精品解析：河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷

6学科网命组卷网 河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨 逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有 一个景点相同的概率是() 1 1 A.4 B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】求出甲，乙总的选法的数量，求出甲和乙恰有一个景点相同的选法的数量即可求解 【详解】甲，乙总的选法有CC=36 (种)， 则甲和乙恰有一个景点相同的选法 CCCg=24种)， cicic22 则所求概率为CC? 3. 故选：D 2经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的顿斜角是() 450 B1350 c900 D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的两点式公式和定义求解. 第1页/共25页 6学科网命组卷网 3 【详解】经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率为 B=- =-1 -5+2 设该直线的倾斜角为ax,则tana=-l, 又0°≤a<180°，所以a=135°. 故选：B 3.已知随机变量X~N(80,o）,且P(X≥120)=0.21，则P(40<X<80)=() 4.0.21 B0.29 c0.71 D.0.79 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可 【详解1由X~N(80,o）, 得W=80 P(40<X<80)=P(80<X<120)=0.5-P(X≥120)=0.5-0.21=0.29 故 故选：B C,AB,CC 4.在长方体 BCD-4BCD中，A4=AB=44D=l,A,卫，G分别是 的中点，则异 面直线4E与GF 所成角的余弦值是() v15 V21 5 √2i A.-15 B.21 c.15 D.21 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线的向量公式求解即可 第2页/共25页 6学科网6组卷网 【详解】 由长方体的性 DA,DC,DD两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系 则40,04，E0,20,G04,2,F0,2,0) 故4E=（-1,2,4),GF=0,-2,-2) cos<AE,GF> AE.GF 21 4E川GF21,由于异面直线所成角的范围是(0，] √21 故异面直线AE与GF所成角的余弦值是21 故选：D 4 5.如图，三个自动开关T,工乃，工正常工作的概率都是5，且是互相独立的若将它们接入电路中，则电 路不发生故障的概率是() T 29 64 96 A.5 B.125 C.125 D.125 【答案】D 【解析】 【分析】记三个元件工，乃，工正带作“分别为事件4,4,4，若电路不发生故障，必须是乙正带 T 第3页/共25页 命学科网命组卷网 工作且2， 刀军少有一个正希工作，由对空车什的多率质的乃，了至少有一个正告上作的瓶车，计 算可得其概率值，再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】记“三个元件☑，T,T正常工作”分别为事件A,A,A,则 P氏4)-手.P(4)-号 P4)号 P4u4=-PaPa-1g会 不发生故障的事件为(4U4)nA ∴不发生故障的概率为 4u4n4]-a)raP4)-沿g 故选：D 6.在平行六面体 BCD-4BGD中，M为AC与BD的交点，若48=a.AD=6,AA=C,则 下列向量中与BM 相等的向量是() B 1+1 11 -a+-b+c -Q- b+c A.22 B.22 1.1 a+b+c D.2 2 【答案】A 第4页/共25页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果 【详解】 BM=Ai+M=44+8D=4+(aD-=4+(40-A)=a+5+d 故选：A 7.如图，P是抛物线y=8x上一点，F是抛物线的焦点，∠OFP=60°，则PF=() 8 A.8 B.4 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，然后求出直线P℉的方程，联立该直线与抛物线方程，求出点 P的坐标，进而求出 PF 【详解】由抛物线的方程可知P=4,焦点F(2,0)）, 因为∠0FP=60°，所以直线PF的斜幸k=tan120°=-V5 因此直线PF的方程为y=-V5(x-2) 与抛物线方程联立，消去y得，3x2-20x+12=0, 解得=3，=6，由图可知点P的横坐标为=3PF=2+P、8 2 2 323 第5页/共25页 命学科网命组卷网 故选：C 8.离散型随机变量X的分布列如下： 2 4 0.3 0.2 若E(X)=2.7 则下列结论错误的是() A.m+n=0.5 B E(3X-1)=7.1 c.D(X)=0.81 D.P(X>2)=0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得m+n=0.5 m=0.1,n=0.4 再由期望的求法列方程求得 ,最后结合期望 的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误 【详解】由题设m+n+0.5=1,则m+n=0.5,A对： 由B(X)=m+0.6+3n+0.8=2.7,则m+3n=1.3,联立m+n=0.5, 所以m=0.L,n=04,则P（X>2)=PX=3引+PX=4)=0.4+0.2=0.6,D错 E3X-)=3E(X)-1=8.1-1=7.1,B对： D(x)=1-2.7}x0.1+2-2.72×0.3+6-2.7Y×0.4+4-2.7×0.2=0.81,c对 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选 对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分) 9.设数f)=(2x-l少，且记(=a,+a,++a,x+4,则（) 第6页/共25页 6学科网 命组卷网 A数列a的首项为1 B.数列a,}的前8项和为1 c数列-l”a,}的前8项和为-2187 an D.数列2了的前8项和为0 【答案】BD 【解析】 【分析】运用二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可 【详解】由题意知，4是常数项，4是的系数，，a是t的系数，即当n=l,2,,8时，数列{a,} 的第n项4是f()展开式中x的系数 令x=0,则4=f(0)=(2x0-7=- ,故A错误 数列a,}的前8项和等于4+4，++4，即f(展开式中所有项的系数之和， 令x=1,则4+4++4=f(0=(2x1-)=1,故B正确： 数列《-)少a}的前8项和等于-4+a-a++a， 令x=-1,则f-)=(-2-=-2187,而f-)=-4+4--4+4 则数列-)”a,}的前8项和为2187，枚c错误： 4+4+4++ 数列21了的前8项和等于2+2T22 27, 1 27 第7页/共25页 6学科网命组卷网 因为)2x分-0.政m 故选：BD 10(多选)已知动点P在双陆线C:- 3=1上运动，则下列结论正确的是() A.双曲线C的离心率为2 B.双曲线C的渐近线方程为少了 3 r C.焦点到渐近线的距离为1 D.动点P到两渐近线的距离之积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线C:r-) 3=1,对应a=1,b=5,c=2, =2 所以双曲线的离心率为a,A选项正确 渐近线方程为y=±V3x B选项错误 左右焦点坐标为(-2,0.(2,0），到新近线V5x-y=0的距离为： 23-0 d= =25 -y+(3 2 ,所以C选项错误。 设Ps小.2-写=32-=3 第8页/共25页 命学科网命组卷网 p到渐近线的距离之积为 5s-V5s+13s2-_3 2 2 4 为定值，D选项正确。 故选：AD 11如图所示，在棱长为2的正方体4BCD-4BGD中，M,N分别为棱CD.CC的中点，则下列 结论正确的是( D A 1 A.直线AM与平面AADD所成角的正弦值为3 B.点D到平面AMN的距离为2 C.直线4M与BN 异面直线 9 D.平面BMN截正方体所得的截面面积为2 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用线面角解答A,用点到平面距离解答B,用平行解答C,画出平面BMN的 完整图形解答出D. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为：轴 第9页/共25页 6学科网命组卷网 D A2,0,0).B(2,2,0).D(0,0,0)4(2,0,2).M0,1,2).N(0,2,1) 选项A:平面A4DD,的法向量为n=(0,10),直线AM的方向向量为AM=（-2,12) AM.n 1 sin= 所以所成角的正弦值为 AM V(-2)2+12+223,选项A正确， 选项B:AM=（-21,2),AN=(-2,2,),设面AMW的法向量为？=(，，2)， n.AM=0 「-2x+y+2z=0 n.AN=0’ -2x+2y+2=0◆x=-38=(-3,-2-2) d- -6 6 距离 √9+4+4√17，所以选项B错误 选项C:M=(0,L-),AB=(02,-2)=2M所以MW1/AB,所以4，M,N,B四点共面， 直线4M与BN不是异面直线，选项C错误 选项D:因为4B1MN,连4M,AB 所以平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形 BNM ,上底 MN=V2,下底AB=2N2,腰BN=AM=V5, 所以面积S=(2+22)x3y5-9 2一2，故选项D正确 第10页供25页 6学科网列组卷网 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12老C=C,则的值为 【答案】4或5 【解析】 【分析】由组合数的性质，代入计算，即可得到结果， 【详解1白C"=C哈可行x+1=2x-3设x1+2x-3=13 解得x=4或x=5, [0≤x+1≤13 又10≤2x-3≤13，解得2 ≤x8,且x∈N 所以x的值为4或5 故答案为：4或5 8.已知E,5是双曲线C:怎-京=(a>0,b>0的左、右焦点，么B为双曲线C上的两点，君 B=3A,且以F5为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为一 10 【答案】2 【解析】 【分析】如图，设(-c,0),F(c,0）,A(x,),B(,乃)，得出FB=(3-c) x2=3x+4c EA=(x+c,y),结合F,B=3EA,得出y2=3y 因为人B在双曲线上，得出与=-心+2c 3c 第11页/共25页 命学科网命组卷网 又因为过原点0以F5为直径的圆过点A,得出+厂=〔，结合双曲线的性质有2=心+，联立 双线方得-：-）商司2-c-).黄精中e=e1.能 关于的方程为 2e-7e2+5=0 ,解方程求出. 【详解】 如上图所示，设(-c,0),B(c,0）,A(),B(5,) B=(x2-c,y2).FA=(x+cy) 因为FB=3FA -c=3(x+c)=3x+4c 所以y2=3y 2=3y 足公-1 a b2 因为、 在双曲线上，则 →3+4g-9g.-8→5-a+2c a" 3c 62 又因为过原白0以码为直径的胆+少=C过点4，片以千+广=心 a 根据双曲线的性质有 ,联立得 +片-c2→-g(e+6)-(e2-） a2+b2=c2 c2=a2+b2 第12页/供25页 6学科网可组卷网 a2+2c2 所以 Γ-3c -g(c2-. e=-,e>1 设离心率 ,则2e-7e+5=0,解得e=2,e2=1(e>1,舍去). o 故答案为：2· 14某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(80,o),且P(X<80)=0.6,现从该生产线上 随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则E(Y)= 【答案】1 【解析】 【分析】由正态分布性质可求P(800≤X<801) 结合二项分布定义确定YB(10,0.1)的二项分布，根 据二项分布的均值公式求结论 【详解)因为X~N(80,o）,所以E(X)=800, 所以P(X<800)=0.5,又P(X<801)=0.6 所以P(800≤X<801)=0.1 由已知7-B(10,0.1) 所以E(Y)）=1 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 第13页/共25页 6学科网命组卷网 15已知圆C过两点A-,1,B(,3),且圆心C在直线-2y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)求过点P(3,4)的圆C的切线方程： (3)若直线'的横截距为a(a>),纵截距为b(6>),直线l'被圆C截得的弦长为25，求b的最小 值. 【答案】(1)(x-1+(y-)2=4 (2)x=3或5x-12y+33=0 或 (3)6+4V2 【解析】 【分析】(4)设圆心为C(21-1),根据C4=CB结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心 的坐标，进而可求出圆C的半径，由此可得出圆C的标准方程： (2)分析可知，点P在圆C外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证 即可：在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综 合可得出切线的方程： (3)利用直线截圆的弦长可得出圆心C到直线的距离为d=1,求出直线的方程，利用点到直线的距离 公式可得出ab+2=2(a+b) 利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得b的最小值. 【小问1详解】 因为圆心C在直线x-2y+1=0上，设圆心为C(21-1,) 因为点A(-,B(,3)在圆C上， 第14页/供25页 6学科网列组卷网 所以CA=CB,即V4+-=V21-2+-3,解得1=1， 所以圆心C(,1,半径=CA=2 所以圆C的标准方程为：(x-+(-=4, 【小问2详解】 由(1)可得圆C:(x-°+(y-=4. 则圆心C(,1),半径r=2. 因为(3-+(4->4，则点P在圆C外， 当过点P3,4)的直线斜率不存在，则直线方程为x=3, 圆心C到直线x=3的距离为2，故直线x=3为圆C的切线； 当过点P(3,4)的直线斜率存在， 可设直线方程y-4=k(x-3),即-y-3张+4=0 圆心c到该直线的距离， 3-2k 由直线-y-3k+4=0与圆C相切，则d=r'即V1+k2 h=S 可得4k2-12k+9=4k2+4,解得12， 此时，直线方程为y-4=2（x-3).即5x-12y+33=0. 综上.切线的方程为x=3或5r-l12y+33=0 【小问3详解】 第15页/供25页 学科网命组卷网 ”直线/被圆C截得的弦长为25 ∴圆心C到直线1的距离为d=V4-(③)2=1， 又直线1的横截距为(a>,纵截距为b(b>), x+y=1 则直线I的方程为ab,即br+y-ab=0, d=atb-ab=1 圆心C(山，1)到直线I的距离为√口+ 整理可得b+2=2(a+b) 由a+b≥2Nab,得ab+2=2(a+b)≥4Vab 即(NabY-4ab+2≥0 解得Vab≤2-V2或Vab≥2+V2 因为a>1,b>1,则b>L,则6≥2+5，放b≥6+42】 (a=b 当且仅当 Vab=2+2时，即当 =b=2+V2时，等号成立， 所以，b的最小值为6+42 16.如图，在直三棱柱 1BC-AB,G中，平面4BC上侧面4BB4,且4=AB=2. B 第16页/供25页 6学科网 命组卷网 。 (I)求证：AB⊥BC: ()若直线4C与平面4BC所成角的大小为30，求领二面角A-4C-B 的大小. 【答案】(I)如图，取4B 的中点D,连接AD B D B 因为14=AB AD⊥AB 所以 由平面4BC士侧面AMBB,且平面ABCP侧面4MBB=AB 得ADL平面ABC 又BCC平面ABC,所以AD⊥BC 因为三棱柱 BC-4BG是直三棱柱，则4上底面ABC,所以4上BC 又Mn1D=A,从而BC上侧面 ABB A 又ABC侧面4MBB,故4B⊥BC. (1)60 【解析】 【分析】〈I)先取4B的中点D,连接AD,根据线面垂直的判完定理，正明BC上侧面4B,A,进 而可得出AB⊥BC: ()根据(I)的结果，得到AB LBC且B8+底面ABC,以点8为原点，以B BC、BA、BB所在直线 第17页/供25页 6学科网6组卷网 分别为，’，2轴建立空间直角坐标系B-2,设8C=0,表示出AC,再求出平面4BC 的一个法 向品，根据直线4C与平面4BC所成角的大小为30，求口，再求出平面44C的一个法向.山的 量夹角公式，即可求出结果， 【详解】(I)略 (I自(1)知AB⊥BC且B服上底面ABC,所以点B为原点，以BCBA、B所在直线分别为， ’，乙轴建立空间直角坐标系 -xyz i设Bc=a,则A(02,0),B(0,0,0）,C(a,0,0),40,2,2).BC=(a,00,BA=0,2,2) AC=(a,-2,0).A4=(0,0,2) xa=0 设平面ABC的一个法向量%=(x,y,z),由BC⊥n,BA⊥n,得2y+2z=0. 令y=1,得x=0,2=-1,则%=(0,1，-) 设直线4C与平面4BC所成的角为9，则0=30， AC.m 所以sin30° 1 ACmva+422 解得a=2,即4C=(2,-2,0) 又设平面44C的一个法向量为乃，同理可得%=(，1,0) n1n21 设锐二面角仁4C-B的大小为”则co三c0s,? nn 2, 02).ta-o. 第18页/供25页 6学科网命组卷网 锐二面角 A-AC-B 的大小为60 B o B 【点睛】本题主要考查证明线线垂直、以及己知线面角求其它量和求二面角的问题，熟记线面垂直的判定 定理与性质定理，灵活运用向量的方法求空间角即可，属于常考题型： 17.人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概 率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、 乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红 1 球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为2 (先验概率)，再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结 束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立， (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整， ()求选到的袋子为甲袋的概率； (i)求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率. 11 【答案】(1)20 22 (2)(i)9;(ii)45 【解析】 【分析】4)设试验一次，“取到甲袋”为事件4，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球为车件 第19页/共25页 6学科网6组卷网 “试验结果为白球"为事件B,结合P(B)=P(4)P(B4)+P(4)P(BA),即可求解： (2②)①因为，B,是对立事件，得到P(B,)=1-P(B）,结合条件概率的计算公式，即可求解， 11 由)得到P()=1一P(4B)=。第：次独立试验结束的概率为20.结合条件的 率的计算公式，即可求解。 【小问1详解】 解：设试验一次，“取到甲袋”为事件A,“取到乙袋”为事件4， “试验结果为红球为事件B,“试验结果为白球"为事件B, 4a)-4Pa0P6)P叫4-品+号-”. 11 所以试验一次结果为红球的概率为20 【小问2详解】 解：()因为B,B2是对立事件， Pa)-IP-8. 11 所以P(AB)= (4B,)_P(B,4)P(4)_1o×2=1 P(B2) P(B2) 99’ 20 1 所以选到的袋子为甲袋的概率为9. (ii)由(i)得 P)=1P(4a)-1g-8. 0 11 设为第i次独立试验结束的概率，则 第20页/供25页 6学科网6组卷网 所以设题设概率为P, PP4a)期-8”器 18如图，在矩形ABcD中，1MBF2a,BCF2b(a>b>0,E,E,G,H 别是矩形四条边的中点，点 M,V,(=l2,3…,n-分别是OR,C的≥2等分点，直线EM,和直线GN,的交点为K, GN G M1M3 OM,/Mi B (1)若a=2,b=1,n=2,求点K的坐标并证明点K1在椭圆4 2+y=1上： ②)证明：点K0=23,n=在同一个椭圆所：产+=1a>6>0上 （3)若a=2,h=1已知(-2,0)过D(-2,) W .已知 ,过点 作斜率为的直线交(2)中椭圆”于S,T两点，直 1 线S,HT分别交直线'=2x+3 于P,Q两点，若|P2非4W10,求k的值 【答案】(1) 当a=2b=1n=2时， 0-.G(o,).M,Lo.N(2 直线EM,:y+1=x①，直线Gy-1=-4x②， 83 联立①②，得K的坐标为 55 第21页/供25页 6学科网列组卷网 8)2 把k的坐标代入稀圆方程+y=1”有 4 4 x2 .K,在椭圆4 +y=1上 (2) ).).(0.3 b-b b航 n bi 0-a an n 则直线 EM:y+b= ai①， 则直 GN,:y-b=-bi an②， :K在直线 直线EM,GN上，六K是方程O.②的解， ①x2.得-分=答e,化管的后+芳-a>60心 点K1,23,n-在同个椭圆W:点+发=1a>b>0 1 (3)-2或2 【解析】 +y=1检 【分析】(1)求出直线EM1和直线GN,的方程，从而求得交点K的坐标，代入椭圆方程4 验可得： 第22页/供25页 命学科网命组卷网 (2)表示出直 EM1和直线 的方程，交点K的坐标满足两个方程，化简可得点K的轨迹方程个 随圆方程，从而证得点K=1,2,3,,n-)在同二个椭圆”：。+62=1(a>b>, (3)由题求出椭圆W的方程，将整个问题涉及到的所有图形向右平移2个单位，求得P,Q两点平移后 的点P,Q的坐标，由P'Q=P2=4i0,求得k的值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当a=2,b=1时，椭圆W:4 +y2=1 将椭圆W向右平移两个单位长度，则椭圆W:《-2 +y2=1, 4 即是+4y2-4=0, H→O,D→D',S→S,T→T,P→P,2→Q' 平移后， 设P'(:,⅓)，(，y,)显然k<0,且直线ST'不过原点， 设直线ST':m+y=l,:S"T'过D八(0,1，n=l S'T':mx+y=1 则直线 所以+4y-4r=0,可变为+4y-4x(x+川=0，整理得42-4+0-4mr2=0, 图为x0,所以测a隆以，4+4m=0,4m0 第23页/供25页 6学科网6组卷网 S,T 因为点” 坐标满足此方程，则=，=长是方程4秋-+1-4m=0的两根， △=16-161-4m）=64m>0→m>0,则%+k=hk46=4m 直线P0:y=x-2)+3= 2x+4,直线0S:y=kx,直线0T':y=k2x 8 8 分别联立解得与2站十1,2+1 =8V5 k -k =85NG+》-4k6 =45 m 4kk2+2(k+k)+1 4kk2+3 1-m 410 所以2m2-5m+2=0,解 m=2或m=1 ”kn=ky=k=-m,∴k=-2或- 2 D S O 19.某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，己知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互 独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为 0.95,0.8 0.9;乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为 (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可 以出厂销售的概率。 (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件， 销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一 第24页/供25页 学科网命组卷网 个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 【答案】(1)0.79 (2)应扩建甲车间 【解析】 【分析】(1)根据相互独立事件、条件概率、全概率公式计算可得： (2)分别求出甲、乙车间占个零件获利的数学期望，比较即可得解. 【小问1详解】 用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则P(4=0.6,P(B)=0.4 P(CA)=0.9×0.9=0.81,P(CB)=0.95×0.8=0.76 P(C)=P(A)P(C+P(B)P(CB)=0.6×0.81+0.4×0.76=0.79 【小问2详解】 甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为0.81×100-(1-0.81)×30=75.3（元）， 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望 0.76×100-(1-0.76)×20=71.2(元)， 因为75.3>71.2，所以应扩建甲车间. 第25页/共25页 河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有一个景点相同的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 8. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 10. （多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 焦点到渐近线的距离为1 D. 动点到两渐近线的距离之积为定值 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为______． 13. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 14. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 17. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 18. 如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为. （1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上； （2）证明：点在同一个椭圆上； （3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值. 19. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $