专题12 磁偏转模型中的关键几何条件（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦磁偏转模型，系统整合带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律及直线、平行直线、三角形等有界磁场的关键几何条件，构建“规律梳理-图形分类-多解分析”的知识体系，通过考点精讲、典例剖析、分层练习助力学生突破几何关系与临界问题难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如通过直线边界磁场对称性分析、圆形边界轨迹圆心确定等实例，引导学生掌握几何条件提取方法。设置从基础到综合的梯度训练题，结合高考真题变式，有效培养学生空间想象与推理论证能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

专题12 磁偏转模型中的关键几何条件 目录 一．磁偏转的基本规律 1 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 1 类型(一)　直线边界的磁场 1 类型(二)　平行直线边界的磁场 2 类型(三)　三角形边界的磁场 2 类型(四)　矩形边界的磁场 2 类型(五)　圆形边界的磁场 3 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 3 一．磁偏转的基本规律 1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力： (1)向心力公式：qvB＝。 (2)半径公式：r＝。 (3)周期公式：T＝。 2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒： (1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。 (2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 类型(一)　直线边界的磁场 1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示： 2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性： (1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。 (2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。 类型(二)　平行直线边界的磁场 1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示： 2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d所示。 3．各图中粒子在磁场中的运动时间： (1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。 (2)图b中粒子在磁场中运动的时间t＝。 (3)图c中粒子在磁场中运动的时间。 (4)图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。 类型(三)　三角形边界的磁场 带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹： (1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。 (2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。 类型(四)　矩形边界的磁场 带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。 类型(五)　圆形边界的磁场 带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点： (1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。 (2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ，如图乙所示。 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 1　带电粒子的电性不确定形成多解 如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 2　磁场方向不确定形成多解 有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3　临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。 4　运动的周期性形成多解 带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。 【典例1】如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．粒子的发射速度大小为 C．粒子从P点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37° D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为 【典例2】如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（　　） A． B． C． D． 【典例3】长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）    A．使粒子的速度v＜ B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度v满足＜v＜ 【典例4】如图所示，相距为、足够长的直线边界、之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场左边界上点处有一个粒子源，直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为、电荷量为的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上点离开磁场。不计粒子的重力，到的距离为。求： （1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到点的最近和最远距离（可用根式表示） （3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。 一、单选题 1．矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，长l，长。质量为m、电荷量为q的带电粒子，从A点以速度沿方向射入磁场，最终从边离开磁场。不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应强度大小范围为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于ON的方向射入磁场，最后分别从M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．两粒子均带正电 B．洛伦兹力对b粒子做的功多 C．b粒子的速率是a粒子的两倍 D．b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 3．如图所示，这是一个半径为R的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，截面的A处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行截面从A孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，以下v的取值不能使粒子从A孔再次出来的是（　　） A． B． C． D． 4．在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 6．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2 7．（多选）如图所示，xoy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为、电荷量为的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度应满足 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 8．（多选）如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比 C．两粒子的速度大小之比 D．两粒子的质量之比 9．如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 10．（多选）如图所示为半径为的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为，电荷量为（）。现粒子沿正对中点且垂直于方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从之间的圆弧飞出磁场（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，已知，则（　　） A．从点飞出的粒子，其轨迹半径为 B．从点飞出的粒子，其轨迹半径为 C．粒子源发射粒子的最大速度为 D．在磁场中运动时间为的粒子，其速度为 11．（多选）如图所示，由两个线段和一个半圆组成的边界CDEFG，E为圆弧边界最低点，其余四个点与圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。C处有一个粒子源，能在纸面内发射速度方向与边界CD成60°角的各种速率的带负电粒子，圆弧半径及CD距离均为R，粒子比荷为k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的速度越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．粒子若从E点飞出磁场，则粒子在磁场中运动的时间最长 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率为 12．如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系，其第一象限存在匀强磁场，方向垂直桌面向下。从点垂直轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹离开磁场。现在轨迹上的点静止放置另一金属小球乙，再次从点垂直轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（　　） A．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 B．继续沿着轨迹离开磁场，则小球乙不带电 C．继续沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷 D．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 13．如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．与点相距 14．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．从B点离开磁场的粒子带正电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为 15．如图所示，在无限长的竖直边界和间，上、下部分分别充满方向垂直于平面向外和向里的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B，下部分区域的磁感应强度大小为2B。KL为上、下磁场的水平分界线，质量为m、带电荷量为的粒子从NS边界上与K点相距为a的P点垂直于NS边界射入上方磁场区域，经KL上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与K点的距离为3a，不考虑粒子重力，，。 (1)求粒子射入时的速度大小； (2)粒子从P点到Q点的运动时间t； (3)若粒子第二次穿过KL时从L点飞出磁场，求KL的间距d。 16．一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的点，平行于轴射入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从轴上的点射出磁场，射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，如图所示。 (1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹； (2)求粒子的比荷； (3)求粒子从点运动到点的时间。 17．如图甲所示平面直角坐标系xOy，射线OP与轴正方向的夹角为。从时开始，有与平面垂直，大小恒为，但方向周期性变化的磁场。时，磁场方向垂直于xOy平面向里，如图乙所示。时，一个重力不计，质量为、电荷量为的粒子从点以速度沿轴正方向运动。已知粒子每次运动到射线OP上时，磁场恰好反向，不考虑磁场变化对粒子速度的影响。求： (1)时间内，粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)图乙中的值。 18．如图甲所示，平面内一有界（虚线）匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。一比荷为的带正电粒子（不计重力）从磁场区域边界上的点以大小为的速度垂直边界进入磁场（取）。 (1)求带电粒子在磁场中的运动时间及离开磁场的位置到点的距离； (2)将磁场分成若干宽度均为部分，相邻两磁场区域为真空，间距为，如图乙所示，其余条件不变。求带电粒子从原位置进入磁场后在磁场中的运动时间及离开磁场的位置到的距离。 19．如图所示，一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴正方向上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，匀强磁场方向垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求： (1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 20．如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 21．如图所示，真空室内，边界下方区域存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（上方无磁场），是荧光屏（上下两面有粒子到达时均能发出荧光），。在处有一粒子发射管（不计长度），能从两端分别沿管方向发射不同速率的粒子，一端发射正粒子，另一端发射负粒子。发射的粒子经一段时间后打在荧光屏上。已知粒子的比荷绝对值均为，不计粒子重力，不计粒子间的相互作用。求： (1)若垂直于向上发射的正粒子在处被吸收，求粒子速度大小； (2)若垂直于向上发射的正粒子最远到达处，求的长度； (3)若将发射管在纸面内逆时针转过角（不确定，且，其两端先后发射速率为的正负各一个粒子，这两个粒子同时到达荧光屏上处（图中未标出），求发射两个粒子的最大时间间隔。 22．如图，平面内有两个匀强磁场，y轴左侧的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小为，y轴右侧的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为，和大小未知。质量为m、电荷量为的粒子，从x轴上A点以速度沿y轴正方向射入磁场，恰好能垂直y轴击中其上D点，若该粒子从O点以速度沿与x轴正方向成角射出，，经过磁场偏转后能击中D点，不计粒子重力。 (1)求k值大小； (2)求粒子由O运动到D的时间可能值； (3)若从x正半轴上M点以沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y轴击中D点，求M距O点的距离。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 磁偏转模型中的关键几何条件 目录 一．磁偏转的基本规律 1 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 1 类型(一)　直线边界的磁场 1 类型(二)　平行直线边界的磁场 2 类型(三)　三角形边界的磁场 2 类型(四)　矩形边界的磁场 2 类型(五)　圆形边界的磁场 3 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 3 一．磁偏转的基本规律 1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力： (1)向心力公式：qvB＝。 (2)半径公式：r＝。 (3)周期公式：T＝。 2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒： (1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。 (2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 类型(一)　直线边界的磁场 1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示： 2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性： (1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。 (2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。 类型(二)　平行直线边界的磁场 1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示： 2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d所示。 3．各图中粒子在磁场中的运动时间： (1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。 (2)图b中粒子在磁场中运动的时间t＝。 (3)图c中粒子在磁场中运动的时间。 (4)图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。 类型(三)　三角形边界的磁场 带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹： (1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。 (2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。 类型(四)　矩形边界的磁场 带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。 类型(五)　圆形边界的磁场 带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点： (1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。 (2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ，如图乙所示。 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 1　带电粒子的电性不确定形成多解 如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 2　磁场方向不确定形成多解 有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3　临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。 4　运动的周期性形成多解 带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。 【典例1】如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cos53°=0.6.下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．粒子的发射速度大小为 C．粒子从P点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37° D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BC 【详解】A．根据粒子轨迹的方向结合左手定则知，带电粒子带负电，故A错误； B．根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，做入射速度的垂线，连接OP作中垂线，两线相交与A点，A点即为轨迹的圆心，设OP与x轴夹角为α，由几何关系有 ， 所以得到 由牛顿第二定律得 得 故B正确； C．根据以上分析知 故 设粒子射出磁场的速度与x轴正向夹角为β，速度的偏转角与粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可知出射速度方向与x轴的夹角为37°，故C正确； D．由于 故粒子在磁场中不能完成半个圆周运动，运动时间不能达到，若改变粒子的入射方向，在磁场中运动时间半个周期对应的粒子的入射速度方向是沿着y轴正方向进入磁场的粒子，此时粒子在磁场中运动的时间，故D错误。 故选BC。 【典例2】如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R=知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图a所示（此时圆心为O点），根据几何关系有 R1cos45°＋d=R1 且 R1= 联立解得 v0= 若粒子带负电，其运动轨迹如图b所示（此时圆心为O′点），根据几何关系有 R2＋R2cos45°=d 且 R2= 联立解得 v0= 故选BC。 【典例3】长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）    A．使粒子的速度v＜ B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度v满足＜v＜ 【答案】AB 【详解】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有 又因 解得 若粒子刚好打在极板左边缘时，有 解得 欲使粒子不打在极板上，使粒子的速度或者。 故选AB。 【典例4】如图所示，相距为、足够长的直线边界、之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场左边界上点处有一个粒子源，直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为、电荷量为的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上点离开磁场。不计粒子的重力，到的距离为。求： （1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到点的最近和最远距离（可用根式表示） （3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。 【答案】（1）方向垂直纸面向外，；（2），；（3） 【详解】（1）由粒子偏转方向及左手定则知：磁场方向垂直纸面向外，粒子甲的轨迹如图甲，由几何关系得 解得 （2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到点距离相同，仍在磁场中的粒子应位于以点为圆心、为半径的弧上，如图乙所示，则恰经过边界上点的粒子离点最近，由几何关系知 恰经过边界上点的粒子离点最远 由几何关系知 解得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为，则有： 则 粒子甲在磁场中运动的时间 在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图丙所示。 由几何关系可知，粒子轨迹对应的圆心角为，在磁场中运动时间为 则从甲粒子出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间： 解得 一、单选题 1．矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，长l，长。质量为m、电荷量为q的带电粒子，从A点以速度沿方向射入磁场，最终从边离开磁场。不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应强度大小范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若带电粒子从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径为 由牛顿第二定律得 解得 若粒子从C点离开磁场，由几何关系得 由牛顿第二定律得 解得 综上，匀强磁场的磁感应强度大小范围为 故选A。 2．如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于ON的方向射入磁场，最后分别从M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．两粒子均带正电 B．洛伦兹力对b粒子做的功多 C．b粒子的速率是a粒子的两倍 D．b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，两粒子均带负电，选项A错误； B．洛伦兹力对两粒子均不做功，选项B错误； C．两粒子均在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 整理得 由题意，因此b粒子的速率是a粒子的两倍，选项C正确； D．粒子在磁场中运动的时间为 结合题图可知两粒子在磁场中运动的时间相同，选项D错误。 故选C。 3．如图所示，这是一个半径为R的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，截面的A处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行截面从A孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，以下v的取值不能使粒子从A孔再次出来的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】ACD．粒子正对圆心进入圆形磁场，必然沿着半径方向垂直碰撞容器壁，如图所示 进入点和碰撞点与圆心的连线均与速度方向垂直，由几何关系可知进入点连成的三角形和碰撞点连成的三角形全等，故粒子在碰撞点速度方向与半径共线。由图可知 要让粒子从点出射，必须满足 由洛伦兹力充当向心力 可得 联立可得 当时，有 当时，有 当时，有，故ACD正确； B．B选项n没有对应的正整数，故B不可能。 本题选不能从A孔再次射出的，故选B。 4．在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】氘核在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为 即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令氘核运动轨迹最大的半径为，为了使氘核的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示 A点为氘核做圆周运动的圆心，氘核从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得 解得 解得磁场的磁感应强度最小值 故选A。 5．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 【答案】B 【详解】A．由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①。由图可知，当轨迹①与ab相切时为带电粒子从ab边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于，故A错误； B．作出从边射出的临界轨迹②。由图可知，当轨迹②与相切时为带电粒子从边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从边射出经历的时间一定不大于，故B正确； C．作出从cd边射出的临界轨迹③。由带电粒子运动轨迹的对称性可知，该带电粒子从cd边射出经历的时间一定是，故C错误； D．作出从边射出的临界轨迹④。由图可知，当轨迹④与相切时为带电粒子从边射出的临界值，根据几何关系 则该带电粒子从边射出经历的时间一定不大于，故D错误。 故选B。 6．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2 【答案】C 【详解】作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 AC．根据几何知识可得 粒子a在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得，故A错误，C正确； B．粒子b在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识可得 解得 故B错误； D．根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 两粒子在磁场中偏转的圆心角， 则两粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选C。 7．（多选）如图所示，xoy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为、电荷量为的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度应满足 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】AC 【详解】A．由题知，向轴正向发射的粒子，根据左手定则，可知粒子在磁场偏转的最大圆心角为，故粒子在磁场运动的最长时间为，故A正确； B．向轴正向发射的粒子最容易从上边界飞出，当其恰好从上边界飞出时，根据几何关系，可得半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得 故为使其从上边界飞出应满足，故B错误； C．若磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力 解得半径 根据几何关系，可得所有粒子运动的区域面积为，故C正确； D．若磁感应强度为，根据洛伦兹力提供向心力 解得半径 可知向轴正向发射的粒子从上边界最右侧飞出，其轴坐标为，当粒子轨迹和上边界相切时，其轴坐标为，故粒子能从上边界射出的宽度为，故D错误。 故选AC。 8．（多选）如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比 C．两粒子的速度大小之比 D．两粒子的质量之比 【答案】BD 【详解】A．由题意可知a粒子顺时针偏转，b粒子逆时针偏转，根据左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误； B．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 由图中几何关系可得， 则有，故B正确； D．由几何关系可知从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，根据运动时间相同可得粒子运动周期之比为 再根据洛伦兹力做向心力可得 所以，运动周期为 根据电荷量相等可得，故D正确； C．根据 可得 结合， 可得，故C错误。 故选BD。 9．如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】BC 【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为，故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B正确； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为，故D错误。 故选BC。 10．（多选）如图所示为半径为的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为，电荷量为（）。现粒子沿正对中点且垂直于方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从之间的圆弧飞出磁场（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，已知，则（　　） A．从点飞出的粒子，其轨迹半径为 B．从点飞出的粒子，其轨迹半径为 C．粒子源发射粒子的最大速度为 D．在磁场中运动时间为的粒子，其速度为 【答案】BD 【详解】AB．作出粒子从b点飞出时的运动轨迹，如图所示 当粒子从b点飞出时，设其轨道半径为r，对应的圆心为，由几何关系可知， 由正弦定理可得 解得，故A错误，B正确； C．因为从b点出磁场的粒子轨迹半径最大，则从b点出磁场的粒子速度最大，根据洛伦兹力提供向心力则有 解得 结合上述结论 可得粒子源发射粒子的最大速度为，故C错误； D．在磁场中运动的时间为的粒子，则粒子轨迹对应圆心角为，若要使粒子在磁场中运动的时间为四分之一周期，设其半径为，轨迹圆心为，如图所示 设，由几何关系可得 整理可得 解得 即 则粒子的圆周半径 则对应粒子的速度为，故D正确。 故选BD。 11．（多选）如图所示，由两个线段和一个半圆组成的边界CDEFG，E为圆弧边界最低点，其余四个点与圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。C处有一个粒子源，能在纸面内发射速度方向与边界CD成60°角的各种速率的带负电粒子，圆弧半径及CD距离均为R，粒子比荷为k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的速度越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．粒子若从E点飞出磁场，则粒子在磁场中运动的时间最长 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率为 【答案】CD 【详解】A．粒子速度越大，在F、G之间射出，则时间不变，故A错误； BC．粒子在磁场中运动的时间最长时，轨迹圆弧所对应的圆心角最大，则弦切角最大，故射出点与C点的连线应与边界圆弧相切，而不是E点，此时圆心角为180°，故运动时间为，故B错误，C正确； D．粒子能从圆弧边界射出的最大速率时，应从F点射出，几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 根据题意 联立解得，故D正确； 故选CD。 12．如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系，其第一象限存在匀强磁场，方向垂直桌面向下。从点垂直轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹离开磁场。现在轨迹上的点静止放置另一金属小球乙，再次从点垂直轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（　　） A．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 B．继续沿着轨迹离开磁场，则小球乙不带电 C．继续沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷 D．沿着轨迹离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 【答案】AB 【详解】A．小球在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 解得。可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，不变，若沿着轨迹离开磁场，则轨道半径变小，所以结合体总电荷量变大，则小球甲、乙带同种电荷，故A正确； BC．有上述分析，可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，不变，若结合体继续沿着轨迹离开磁场，则轨道半径不变，所以结合体总电荷量不变，则小球乙不带电，故B正确，C错误； D．有上述分析，可知二者发生碰撞并结合在一起后，由动量守恒，不变，若结合体继续沿着轨迹离开磁场，则轨道半径变大，所以结合体总电荷量变小，则小球甲、乙带异种电荷，故D错误。 故选AB。 13．如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．与点相距 【答案】AC 【详解】A．粒子向下偏转，应用左手定则可以得出粒子带负电荷，A正确； BC．粒子运动的轨迹如图 根据几何关系可知， 粒子运动的轨道半径 洛伦兹力提供向心力 解得，B错误，C正确； D．点与点的距离，D错误。 故选AC。 14．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．从B点离开磁场的粒子带正电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为 【答案】CD 【详解】A．根据洛伦兹力的方向判断可知，从B点离开的粒子带负电，从C点离开的粒子带正电，故A错误； B．粒子在磁场中的轨迹如图所示 根据几何关系可知正电荷的运动半径 负电荷的运动半径为 在磁场中由洛伦兹力充当向心力，即 可知，故B错误； C．周期公式为 所以正负电荷的运动周期之比，故C正确； D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比，故D正确。 故选CD。 15．如图所示，在无限长的竖直边界和间，上、下部分分别充满方向垂直于平面向外和向里的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B，下部分区域的磁感应强度大小为2B。KL为上、下磁场的水平分界线，质量为m、带电荷量为的粒子从NS边界上与K点相距为a的P点垂直于NS边界射入上方磁场区域，经KL上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与K点的距离为3a，不考虑粒子重力，，。 (1)求粒子射入时的速度大小； (2)粒子从P点到Q点的运动时间t； (3)若粒子第二次穿过KL时从L点飞出磁场，求KL的间距d。 【答案】(1) (2) (3)6a 【详解】（1）设粒子在KL上方做圆周运动半径为R，由几何关系得 由牛顿第二定律可知 联立解得， （2）粒子在KL上方区域运动的周期 结合半径公式得 粒子在KL上方区域运动的时间 （3）由左手定则判断出粒子得运动轨迹如下图所示 ， 联立得 16．一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的点，平行于轴射入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从轴上的点射出磁场，射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，如图所示。 (1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹； (2)求粒子的比荷； (3)求粒子从点运动到点的时间。 【答案】(1)正电， (2) (3) 【详解】（1）画出粒子的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，粒子带正电。 （2）由几何知识得 解得 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得， 解得 （3）粒子做圆周运动的周期为 则粒子从a运动到b所用的时间为 17．如图甲所示平面直角坐标系xOy，射线OP与轴正方向的夹角为。从时开始，有与平面垂直，大小恒为，但方向周期性变化的磁场。时，磁场方向垂直于xOy平面向里，如图乙所示。时，一个重力不计，质量为、电荷量为的粒子从点以速度沿轴正方向运动。已知粒子每次运动到射线OP上时，磁场恰好反向，不考虑磁场变化对粒子速度的影响。求： (1)时间内，粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)图乙中的值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在时间内，由洛伦兹力提供向心力可得 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为 （2）已知粒子每次运动到射线OP上时，磁场恰好反向，粒子在磁场中运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 每段圆弧对应圆心角为，对应的运动时间为 则磁场变化周期为 18．如图甲所示，平面内一有界（虚线）匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。一比荷为的带正电粒子（不计重力）从磁场区域边界上的点以大小为的速度垂直边界进入磁场（取）。 (1)求带电粒子在磁场中的运动时间及离开磁场的位置到点的距离； (2)将磁场分成若干宽度均为部分，相邻两磁场区域为真空，间距为，如图乙所示，其余条件不变。求带电粒子从原位置进入磁场后在磁场中的运动时间及离开磁场的位置到的距离。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据洛伦兹力提供向心力   解得 粒子离开位置距点   粒子做圆周运动的周期为   故粒子在磁场中的运动时间 （2）由于，故带电粒子最低只能进入第二个磁场区，如图所示 它在磁场区运动的总时间仍为半个周期   设带电粒子经过第一个磁场区时速度偏向角为，则有 所以它在无磁场区的路程   粒子离开位置距点 19．如图所示，一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴正方向上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，匀强磁场方向垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求： (1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 【答案】(1)垂直纸面向外，轨迹如图 (2) (3) 【详解】（1）由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，轨迹如图 （2）由几何关系可知 由 可得 （3）带电粒子穿过第一象限转过的角度为 所用的时间 20．如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 【答案】(1) (2)t = (3) 【详解】（1）粒子轨迹如图 几何关系可知粒子轨迹圆半径R 根据 联立解得 （2） 粒子在磁场中运动的时间为T= （3）当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小， 几何关系可知PQ长为， 则最小面积为 21．如图所示，真空室内，边界下方区域存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（上方无磁场），是荧光屏（上下两面有粒子到达时均能发出荧光），。在处有一粒子发射管（不计长度），能从两端分别沿管方向发射不同速率的粒子，一端发射正粒子，另一端发射负粒子。发射的粒子经一段时间后打在荧光屏上。已知粒子的比荷绝对值均为，不计粒子重力，不计粒子间的相互作用。求： (1)若垂直于向上发射的正粒子在处被吸收，求粒子速度大小； (2)若垂直于向上发射的正粒子最远到达处，求的长度； (3)若将发射管在纸面内逆时针转过角（不确定，且，其两端先后发射速率为的正负各一个粒子，这两个粒子同时到达荧光屏上处（图中未标出），求发射两个粒子的最大时间间隔。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）轨迹如图甲所示，几何关系可知 又 解得粒子速度大小 （2）当轨迹和相切时，在接收屏上位置最远，轨迹如图甲，此时 则 （3）可知上端发射正粒子，下端发射负粒子，才能使两个粒子均击中屏幕。且两粒子从发射到击中屏幕的轨迹组合成一个整圆。 当时，两粒子的轨迹长度之差为零，则发射两粒子的时间间隔为零。之后随增大，时间差逐渐增大。 ，即 则可知当发射管旋转角度达到某值后，向左上发射的正粒子将飞出磁场区域，则不符合题意，设转动后正粒子刚好不飞出磁场区域，则其轨迹与相切，如图乙， 由几何关系可知 此时初速度与成角，有 发射两个粒子的最大时间间隔 22．如图，平面内有两个匀强磁场，y轴左侧的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小为，y轴右侧的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为，和大小未知。质量为m、电荷量为的粒子，从x轴上A点以速度沿y轴正方向射入磁场，恰好能垂直y轴击中其上D点，若该粒子从O点以速度沿与x轴正方向成角射出，，经过磁场偏转后能击中D点，不计粒子重力。 (1)求k值大小； (2)求粒子由O运动到D的时间可能值； (3)若从x正半轴上M点以沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y轴击中D点，求M距O点的距离。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，有 由题意因，则，由几何关系 所以 （2）若粒子从y轴左侧击中D点，则有 其中即 因，即 解得· 所以， （本题用反三角函数表示也给分，） 粒子由O到D的时间为 （反三角函数答案为） 若粒子从y轴右侧击中D点，则有 其中即 因，即 解得 所以， 粒子由O到D的时间为 （3）设的方向与x轴正半轴的夹角为，如图所示 则有 求得， M距O点的距离为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $