第六章 圆 练习课件 2026年中考数学一轮复习教材梳理(广东)

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的有关概念与性质”核心考点，严格对接中考说明，梳理出垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧关系等高频考点，结合2025年广州各区模拟真题，分析选择、填空、解答题考查权重，归纳出证明线段相等、角度计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础过关+能力提升+创新思维”分层训练模式，精选2025年广州、深圳模拟真题，通过第5题全等证明、第9题圆与相似应用等典型题型，培养学生几何直观与推理能力，指导学生掌握“弧与角转化”“辅助线添加”等应试技巧，助力学生高效冲刺，为教师提供系统复习教学方案。

第一轮　基础复习 第六章　圆 第32讲　与圆有关的计算 1. 一个扇形的半径为4 cm，圆心角为150°，则这个扇 形的面积为 ⁠. 2. 一个圆锥的底面圆的半径为6 cm，母线长8 cm，则圆 锥的表面积为 ⁠. cm2 84π cm2 A组 基础过关 3. (2025·梅州二模)一个扇形半径为3 cm，圆心角为 120°，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长 为(　C　) A. cm B. π cm C. 2π cm D. 3π cm C A组 基础过关 4. (2025·深圳模拟)如图，某传送带的转动轮的半径为10 cm，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且BC足 够长，若转动轮转动2°，则传送带上的物品A被传 送 cm.(结果保留π) 第4题图 ​ A组 基础过关 5. (2025·广州越秀区二模)如图，在纸上剪一个圆形和一 个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的 半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°， 则R的值是 ⁠. 第5题图 4 A组 基础过关 6. (2025·广州番禺区三模)玉佩是我国古人身上常佩戴的 一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”， 现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子.如图2，现 有一块直径为10 cm的圆形玉料，要用 其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩， 则图2中阴影部分的面积为(　C　) A. 5π cm2 B. cm2 C. cm2 D. 15π cm2 第6题图 C A组 基础过关 7. (2025·广州模拟)“奇妙”手工课堂开课啦！一起动手 试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形 和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面.(圆心O2 与圆锥顶点同在如图虚线上)测量后得知，圆锥母线长16 cm，则这张正方形纸片的边长是(　B　) A. 16 cm B. (10 ＋4)cm C. 20 cm D. 18 cm 第7题图 B A组 基础过关 8. (2025·湛江四模)如图，AB为☉O的直径，且AB＝2，点C是弧 AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作☉O的切线交AC的延长 线于点D，点E是BD的中点，连接EC. (1)求证：EC是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，连接OC，BC，OE， ∵BD与☉O相切于点B， ∴BD⊥OB. ∴∠ABD＝90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠DCB＝180°－∠ACB＝90°. ∵点E是BD的中点，∴CE＝BE＝ BD. A组 基础过关 ∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE. ∴∠OCE＝∠OBE＝90°. ∵EC经过☉O的半径OC的外端，且EC⊥OC， ∴EC是☉O的切线. 8. (2025·湛江四模)如图，AB为☉O的直径，且AB＝2，点C是弧 AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作☉O的切线交AC的延长 线于点D，点E是BD的中点，连接EC. (1)求证：EC是☉O的切线； A组 基础过关 (2)当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积. 8. (2025·湛江四模)如图，AB为☉O的直径，且AB＝2，点C是弧 AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作☉O的切线交AC的延长 线于点D，点E是BD的中点，连接EC. 解：(2)∵∠ABD＝90°，∠D＝30°， ∴∠A＝90°－∠D＝60°. ∴∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°. ∵AB＝2，∴OB＝OA＝1. ∵EB＝ED，∴OE∥AD. ∴∠OEB＝∠D＝30°. ∴OE＝2OB＝2. A组 基础过关 ∴BE＝ ＝ ＝ . ∴S△OCE＝S△OBE＝ ×1× ＝ . ∴S四边形BOCE＝S△OCE＋S△OBE＝ . ∵S扇形BOC＝ ＝ ， ∴S阴影＝S四边形BOCE－S扇形BOC＝ － . ∴图中阴影部分的面积为 － . (2)当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积. 8. (2025·湛江四模)如图，AB为☉O的直径，且AB＝2，点C是弧 AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作☉O的切线交AC的延长 线于点D，点E是BD的中点，连接EC. A组 基础过关 9. (2025·广州二模)若将半径为6 cm的半圆形纸片围成一 个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 cm. 3 B组 能力提升 10. (2025·广州白云区模拟)如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A旋转，当B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上 时，弧BC的长度为(　C　) A. B. C. D. C B组 能力提升 11. (2025·江门模拟)综合与实践. 【主题】制作圆锥. 【素材】直径为40 cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶. 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为40 cm的圆形卡纸剪出一个圆心 角为60°的最大扇形ABC(图2). 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围 成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处. B组 能力提升 【实践探索】 (1)求剪下的扇形ABC的半径； 解：(1)如图，连接OA，过点O作OD⊥AC于D， 解：(1)如图，连接OA，过点O作OD⊥AC于D，则AD＝DC. ∵∠BAC＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴OD＝ OA＝10 cm. ∴AD＝ ＝10 cm. ∴AC＝2AD＝20 cm， 即剪下的扇形ABC的半径为20 cm. B组 能力提升 (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r. 解：(2)扇形BAC的弧长为 ＝ π， 设圆锥形卡纸的底面圆半径为r， ∴2πr＝ π， 解得r＝ . 答：此圆锥形卡纸的底面圆的半径r为 cm. B组 能力提升 12. (2025·广州二模)某班课题学习小组对无盖的纸杯进 行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求 是：杯口直径AB＝6 cm，杯底直径CD＝4 cm，杯壁母 线AC＝BD＝6 cm.请你解决下列问题： (1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示 意图(如图2，忽略拼接部分)，得到图形 是圆环的一部分. ①图2中弧EF的长为 cm，弧MN的长为 cm； 6π 4π C组 中考创新思维 ②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所 在圆的圆心O，如图3所示.求弧MN所在圆的半径r及它 所对的圆心角的度数n. 解：②设它所对的圆心角的度数为n. 的长为 cm， 的长为 cm， ∴ ＝ ，即 ＝ ＝ . ∵OF＝ON＋6， ∴解得ON＝12，即r＝12. 由 ＝4π，解得n＝60°. C组 中考创新思维 (2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯 的侧面，求正方形纸片的边长. 解：(2)如图，连接EF，OB，它们相交于点P. ∵四边形ABCO为正方形， ∴OA＝OC，∠OBC＝45°. ∵∠OEF＝60°，OE＝OF， ∴△OEF为等边三角形. ∴EF＝OF＝18 cm. 在Rt△AOE和Rt△COF中， ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL). ∴AE＝CF. C组 中考创新思维 ∴BE＝BF. ∴OB垂直平分EF. ∴PF＝ EF＝9 cm. (2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式 剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长. 在直角三角形OPF中，由勾股定理，得OP＝＝9 (cm). ∵△PFB为等腰直角三角形，∴PB＝PF＝9 cm. ∴OB＝(9 ＋9)cm. ∴OC＝ OB＝ cm. 即正方形纸片的边长为 cm. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第六章　圆 第29讲　与圆有关的概念与性质 1. (2025·广州番禺区二模)如图，若☉O的半径为10 cm， 圆心O到AB的距离为6 cm，则AB＝(　C　) A. 8 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 20 cm 第1题图 C A组 基础过关 2. (2025·广州越秀区二模)如图，AB是☉O的直径，点 C，D都是☉O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的 度数是(　C　) A. 65° B. 55° C. 60° D. 70° 第2题图 C A组 基础过关 3. (2025·广州番禺区一模)如图，△ABC内接于☉O， ∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝(　A　) A. 44° B. 45° C. 54° D. 67° 第3题图 A A组 基础过关 4. (2025·广州从化区一模)如图，点A，B，C在☉O上， ∠BAC＝130°，那么∠1的度数为(　C　) A. 130° B. 120° C. 100° D. 50° 第4题图 C A组 基础过关 5. (2025·广州二模)如图，在☉O中， ＝ ， CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：OD＝OE. 证明：∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 在△CDO和△CEO中， ∴△CDO≌△CEO(AAS). ∴OD＝OE. A组 基础过关 6. (2025·广州花都区一模)如图，在△ABC中，AB＝ AC，以AB为直径作☉O，交BC于点D，交CA的延长 线于点E，连接AD，DE. (1)求证：BD＝CD； 解：(1)证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. A组 基础过关 (2)若AB＝10，AD＝6，求DE的长. 解：(2)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝ ＝ ＝8. ∴BD＝CD＝8. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠B＝∠E，∴∠C＝∠E. ∴DE＝DC＝8. 6. (2025·广州花都区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径作☉O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE. A组 基础过关 7. (2025·广州二模)数学活动课上，同学们要测一个如图 所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工 件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分 线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝80 cm， CD＝20，则圆形工件的半径为(　B　) A. 40 cm B. 50 cm C. 70 cm D. 100 cm 第7题图 B B组 能力提升 8. (2025·广州白云区一模)如图，点A，B，C在半径为2 的☉O上，AC与OB交于点D，点D是AC的中点， OC∥AB，则AC＝ ⁠. 第8题图 2 B组 能力提升 9. (2025·深圳模拟)如图，AB为☉O的弦，D，C为 的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE. (1)求证：∠A＝∠E； 解：(1)证明：∵AC∥BE， ∴∠E＝∠ACD. ∵D，C为 的三等分点， ∴ ＝ ＝ . ∴∠ACD＝∠A. ∴∠A＝∠E. B组 能力提升 (2)若BC＝3，BE＝5，求CE的长. 解：(2)由(1)，知 ＝ ＝ ， ∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E. ∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED. ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得DE＝ . ∴CE＝DE－CD＝ －3＝ . 9. (2025·深圳模拟)如图，AB为☉O的弦，D，C为 的三等 分点，延长DC至点E，AC∥BE. B组 能力提升 10. (2025·广州海珠区二模)如图，在圆内接四边形ABCD中，延 长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE 上，且∠1＝∠2，连接DG. (1)若∠1＝35°，B为 的中点，求∠ADC的度数； 解：(1)如图，连接BD. ∵∠1＝∠2，∠1＝35°，∴∠2＝35°. 由圆周角定理，得∠CDB＝∠2＝35°. ∵点B为弧AC的中点， ∴∠ADB＝∠2＝35°. ∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝70°. C组 中考创新思维 (2)连接BD，当∠BDG＝∠BEG时. ①求证：四边形BEGD是平行四边形； 解：(2)①证明：如图，连接BD. ∵∠CDB＝∠2，∠1＝∠2， ∴∠CDB＝∠1. ∴BD∥GE. ∵∠BDG＝∠BEG， ∴∠CDB＋∠GDE＝∠BED＋∠1. ∴∠GDE＝∠BED. ∴DG∥BE. 又∵BD∥GE， ∴四边形BEGD是平行四边形. C组 中考创新思维 ②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG. 解：(2)②证明：如图，过点B作BP∥DE交圆于点P， 连接PD，BD. ∴∠CDB＝∠PBD. ∴ ＝ . ∴BC＝PD. 由圆周角定理，得∠P＝∠DAB. ∵∠3＝∠DAB，∴∠P＝∠3. (2)连接BD，当∠BDG＝∠BEG时. ∵∠1＝∠2，∠CDB＝∠2，∠CDB＝∠PBD， C组 中考创新思维 ∴∠PBD＝∠1. ∵四边形BEGD是平行四边形， ∴BD＝EG. 在△PBD和△FEG中， ②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG. (2)连接BD，当∠BDG＝∠BEG时. ∴△PBD≌△FEG(AAS). ∴PD＝FG. ∴BC＝FG. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第六章　圆 第30讲　与圆有关的位置关系 1. 已知☉O的半径是4，OP＝3，则点P与☉O的位置关 系是(　A　) A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 A A组 基础过关 2. 在平面直角坐标系中，☉O的圆心在原点，半径为5， 则点P(0，4)与☉O的位置关系是(　A　) A. 点P在☉O内 B. 点P在☉O上 C. 点P在☉O外 D. 无法确定 A A组 基础过关 3. (2025·广州天河区二模)如图，PA，PB分别与圆O相 切于A，B两点，点C为圆O上一点，连接AC，BC，若 ∠ACB＝50°，则∠P的度数为 ⁠. 第3题图 80° A组 基础过关 4. 已知☉O的半径为5，直线l上有一点P满足PO＝5， 则直线l与☉O的位置关系是(　D　) A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 5. 若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则此三角形 的外接圆半径为 ⁠. D 4或5 A组 基础过关 6. (2025·广州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆 D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线 AC的关系是(　B　) A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 第6题图 B A组 基础过关 7. 如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切 于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求 AF，BD，CE的长. 解：根据切线长定理，设AE＝AF＝x， BF＝BD＝y，CE＝CD＝z. 根据题意，得 解得 ∴AF＝4，BD＝5，CE＝9. A组 基础过关 8. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是 ☉O的直径，∠P＝60°. (1)求∠BAC度数； 解：(1)∵PA，PB是☉O的切线，∴AP＝BP. ∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°. ∵PA是☉O的切线， ∴∠PAC＝90°. ∴∠BAC＝90°－60°＝30°. A组 基础过关 8. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的 直径，∠P＝60°. (2)当OA＝2时，求AB的长. 解：(2)如图，连接OP. 在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°， ∴OP＝4. ∴AP＝2 . ∵AP＝BP，∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形. ∴AB＝AP＝2 . A组 基础过关 9. 已知在平面直角坐标系中，以点P(－3，4)为圆心，r 为半径画圆，如果☉P与坐标轴恰好有三个交点，那么r 的取值是 ⁠. 4或5 B组 能力提升 10. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C， D，E，F，O均在格点上.下列三角形中，外心不是点 O的是(　C　) A. △ABC B. △ABD C. △ABE D. △ABF C B组 能力提升 11. 如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于点E， F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求： (1)BC的长； 解：(1)根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG， ∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠OBF＋∠OCF＝90°. ∴∠BOC＝90°. ∴BC＝ ＝10 cm. B组 能力提升 11. 如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G， 且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求： (2)☉O的半径. 解：(2)如图，连接OF. 由(1)，得BC＝10 cm. ∵OF⊥BC， ∴S△OBC＝ OB·OC＝ BC·OF. ∴OF＝ ＝4.8 cm. ∴☉O的半径为4.8 cm. B组 能力提升 12. 如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的 内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. (1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； 解：(1)∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°－25°＝65°. ∵四边形ABEC是☉O的内接四边形， ∴∠CEB＋∠CAB＝180°. ∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°. C组 中考创新思维 12. 如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的 内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明； 解：(2)DI＝AD＝BD. 证明：如图，连接AI. ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝ ∠ACB＝45°. ∴ ＝ . C组 中考创新思维 12. 如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的 内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明； ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD. ∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA. ∴DI＝AD＝BD. C组 中考创新思维 12. 如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的 内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. (3)若CI＝2 ，DI＝ ，求△ABC的周长. 解：(3)如图，过点I分别作IQ⊥AB于点Q，IF⊥AC于点F， IP⊥BC于点P. ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴点Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点. ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP. ∵CI＝2 ，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°， C组 中考创新思维 12. 如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的内 心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD， BD，BE，CE. (3)若CI＝2 ，DI＝ ，求△ABC的周长. ∴CF＝CI· cos 45°＝2＝CP. ∵DI＝AD＝BD，DI＝ ，∠ADB＝90°， ∴AB＝ ＝ × ＝13. ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC ＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP ＝AB＋AQ＋BQ＋2CF ＝2AB＋2CF ＝2×13＋2×2＝30. C组 中考创新思维 $ 第一轮　基础复习 第六章　圆 第31讲　与切线有关的计算或证明 1. (2025·广州越秀区三模)如图，BC是☉O的切线，点B 是切点，延长CO交☉O于点A，连接AB，OD＝2， ∠C＝30°，则AB的长为(　C　) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 第1题图 C A组 基础过关 2. (2025·惠州模拟)如图，AB为☉O的切线，点A为切 点，OB交☉O于点C，点D在☉O上，连接AD，CD， OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为(　B　) A. 35° B. 40° C. 50° D. 55° 第2题图 B A组 基础过关 3. (2025·广州越秀区三模)如图，在菱形ABCD中，AD 与☉O相切于点A，CD与☉O相切于点C，点B在☉O 上，则 sin B＝ ⁠. 第3题图 ​ A组 基础过关 4. (2025·眉山)如图，AB为☉O的直径，点C为圆上一 点，过点C作☉O的切线，交AB延长线于点D，过点B 作BE∥DC，交☉O于点E，连接AE，AC. (1)求证： ＝ ； 解：(1)证明：如图，连接OC. ∵CD是☉O的切线， ∴OC⊥CD. ∵BE∥DC， ∴OC⊥BE. ∴ ＝ . A组 基础过关 (2)若∠BAE＝60°，☉O的半径为2，求AC的长. 解：(2)如图，过点O作OH⊥AC于H，则AH＝HC. ∵AB为☉O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°. ∵BE∥DC，∴∠D＝∠ABE＝30°. ∴∠AOC＝∠OCD＋∠D＝120°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝ ×(180°－120°)＝30°. 4. (2025·眉山)如图，AB为☉O的直径，点C为圆上一点，过点C作☉O 的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交☉O于点E，连接 AE，AC. ∴AH＝OA· cos ∠OAC＝2× ＝ . ∴AC＝2AH＝2 . A组 基础过关 5. (2025·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点 D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD， 交CD于点E. (1)求证：CD是☉O的切线； 解：(1)证明：如图，连接OC， ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB. ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥CD. ∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线. A组 基础过关 (2)若点B是AD的中点，且BE＝3，求☉O的半径. 解：(2)∵点B是AD的中点， ∴BD＝AB＝2OC. ∵OB＝OC，∴OD＝OB＋BD＝3OC. ∴ ＝ . ∵BE⊥AD， ∴∠DBE＝90°. 又∵∠OCD＝90°，∴ sin D＝ ＝ ＝ . 5. (2025·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点 D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD， 交CD于点E. A组 基础过关 (2)若点B是AD的中点，且BE＝3，求☉O的半径. ∴DE＝3BE＝9. 在Rt△DBE中， BD＝ ＝ ＝6 ， ∴OC＝3 ， 即☉O的半径为3 . 5. (2025·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点 D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD， 交CD于点E. A组 基础过关 6. (2025·湖北)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC ＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D， 交☉O于点F. 过点F作☉O的切线，交CA的延长线于 点G. (1)求证：FD＝FG； 解：(1)证明：∵DF⊥AB，GF是☉O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF. ∴∠BAC＝∠G＝45°. ∴∠FDG＝90°－45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形. ∴FD＝FG. B组 能力提升 (2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径. 解：(2)∵DF过点O，且DF⊥AB， ∴AE＝BE＝ AB＝6. ∵∠BAC＝45°，∴∠ADE＝90°－45°＝45°， 即△ADE是等腰直角三角形. ∴EA＝ED＝6. 由(1)，得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF－DE＝10－6＝4. 6. (2025·湖北)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过 点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F. 过点F作 ☉O的切线，交CA的延长线于点G. B组 能力提升 (2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径. 如图，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA. ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2. ∴(x＋4)2＝62＋x2，解得x＝ . ∴OA＝x＋4＝ ＋4＝ . ∴☉O的半径为 . 6. (2025·湖北)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过 点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F. 过点F作 ☉O的切线，交CA的延长线于点G. B组 能力提升 7. (2025·广州越秀区模拟)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O 的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，过点A作 AD⊥CF，交直线CF于点D，交☉O于点E. (1)求证：AC平分∠BAD； 解：(1)证明：如图，连接OC. ∵FC与☉O相切于点C， ∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°. ∵AD⊥CF，∴∠ADF＝90°. ∴∠FCO＝∠ADF. B组 能力提升 7. (2025·广州越秀区模拟)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O 的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，过点A作 AD⊥CF，交直线CF于点D，交☉O于点E. (1)求证：AC平分∠BAD； ∴OC∥AD. ∴∠OCA＝∠CAD. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OAC＝∠CAD. ∴AC平分∠BAD. B组 能力提升 (2)若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长. 解：(2)∵CD＝2，AD＝4，∴AC＝2 . ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°. ∵∠BAC＝∠CAD， ∴△ABC∽△ACD. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝5. 7. (2025·广州越秀区模拟)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O 的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，过点A作 AD⊥CF，交直线CF于点D，交☉O于点E. B组 能力提升 ∴OA＝OC＝2.5. ∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F， ∴△FCO∽△FDA. ∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得AF＝ . (2)若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长. 7. (2025·广州越秀区模拟)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O 的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，过点A作 AD⊥CF，交直线CF于点D，交☉O于点E. B组 能力提升 8. (2025·通辽二模)如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点， CD是☉O的切线，D为切点，点F在线段CD上，连接OF交AD于 点E，∠ADC＝∠AOF. (1)求证：OF⊥AD； 解：(1)证明：如图，连接OD. ∵CD是☉O的切线，D是切点， ∴∠ODC＝90°，即∠ODA＋∠ADC＝90°. ∵∠ADC＝∠AOF，∴∠ODA＋∠AOF＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠OAD＋∠AOF＝90°. ∴∠AEO＝90°，即OF⊥AD. C组 中考创新思维 (2)若 sin C＝ ，BD＝14，求EF的长. 8. (2025·通辽二模)如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点， CD是☉O的切线，D为切点，点F在线段CD上，连接OF交AD于 点E，∠ADC＝∠AOF. 解：(2)∵ sin C＝ ，∠ODC＝90°，∴ ＝ . 设OD＝2x，则OC＝5x， ∴AC＝OC－OA＝3x，CD＝ ＝ x. ∵OF⊥AD，BD⊥AD，∴OF∥BD. ∴∠AOF＝∠ABD. C组 中考创新思维 ∵∠ADC＝∠AOF，∴∠ADC＝∠ABD. ∵∠C＝∠C，∴△ACD∽△DCB. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AD＝2 . (2)若 sin C＝ ，BD＝14，求EF的长. 8. (2025·通辽二模)如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点， CD是☉O的切线，D为切点，点F在线段CD上，连接OF交AD于 点E，∠ADC＝∠AOF. ∵OF⊥AD，∴DE＝ AD＝ . ∵∠ADC＝∠ABD，∠DEF＝∠ADB＝90°， C组 中考创新思维 ∴△DEF∽△BDA. ∴ ＝ ，即 ＝ ， (2)若 sin C＝ ，BD＝14，求EF的长. 8. (2025·通辽二模)如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点， CD是☉O的切线，D为切点，点F在线段CD上，连接OF交AD于 点E，∠ADC＝∠AOF. 解得EF＝3. ∴EF的长为3. C组 中考创新思维 $