高一数学上学期期末模拟卷（人教B版2019必修第一册+第二册，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第一册+必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因， ， 则. 故选：B. 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， ，则， 而结合幂函数与指数函数性质可得是单调递增函数， 由零点存在性定理得函数的零点所在的一个区间是，故A正确. 故选：A 3．已知向量，若与同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】与同向共线, . 当时，，与同向共线，符合； 当时，，与反向共线，不符合. ． 故选：A． 4．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的第25百分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，故B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的第25百分位数在内，由，解得，故C错误； 对于D，评分的平均数，故D正确. 故选：C. 6．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 两边同时取对数可得，，， ， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为15次． 故选：B 8．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） ①的图象关于直线对称； ②是周期函数，且2是其一个周期； ③； ④关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12. A．①③ B．①④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数的大致图象与直线，由它们交点的性质判断④． 【详解】由可知的图象关于直线对称，①正确； 因为是奇函数，所以，所以，所以是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是的周期，故②错误； 由的周期性和对称性可得.又当时，，所以在时单调递增，所以，即，③错误； 又时，，则可画出在区间上对应的函数图象变化趋势，如图 易得（）即（）在区间上的根分别关于1，5对称，故零点之和为，④正确. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么与相互对立 B．若，则，是互斥事件 C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D．已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 【答案】BD 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：由，， 得，所以，是互斥事件，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 10．狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．对任意 【答案】BCD 【详解】对于A，是分数形式的有理数，根据定义，当时，，因此，故A错误； 对于B，的值始终为有理数，根据定义，当时，，故B正确； 对于C，对任意x，若，则，故； 若，则，故； 因此对所有x成立，是偶函数，故C正确； 对于D，对任意，若，，则， 故； 若，，则， 故， 因此对任意，成立，故D正确． 故选：BCD． 11．已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（   ） A．的单调递增区间为， B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．方程有5个根 【答案】ACD 【详解】作函数草图如下： 由图可知：的单调递增区间为，，故A正确； 有3个不等实根，则，故B错误； 因为，由；由. 所以，所以的取值范围是，故C正确； 由，且，所以； 由. 所以，由或. 因为方程有3个不同的实根，方程有2个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方程有5个不同实根，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 14．某校有个社团，每个社团均有人，第个社团中有个女生，余下的为男生.在这个社团中任选一个社团，再从该社团中依次选出3人，若第三次选出的人恰为男生的概率是，则 . 【答案】7 【详解】每个社团被选出的概率为，从第个社团中第三次选出的人为男生的概率与第一次选出的人为男生的概率是相同的， 则第个社团中第三次选出的人为男生的概率， 所以任选一个社团，其第三次选出的人恰为男生的概率 ， ， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）若，则．因为，所以． 3分 （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以， 5分 所以或或， 解得或1． 8分 （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以， 10分 所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 13分 16．（15分）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 3分 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为. 7分    （2），. 设，，， ，， 9分 ， 12分 又， ，解得. 所以. 15分    17．（15分）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； (2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； (3)甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的概率相同均为，且三段时间费用分别为0，3，6元， 故甲停车的费用不超过3元的概率为. 3分 （2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中a，， 甲、乙两人停车付费的所有可能情况为：，，，，，，，，，共9种，且概率相等， 5分 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9元”包含，，共2种情况， 故甲、乙两人停车付费之和为9元的概率为. 7分 （3）设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事件，，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时，丙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时，乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时，丙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，， 9分 则， ， ， 11分 甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为 ， 13分 甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为. 15分 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 2分 由， 则， 所以是偶函数. 4分 （2）因为， 因为，又因为，则， 6分 ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 8分 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. 10分 （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， 12分 ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； 13分 ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； 15分 ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 17分 19．（17分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， 当时，函数的最大值为， 所以，即，所以为有界函数． 4分 （2）， ，在上递增， ，， 6分 ，所以， 存在上界的范围是． 8分 （3）由题意知，在上恒成立， ，， 因此在上恒成立， ， 11分 设，由知， 设，则 ， 14分 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为在上的最小值为， ．的取值范围． 17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A D C D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）若，则．因为，所以． 3分 （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以， 5分 所以或或， 解得或1． 8分 （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以， 10分 所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 13分 16．【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 3分 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为. 7分    （2），. 设，，， ，， 9分 ， 12分 又， ，解得. 所以. 15分    17．【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的概率相同均为，且三段时间费用分别为0，3，6元， 故甲停车的费用不超过3元的概率为. 3分 （2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中a，， 甲、乙两人停车付费的所有可能情况为：，，，，，，，，，共9种，且概率相等， 5分 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9元”包含，，共2种情况， 故甲、乙两人停车付费之和为9元的概率为. 7分 （3）设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事件，，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时，丙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时，乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时，丙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，， 9分 则， ， ， 11分 甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为 ， 13分 甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为. 15分 18．【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 2分 由， 则， 所以是偶函数. 4分 （2）因为， 因为，又因为，则， 6分 ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 8分 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. 10分 （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， 12分 ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； 13分 ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； 15分 ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 17分 19．【详解】（1）令，则， 当时，函数的最大值为， 所以，即，所以为有界函数． 4分 （2）， ，在上递增， ，， 6分 ，所以， 存在上界的范围是． 8分 （3）由题意知，在上恒成立， ，， 因此在上恒成立， ， 11分 设，由知， 设，则 ， 14分 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为在上的最小值为， ．的取值范围． 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第一册+必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若与同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 4．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的第25百分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 6．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 8．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） ①的图象关于直线对称； ②是周期函数，且2是其一个周期； ③； ④关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12. A．①③ B．①④ C．③④ D．①②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么与相互对立 B．若，则，是互斥事件 C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D．已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10．狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．对任意 11．已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（   ） A．的单调递增区间为， B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．方程有5个根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 14．某校有个社团，每个社团均有人，第个社团中有个女生，余下的为男生.在这个社团中任选一个社团，再从该社团中依次选出3人，若第三次选出的人恰为男生的概率是，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 16．（15分）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 17．（15分）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； (2)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； (3)甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 19．（17分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $