第四章　三角形 习题课件 2026年中考数学一轮复习教材梳理(广东)

该初中数学中考复习课件聚焦“线与角”核心考点，严格对接中考说明，系统梳理补角、余角、角平分线、线段中点等高频考点，分析各考点权重分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于分层训练设计，A组夯实基础，B组提升能力，C组创新思维，融入2025年中山、陕西等地中考真题。通过线段中点计算、角平分线分类讨论等典型题型解析，培养学生几何直观和推理意识，帮助掌握解题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力学生中考冲刺。

第一轮　基础复习 第四章　三角形 第17讲　线与角 1. (2025·中山模拟)若∠A＝55°，则∠A的补角 为(　D　) A. 35° B. 45° C. 115° D. 125° D A组 基础过关 2. 如图，直角三角板的直角顶点落在直线 AB上的点C 处，∠1＝20°，则∠2 的大小为(　C　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 160° 第2题图 C A组 基础过关 3. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根 木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线 上，这样做应用的数学知识是(　B　) A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 第3题图 B A组 基础过关 4. (2025·陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分 ∠AOC. 若∠1＝52°，则∠2的度数为(　A　) A. 76° B. 74° C. 64° D. 52° 第4题图 A A组 基础过关 5. 若∠1＝68°30'，则∠1的余角的度数为 ⁠. 21°30' 6. 上午8：30时针与分针的夹角的度数为 ⁠. 75° A组 基础过关 7. 如图，BC＝ AB，点D为AC的中点，DC＝6 cm， 求AB 的长. 解：∵点D为AC的中点，DC＝6 cm， ∴AC＝2DC＝12 cm. ∵AC＝AB＋BC，BC＝ AB， ∴AC＝ AB，即AB＝ AC＝8 cm. A组 基础过关 8. 如图，C为线段 AD 上的一点，点B为CD的中点，且AD＝9， CD＝4.若点E在直线AD上，且EA＝1，求BE的长. 解：分两种情况： 解：分两种情况： ①若点E在线段AD的延长线上，如图1. ∵EA＝1，AD＝9， ∴ED＝EA＋AD＝1＋9＝10. ∵CD＝4，点B为CD的中点， ∴BD＝ CD＝2. ∴BE＝ED－BD＝10－2＝8； A组 基础过关 ②若点E在线段AD上，如图2. ∵EA＝1，AD＝9， ∴ED＝AD－EA＝9－1＝8. ∵BD＝2， ∴BE＝ED－BD＝8－2＝6. 综上所述，BE的长为8或6. 8. 如图，C为线段 AD 上的一点，点B为CD的中点，且AD＝9， CD＝4.若点E在直线AD上，且EA＝1，求BE的长. A组 基础过关 9. 点C是线段 AB的中点，点D是线段 AC 的三等分点.若 线段 AB＝12cm，则线段 BD 的长为(　C　) A. 10 cm B. 8 cm C. 10 cm或8 cm D. 2 cm或4 cm C B组 能力提升 10. 如图，O为直线AB上的一点，OC平分∠AOE， ∠DOE＝90°，有下列结论：①∠AOD与∠BOE互为 余角；②OD平分∠COA；③若∠BOE＝56°40'，则 ∠COE＝61°40'；④∠BOE＝2∠COD. 其中正确的 有(　B　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B B组 能力提升 11. 如图，∠AOB被分成∠AOC∶∠COD∶∠DOB＝2∶3∶4， OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°.求∠AOB 的度数. 解：设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则 ∠AOB＝2x＋3x＋4x＝9x. ∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB， ∴∠MOC＝ ×2x＝x，∠NOD＝ ×4x＝2x. ∴∠MON＝x＋3x＋2x＝6x. ∵∠MON＝90°， ∴6x＝90，解得x＝15. ∴∠AOB＝9x＝135°. B组 能力提升 12. 如图1，OC是∠AOE 内部的一条射线，OB，OD 分 别平分∠AOC，∠EOC. (1)若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，则∠BOC ＝ ⁠； 40° C组 中考创新思维 (2)∠AOE与∠BOD的大小有什么关系， 写出你的结论并说明理由； 解：(2)∠AOE＝2∠BOD. 理由如下： ∵OB，OD分别平分∠AOC，∠EOC， ∴∠COD＝ ∠COE，∠COB＝ ∠AOC. ∴∠COD＋∠COB＝ ∠COE＋ ∠AOC＝ ∠AOE. ∴∠BOD＝ ∠AOE，即∠AOE＝2∠BOD. C组 中考创新思维 (3)如图2，如果OC是∠AOE 外部的一条射线，OB， OD分别平分∠AOC，∠EOC，那么(2)中∠AOE与 ∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由. 解：(3)∠AOE＝2∠BOD成立.理由如下： ∵OB，OD分别平分∠AOC，∠EOC， ∴∠BOC＝ ∠AOC，∠COD＝ ∠EOC. ∴∠BOD＝∠COD－∠BOC＝ (∠EOC－∠AOC)＝ ∠AOE. ∴∠AOE＝2∠BOD. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第21讲　等腰三角形 1. (2025·广州南沙区一模)如图，在△ABC中，AB＝ AC，点D为边BC的中点，∠B＝40°，则∠CAD ＝ ⁠°. 第1题图 50 A组 基础过关 2. (2025·珠海模拟)如图，在直角坐标系中，已知A(－ 1，0)，B(3，0)，点C在第一象限内，若△ABC是等边 三角形，则点C的坐标是(　A　) A. (1，2 ) B. (2，2 ) C. (1， ) D. (2， ) 第2题图 A A组 基础过关 3. (2025·广州黄埔区二模)如图，在△ABC中，AB＝ AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE. 求证：∠BAD ＝∠CAE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠BAD＝∠CAE. A组 基础过关 4. (2025·自贡)如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF. 求证： AE＝BF. 证明：∵∠ABE＝∠BAF，∴CB＝CA. ∵CE＝CF， ∴CB＋CE＝CA＋CF，即BE＝AF. 在△ABE和△BAF中， ∴△ABE≌△BAF(SAS). ∴AE＝BF. A组 基础过关 5. (教材母題)如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分 ∠ACB，MN经过点O，与AB，AC 分别相交于点M，N， 且MN∥BC. 求证：△AMN的周长等于AB＋AC. 证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵MN∥BC，∴∠CBO＝∠BOM. ∴∠ABO＝∠BOM. ∴BM＝OM. 同理，可得CN＝ON. ∴△AMN的周长为AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN ＝AB＋AC. A组 基础过关 6. 如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在 直线n上，直线m交AB 于点E，交AC 于点F. 若∠1＝ 140°，则∠2的度数是(　B　) A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 第6题图 B B组 能力提升 7. (2025·广州荔湾区一模)如图，等边三角形ABC的边长 为3，点D在边AC上，AD＝ ，线段PQ在边BA上运 动，PQ＝ ，有下列结论：①CP与QD可能相等；② △AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大 值为 ；④四边形PCDQ周长的最小值为 3＋ .其中，正确结论的个数为(　C　) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第7题图 B组 能力提升 8. 如图，点D在等边三角形ABC的外部，E为BC边上 的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE. (1)判断△CEF的形状，并说明理由； 解：(1)△CEF是等边三角形.理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC. ∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB. ∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF. ∴△CEF是等边三角形. B组 能力提升 (2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长. 解：(2)如图，连接BD， ∵△CEF和△ABC都是等边三角形， ∴CE＝CF＝4，AB＝CB. ∵BC＝10，∴BE＝BC－CE＝10－4＝6. 8. 如图，点D在等边三角形ABC的外部，E为BC边上的一点， AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE. ∵AD＝CD，∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BD平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠CBD. ∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE. ∴∠BDE＝∠CBD. ∴DE＝BE＝6. B组 能力提升 9. (2024·广州番禺区一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∠C＝30°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，交AD于点E， 交AC于点F. (1)求证：△AEF是等边三角形； 证明：(1)∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°. ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝30°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠AEF＝∠BED＝90°－∠CBF＝60°. ∵∠AFB＝90°－∠ABF＝60°， ∴∠AFE＝∠AEF＝60°. ∴△AEF是等边三角形. C组 中考创新思维 9. (2024·广州番禺区一模)如图，在Rt△ABC中， ∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D， BF平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点F. (2)求证：BE＝EF. 解：(2)∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABF＝30°. ∴AE＝BE. 由(1)，得△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF. ∴BE＝EF. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第18讲　相交线与平行线(含命题) 1. (2025·广州番禺区一模)如图，AB∥CD，∠1＝ 65°，则∠2的度数是(　B　) A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° 第1题图 B A组 基础过关 2. (2025·广州模拟)已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角 三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2＝(　C　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第2题图 C A组 基础过关 3. 命题“对顶角相等”的逆命题是 ⁠ ，它是 (填“真”或 “假”)命题. 4. 如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D 的度数为(　B　) 第4题图 如果两个角相等， 那么这两个角是对顶角 假 B A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° A组 基础过关 5. (2025·东莞二模)利用课后服务时间，同学们在操场上 进行实地测量.如图，在A处测得建筑物C在南偏西60° 的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上. 在建筑物C处测得A，B两处的视角∠C的度数 为 ⁠. 40° 第5题图 A组 基础过关 6. (2025·深圳模拟)在一个由工程车搭建的创意展览场景 中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工 作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1＝30°，∠3＝ 150°，则∠2的度数为 ⁠. 第6题图 60° A组 基础过关 7. (教材母题改编)如图，直线AB，CD相交于点O， OM⊥AB. (1)若∠1＝∠2，求∠NOD 的度数； 解：(1)∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°. ∴∠1＋∠AOC＝90°. ∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°. ∴∠NOD＝180°－∠CON＝180°－90°＝90°. A组 基础过关 (2)若∠AOD＝3∠1，求∠AOC 和∠MOD的度数. 解：(2)∵∠AOD＝3∠1， ∴∠AOD＝∠BOC＝3∠1. ∵∠BOC＝∠1＋∠BOM， ∴∠BOM＝∠BOC－∠1＝2∠1. ∴2∠1＝90°，解得∠1＝45°. ∴∠AOC＝∠AOM－∠1＝90°－45°＝45°. ∴∠BOD＝∠AOC＝45°. ∴∠MOD＝∠BOD＋∠BOM＝45°＋90°＝135°. 7. (教材母题改编)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB. A组 基础过关 8. (2025·甘肃)如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝ 80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺 时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将 木条a旋转(　A　) A. 30° B. 40° C. 60° D. 80° A B组 能力提升 9. 如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交 直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第9题图 C B组 能力提升 10. (2025·江门模拟)一本书静止在斜面上，其受力分析 如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面 垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2与重力 G方向的夹角α的度数为112°，则斜面的坡角β的度数 为 ⁠. 22° 第10题图 B组 能力提升 11. 如图，在△ABC中，点O是边AB的中点.按下列要求 作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段 BO 于点 D，交BC于点E；②以点O为圆心、 BD长为半径画弧，交线段OA于点F； ③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交 前一条弧于点G，点G与点C在直线AB 同侧；④作直线OG，交AC于点M. 下 列结论不一定成立的是(　D　) D A. ∠AOM＝∠B B. ∠OMC＋∠C＝180° C. AM＝CM D. OM＝ AB 第11题图 B组 能力提升 12. (教材母题改编)如图，已知∠1＝∠2，∠A＝35°， ∠C＝∠D. (1)求证：BD∥CE； 解：(1)证明：∵∠1＝∠2，且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3. ∴BD∥CE. 解：(1)证明：∵∠1＝∠2，且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3. ∴BD∥CE. B组 能力提升 (2)求∠F的度数. 解：(2)∵BD∥CE， ∴∠C＝∠DBA. ∵∠C＝∠D， ∴∠D＝∠DBA. ∴DF∥AC. ∴∠F＝∠A＝35°. 解：(2)∵BD∥CE， ∴∠C＝∠DBA. ∵∠C＝∠D， ∴∠D＝∠DBA. ∴DF∥AC. ∴∠F＝∠A＝35°. 12. (教材母题改编)如图，已知∠1＝∠2，∠A＝35°， ∠C＝∠D. B组 能力提升 13. (跨学科)(教材母题改编)如图是小亮绘制的潜望镜原 理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l 与出射光线m平行，若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝ 40°10'，则∠6的度数为(　C　) A. 100°40' B. 99°80' C. 99°40' D. 99°20' C C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第23讲　图形的相似 1. (2025·佛山模拟)已知△ABC∽△DEF，且相似比为 4∶9，则△ABC与△DEF的对应高之比为(　C　) A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4 C A组 基础过关 2. (2025·潮州二模)小康打算制作如图1所示的花架，图2 是小康设计的花架正面简易图.已知AB∥CD∥EF， AC＝0.4 m，CE＝0.6 m，则 的值为(　B　) A. B. C. D. 第2题图 B A组 基础过关 3. (2025·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的 顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O 为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若 △OA'B'与△OAB的相似比为2∶1.则点A的对应点A'的 坐标为 ⁠. (－4，－2) 第3题图 A组 基础过关 4. (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. (2)以原点O为位似中心，位似比为2∶1， 在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的 △A2B2C2，并写出点A2的坐标. 解：(2)如图，△A2B2C2即为所求， A2(－4，2). A组 基础过关 5. (2025·广州二模)如图，已知点E，F在线段BD上，AE∥FC， AE＝2FC，BE＝2DF，求证：AB＝2CD. 解：∵AE∥FC，∴∠AEF＝∠EFC. 又∵∠AEB＋∠AEF＝180°，∠CFD＋∠EFC＝180°， ∴∠AEB＝∠CFD. ∵AE＝2FC，BE＝2DF， ∴ ＝ ＝2. ∴△ABE∽△CDF. ∴ ＝ ＝ ＝2. ∴AB＝2CD. A组 基础过关 6. (2025·广州番禺区二模)如图，在△ABC中，点D，E 分别是边AB，AC上的点，∠BDE＋∠C＝180°.求 证：△ADE∽△ACB. 证明：∵∠BDE＋∠C＝180°， ∠ADE＋∠BDE＝180°， ∴∠ADE＝∠C. 又∵∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB. A组 基础过关 7. (2025·广州海珠区二模)凸透镜成像的原理如图所示， AD∥l∥BC. 若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的 中心O的距离之比为6∶5，若物体AH＝4 cm，则其像 CG的长为(　C　) A. cm B. 3 cm C. cm D. cm 第7题图 C B组 能力提升 8. (2025·广州越秀区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝6 ，点D在边AB上，且AD＝ 3，点E在边AC上，直线DE把Rt△ABC分成两部分，若 △ADE与△ABC相似，则∠ADE＝ ⁠. 第8题图 30°或90° B组 能力提升 9. (教材母题)如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三 角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，AB＝ ，BC＝1，BF 分别交AC，CD，DE于点P，Q，R. (1)求证：△BFG∽△FEG； 解：(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG，AB＝ ，BC＝1， ∴FG＝ ，BG＝3，EG＝1. ∴ ＝ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . 又∵∠BGF＝∠FGE， ∴△BFG∽△FEG. B组 能力提升 (2)求AP∶PC的值. 解：(2)∵△ABC≌△FEG， ∴∠ACB＝∠G. ∴PC∥FG. ∴△BPC∽△BFG. ∴ ＝ . ∴ ＝ .∴PC＝ . ∵AC＝AB＝ ，∴AP＝AC－PC＝ . 9. (教材母题)如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三 角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，AB＝ ，BC＝1，BF 分别交AC，CD，DE于点P，Q，R. ∴ ＝ ＝2，即AP∶PC的值为2. B组 能力提升 10. (2025·连州一模)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若 ＝ ，则 把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个 比值叫做黄金比. (1)如图1，点P是线段AB的黄金分割点，设AB＝1，AP＝x，求 黄金比x的值； (精确到0.001，参考数据： ≈1.414 2， ≈1.732 1， ≈2.236 1， ≈2.449 5) 解：(1)根据题意，得 ＝x，解得x1＝ (舍去)， x2＝ ≈0.618. C组 中考创新思维 (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的 角平分线.求证：点D是线段AC的黄金分割点； 解：(2)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝ ＝72°. ∵BD是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，∴△BCD∽△ABC. AD＝BD，BC＝BD. 10. (2025·连州一模)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若 ＝ ，则 把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个 比值叫做黄金比. C组 中考创新思维 ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴点D是线段AC 的黄金分割点. (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的 角平分线.求证：点D是线段AC的黄金分割点； 10. (2025·连州一模)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若 ＝ ，则 把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个 比值叫做黄金比. C组 中考创新思维 (3)如图3，点E是正方形ABCD的BC边的中点， 以点E为圆心、以ED长为半径画弧，交射线BC 于点F，过点F作FG⊥BC交射线AD于点G. 若AG＝2 ，请直接写出AB的长. 解：(3)AB的长为5－ . 10. (2025·连州一模)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发 现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若 ＝ ，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分 割点，这个比值叫做黄金比. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第19讲　三角形与多边形 1. (2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的 值为(　C　) A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 C A组 基础过关 2. (2025·深圳模拟)如图，小宇注意到跷跷板处于静止状 态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑 杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF ＝40 cm，则点B距离地面的高度BC为 cm. 第2题图 80 A组 基础过关 3. (2025·广东三模)如图，∠ACD为△ABC的外角，点E 为AC边上的一点，点F在△ABC外，且EF∥CD，若 ∠A＝20°，∠B＝60°，则∠AEF＝ ⁠. 第3题图 80° A组 基础过关 4. (2025·广州从化区一模)如图，直线l1∥l2，线段BC分 别与l1，l2交于点D，C，过点B作AB⊥BC，交直线l1 于点A. 若∠BAD＝20°，则∠BCE的度数是 ⁠. 第4题图 70° A组 基础过关 5. (2025·广州花都区二模)一副直角三角板如图放置，若 DE∥BC，则∠DCF的度数为(　D　) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 第5题图 D A组 基础过关 6. (2025·扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个 多边形的边数为 ⁠. 7. (2025·长沙)如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°， ∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝ ⁠. 第7题图 9 205° A组 基础过关 8. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D， AE⊥BC于点E. 已知∠ABC＝60°，∠C＝45°. (1)求证：AB＝BD； 解：(1)证明：∵∠ABC＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°－60°－45°＝75°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°. ∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°， 即∠BAC＝∠ADB. ∴AB＝BD. A组 基础过关 (2)若AE＝3，求△ABC的面积. 解：(2)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，∠C＝45°， ∴∠EAC＝45°＝∠C. ∴AE＝CE＝3. 在Rt△AEB中，BE＝ ＝ ， ∴BC＝BE＋CE＝3＋ . ∴S△ABC＝ ·BC·AE＝ . 8. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D， AE⊥BC于点E. 已知∠ABC＝60°，∠C＝45°. A组 基础过关 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点 D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在AC边 上的点B'处，则∠ADB'的度数为(　D　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第9题图 D B组 能力提升 10. (2025·深圳模拟)1970年墨西哥“世界杯”使用的足 球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足 球的原型.其由32块手缝嵌面组成(12块黑色的正五边形 和20块白色的正六边形)，这种构造使足球拥有更浑圆更 完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中∠α度数 为 ⁠°. 132 第10题图 B组 能力提升 11. (教材母题改编)已知△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8. (1)求m的取值范围； 解：(1)根据题意，得 解得3＜m＜5. (2)若△ABC的三边长均为整数，求△ABC的周长. 解：(2)∵△ABC的三边长均为整数， ∴m＝4. ∴m－2＝4－2＝2，2m＋1＝2×4＋1＝9. ∴C△ABC＝2＋9＋8＝19. B组 能力提升 12. (2025·江西)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意 图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固 定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60 cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门， 推动推拉门时，两端点M，N分别在 BC，CD对应的轨道上滑动.当点N 与点C重合时，推拉门与门框完全闭 合；当点N滑动到限位点P处时，推 拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°. C组 中考创新思维 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 度，最大值为 度； ②△CMN面积的变化情况是 ⁠. A. 越来越大 B. 越来越小 C. 先增大后减小 0 39 C C组 中考创新思维 (2)当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积. 解：(2)如图，过点N作NG⊥BC于点G， 当∠CMN＝30°时，NG＝ MN＝30cm， ∴MG＝ ＝30 cm. ∵∠NCG＝45°， ∴CG＝NG＝30 cm. ∴MC＝MG－CG＝(30 －30)cm. ∴S△CMN＝ CM·NG＝ ×(30 － 30)×30＝(450 －450) cm2. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第22讲　直角三角形 1. (2025·扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边 AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC ＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 ⁠. 第1题图 6 A组 基础过关 2. (2025·茂名一模)如图，将一张矩形纸片沿虚线对折两 次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝ 4cm，则剪下来的图形的周长为(　C　) A. 4 cm B. 16cm C. 16 cm D. 32cm 第2题图 C A组 基础过关 3. (2025·佛山模拟)如图，网格中每个小正方形的边长均 为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB为半 径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 ⁠ ⁠. 第3题图 3－ A组 基础过关 4. (2025·广州海珠区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则 tan∠ACD的值为 ⁠. 第4题图 ​ A组 基础过关 5. (2025·广州模拟)如图，在△ABC中，AC＝18，∠C＝ ∠BAD＝30°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC 交AD于点E，则DE的长为(　B　) A. B. 3 C. 2 D. 6 第5题图 B A组 基础过关 6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长 都为1，每个小格的顶点叫做格点，四边形 ABCD以格点为顶点. (1)求四边形ABCD的周长； 解：(1)∵AD＝ ＝ ，AB＝ ＝ 2 ，CD＝ ＝ ，BC＝ ＝2 ， ∴四边形ABCD的周长＝AD＋AB＋CD＋BC＝ ＋ 2 ＋ ＋2 ＝5 ＋ . 解：(1)∵AD＝ ＝ ，AB＝ ＝ 2 ，CD＝ ＝ ，BC＝ ＝2 ， ∴四边形ABCD的周长＝AD＋AB＋CD＋BC＝ ＋ 2 ＋ ＋2 ＝5 ＋ . A组 基础过关 6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长 都为1，每个小格的顶点叫做格点，四边形 ABCD以格点为顶点. (2)求证：∠DAB＝90°. 解：(2)证明：如图，连接BD. ∵AD2＝12＋12＝2，AB2＝22＋22＝8， BD2＝12＋32＝10， ∴AD2＋AB2＝BD2. ∴∠DAB＝90°. A组 基础过关 7. (2025·广州模拟)如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC ＝90°，D为AC边上中点，过点D作DE⊥DF交AB于 点E，交BC于点F，若AB的长为8，则四边形BFDE的 面积为(　B　) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 第7题图 B B组 能力提升 8. (2025·深圳模拟)如图，用9个直角三角形纸片拼成一 个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直 角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l，则下列整 数与l最接近的是(　B　) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 第8题图 B B组 能力提升 9. (2025·三河模拟)观察下列等式： 第1个等式 (22－1)2＋42＝(22＋1)2 第2个等式 (32－1)2＋62＝(32＋1)2 第3个等式 (42－1)2＋82＝( )2 第4个等式 (52－1)2＋102＝(52＋1)2 … … (1)补充上述表格； 42＋1 B组 能力提升 【发现】(2)请用含n(n为正整数，且n＞1)的等式表示上述规 律： ＝(n2＋1)2； 【应用】(3)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个 数为勾股数(例如：3，4，5).现有一个直角边为14的直角三角形， 它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积. (n2－1)2＋(2n)2 解：(3)由(2)，可知(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2， 故存在以n2－1，2n为直角边，n2＋1为斜边的直角三角形. ∵有一个直角边为14的直角三角形时，三个整数能构成直角三 角形的三条边长， ∴2n＝14，解得n＝7. ∴直角三角形的另一个直角边是72－1＝48. ∴这个直角三角形的面积为 ×14×48＝336. B组 能力提升 10. 如图1，在等腰直角三角形ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分 别在边AB，CB上，DB＝EB，连接AE， CD，取AE的中点F，连接BF. (1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF； 解：(1)证明：在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(SAS). ∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD. ∵点F是Rt△ABE斜边AE的中点，∴AE＝2BF. C组 中考创新思维 ∴CD＝2BF. ∵BF＝ AE＝AF，∴∠FAB＝∠FBA. ∴∠FBA＝∠BCD. ∵∠FBA＋∠FBC＝90°， ∴∠BCD＋∠FBC＝90°. ∴CD⊥BF. 10. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝ 90°，AB＝CB，点D，E分别在边AB，CB上，DB＝ EB，连接AE，CD，取AE的中点F，连接BF. (1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF； C组 中考创新思维 (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置. ①请直接写出BF与CD的位置关系： ⁠； ②求证：CD＝2BF. CD⊥BF 解：②证明：如图，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG. 在△AGF和△EBF中， ∴△AGF≌△EBF(SAS). ∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE. ∴AG∥BE. ∴∠GAB＋∠ABE＝180°. ∵∠ABC＝∠EBD＝90°， C组 中考创新思维 ∴∠ABE＋∠DBC＝360°－180°＝180°. ∴∠GAB＝∠DBC. ∵BE＝BD，∴AG＝BD. 在△AGB和△BDC中， ∴△AGB≌△BDC(SAS). (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置. ②求证：CD＝2BF. ∴BG＝CD. ∵BG＝2BF，∴CD＝2BF. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第24讲　锐角三角函数 1. (2025·江门模拟)若锐角A＝30°，则 cos A的值 是(　B　) A. B. C. D. 1 2. (2025·广西)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7， AC＝3，则 sin B＝(　B　) A. B. C. D. B B A组 基础过关 3. (2025·广东模拟)如图，在矩形网格中，每个小正方形 的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan A的 值为(　B　) A. B. C. D. 第3题图 B A组 基础过关 4. (2025·广州模拟)“儿童放学归来早，忙趁东风放纸 鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉 线长100 m且拉线与地面夹角为65°(如图，假设拉线是 直的，小明身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表 示为(　A　) A. 100 sin 65° m B. 100 cos 65° m C. 100tan 65° m D. m 第4题图 A A组 基础过关 5. (2025·东莞模拟)计算：(－2)2－ sin 30°＝ ⁠. 6. (2025·深圳模拟)计算：tan 45°＋ cos 60°× sin 30° － sin 260°＝ ⁠. ​ ​ A组 基础过关 7. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ， 求AB的长. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°. ∴CD＝BD. ∴∠A＝30°，AC＝2 . ∴AD＝AC· cos 30°＝3，CD＝AC· sin 30°＝ . ∴BD＝CD＝ . ∴AB＝AD＋BD＝3＋ . A组 基础过关 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，点D为 边AC上的一点，∠BDC＝45°，CD＝6.求AD的长. 解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°， ∴∠DBC＝45°. ∴BC＝CD＝6. ∵ sin A＝ ＝ ， ∴AB＝10. ∴AC＝ ＝8. ∴AD＝AC－DC＝8－6＝2. A组 基础过关 9. (2025·广州白云区二模)如图，梯子AB＝AC＝a，梯 子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(　D　) A. a· sin α B. a· cos α C. 2a· sin α D. 2a· cos α 第9题图 D B组 能力提升 10. (2025·深圳模拟)如图，某物理兴趣小组做小车从斜 面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向下 滑，若斜面与水平面的夹角为α，沿斜面下滑的时间为 t，则小车在斜面上下滑的平均速度为 ⁠. 第10题图 ​ B组 能力提升 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB， BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC. (1)求∠B的度数； 解：(1)如图，连接AD. 解：(1)如图，连接AD. ∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD. ∵BD＝2AC，∴AD＝2AC. ∵∠C＝90°， ∴ sin ∠ADC＝ ＝ . ∴∠ADC＝30°. ∴∠B＝∠DAB＝ ∠ADC＝15°. B组 能力提升 (2)求tan∠BAC的值.(结果保留根号) 解： (2)设AC＝a， 则BD＝AD＝2a. ∵∠ADC＝30°， ∴CD＝ a. ∴tan ∠BAC＝ ＝ ＝ ＋2. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分 线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC. B组 能力提升 12. (2025·东莞模拟)图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直 固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆， 已知AB＝18 cm，BC＝30 cm，AD＝68 cm. (1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度 (结果保留根号)； 解：(1)如图1，过点C作CE⊥AD于点E，则∠AEC＝∠CED＝90°. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∵AD∥BC，∴∠A＝90°. ∴四边形ABCE是矩形. ∴CE＝AB＝18 cm，AE＝BC＝30 cm. ∵AD＝68 cm，∴DE＝68－30＝38(cm). ∴CD＝ ＝2 (cm). 答：CD的长度为2 cm. 图1 C组 中考创新思维 (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α， 且tan α＝ (α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留 根号). 图2 解：(2)如图2，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F， 交AD'于点G，则∠F＝∠AGD＝90°. ∴四边形ABFG是矩形. ∴BF＝AG，GF＝AB＝18 cm. 设DG＝8x cm，则AG＝15x cm. ∴AD＝17x cm. ∵AD＝68 cm，∴17x＝68.解得x＝4. C组 中考创新思维 ∴DG＝32 cm，AG＝60 cm. ∴BF＝AG＝60 cm， DF＝32＋18＝50(cm). ∴CF＝60－30＝30(cm). ∴CD＝ ＝10 (cm). 答：CD的长度为10 cm. (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α， 且tan α＝ (α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留 根号). C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第25讲　解直角三角形的应用 1. (2025·深圳模拟)如图，小明在点C处测得树的顶端A 仰角为α，同时测得BC＝15 m，则树的高度AB 为(　A　) A. 15tan α m B. m C. 15 sin α m D. m 第1题图 A A组 基础过关 2. (2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜 面坡度i＝1∶ (斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水 平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的 长度是 ⁠. 第2题图 15 m A组 基础过关 3. (2025·广州海珠区二模)如图1是某种笔记本电脑 支架，如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过 调节∠ACD及∠CDF的度数来控制托盘EF的高 度，笔记本机身和屏幕分别用线段EG，GH表示. 已知CD＝16 cm，EG＝GH＝21 cm，DE＝5 cm， 不计材料厚度.若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°. (1)为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数； 解：(1)如图，延长HG交AB于点M，则∠GMC＝90°. ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCM＝180°－∠ACD＝180°－60°＝120°. ∵∠DGM＋∠GMC＋∠DCM＋∠CDG＝360°，∠CDG＝90°， ∴∠DGM＝360°－∠CDG－∠CMG－∠DCM＝60°. ∴∠EGH＝180°－∠DGM＝120°. A组 基础过关 (2)在(1)的条件下，求此时点H到桌面的距离. 解：(2)如图，过点D作DP⊥GM，DN⊥AB， 则四边形DNMP是矩形. ∴DN＝PM. ∵∠ACD＝60°，CD＝16 cm ∴DN＝CD· sin 60°＝16× ＝8 (cm). ∴PM＝8 cm. ∵EG＝GH＝21 cm，ED＝5 cm，∴DG＝EG－ED＝16 cm. 3. (2025·广州海珠区二模)如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底 座AB放置在水平桌面上，通过调节∠ACD及∠CDF的度数来控制托 盘EF的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段EG，GH表示.已知CD ＝16 cm，EG＝GH＝21 cm，DE＝5 cm，不计材料厚度.若∠ACD ＝60°，∠CDG＝90°. A组 基础过关 ∴PG＝DG· cos 60°＝16× ＝8 (cm). ∴HM＝GH＋PG＋PM＝21＋8＋8 ＝(29＋8 )(cm). 答：点H到桌面的距离为(29＋8 )cm. (2)在(1)的条件下，求此时点H到桌面的距离. 3. (2025·广州海珠区二模)如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底 座AB放置在水平桌面上，通过调节∠ACD及∠CDF的度数来控制托 盘EF的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段EG，GH表示.已知CD ＝16 cm，EG＝GH＝21 cm，DE＝5 cm，不计材料厚度.若∠ACD ＝60°，∠CDG＝90°. ∵∠DGP＝60°. A组 基础过关 4. (2025·广州黄埔区二模)真实情境：如图2，使用无人机进行航拍， 无人机在离地面80 m的高度水平飞行.无人机能够拍摄到地面上的一 座塔楼(如图1)，塔楼的高度为30 m.为了获得最佳的拍摄效果，需要 计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45° 的角度对准塔楼的顶部. (1)当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶 部的水平距离； 解：(1)记塔楼的底部为点E，AE⊥地面，延长 EA交CB于点D，则DE＝80 m，AE＝30 m. ∴AD＝DE－AE＝80－30＝50(m). ∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形. ∴DA＝DB＝50 m. ∴无人机与塔楼顶部的水平距离为50 m. A组 基础过关 (2)如果无人机的摄像头角度调整为30°，求无人机向左飞行的水平 距离.(参考数据： ≈1.73) 解：(2)∵∠ACD＝30°，AD＝50 m，∴AC＝2AD＝100 m. ∴DC＝ ＝ ＝50 ≈50×1.73＝86.5(m). ∴BC＝DC－BD＝86.5－50＝36.5(m). ∴无人机向左飞行的水平距离为36.5 m. 4. (2025·广州黄埔区二模)真实情境：如图2，使用无人机进行航拍， 无人机在离地面80 m的高度水平飞行.无人机能够拍摄到地面上的一 座塔楼(如图1)，塔楼的高度为30 m.为了获得最佳的拍摄效果，需要 计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45° 的角度对准塔楼的顶部. A组 基础过关 5. (2025·广州模拟)太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备， 是绿色能源的重要组成部分.它通过将太阳能转化为热能，减少了对 传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意 义.图1是太阳能热水器安装示意图，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3 m 的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装 热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5 m. (1)求真空管上端B到水平线AD的距离； 解：(1)如图，过点B作BF⊥AD于点F. ∵AB＝3 m，∠BAD＝37°， ∴BF＝AB· sin ∠BAF＝3× sin 37°≈3× ＝1.8(m). 答：距离约为1.8 m. B组 能力提升 (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.(参考数据： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan 37°≈ ， sin 22°≈ ， cos 22°≈ ，tan 22°≈0.4.结果精确到0.1 m) 解：(2)由题意，得AF＝AB· cos ∠BAF＝3× cos37°≈3× ＝2.4(m)， ∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD， ∴∠BFD＝∠CDF＝∠BCD＝90°. ∴四边形BFDC是矩形. ∴CD＝BF＝1.8 m，BC＝FD. ∵CE＝0.5 m， ∴DE＝CD－CE＝1.8－0.5＝1.3(m). B组 能力提升 ∴AD＝ ＝ ≈ ＝3.25(m). ∴BC＝DF＝AD－AF≈3.25－2.4＝0.85≈0.9(m). 答：BC的长度约为0.9 m. (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.(参考数据： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan 37°≈ ， sin 22°≈ ， cos 22°≈ ，tan 22°≈0.4.结果精确到0.1 m) B组 能力提升 6. (2025·湖南)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别 垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19 dm，CD＞AB. 在点A，C 之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13 dm，一件连衣裙MN挂在 点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l. (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到 直线AB的距离EG等于12 dm，求该连衣裙MN的长度； 解：(1)∵在Rt△AGM中，AM＝13 dm，MG＝12 dm，AG⊥GM， ∴AG＝ ＝5(dm). ∵AB＝19 dm，∴BG＝AB－AG＝19－5＝14(dm). ∴MN＝BG＝14 dm. ∴该连衣裙MN的长度为14 dm. C组 中考创新思维 (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂 一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ (结果保留整数，参考数据： sin 76.1°≈0.97， cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04) 解：(2)如图，过M作MK⊥AB于K， ∵在Rt△AKM中，AM＝13 dm，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM， ∴AK＝AM· cos 76.1°＝13×0.24＝3.12(dm). ∵AB＝19 dm， ∴BK＝AB－AK＝19－3.12＝15.88(dm). ∴BK－MN＝15.88－14＝1.88≈2(dm). ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2 dm. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第四章　三角形 第20讲　全等三角形 1. (2025·珠海模拟)如图，已知点B，E， C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE ＝CF，根据全等三角形的判定方法，下 列能证明△ABC≌△DEF的条件是(　D　) A. ∠ACB＝∠DFE B. ∠A＝∠D C. AC∥DF D. ∠B＝∠DEF 第1题图 D A组 基础过关 2. (2025·东莞模拟)如图，直线l上有三个正方形a，b， c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为(　D　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 第2题图 D A组 基础过关 3. (2025·广州二模)如图，点E在△ABC边上， AE＝BC，BC∥AD，∠CAB＝∠ADE. 求证：△ABC≌△DEA. 证明：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE. 在△ABC和△DEA中， ∴△ABC≌△DEA(AAS). A组 基础过关 4. (2025·广州白云区二模)如图，点E，F在直线AC上， AF＝EC，BC＝DF，BC∥DF. 求证：AB∥DE. 证明：∵BC∥DF， ∴∠DFE＝∠BCA. ∵AF＝EC，∴AC＝EF. ∵BC＝DF， ∴△BCA≌△DFE. ∴∠A＝∠E. ∴AB∥DE. A组 基础过关 5. (2025·广州白云区一模)如图，D是△ABC边AB上的点，AD＝ BC，BC∥DE，∠B＋∠C＋∠E＝180°，求证：AC＝AE. 证明：∵BC∥DE， ∴∠B＝∠ADE. ∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＋∠C＋∠E＝180°， ∴∠B＋∠C＋∠BAC＝∠B＋∠C＋∠E. ∴∠BAC＝∠E. 在△ABC和△EDA中， ∴△ABC≌△EDA(AAS). ∴AC＝AE. A组 基础过关 6. 如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条 件： ，使△ABC≌△DEF. 第6题图 (答案不唯一)BE＝CF B组 能力提升 7. (2025·广州番禺区三模)如图，在△ABC中，AD是 ∠BAC的平分线，∠C＝2∠B，AC＝5，CD＝3，则 AB的长为(　C　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第7题图 C B组 能力提升 8. (2025·惠州模拟)春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎 在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草 长莺飞二月天”“忙趁东风放纸鸢”.我们研究的四边形 中有一种叫做筝形，如图1所示. 【筝形的定义】两组邻边分别 相等的四边形.即：若四边形 ABCD满足AB＝AD且CB＝ CD，则四边形ABCD为筝形. B组 能力提升 【任务1】(1)如图2是由小正方形组成的10×5网格图，在 网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的 筝形EFGH； 解：(1)如图1，筝形EFGH即为所求.(答案不唯一，只要 符合定义都得分) 解：(1)如图1，筝形EFGH即 为所求.(答案不唯一，只要符 图1 合定义都得分) B组 能力提升 【任务2】(2)探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、 对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明. 解：(2)筝形的性质：①角的性质：筝形有一组对角相等. 解：(2)筝形的性质：①角的性质：筝形有一组对角相等. 证明：如图2，连接AC， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠ABC＝∠ADC，即筝形有一组对角相等. 图2 ②对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线. B组 能力提升 图3 【任务2】(2)探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别 写出一条性质，并选其中一条性质进行证明. 证明：如图3，连接AC，BD，交点为O， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠BAC＝∠DAC，即AC是∠BAD的平分线. 又∵AB＝AD， ∴AO是△ABD的垂直平分线，即AC⊥BD，BO＝DO. B组 能力提升 9. (2025·汕头模拟)如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别为点D，E. (1)求证：AD＝AE； 解：(1)证明：∵AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，∴PD＝PE. 在Rt△APD和Rt△APE中， ∴Rt△APD≌Rt△APE(HL). ∴AD＝AE. C组 中考创新思维 9. (2025·汕头模拟)如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别为点D，E. (2)在图1的条件下，如图2，点M，N分别在AB，AC 上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长. 解：(2)在Rt△PEN和Rt△PDM中， ∴Rt△PEN≌Rt△PDM(HL). ∴NE＝MD. ∵AM＝AD＋MD＝5，AD＝AE＝AN＋NE＝AN＋MD， ∴AN＋MD＋MD＝5. ∵AN＝3，∴MD＝1. ∴AD＝AM－MD＝4. C组 中考创新思维 $