精品解析：河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷

河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有一个景点相同的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 8. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 10. （多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 焦点到渐近线的距离为1 D. 动点到两渐近线的距离之积为定值 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为______． 13. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 14. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 17. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 18. 如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为. （1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上； （2）证明：点在同一个椭圆上； （3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值. 19. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有一个景点相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出甲，乙总的选法的数量，求出甲和乙恰有一个景点相同的选法的数量即可求解. 【详解】甲，乙总的选法有（种）， 则甲和乙恰有一个景点相同的选法为（种）， 则所求概率为. 故选：D． 2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 4. 在长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线的向量公式求解即可 【详解】 由长方体的性质两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系 则 故 ，由于异面直线所成角的范围是 故异面直线与所成角的余弦值是 故选：D 5. 如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率值，再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得． 【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，. 不发生故障的事件为， ∴不发生故障的概率为. 故选：D 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 7. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，然后求出直线的方程，联立该直线与抛物线方程，求出点的坐标，进而求出. 【详解】由抛物线的方程可知，焦点， 因为，所以直线的斜率， 因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，， 解得，，由图可知点的横坐标为，. 故选：C. 8. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 【答案】BD 【解析】 【分析】运用二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 10. （多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 焦点到渐近线的距离为1 D. 动点到两渐近线的距离之积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线，对应， 所以双曲线的离心率为，A选项正确. 渐近线方程为，B选项错误. 左右焦点坐标为，到渐近线的距离为： ，所以C选项错误. 设， 到渐近线的距离之积为为定值，D选项正确. 故选：AD 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用线面角解答A,用点到平面距离解答B,用平行解答C，画出平面的完整图形解答出D. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴. ，，，，， 选项A：平面的法向量为,直线的方向向量为, 所以所成角的正弦值为,选项A正确. 选项B：,,设面的法向量为, ，,令得, 距离，所以选项B错误. 选项C：,,所以，所以四点共面， 直线与不是异面直线，选项C错误. 选项D：因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰， 所以面积,故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由组合数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得或， 解得或， 又，解得，且， 所以的值为或. 故答案为：或 13. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设，，，，得出，，结合，得出.因为、在双曲线上，得出，又因为过原点以为直径的圆过点，得出，结合双曲线的性质有，联立双曲线方程得出，所以，设离心率，构造关于的方程为，解方程求出. 【详解】 如上图所示，设，，，， 则，. 因为， 所以. 因为、在双曲线上，则. 又因为过原点以为直径的圆过点，所以. 根据双曲线的性质有，联立得 所以， 设离心率，则，解得，（，舍去）. 所以. 故答案为：. 14. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由正态分布性质可求，结合二项分布定义确定的二项分布，根据二项分布的均值公式求结论. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以， 由已知， 所以. 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）可得圆：， 则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上，切线的方程为或； 【小问3详解】 直线被圆截得的弦长为， 圆心到直线l的距离为， 又直线l的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 整理可得， 由，得， 即， 解得或， 因为，则，则，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为． 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明侧面，进而可得出； (Ⅱ)根据（Ⅰ）的结果，得到且底面，以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系，设，表示出，再求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的大小为，求出，再求出平面的一个法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 由平面侧面，且平面侧面， 得平面. 又平面，所以， 因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以 又，从而侧面， 又侧面，故． (Ⅱ)由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，，，. 设平面的一个法向量，由，，得. 令，得，则. 设直线与平面所成的角为，则， 所以， 解得， 即. 又设平面的一个法向量为，同理可得. 设锐二面角的大小为，则， 由，得. ∴锐二面角的大小为. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直、以及已知线面角求其它量和求二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，灵活运用向量的方法求空间角即可，属于常考题型. 17. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，结合，即可求解； （2）（i）因为是对立事件，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解； （ii）由（i）得到，第次独立试验结束的概率为，结合条件的概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． 则， 所以试验一次结果为红球的概率为. 【小问2详解】 解：（i）因为是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 设为第次独立试验结束的概率，则 所以设题设概率为，则. 18. 如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为. （1）若，求点的坐标并证明点在椭圆上； （2）证明：点在同一个椭圆上； （3）若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1） 求出直线和直线的方程，从而求得交点的坐标，代入椭圆方程检验可得； （2）表示出直线和直线的方程，交点的坐标满足两个方程，化简可得点的轨迹方程一个椭圆方程，从而证得点在同一个椭圆上； （3）由题求出椭圆的方程，将整个问题涉及到的所有图形向右平移2个单位，求得P，Q两点平移后的点的坐标，由，求得的值. 【小问1详解】 当时， 直线①， 直线②， 联立①②，得的坐标为 把的坐标代入椭圆方程， 有 在椭圆上. 【小问2详解】 设，则. 则直线 ①， 则直线②， 在直线上，是方程①，②的解， ①②，得，化简得 点在同一个椭圆上 . 【小问3详解】 当时，椭圆：， 将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆 即是 平移后， 设显然，且直线不过原点， 设直线过， 则直线. 所以，可变为，整理得 因为，所以两边同除以，得，即 因为点坐标满足此方程，则是方程的两根， ，则 直线，直线，直线， 分别联立解得， . 则=. 所以，解得. 19. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 【答案】（1）0.79 （2）应扩建甲车间 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件、条件概率、全概率公式计算可得； （2）分别求出甲、乙车间占个零件获利的数学期望，比较即可得解. 【小问1详解】 用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则， ． ． 【小问2详解】 甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 因为，所以应扩建甲车间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $