专题15 电磁感应中的棒轨模型（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦电磁感应中的棒轨模型专题，系统整合单杆+导轨（含电阻、电容器、电源等类型）和双杆+导轨模型，按“电路-动力学-能量”三维分析框架梳理考点，通过模型分类、典例精讲、方法总结、真题演练四环节，帮助学生构建解题思路，突破高考难点。 讲义以科学思维和模型建构为核心，创新采用“类型细分+对比分析”策略，如单杆四类问题动力学过程对比、双杆动量守恒与能量转化关系梳理，配合基础巩固与能力提升分层练习，培养学生问题分析能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考效率提供实战支持。

专题15 电磁感应中的棒轨模型 目录 模型一　单杆＋导轨模型 1 类型1　单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 1 类型2　单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 2 模型二　双杆＋导轨模型中的四类问题 3 模型一　单杆＋导轨模型 单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。 类型1　单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 题型一(v0≠0) 题型二(v0＝0) 题型三(v0＝0) 题型四(v0＝0) 说明 质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L　 示意图 力学观点 杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 图像观点 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝mv02 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WF＝Q＋mvm2 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WG＝Q＋mvm2 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋mvm2 类型2　单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 题型一(v0＝0) 题型二(v0＝0) 题型三(v0＝0) 题型四(v0＝0) 说明 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L 示意图 力学观点 S闭合，杆cd受安培力F＝，a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝ 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 图像观点 能量观点 电源输出的电能转化为动能：W电＝mvm2 F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝mv2＋EC 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝mv2＋EC 模型二　双杆＋导轨模型中的四类问题 双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。 题型一(光滑的平行导轨) 题型二(光滑不等距导轨) 题型三(光滑的平行导轨) 题型四(不光滑平行导轨) 示意图 导体棒长度L1＝L2 导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动 导体棒长度L1＝L2 摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff 导体棒长度L1＝L2 图像观点 力学观点 棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动 棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2 开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动　 开始时，若Ff<F≤2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀速运动，棒1静止。若F>2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀加速运动，棒1先静止后做变加速运动，最后和棒2做加速度相同的匀加速运动 动量观点 两棒组成的系统动量守恒 两棒组成的系统动量不守恒 对单棒可以用动量定理 两棒组成的系统动量不守恒 对单棒可以用动量定理 两棒组成的系统动量不守对单棒可以用动量定理恒 能量观点 系统动能的减少量等于产生的焦耳热 系统动能的减少量等于产生的焦耳热 拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2 拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(摩擦热和焦耳热)：W＝Q1＋Q2＋Ek1＋Ek2 【典例1】如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求： （1）末金属棒两端的电势差； （2）恒力F的大小； （3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热； （4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。 【典例2】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 （1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。 （3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 （4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。 【典例3】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 1．如图，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于两导轨所在的平面，即图中垂直于纸面向里。PM间接一电阻R，ab是一根与导轨始终垂直且接触良好的金属杆。现让ab由静止开始自由下落，导轨足够长，导轨及金属杆的电阻忽略不计，设从a流向b为电流的正方向，则金属杆ab下落过程中流过金属杆ab的电流图像可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，两平行光滑无限长导轨所在的平面与水平面夹角为，导轨的一端接有内阻不计的电流表。在导轨所在空间内的分布有方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，一个导体棒从静止下滑，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为，金属导轨电阻不计，则电流表示数（　　） A．一直增大 B．与成正比 C．先增大后减小 D．先增大后趋于定值 3．如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 4．2025年10月完成的舰载电磁炮测试证明中国电磁炮技术已经取得突破性进展。电磁炮利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属弹丸进行加速，与用传统的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某电磁炮可简化为如图所示的模型，同一水平面内的两根平行光滑导轨、a、b与可控电源相连，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，将一质量为m、可视为质点的金属弹丸放在导轨上，弹丸在安培力的作用下由静止开始加速向右运动，离开导轨时的速度大小为v，已知弹丸在导轨上加速的过程中，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，不计空气阻力及弹丸产生的焦耳热，下列说法正确的是（　　） A．导轨b的电势较高 B．弹丸在导轨上运动时的加速度先减小后增加 C．弹丸在导轨上的加速时间为 D．弹丸在导轨上的加速距离为 5．如图所示是新一代航母阻拦系统采用电磁阻拦技术的原理图。图中飞机着舰钩住金属棒关闭动力系统后，与金属棒以共同初速度在磁场中运动，导轨间宽度为d，飞机质量为M，金属棒质量为m，MP、CD间电阻和金属棒接入电阻均为R，不计其它电阻。飞机阻拦索由绝缘材料做成且不计质量。在整个阻拦过程中飞机和金属棒组成的整体除安培力以外受到其它的阻力大小恒为f。轨道间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场时，棒中电流方向是由a到d B．金属棒刚进入磁场时，受到的安培力 C．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中流过MP的电荷量为 D．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中金属棒滑行的时间为 6．如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 7．（多选）如图所示是我国自主研究设计的舰载机返回航母甲板时电磁减速的简化原理图。固定在绝缘水平面上足够长的平行光滑金属导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，导轨的电阻不计。舰载机等效为电阻不计的导体棒，当导体棒以一定初速度水平向右运动过程中，其速度、加速度、所受安培力、流过的电量与运动时间变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 9．（多选）如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 10．（多选）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 11．（多选）如图所示，两根倾斜平行放置的光滑导电轨道，轨道间接有电阻R，处于垂直轨道平面的匀强磁场中，一根放置在轨道上的导体棒在拉力F作用下，沿轨道匀速上滑，在上滑的过程中（　　） A．作用在ab杆上所有力做功的代数和为正 B．拉力F和安培力做功的代数和等于ab杆机械能的增加量 C．拉力F做功等于回路内能的增加量 D．拉力F所做的功等于ab杆机械能与回路内能增加量之和 12．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 13．如图所示为某电磁发射装置，由两平行等高金属导轨、恒定电源、金属棒a、金属棒b组成。水平粗糙导轨间距.L=0.5m，其间存在磁感应强度，B=1T的匀强磁场，左端连接一电动势.E=10V的恒定电源；倾斜导轨光滑，且与水平导轨平滑连接，连接处上方一光滑卡口可让金属棒无速度损失地从水平段进入倾斜段；开始时金属棒a静止于水平导轨某处，金属棒b锁定在距离斜轨道端.L=0.5m处，其中点处焊有一绝缘轻质杆，杆长也为L。已知金属棒a和b质量均为m=1kg，电阻均为，棒a与水平导轨间动摩擦因数，倾斜导轨倾角 ，在运动过程中金属棒始终与导轨接触良好，忽略导轨电阻和电源内阻。 (1)闭合开关，金属棒a开始向右运动，运动距离后达到最大速度，仍在水平导轨上，求： ①开关刚闭合瞬间，金属棒a受到的安培力大小； ②金属棒a的最大速度 vm； ③该过程中，回路产生的总焦耳热Q。 (2)若在金属棒a与杆碰前瞬间-解锁棒b并断开图中开关，碰后a与杆粘在一起，碰撞时间极短。以顶端为原点，沿导轨向下建立x轴，从a与杆刚碰后开始计时，碰后立即施加垂直倾斜导轨向上的磁场，磁感应强度大小.（其中，），求a棒最终位置到原点的距离s。 14．如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为，电阻不计。在MQ之间接有一阻值的电阻。导体杆ab质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)ab杆速度减为2m/s时，ab杆加速度大小a； (2)整个过程电阻R上产生的热量； (3)整个过程通过电阻R的电荷量q及导体杆ab移动的距离x。 15．如图甲所示，两根相距L=2.5m的平行金属导轨固定在水平面内，左右两端各接一个R=4Ω的定值电阻，质量m=0.5kg的导体棒a垂直导轨放置，与导轨良好接触，导轨间有两个足够大的匀强磁场区，磁感应强度大小均为B=0.8T，方向垂直导轨平面竖直向下；P、Q两虚线间为无磁场区域，导体棒在水平向右的外力F作用下，从O位置由静止开始运动，经5s从P点离开磁场，其电流随时间变化的图像如图乙所示，随后导体棒在无磁场区域继续运动，刚进入右侧磁场时撤去外力F（撤去外力F前，F随时间变化规律保持不变），再运动3.1m后恰好停下，已知导体棒电阻r=2Ω，导轨电阻不计，求： (1)0至5s内通过导体棒的电量及OP间的距离； (2)写出水平力F随时间变化的表达式； (3)导体棒a在无磁场区域内运动的时间t1； (4)已知0至5s内外力F做功为1.92J，求整个过程中导体棒a产生的焦耳热。 16．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 17．如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 18．如图所示，宽为的水平光滑金属轨道上放置一根质量为的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容的电容器和一个阻值为的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为，设金属轨道足够长，不计导体棒及导轨电阻。 (1)开关S拨向“2”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒运动过程中速度的最大值； (2)开关S拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒发生位移过程中所用的时间； (3)在第（2）问中的时刻，将开关S再次拨向“2”。并对导体棒施加水平向右的力，使导体棒MN的速度随位移均匀增加，其变化率，从时刻开始计时，求MN运动的过程中，电阻R上产生的热量Q。 19．如图所示，一间距、电阻不计的足够长粗糙矩形导轨，与水平面的夹角，两端接有阻值分别为的定值电阻，矩形区域Ⅰ、Ⅱ内均有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，两区域边界之间的距离。质量，电阻的导体棒垂直放在导轨上，其长度也为，在沿导轨平面向上的恒力作用下导体棒由静止开始运动，进入区域Ⅱ后立即做匀速运动。导体棒与导轨间的动摩擦因数，运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，重力加速度取10m/s²，空气阻力不计。（，） (1)求导体棒在区域Ⅱ中运动时流过的电流的大小； (2)若导体棒到达区域Ⅱ的边界时立即将恒力撤去，它能继续向上滑行的最大距离。求： ①导体在区域Ⅱ上滑的时间 ②该过程中产生的焦耳热。 20．如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，在空间施加方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，棒在水平外力作用下从静止开始向左做匀加速直线运动，，经过位移后撤去外力，棒最终停止在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过定值电阻的电荷量。 21．如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 22．在未来的城市轨道交通系统中，一种基于电磁感应原理的新型无接触牵引装置正在被广泛测试。某次实验利用如图所示装置模拟列车启动时的电磁驱动与能量管理过程，水平面内有两根电阻不计、间距为L=0.5m足够长的光滑平行导轨，一质量为m=0.2kg、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为M=0.2kg的物块连接，导体棒相当于“虚拟车厢”，通过轻绳连接配重物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路，从而实现不同的运行模式。电容器的电容C=0.6F，电阻R=2Ω。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B=2T。由静止释放，物块下落从而牵引导体棒向左运动，同时开关S接1或2，导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度为g，求： (1)开关S接1 ①物块速度v=2m/s时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块达到最大速度时，物块下落高度h=3m，求这段时间电阻上产生的焦耳热 。 (2)开关S接2，求物块下落高度h=1m时，物块的速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 电磁感应中的棒轨模型 目录 模型一　单杆＋导轨模型 1 类型1　单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 1 类型2　单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 2 模型二　双杆＋导轨模型中的四类问题 3 模型一　单杆＋导轨模型 单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。 类型1　单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 题型一(v0≠0) 题型二(v0＝0) 题型三(v0＝0) 题型四(v0＝0) 说明 质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L　 示意图 力学观点 杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 图像观点 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝mv02 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WF＝Q＋mvm2 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WG＝Q＋mvm2 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋mvm2 类型2　单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 题型一(v0＝0) 题型二(v0＝0) 题型三(v0＝0) 题型四(v0＝0) 说明 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L 示意图 力学观点 S闭合，杆cd受安培力F＝，a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝ 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 图像观点 能量观点 电源输出的电能转化为动能：W电＝mvm2 F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝mv2＋EC 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝mv2＋EC 模型二　双杆＋导轨模型中的四类问题 双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。 题型一(光滑的平行导轨) 题型二(光滑不等距导轨) 题型三(光滑的平行导轨) 题型四(不光滑平行导轨) 示意图 导体棒长度L1＝L2 导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动 导体棒长度L1＝L2 摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff 导体棒长度L1＝L2 图像观点 力学观点 棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动 棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2 开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动　 开始时，若Ff<F≤2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀速运动，棒1静止。若F>2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀加速运动，棒1先静止后做变加速运动，最后和棒2做加速度相同的匀加速运动 动量观点 两棒组成的系统动量守恒 两棒组成的系统动量不守恒 对单棒可以用动量定理 两棒组成的系统动量不守恒 对单棒可以用动量定理 两棒组成的系统动量不守对单棒可以用动量定理恒 能量观点 系统动能的减少量等于产生的焦耳热 系统动能的减少量等于产生的焦耳热 拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2 拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(摩擦热和焦耳热)：W＝Q1＋Q2＋Ek1＋Ek2 【典例1】如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求： （1）末金属棒两端的电势差； （2）恒力F的大小； （3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热； （4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）， 【详解】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；由图乙可知末金属杆的瞬时速度为，电动势为 末金属杆两端的电势差 解得 （2）当金属棒匀速运动时，由平衡条件得 其中 由乙图可知 联立解得 （3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得 又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得 又 ， 可得 （4）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，有 代入数据解得 在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得 又由图可知 代入数据解得 【典例2】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 （1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。 （3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 （4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】导体棒切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律有 导体棒做匀速运动 F＝F安 又F安＝BIL，其中 在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功 W＝FvΔt＝F安vΔt＝Δt 电路获得的电能 ΔE＝EIΔt＝Δt 可见，在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLvm 电源与电阻所在回路的电流 I＝ 电源的输出功率 P＝UI＝ （3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等， BLv＝U 由电容器的U­-t图可知 U＝t 导体棒的速度随时间变化的关系为 v＝t 可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度 a＝ 由C＝和I＝，得 I＝＝ 由牛顿第二定律有 F－BIL＝ma 可得 F＝ （4）导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为E＝BLv 电容器所带电荷量为 Q＝CE＝CBLv 再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为 ΔU＝ΔE＝BLΔv，ΔQ＝CΔU＝CBLΔv 流过导体棒的电流 I＝＝CBLa 导体棒受到的安培力 f1＝BIL＝CB2L2a 导体棒所受到的摩擦力 f2＝μmg 由牛顿第二定律得 F－f1－f2＝ma 联立以上各式解得 a＝ 显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为 v＝t 【典例3】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m 【详解】（1）导体棒b运动产生的感应电动势 回路电流 导体棒受安培力 解得 F0=2N 因 则a加速度为零，b的加速度 方向向左； （2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大 最大电流 解得 Im=6A （3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时 解得b棒速度 v3=2m/s 由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为 Q=0.5J 此时由能量关系 解得 x=0.5m 1．如图，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于两导轨所在的平面，即图中垂直于纸面向里。PM间接一电阻R，ab是一根与导轨始终垂直且接触良好的金属杆。现让ab由静止开始自由下落，导轨足够长，导轨及金属杆的电阻忽略不计，设从a流向b为电流的正方向，则金属杆ab下落过程中流过金属杆ab的电流图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】金属杆切割磁感线，根据右手定则可知，感应电流的方向从a流向b，与规定的正方向相同，为正值，设导轨间距为L，金属杆下落过程中回路中的感应电流为 金属杆受到安培力为 根据牛顿第二定律，金属杆的加速度为 则金属杆做加速度减小的加速运动，导轨足够长，则金属杆最终做匀速直线运动，感应电流I的变化规律与v相同。 故选B。 2．如图所示，两平行光滑无限长导轨所在的平面与水平面夹角为，导轨的一端接有内阻不计的电流表。在导轨所在空间内的分布有方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，一个导体棒从静止下滑，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为，金属导轨电阻不计，则电流表示数（　　） A．一直增大 B．与成正比 C．先增大后减小 D．先增大后趋于定值 【答案】D 【详解】设导体棒质量为，长度为，导体棒从静止下滑，根据牛顿第二定律 其中， 联立可得， 开始时速度v较小，加速度比较大，随着速度增大，安培力增大，加速度减小，可知导体棒做加速度减小的加速运动，当后，导体棒做匀速运动，根据可知电流表示数先增大后趋于定值。 故选D。 3．如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【答案】C 【详解】A．细线烧断前两杆做匀速运动，回路中无感应电流，烧断细线后，MN的速度大于M′N′的速度，根据右手定则可知MN切割磁感线产生的感应电动势大于M′N′产生的感应电动势，则回路中电流方向由N到M，故A错误； B．两杆组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，设MN的质量为，M′N′的质量为，初始速度为，MN稳定后的速度大小为，M′N′稳定后的速度大小为。规定向右为正方向，由系统动量守恒定律 代入数据解得M′N′稳定后的速度大小为，故B错误； C．由题意可知做加速运动，做减速运动，两者速度差变大，电动势变大，电流变大，安培力变大，安培力向左，安培力向右。根据牛顿第二定律可知、的加速度大小都逐渐减小，则、的图像如图所示 由图可知，， 则，故C正确； D．根据能量守恒定律 故整个过程中系统动能变化量的大小不等于整个系统产生的焦耳热，故D错误。 故选C。 4．2025年10月完成的舰载电磁炮测试证明中国电磁炮技术已经取得突破性进展。电磁炮利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属弹丸进行加速，与用传统的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某电磁炮可简化为如图所示的模型，同一水平面内的两根平行光滑导轨、a、b与可控电源相连，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，将一质量为m、可视为质点的金属弹丸放在导轨上，弹丸在安培力的作用下由静止开始加速向右运动，离开导轨时的速度大小为v，已知弹丸在导轨上加速的过程中，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，不计空气阻力及弹丸产生的焦耳热，下列说法正确的是（　　） A．导轨b的电势较高 B．弹丸在导轨上运动时的加速度先减小后增加 C．弹丸在导轨上的加速时间为 D．弹丸在导轨上的加速距离为 【答案】C 【详解】A．依题意，弹丸向右运动，根据左手定则可知电流从流向，如图所示，导轨b的电势较低，A错误； B．依题意，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，由知增大F减小，加速度减小，B错误； C．由动能定理有 解得，C正确； D．弹丸在导轨上做加速度减小的加速运动，加速距离，D错误。 故选C。 5．如图所示是新一代航母阻拦系统采用电磁阻拦技术的原理图。图中飞机着舰钩住金属棒关闭动力系统后，与金属棒以共同初速度在磁场中运动，导轨间宽度为d，飞机质量为M，金属棒质量为m，MP、CD间电阻和金属棒接入电阻均为R，不计其它电阻。飞机阻拦索由绝缘材料做成且不计质量。在整个阻拦过程中飞机和金属棒组成的整体除安培力以外受到其它的阻力大小恒为f。轨道间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场时，棒中电流方向是由a到d B．金属棒刚进入磁场时，受到的安培力 C．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中流过MP的电荷量为 D．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中金属棒滑行的时间为 【答案】C 【详解】A．金属棒刚进入磁场时，根据右手定则，棒中电流由b到a，故A错误； B．飞机和金属棒刚进入磁场时，此时电动势为 由闭合电路欧姆定律得 安培力为 联立解得，故B错误； C．由、、 有，故C正确； D．设此过程中，通过回路的平均电流为，金属棒的平均电动势为，时间为t，由动量定理得 由闭合电路欧姆定律得平均电流 根据法拉第电磁感应定律 联立解得，故D错误。 故选C。 6．如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 【答案】C 【详解】A．在PQ棒进入磁场前，回路总电阻 通过CF的总电量 通过棒间定值电阻的总电荷量为，A错误； BC．设PQ棒刚进入磁场时的速度为v1，则从CF进入磁场到PQ棒刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 从PQ进入磁场到DE刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 联立解得 在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为，B错误，C正确； D．金属棒PQ刚进入磁场时，整体产生的焦耳热为 其中间定值电阻产生的焦耳热为 金属棒PQ进入磁场后整体产生的焦耳热 D、E间定值电阻产生的焦耳热为 所以整个过程中D、E间定值电阻产生的焦耳热为Q=Q1+Q2=，D错误。 故选C。 7．（多选）如图所示是我国自主研究设计的舰载机返回航母甲板时电磁减速的简化原理图。固定在绝缘水平面上足够长的平行光滑金属导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，导轨的电阻不计。舰载机等效为电阻不计的导体棒，当导体棒以一定初速度水平向右运动过程中，其速度、加速度、所受安培力、流过的电量与运动时间变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A．导体棒向右运动过程中，根据左手定则可知，导体棒受到向左的安培力，则有， 所以导体棒向右做减速运动，加速度大小为 由于速度减小，则加速度减小，所以图像的切线斜率绝对值逐渐减小，故A符合题意； B．根据 则有 由于速度逐渐减小，加速度逐渐减小，所以图像的切线斜率绝对值应减小，故B不符合题意； C．导体棒受到向左的安培力，大小为 可知图像的形状与图像的形状一致，故C符合题意； D．根据 由于速度逐渐减小，所以图像的切线斜率应逐渐减小，故D不符合题意。 故选AC。 8．（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 【答案】CD 【详解】A．金属杆沿导轨向下运动，根据右手定则可知金属杆中电流方向为，故A错误； BCD．设金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 二者方向相反，则电流为 对杆受力分析得 对杆受力分析得 解得， 设两杆达到稳定运动状态时的速度为，，则 两杆达到稳定状态时应均做匀加速运动，此时 即 解得 此时，，，故B错误，CD正确。 故选CD。 9．（多选）如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 【答案】BC 【详解】A．金属棒a刚进入磁场时产生的感应电动势E0=BLv0 感应电流 金属棒b刚要进入磁场时a棒的速度大小为v2，此时产生的感应电动势E2=BLv2 感应电流 解得 由图乙所示图像可知，b进入磁场时电流反向，则v1＞v2，回路产生的电动势E1=BL（v1-v2） 电流大小 解得v1=v0，故A错误； B．b棒即将进入磁场时，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得，故B正确； CD．b进入磁场后，当两金属棒速度相等后达到稳定状态，a、b组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv2+3mv1=（m+3m）v 解得 此过程，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得b进入磁场后a、b的相对位移 两棒最终的间隔距离为，C正确，D错误。 故选BC。 10．（多选）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 【答案】AB 【详解】AD．ab棒产生的电动势为 回路中感应电流大小为 ab棒所受安培力大小为，故A正确，D错误； B．N、Q之间的电压为，故B正确； C．金属棒向左做匀速运动，由右手定则可知a端电势比b端电势高，故C错误。 故选AB。 11．（多选）如图所示，两根倾斜平行放置的光滑导电轨道，轨道间接有电阻R，处于垂直轨道平面的匀强磁场中，一根放置在轨道上的导体棒在拉力F作用下，沿轨道匀速上滑，在上滑的过程中（　　） A．作用在ab杆上所有力做功的代数和为正 B．拉力F和安培力做功的代数和等于ab杆机械能的增加量 C．拉力F做功等于回路内能的增加量 D．拉力F所做的功等于ab杆机械能与回路内能增加量之和 【答案】BD 【详解】A．根据动能定理，所有力做功的代数和等于动能变化量。由于导体棒匀速运动，动能变化为 0，因此所有力做功的代数和为 0，A错误； B．导体棒的受力包括：拉力F、安培力、重力mg、支持力（支持力不做功）。机械能的增加量等于 “除重力外其他力做的功”（功能关系），即：，B正确； CD．根据能量守恒，拉力F做的功（总能量输入），最终转化为两部分：①导体棒的机械能（匀速上滑，重力势能增加）；②回路的内能。因此 “拉力F做的功等于 ab 杆机械能与回路内能增加量之和” ，C错误；D正确。 故选BD。 12．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 【答案】(1)5m/s (2)5C (3)35J 【详解】（1）沿斜面方向，由于恒力 故两金属杆构成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律可得 解得 （2）0~1s内对杆，令沿斜面向上为正方向，由动量定理得 解得 （3）0~1s内，令杆沿斜面向上运动的位移为，杆沿斜面向上运动的位移为，由于 可得 对、杆组成的系统，由能量守恒与转化得 解得 由于、杆通过的电流相等且两杆电阻相同，则0~1s内杆上产生的焦耳热为 13．如图所示为某电磁发射装置，由两平行等高金属导轨、恒定电源、金属棒a、金属棒b组成。水平粗糙导轨间距.L=0.5m，其间存在磁感应强度，B=1T的匀强磁场，左端连接一电动势.E=10V的恒定电源；倾斜导轨光滑，且与水平导轨平滑连接，连接处上方一光滑卡口可让金属棒无速度损失地从水平段进入倾斜段；开始时金属棒a静止于水平导轨某处，金属棒b锁定在距离斜轨道端.L=0.5m处，其中点处焊有一绝缘轻质杆，杆长也为L。已知金属棒a和b质量均为m=1kg，电阻均为，棒a与水平导轨间动摩擦因数，倾斜导轨倾角 ，在运动过程中金属棒始终与导轨接触良好，忽略导轨电阻和电源内阻。 (1)闭合开关，金属棒a开始向右运动，运动距离后达到最大速度，仍在水平导轨上，求： ①开关刚闭合瞬间，金属棒a受到的安培力大小； ②金属棒a的最大速度 vm； ③该过程中，回路产生的总焦耳热Q。 (2)若在金属棒a与杆碰前瞬间-解锁棒b并断开图中开关，碰后a与杆粘在一起，碰撞时间极短。以顶端为原点，沿导轨向下建立x轴，从a与杆刚碰后开始计时，碰后立即施加垂直倾斜导轨向上的磁场，磁感应强度大小.（其中，），求a棒最终位置到原点的距离s。 【答案】(1)① 2.5N ； ② ；③ (2)s=0.04m 【详解】（1）① 根据闭合电流欧姆定律有     则安培力 ②导体棒速度最大时有 根据平衡条件有 联立     ③规定向右为正方向，对a棒，由动量定理 整理的 联立解得 根据动量定理有      联立解得 ， 则     联立解得 （2）a与杆碰撞，动量守恒 根据法拉第电磁感应定律有     因为，     当 减速运动   该过程由动量定理     联立解得s=0.04m 14．如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为，电阻不计。在MQ之间接有一阻值的电阻。导体杆ab质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)ab杆速度减为2m/s时，ab杆加速度大小a； (2)整个过程电阻R上产生的热量； (3)整个过程通过电阻R的电荷量q及导体杆ab移动的距离x。 【答案】(1) (2)1.2J (3)0.8C，3.2m 【详解】（1）ab杆速度减为2m/s时，ab杆产生的电动势为 回路电流为 ab杆受到的安培力为 则ab杆的加速度的大小为 （2）由能量守恒可知整个过程产生的热量为 电阻R上产生的热量为 解得 （3）对导体杆ab，由动量定理得 又 其中 联立可得， 15．如图甲所示，两根相距L=2.5m的平行金属导轨固定在水平面内，左右两端各接一个R=4Ω的定值电阻，质量m=0.5kg的导体棒a垂直导轨放置，与导轨良好接触，导轨间有两个足够大的匀强磁场区，磁感应强度大小均为B=0.8T，方向垂直导轨平面竖直向下；P、Q两虚线间为无磁场区域，导体棒在水平向右的外力F作用下，从O位置由静止开始运动，经5s从P点离开磁场，其电流随时间变化的图像如图乙所示，随后导体棒在无磁场区域继续运动，刚进入右侧磁场时撤去外力F（撤去外力F前，F随时间变化规律保持不变），再运动3.1m后恰好停下，已知导体棒电阻r=2Ω，导轨电阻不计，求： (1)0至5s内通过导体棒的电量及OP间的距离； (2)写出水平力F随时间变化的表达式； (3)导体棒a在无磁场区域内运动的时间t1； (4)已知0至5s内外力F做功为1.92J，求整个过程中导体棒a产生的焦耳热。 【答案】(1)1.25C，2.5m (2)F=0.2t+0.1（N） (3)2s (4)5.64J 【详解】（1）0至5s内通过导体棒的电量等于I-t图像与时间轴围成的面积，即 根据法拉第电磁感应定律可得，，， 联立解得 （2）根据牛顿第二定律， 由图可得 所以 所以 联立可得 （3）设导体棒在无磁场区域内运动的时间t1，导体棒在P点的速度为 进入右侧磁场后，由动量定理可得 代入数据得 无磁场区域内，外力冲量为 由动量定理可得 联立解得 （4）左侧磁场中，外力做功为 动能增加量为 总焦耳热 导体棒产生的焦耳热 右侧磁场中，动能减少量为 总焦耳热 导体棒产生的焦耳热 所以整个过程中导体棒a产生的焦耳热为 16．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由m=ρLS，可知 又由 可知 初始时刻金属棒b有最大加速度，由 其中， 解得 （2）两金属棒最后达共同速度时，规定va方向为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得v共=4m/s，Q=24J 金属棒b产生的焦耳热 （3）设两金属棒碰前速度分别为和，由动量守恒定律有 对金属棒a，由动量定理可得 其中， 而 整理得 解得 设两棒碰后速度分别为和，两棒发生弹性碰撞，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 解得 17．如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对金属棒进行受力分析，沿斜面方向安培力 又， 联立可得 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）当金属棒的加速度为零时，速度达到最大，则有 解得 （3）流经电阻的电量 又，， 联立得 代入数据可解得 18．如图所示，宽为的水平光滑金属轨道上放置一根质量为的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容的电容器和一个阻值为的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为，设金属轨道足够长，不计导体棒及导轨电阻。 (1)开关S拨向“2”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒运动过程中速度的最大值； (2)开关S拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒发生位移过程中所用的时间； (3)在第（2）问中的时刻，将开关S再次拨向“2”。并对导体棒施加水平向右的力，使导体棒MN的速度随位移均匀增加，其变化率，从时刻开始计时，求MN运动的过程中，电阻R上产生的热量Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当开关S拨向“2”时，导体棒在恒力作用下运动，最终达到匀速时，导体棒速度最大。此时，导体棒受到的安培力与恒力平衡。导体棒切割磁感线产生的感应电动势 感应电流 安培力 根据平衡条件，即 解得。 （2）当开关S拨向“1”时，对导体棒进行受力分析，根据牛顿第二定律有 又因为 又有 所以有 将代入牛顿第二定律表达式，可得 即有 解得加速度 即导体棒做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移公式 解得。 （3）在时刻将开关拨向“2”，导体棒速度随位移均匀增加，变化率，即 可得 由法拉第电磁感应定律有 即 所以 感应电流 安培力 即安培力是随位移线性变化的力，其平均值 根据功能关系，安培力做功等于电阻产生的热量，即安培力平均力做功等于产生的焦耳热，则有焦耳热 19．如图所示，一间距、电阻不计的足够长粗糙矩形导轨，与水平面的夹角，两端接有阻值分别为的定值电阻，矩形区域Ⅰ、Ⅱ内均有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，两区域边界之间的距离。质量，电阻的导体棒垂直放在导轨上，其长度也为，在沿导轨平面向上的恒力作用下导体棒由静止开始运动，进入区域Ⅱ后立即做匀速运动。导体棒与导轨间的动摩擦因数，运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，重力加速度取10m/s²，空气阻力不计。（，） (1)求导体棒在区域Ⅱ中运动时流过的电流的大小； (2)若导体棒到达区域Ⅱ的边界时立即将恒力撤去，它能继续向上滑行的最大距离。求： ①导体在区域Ⅱ上滑的时间 ②该过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）导体棒在区域Ⅱ运动时，根据平衡条件可得 安培力 再根据 联立解得； （2）①导体棒在区域Ⅱ上滑过程中，根据动量定理可得 其中电流 由串并联电路规律有 导体棒的冲量 由闭合电路欧姆定律有 感应电动势 运动的平均速度为 联立解得 ②根据动能定理可得 整个回路中产生的焦耳热为 产生的焦耳热为。 20．如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，在空间施加方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，棒在水平外力作用下从静止开始向左做匀加速直线运动，，经过位移后撤去外力，棒最终停止在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过定值电阻的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）内，回路中的感应电动势为 回路中的感应电流为 整个回路产生的热量为 （2）由图乙可知，后 时，ab棒产生的感应电动势为 根据右手定则可知，b端为电源正极，a端为电源负极，故ab两点的电势差 （3）撤去外力前流过定值电阻R的电荷量为 又， 联立解得 撤去外力时导体棒的速度大小为 撤去外力后流过电阻R的电荷量为 撤去外力后的过程，根据动量定理有 联立得 整个过程流过电阻的电荷量 21．如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 【答案】(1)电流的方向为由到 (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理可知 解得导体棒刚进入磁场时的速度大小为 导体棒产生的电动势为 由闭合电路欧姆定律可得 联立解得 由右手定则可判断，此时电阻的电流的方向为由到。 （2）导体棒到达时速度方向与水平方向的夹角为，则 导体棒到达时的速度为 由题可知在导轨与平直部分从左到右，根据动量定理可得 又 联立解得。 （3）导体棒到达时的速度为 导体棒刚进入磁场时的速度为，则 解得 最终匀速运动时，电路中无电流，则有 此过程中，对导体棒由动量定理得 对导体棒由动量定理得 联立解得， 该过程中整个回路产生的总焦耳热为 解得 金属棒上产生的焦耳热为 22．在未来的城市轨道交通系统中，一种基于电磁感应原理的新型无接触牵引装置正在被广泛测试。某次实验利用如图所示装置模拟列车启动时的电磁驱动与能量管理过程，水平面内有两根电阻不计、间距为L=0.5m足够长的光滑平行导轨，一质量为m=0.2kg、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为M=0.2kg的物块连接，导体棒相当于“虚拟车厢”，通过轻绳连接配重物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路，从而实现不同的运行模式。电容器的电容C=0.6F，电阻R=2Ω。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B=2T。由静止释放，物块下落从而牵引导体棒向左运动，同时开关S接1或2，导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度为g，求： (1)开关S接1 ①物块速度v=2m/s时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块达到最大速度时，物块下落高度h=3m，求这段时间电阻上产生的焦耳热 。 (2)开关S接2，求物块下落高度h=1m时，物块的速度大小。 【答案】(1)1.5N，2.8J (2)2m/s 【详解】（1）物块下落，导体棒向左运动，根据右手定则可知，导体棒上的电流方向由b流向a，由 解得轻绳对物块的拉力大小 物块达到最大速度时有 解得 根据能量守恒 解得 （2）电容器两板间的电势差等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势，有 根据 对导体棒和物块组成的系统，由牛顿第二定律 又 联立解得 根据 解得物块下落高度h=1m时，物块的速度大小 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $