直线y1＝2x＋7交y轴于点 A，抛物线y2＝ax2＋bx＋c交x轴于点B(x1，0)和点 C(x2，0)，x1＜x2. (1)求点A的坐标； 解：(1)∵当x＝0时，y1＝2×0＋7＝7， ∴A(0，7). 解：(1)∵当x＝0时，y1＝2×0＋7＝7， ∴A(0，7). C组 中考创新思维 (2)如果b＝3，c＝6，且抛物线y2始终在直线y1下方，求 a的取值范围； 解：(2)∵抛物线y2始终在直线y1下方， 当a＞0时，抛物线与直线有交点，不成立， 当a＜0时，抛物线开口向下，与直线没有交点. ∵2x＋7＝ax2＋3x＋6， ∴ax2＋x－1＝0. ∴Δ＝1＋4a＜0，解得a＜－ . 解：(2)∵抛物线y2始终在直线y1下方， 当a＞0时，抛物线与直线有交点，不成立， 当a＜0时，抛物线开口向下，与直线没有交点. ∵2x＋7＝ax2＋3x＋6， ∴ax2＋x－1＝0. ∴Δ＝1＋4a＜0，解得a＜－ . C组 中考创新思维 (3)过点B作y1的平行线，在第一象限内交抛物线y2于另外一点D， 如果点D的横坐标是x1＋4，且△BCD的面积是32，A，B，C， D四点共圆.当－1≤x＜4时，探究y2有没有最值(最大值或最小值)？ 如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由. 解：(3)∵直线BD∥y1且过点B(x1，0)， ∴直线BD解析式为y＝2(x－x1). ∵xD＝x1＋4，∴yD＝8. ∵ ＝ BC·yD＝32，∴BC＝8. ∵当a＞0时，BC＜xD－xB＝4不成立， ∴a＜0. 如图. C组 中考创新思维 则△BCD为等腰三角形，BD＝CD. 根据抛物线的对称性可知，点D为抛物线顶点. ∵点A，B，C，D四点共圆，设点M为BCD 外接圆圆心，过点D作DE⊥BC于点E， (3)过点B作y1的平行线，在第一象限内交抛物线y2于另外一点D， 如果点D的横坐标是x1＋4，且△BCD的面积是32，A，B，C， D四点共圆.当－1≤x＜4时，探究y2有没有最值(最大值或最小值)？ 如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由. ∴点M在DE上. 如图，连接BM. 在Rt△BME中，BM2＝ME2＋BE2，即BM2＝(8－BM)2＋42， C组 中考创新思维 解得BM＝DM＝5，ME＝3. ∵点A(0，7)，点D在第一象限内，∴M(3，3). ∴B(－1，0)，C(7，0)，D(3，8). ∴y＝－ x2＋3x＋ ＝－ (x－3)2＋8. ∵－1≤x＜4，∴0≤y≤8. ∴y2最大值为8，y2最小值为0. (3)过点B作y1的平行线，在第一象限内交抛物线y2于另外一点D， 如果点D的横坐标是x1＋4，且△BCD的面积是32，A，B，C， D四点共圆.当－1≤x＜4时，探究y2有没有最值(最大值或最小值)？ 如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第三章　函数 第11讲　平面直角坐标系 1. 在平面直角坐标系中，点 P(2，－3)关于y轴对称的点 P'的坐标是(　A　) A. (－2，－3) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (2，3) A A组 基础过关 2. (2025·眉山)在平面直角坐标系中，将点A(－1，3)向 右平移2个单位到点B，则点B的坐标为(　C　) A. (－3，3) B. (－1，1) C. (1，3) D. (－1，5) C A组 基础过关 3. 在平面直角坐标系中，将点P(3，5)向上平移2个单位 长度后得到点P'的坐标为(　D　) A. (1，5) B. (5，5) C. (3，3) D. (3，7) D A组 基础过关 4. (2025·广州黄埔区二模)点P(－4，－3)关于原点对称 的点的坐标是(　A　) A. (4，3) B. (－4，3) C. (－4，－3) D. (4，－3) A A组 基础过关 5. 在平面直角坐标系中，点P(－1，m2＋1)位于(　B　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B A组 基础过关 6. (2025·东莞模拟)已知点A(－3，2)，B(a，a＋1)，且 AB∥x轴，则a的值为(　D　) A. －3 B. －4 C. 2 D. 1 D A组 基础过关 7. (2025·佛山一模)如图，建立平面直角坐标系标注一片 叶子标本，若表示叶柄“底部”的点A的坐标为(－1， －2)，表示叶片“顶部”的点B的坐标为(2，6)，则图中 点D的坐标是(　D　) A. (8，3) B. (7，2) C. (4，3) D. (5，2) D A组 基础过关 8. (2025·汕头模拟)若实数m，n是一元二次方程x2－2x －3＝0的两个根，且m＜n，则点(m，n)所在象限 为(　B　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B A组 基础过关 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个 顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2). (1)画出△ABC先向下平移2个单位长度，再向左 平移3个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点A1， B1和C1的坐标； 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 点A1(－3，1)，B1(0，2)，C1(－1，0). 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 点A1(－3，1)，B1(0，2)，C1(－1，0). (2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2； 解：(2)如图，△A2B2C2即为所求. (3)画出△ABC关于原点对称的△A3B3C3，并求△ABC的面积. 解：(3)如图，△A3B3C3即为所求. S△ABC＝3×2－3×1÷2－2×1÷2×2＝2.5. A组 基础过关 10. 若点P(1－a，2a－3)在第二象限，则a的取值范围 是 ⁠. 11. 已知点P(3，1)，线段PQ∥y轴，且PQ＝3，则点Q 的坐标为 ⁠. a＞ (3，－2)或(3，4) B组 能力提升 12. (2025·广州模拟)菱形OABC在平面直角坐标系中的位 置如图所示.∠AOC＝45°，OC＝ ，则点B的坐标 为(　C　) A. (，1) B. (1， ) C. (＋1，1) D. (1， ＋1) C B组 能力提升 13. 如图，将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如 (3，2)表示6，则表示99的有序数对是 ⁠. (10，18) B组 能力提升 14. 已知点M(2a＋6，a－2)，分别根据下列条件求点M 的坐标. (1)点 M到x轴的距离为 3； 解：(1)∵点M到x轴的距离为3， ∴a－2＝3或a－2＝－3， 解得a＝5或－1. ∴2a＋6＝16或4. ∴点M(4，－3)或(16，3) 解：(1)∵点M到x轴的距离为3， ∴a－2＝3或a－2＝－3， 解得a＝5或－1. ∴2a＋6＝16或4. ∴点M(4，－3)或(16，3) B组 能力提升 (2)点N的坐标为(6，－4)，且直线 MN与坐标轴平行. 解：(2)分两种情况： ①直线MN∥x轴. ∵点N(6，－4)， ∴a－2＝－4，解得a＝－2. ∴2a＋6＝2. ∴点M(2，－4). 解：(2)分两种情况： ①直线MN∥x轴. ∵点N(6，－4)， ∴a－2＝－4，解得a＝－2. ∴2a＋6＝2. ∴点M(2，－4). B组 能力提升 ②直线MN∥y轴. ∵点N(6，－4)， ∴2a＋6＝6，解得a＝0. ∴a－2＝－2. ∴点M(6，－2). 综上所述，点M(2，－4)或(6，－2). ②直线MN∥y轴. ∵点N(6，－4)， ∴2a＋6＝6，解得a＝0. ∴a－2＝－2. ∴点M(6，－2). 综上所述，点M(2，－4)或(6，－2). (2)点N的坐标为(6，－4)，且直线 MN与坐标轴平行. B组 能力提升 15. (2025·眉山)在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (m，n)，则向量 ＝(m，n)，已知 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，若x1·x2＋y1·y2＝0，则 与 互相 垂直.下列选项中两向量互相垂直的是(　D　) D A. ＝(2，3)， ＝( sin 30°，π0) B. ＝(3，－9)， ＝ C. ＝ ， ＝ D. ＝(2，1)， ＝(2－1，－1) C组 中考创新思维 $