专题06 数列的通项公式（15大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题06 数列的通项公式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：求数列通项公式的常用方法 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 考点一：观察法 【例1】（25-26高二上·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河北·月考）数列1，1，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）已知数列-1，1，3，5，7…，则它的通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 考点二：累加法 【例2】（25-26高二上·吉林延边·月考）已知数列满足，，则 . 【变式2-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 【变式2-2】（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，已知，且，则 ． 【变式2-3】（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 考点三：累乘法 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【变式3-2】（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【变式3-3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 考点四：型的递推式 【例4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【变式4-1】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【变式4-2】（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列中，，，则 ． 【变式4-3】（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知数列满足，且，则 . 考点五：型的递推式 【例5】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 考点六：型的递推式 【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式6-1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式6-2】（22-23高二下·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式6-3】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 考点七：型的递推式 【例7】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列满足，且，则 ；令，若的前n项和为，则 ． 【变式7-1】已知，，求． 【变式7-2】设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 考点八：型的递推式 【例8】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式8-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式8-2】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【变式8-3】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 考点九：型的递推式 【例9】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【变式9-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【变式9-2】已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【变式9-3】已知数列中，，求的通项公式． 考点十：型的递推式 【例10】（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【变式10-1】（2023高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为 ． 【变式10-2】（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 考点十一：已知Sn关系求通项问题 【例11】（22-23高二下·安徽·期中）在数列中，当时，，则其通项公式为 ． 【变式11-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【变式11-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【变式11-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知数列中，，其前项和满足，则 ； . 【变式11-4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是 . 考点十二：双数列问题 【例12】数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 【变式12-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______． 【变式12-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 考点十三：前n项积型 【例13】已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.求数列和的通项公式; 【变式13-1】设为数列的前n项积．已知．求的通项公式； 【变式13-2】设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 考点十四：通过递推关系求通项 【例14】（24-25高三上·山西吕梁·月考）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【变式14-1】（24-25高二上·福建三明·月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16改造为绿洲，同时原有绿洲的4被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．至少经过 年，绿洲面积可超过60？（） 【变式14-2】（24-25高二上·福建厦门·月考）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产．A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元．则 ． 考点十五：因式分解型求通项 【例15】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【变式15-1】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【变式15-2】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【变式15-3】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 3．（25-26高二上·天津武清·月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小球的个数为（   ）. A．45 B．55 C．65 D．75 4．（25-26高二上·安徽池州·月考）除数函数（divisor function）的函数值等于的正因数的个数，例如，，那么数列的第2025项是（   ） A．8 B．12 C．15 D．25 5．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2018·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（   ） A．第1个正三角形的周长为2 B．为 C． D．数列的通项公式为 11．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 12．（24-25高二下·上海·期末）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动 次. 13．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 14．（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 17．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 18．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为 . 19．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 20．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列的通项公式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：求数列通项公式的常用方法 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 考点一：观察法 【例1】（25-26高二上·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题中数字可知分子按照的规律排列，符合的规律， 分母为分子的平方减去1，即， 因此可得. 故选：A 【变式1-1】（25-26高二上·河北·月考）数列1，1，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，由可得，故A错误； 当时，由可得，故B错误； 当时，由可得，故D错误； 对C，当时，，时，，时，， 当时，，都适合，故C正确. 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）已知数列-1，1，3，5，7…，则它的通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，A、B、C不符合题意；对于D，，，，，，符合题意. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将数据代入各个选项中，验证可知， 该数列的一个通项公式为. 故选：D. 考点二：累加法 【例2】（25-26高二上·吉林延边·月考）已知数列满足，，则 . 【答案】 【解析】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 【答案】4 【解析】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 【变式2-2】（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由题设，当，， 所以，，，， 将上式累加可得， 所以，显然也满足， 所以. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 考点三：累乘法 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解析】，， ，即， ， 可得， 经检验，满足条件，则. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【变式3-2】（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【答案】 【解析】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【解析】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 考点四：型的递推式 【例4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【解析】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 【变式4-1】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【解析】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 【变式4-3】（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 考点五：型的递推式 【例5】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【解析】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【答案】 【解析】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 考点六：型的递推式 【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式6-1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式6-2】（22-23高二下·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 考点七：型的递推式 【例7】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列满足，且，则 ；令，若的前n项和为，则 ． 【答案】 【解析】由，可得，即， 两边取以4为底的对数得， 又， 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 由，得， 则，得， 故， 所以 . 故答案为：； 【变式7-1】已知，，求． 【解析】因为，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以， 所以， 所以，. 【变式7-2】设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 【解析】恒成立，，则， 则，， 当时，，故，即， 取，满足； 当且时，是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故， 故，取，得到恒成立. 综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有． 考点八：型的递推式 【例8】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 【变式8-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 【变式8-2】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【解析】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 考点九：型的递推式 【例9】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【解析】（1）∵，，∴， ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴当时， ，又也满足上式， 所以. 【变式9-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【解析】因为，所以， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以当时， ， 又当时，，符合上式， 所以对于任意正整数n都有． 【变式9-2】已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【解析】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 【变式9-3】已知数列中，，求的通项公式． 【解析】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 考点十：型的递推式 【例10】（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】设，令得：，解得：； ，化简得：， 所以，从而，又， 所以是首项为，公差为1的等差数列，故， 所以． 故答案为： 【变式10-1】（2023高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】，①．② 由得． 又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即． 故答案为： 【变式10-2】（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 【答案】 【解析】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 考点十一：已知Sn关系求通项问题 【例11】（22-23高二下·安徽·期中）在数列中，当时，，则其通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，，当时，， 两式相减得，即， 因此，即，于是，当时也成立，n＝1时不成立， 所以． 故答案为： 【变式11-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【答案】 【解析】数列的前项和，当时，， 整理得，即，显然当时，数列是常数列， 因此，所以. 故答案为： 【变式11-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【解析】当时，， 相减可得，所以， 又，所以 故为等差数列，且公差为，首项为2， 故，， 故答案为： 【变式11-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知数列中，，其前项和满足，则 ； . 【答案】 【解析】因为， 令，则， 即， 得，解得； 由，， 可得， 化简得， 即，， 所以是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ，， 所以. 故答案为：； 【变式11-4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是 . 【答案】 【解析】当时，； 当时，，不满足； . 故答案为：. 考点十二：双数列问题 【例12】数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 【解析】（1）证明：由，可得：， ，代入， 可得：， 化为：， ， 为等比数列，首项为-14，公比为3. （2）由（1）可得：， 化为：， 数列是等比数列，首项为16，公比为2. ， 可得：， . 【变式12-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______． 【答案】          【解析】由题设，，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，故， ，则， 令，则， 故，而， 所以是常数列，且，则. 故答案为：，. 【变式12-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 【解析】(1)证明：因为， 所以，即， 所以是公比为的等比数列． 将方程左右两边分别相减， 得，化简得， 所以是公差为2的等差数列． (2)由（1）知， ， 上式两边相加并化简，得， 所以． 考点十三：前n项积型 【例13】已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.求数列和的通项公式; 【解析】当时,, ∴, 当时,, 化简得, ∵,∴, ∴数列是首项为,公差为的等差数列, ∴. 当时,, 当时,，当时也满足， 所以. 【变式13-1】设为数列的前n项积．已知．求的通项公式； 【解析】依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则， 即，当时，有，两式相除得，， 显然，即，因此当时，，即， 所以数列的通项公式. 【变式13-2】设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 【解析】（1）由，且， 当时，，得， 当时，，得； （2）对于①， 当时，②， ①②得， 即，， 又， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得， ， 当时，， 又时，，不符合， . 考点十四：通过递推关系求通项 【例14】（24-25高三上·山西吕梁·月考）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【答案】498 【解析】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498 【变式14-1】（24-25高二上·福建三明·月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16改造为绿洲，同时原有绿洲的4被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．至少经过 年，绿洲面积可超过60？（） 【答案】6 【解析】由题意得 ， 所以， 则， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， 所以， 所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 故答案为：6. 【变式14-2】（24-25高二上·福建厦门·月考）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产．A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元．则 ． 【答案】 【解析】第n+1年年底剩余资金为， 故，又， 则是以1400为首项，为公比的等比数列， 则， 故. 故答案为：. 考点十五：因式分解型求通项 【例15】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），， 又数列为正项数列， ， ①当时，数列不是等比数列； ②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， ， ． 【变式15-1】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【解析】解：（1），，， 可得， 则， 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 【变式15-2】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 【变式15-3】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【解析】解：（1）， 当时，，， 解得． 又，， ， 当时，， 当时上式也成立， ． （2）数列满足，且． ． ， 当为偶数时，数列的前项和为 ． 当为奇数时，数列的前项和为 ． 当时也成立， ． 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【解析】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 3．（25-26高二上·天津武清·月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小球的个数为（   ）. A．45 B．55 C．65 D．75 【答案】B 【解析】记第层有个球，则， 结合高阶等差数列的概念知，，， 则第10层的小球个数. 故选：B 4．（25-26高二上·安徽池州·月考）除数函数（divisor function）的函数值等于的正因数的个数，例如，，那么数列的第2025项是（   ） A．8 B．12 C．15 D．25 【答案】C 【解析】因为， 所以的正因数可表示成的形式，其中， 故. 故选：C 5．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】因为，则， 当时，则，且，所以， 当时，，且，即， 则. 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 7．（2018·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 10．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（   ） A．第1个正三角形的周长为2 B．为 C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】对于A，设第1个正三角形的边长为，则， 因为在曲线上，所以，两边平方得：，因为， 所以，则第1个正三角形的周长为，A正确； 对于B，前个正三角形的边长和为，则的坐标为， 第个正三角形的边长为，因此的横坐标为，纵坐标为， 则，B正确； 对于C，因为在曲线上，所以， 两边平方得：，即，C错误； 对于D，当时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由，可得， 而，所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以，故D正确． 故选：ABD. 11．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】数列中，，则，解得， ，即，于是， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以（）. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·期末）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动 次. 【答案】 【解析】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数， 当时，； 当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，； 当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号， ； 以此类推，当且时，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， 经检验：满足，则. 故答案为：. 13．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 14．（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 【答案】 【解析】因为， 假设存在实数，使得， 即，则，解得， 即，且， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得，即， 所以． 故答案为：. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 17．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 18．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】设，即，所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故答案为： 19．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 20．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $