精品解析：湖北省十堰市东风高级中学学科2023年自主招生考试数学试题

2023年东风高级中学自主招生考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若能被整除，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 3. 若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A. B. C. D. 4. 在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. P是内一点，的半径为15，点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数是（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 6. 如图与正六边形的两边和相切于点和点，若正六边形的边长是，则的半径长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 26 B. 24 C. 21 D. 15 8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 网上销售某种装饰品.最近五天，每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14.对这组数据的分析，其中正确的是（ ） A. 众数是12 B. 平均数是12 C. 方差是 D. 中位数是13 10. 二次函数的图象如图所示，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，点O是AB的中点，点M是射线CO上的一个动点，，则当为直角三角形时，AM的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 方程的解为________. 14. 如图，扇形AOB中，，，点为的中点，过点E作AO的平行线DF，则阴影部分的面积为________. 15. 已知2x＝7y＝196，则_____． 16. 在中，，于D，，，则长为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的一个实数根． 18. 在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. （1）填空：袋中黄球有________个； （2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； （3）若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 19. 如图，是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，与地面的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．（参考数据：，，，） 20. 如图，以的边上一点为圆心，为半径的经过点与交于点，连，已知，． （1）求； （2）设为的平分线，，求的度数及的半径． 21. 如图①，在正方形中，点E与点F分别在线段、上，且四边形是正方形． （1）试探究线段与的关系，并说明理由． （2）如图②若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形，，． ①线段、在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由． ②当时，求的长． 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年东风高级中学自主招生考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同底数幂的运算定理计算各个选项，即可得结果. 【详解】，A选项错误；，B选项错误； ，C选项错误，，D选项正确. 故选：D. 2. 若能被整除，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到和是方程的根，代入联立方程组，即可求解. 【详解】因为，所以能被整除， 设商为，则， 即和是方程的根， 当时，可得， 当时，可得， 联立方程组，解得，所以. 故选：A. 3. 若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得，根据图象平移确定正确答案. 【详解】依题意，定弦抛物线的对称轴为直线， 所以抛物线与轴两个交点的横坐标为， 即两个交点的横坐标为和， 所以， 所以，所以抛物线方程为， 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得到， 当时，， 所以得到的抛物线过点. 故选：B 4. 在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定，从而确定同类二次根式的形式，再结合范围，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得，，同类二次根式的被开方数一定为5， 故其被开方数可表示为， 则，， 满足条件的的取值为15,16,17,18,19，共5个. 故选：C 5. P是内一点，的半径为15，点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数是（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出过点的的最长弦与最短弦长，再结合圆的对称性即可得解. 【详解】点P是半径为15的内一点，则过点的的最长弦长为30，仅有1条， 而，当且仅当过点的的弦垂直于时，该弦长最短， 因此过点的的最短弦长为，仅有1条， 过点的的弦长是整数的还有长度分别为的弦，各有2条， 所以过P点、长度是整数的弦的条数是12. 故选：D 6. 如图与正六边形的两边和相切于点和点，若正六边形的边长是，则的半径长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形的性质、圆的切线性质、多边形内角和及直角三角形的性质求解即可. 【详解】连接、、. 正六边形每个内角为，边长为，且. 因为、是的切线，所以，，即. 五边形的内角和为， 所以. 又，所以为等腰三角形. 过点作，则为的中点，且平分， 所以，. 在中，. 故选：C. 7. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 26 B. 24 C. 21 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，解不等式求出的范围，进而确定整数值并求出和. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 由不等式组有且只有4个整数解，得中有且只有4个整数， 因此，解得； 由一元二次方程有两个不相等的实数根，得， 解得且，于是且，而是整数，则或， 所以符合条件的所有整数的和为. 故选：D 8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折可知：NC=NE，所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大，由翻折可知：MN是CE的垂直平分线，延长GN交AB于点D，可得DN平分∠ANB，过点D作DH⊥BN，然后证明Rt△AND≌Rt△HND（HL），可得AN=HN=6，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】如图， 由翻折可知：NC=NE， 所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大； 在Rt△ABC中，∠A=90°，∵AB=8，tan∠ABC=，∴AC=12， ∵点N是边AC的中点，∴AN=CN=6，∴NE=6， 由翻折可知：MN是CE的垂直平分线， ∴∠ENG=∠CNG，延长GN交AB于点D，∴∠BND=∠AND，∴DN平分∠ANB， ∵DA⊥AN，过点D作DH⊥BN，∴DA=DH，∴DB=AB-AD=8-DH， 在Rt△AND和Rt△HND中， ，∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），∴AN=HN=6， 在Rt△ABN中，AB=8，AN=6， ∴BN==10，∴BH=BN-HN=10-6=4， 在Rt△DBH中，DB=8-DH，根据勾股定理得： DB2=DH2+BH2，∴（8-DH）2=DH2+42，解得DH=3， 在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根据勾股定理得： DN2=AD2+AN2，∴DN2=32+62=45，∴DN=3， ∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，∴∠ADN=∠NCG， ∵sin∠ADN=，∴sin∠NCG=sin∠NCE=． 故选：D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 网上销售某种装饰品.最近五天，每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14.对这组数据的分析，其中正确的是（ ） A. 众数是12 B. 平均数是12 C. 方差是 D. 中位数是13 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差和中位数的概念和公式进行求解即可. 【详解】由于每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14. 所以众数为12，A正确； 平均数为，B正确； 方差为，C正确； 这组数据按照从小到大排序为，由于数据的个数为奇数，所以中位数为12，D错误； 故选：ABC. 10. 二次函数的图象如图所示，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数图象进行分析，从而确定正确答案. 【详解】二次函数开口向上，所以， 当时，为负数，所以， 对称轴，所以， 所以，A选项错误. 二次函数图象过点， 所以， 所以B选项正确. 当时， ， 而， 所以， 所以D选项正确. 因为对称轴， 则， 所以，C选项正确. 故选：BCD 11. 在中，，点O是AB的中点，点M是射线CO上的一个动点，，则当为直角三角形时，AM的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】分两种情况结合题意可得答案. 【详解】若，如下图所示， 因，O为中点，则， 因，则， 又，可得，， ； 若，如下图，以O为圆心，为半径作圆与射线交于 两点，因直径所对圆周角为，则.即满足条件. 对于，因，则，又， 则是等边三角形，，； 对于，因，又， 则是等边三角形，. 故选：ACD 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的特征得出数列为，，，，，，，再利用数列的周期性可得出选项A和C的正误，利用波那契数列的特征，可判断出选项B和D的正误. 【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数， 所以数列为，，，，，，，则数列为周期数列，且周期为， 选项项A，因为，故选项A正确； 选项B，因为，故选项B正确； 选项C，因为，，且，，， 所以或，故选项C错误； 选项D，因 ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 方程的解为________. 【答案】 【解析】 【分析】移项化简，两次平方将根号去除得到，解得 或，再验证答案即可. 【详解】由题得，两边平方得到 化简得到 ， 再次两边平方得到，即 ，解得 或； 当时，代入原方程得到，舍去； 当时，代入原方程得到，满足条件； 所以 . 故答案为：. 14. 如图，扇形AOB中，，，点为的中点，过点E作AO的平行线DF，则阴影部分的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出为等边三角形和为等腰直角三角形，利用扇形的面积公式求出扇形的面积，利用三角形面积公式求出和，则阴影部分的面积为扇形的面积，计算得解. 【详解】连接，， 点为的中点，， 为的中位线， 为线段的垂直平分线， ， 又，为等边三角形， ， ，， 为等腰直角三角形， 扇形的面积为， ， ， 阴影部分的面积为扇形的面积. 故答案为：. 15. 已知2x＝7y＝196，则_____． 【答案】． 【解析】 【分析】把已知的等式指数幂形式转化对数形式，求出，再用换底公式，即可求出结论. 【详解】， . 故答案为: 【点睛】本题考查指数幂和对数之间的关系，考查换底公式，属于基础题. 16. 在中，，于D，，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理分别在直角三角形中用表示出，过作交于，利用的面积转换底和高建立的等式求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， ，，， ，， ， ，，， 过作交于， ，是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ，， 或，当时，与题意不符，故舍去， ，. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的一个实数根． 【答案】， 【解析】 【分析】通分化简式子；再把，配方代入可得答案. 【详解】原式， ； 已知  是方程  的实数根， 所以， 配方得：， 所以：原式. 因此，原式的值为 . 18. 在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. （1）填空：袋中黄球有________个； （2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； （3）若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 【答案】（1）1 （2） （3）小芳的摸法有：2次摸到红球、4次摸到黄球、0次摸到蓝球；3次摸到红球、2次摸到黄球、1次摸到蓝球；4次摸到红球、0次摸到黄球、2次摸到蓝球. 【解析】 【分析】（1）设袋中黄球的个数为，根据概率公式得到关于的方程，然后解方程即可；（2）利用树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸到都是红球的次数，再根据概率定义求解即可；（3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，根据题意列出方程组，求解方程组的非负整数解即可. 【小问1详解】 设袋中黄球的个数为，依题意得，解得； 【小问2详解】 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有1种，所以两次摸到都是红球的概率为； 【小问3详解】 设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，依题意得， 整理得， 当时，，（舍去）；当时，，（舍去）； 当时，，；当时，，；当时，，； 所以小芳的摸法有： 2次摸到红球、4次摸到黄球、0次摸到蓝球； 3次摸到红球、2次摸到黄球、1次摸到蓝球； 4次摸到红球、0次摸到黄球、2次摸到蓝球. 19. 如图，是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，与地面的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．（参考数据：，，，） 【答案】（1）猜想y与x是二次函数关系， （2）6s 【解析】 【分析】（1）根据题意设，利用待定系数法求解； （2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，无人机飞行了6.3tm到达点，过点作交AB于C，交于D，过点A作于F，过点A作于G，过点P作于E，解三角形求得，在中，由运算得解. 【小问1详解】 猜想y与x是二次函数关系， 因为，，故设，代入，， 得，解得， y与x之间的函数表达式为：. 【小问2详解】 设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方， 此时运动员滑行了（，无人机飞行了6.3tm到达点， 过点作交AB于C，交于D，如图所示： 此时运动员滑行到点C， ， 过点A作于F，过点A作于G，过点P作于E， 则四边形与四边形都是矩形， ，， ，， 无人机在上空距地面292m的P处悬停， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，（不合题意舍去）， 该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方. 20. 如图，以的边上一点为圆心，为半径的经过点与交于点，连，已知，． （1）求； （2）设为的平分线，，求的度数及的半径． 【答案】（1）. （2）45°，． 【解析】 【分析】（1）根据三角形相似得到线段间的比例关系，进而求出比值. （2）首先证明出是等腰直角三角形，再根据三角形相似即勾股定理求解即可. 【小问1详解】 因为为直径，所以. 在中，. 又，，所以，则. 设，则，，所以. 所以. 【小问2详解】 设与相交于点， 因为为的平分线，，所以， 又，，所以， 所以， 又，所以是等腰直角三角形，所以， 又，，所以， 所以，由（1）得， 所以，所以， 所以，，所以，， 所以，因此的半径为． 21. 如图①，在正方形中，点E与点F分别在线段、上，且四边形是正方形． （1）试探究线段与的关系，并说明理由． （2）如图②若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形，，． ①线段、在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1），，理由为： 如图1，四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ，， ，， ，， ，， ，即. （2） ①位置关系保持不变，数量关系变为； 理由是：如图3，连接、交于点O，连接， 四边形是矩形，， 在中，，在中，， ， 在以点O为圆心的圆上， ，为的直径， ，也是的直径， ，即，， ，， ，，； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，进而可得，； （2）①由题连接、交于点O，连接，证明在以点O为圆心的圆上，进而证明得解； ②过D作于，证明，进而运算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①知：， 设，， 当时，如图4，过D作于， ，，， ，， ， ，所以， . 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，符合条件的点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）抛物线经过点建立方程，解得参数，即可求得抛物线函数表达式； （2）过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K，由相似三角形得，写出直线BC的解析式得到，设点坐标即可求得，从而得到表达式，通过二次函数的性质求得最大值； （3）由题意得直线l的解析式，设点坐标，①当点P在直线BQ右侧时，过点P作轴于点N，过点Q作直线PN于点M，由勾股定理的逆定理及三角形相似得到线段的关系，即可表示出点坐标，由抛物线的函数表达式求得点坐标.②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标，即可求得点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，解得 ∴． 【小问2详解】 过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K， ∴，∴，∴，∴， 直线BC的解析式为，∴ 设，则， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是． 【小问3详解】 存在．符合条件的点P的坐标为或， ∵， ∴直线l的解析式为，设， ①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线PN于点M， ∴，，，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，，∴， ∴，∴， ∴，， ∴，， ∴，将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或．∴． ②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为， 此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $