高二数学上学期期末模拟卷（人教B版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B 3．已知抛物线的焦点为，若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为， F到准线距离为，所以圆的半径为， 所以该圆的方程为． 故选：D． 4．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 5．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【详解】因为女生必须站在一起，且3名女生的站位是固定的， 所以4名男生､3名女生的排列方法为种， 然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：共有种， 则总方法数为. 故选：B. 6．若，则（   ） A．180 B． C．360 D． 【答案】A 【详解】， 故通项公式为， 令得，故， 故. 故选：A 7．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】设椭圆 的左右焦点为，其中， 点在椭圆上，且.过作，满足， 设，则，故，得 ，即， 在 中， PQ 为斜边上的高，由射影定理得： ， ，根据椭圆定义，， 即： ， 因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 8．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】ACD 【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：ACD 10．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（   ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 【答案】ABD 【详解】如图： 由已知得焦点，准线方程为，A正确； 当直线的斜率不存在时，，其中， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 与抛物线方程联立，得， ，， 由抛物线定义知，， 若，则，B正确； ， 所以的最小值为16，C错误； 由 ， 所以为钝角，D正确. 故选：ABD 11．如图，圆锥的轴截面是一个等边三角形，且侧面积为，为底面的一条直径，点是母线上靠近的三等分点，点为上的动点，则（    ） A．无论点运动到上哪一点，都不能使平面 B．三棱锥的体积与圆锥的体积的最大比值为 C．若点为的中点时，直线，所成角的余弦值为 D．若点为的中点时，点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】因为圆锥轴截面是一个等边三角形，所以底面半径等于母线的一半，侧面积， 所以圆半径，母线，圆锥的高为3. A.若点运动到上某一点时，使，则过的平面，一定有， 但由题可知与并不平行，所以无论点运动到上哪一点，都不能使，故正确； B.圆锥的体积为，而当点运动到中点时，点离平面的距离最大，为， 此时，即最大比值应为，故错误； C.以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 故直线，所成角的余弦值为，故正确； D：在选项的坐标系中，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 记点到平面的距离为，则， 故，故错误， 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为 . 【答案】 【详解】由直线， 所以该直线恒过， 由圆的标准方程可知圆心坐标为，半径为， 因为， 所以点在圆内， 因此当时，有最小值， 则， 故答案为： 13．某学习小组用计算机软件对一组数据，进行回归分析，甲同学首先求出线性回归方程为，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到线性回归方程为，则实数 ． 【答案】 【详解】修正前样本点的中心为，代入，可知． 假设甲输入的为，为， 则，， 得，， 修正后，， 则样本点的中心为，将其代入线性回归方程， 得． 故答案为： 14．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为，则的数学期望为 ，在概率中，若的值最大，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】是“个人命中，个人未命中”的概率．其中的可能取值为． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为， 又， ， ， 由，和，解得. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， (1)求圆C的方程； (2)过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【详解】（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 2分 因为圆经过，两点， 所以，解得， 4分 所以圆的方程为； 6分 （2）由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 9分 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 10分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 13分 16．如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 2分 则、、、、. 于是，，, 3分 设平面的法向量为， 则，令，可得， 6分 又，显然，，故得平面. 8分 （2）设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 11分 而平面的法向量是， 13分 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 15分 17．（15分）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； 2分 （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 5分 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 8分 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； 10分 （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， 12分 ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 14分 综上可得，甲最终获胜的概率为. 15分 18．（17分）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）零假设为：考试合格与参加学校演练无关， 则， 2分 故依据的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； 3分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 参加学校演练的有人，没参加学校演练的有6人， 5分 从这8人中随机抽取3人，其中没参加学校演练的人数的可能值有1，2，3. 则． 7分 故的分布列为： 1 2 3 则； 10分 （3）依题意，因随机抽取的合格率为，故， 则， 12分 由， 14分 故由可解得，因，故当时，单调递增； 由可解得，即当时，单调递减． 故当事件“”的概率最大时，. 17分 19．已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离之比是常数. (1)求曲线的方程； (2)点，是曲线上的两点，且位于轴上方，点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）根据题意，动点满足：， 2分 平方并化简：， 展开整理得：， 故曲线的方程为. 3分 （2）存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 由题意知，直线的斜率存在，设，直线的方程为， 联立，得， 5分 由，得， 6分 则， ， 8分 故且，故， 当时，且，则，此时，满足题意； 当时，的中点为，又， 故，则． 11分 ， 则， 则， 即， 14分 结合，则， 则，故，故， 综上所述，存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D D B A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 2分 因为圆经过，两点， 所以，解得， 4分 所以圆的方程为； 6分 （2）由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 9分 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 10分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 13分 16．【详解】（1）因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 2分 则、、、、. 于是，，, 3分 设平面的法向量为， 则，令，可得， 6分 又，显然，，故得平面. 8分 （2）设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 11分 而平面的法向量是， 13分 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 15分 17．【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； 2分 （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 5分 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 8分 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； 10分 （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， 12分 ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 14分 综上可得，甲最终获胜的概率为. 15分 18．【详解】（1）零假设为：考试合格与参加学校演练无关， 则， 2分 故依据的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； 3分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 参加学校演练的有人，没参加学校演练的有6人， 5分 从这8人中随机抽取3人，其中没参加学校演练的人数的可能值有1，2，3. 则． 7分 故的分布列为： 1 2 3 则； 10分 （3）依题意，因随机抽取的合格率为，故， 则， 12分 由， 14分 故由可解得，因，故当时，单调递增； 由可解得，即当时，单调递减． 故当事件“”的概率最大时，. 17分 19．【详解】（1）根据题意，动点满足：， 2分 平方并化简：， 展开整理得：， 故曲线的方程为. 3分 （2）存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 由题意知，直线的斜率存在，设，直线的方程为， 联立，得， 5分 由，得， 6分 则， ， 8分 故且，故， 当时，且，则，此时，满足题意； 当时，的中点为，又， 故，则． 11分 ， 则， 则， 即， 14分 结合，则， 则，故，故， 综上所述，存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 2．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 3．已知抛物线的焦点为，若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 5．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 6．若，则（   ） A．180 B． C．360 D． 7．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 8．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 10．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（   ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．如图，圆锥的轴截面是一个等边三角形，且侧面积为，为底面的一条直径，点是母线上靠近的三等分点，点为上的动点，则（    ） A．无论点运动到上哪一点，都不能使平面 B．三棱锥的体积与圆锥的体积的最大比值为 C．若点为的中点时，直线，所成角的余弦值为 D．若点为的中点时，点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为 . 13．某学习小组用计算机软件对一组数据，进行回归分析，甲同学首先求出线性回归方程为，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到线性回归方程为，则实数 ． 14．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为，则的数学期望为 ，在概率中，若的值最大，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， (1)求圆C的方程； (2)过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16．如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值. 17．（15分）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 18．（17分）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（17分）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离之比是常数. (1)求曲线的方程； (2)点，是曲线上的两点，且位于轴上方，点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $