第7章 专题强化练5 卫星变轨问题和双星问题 5 相对论时空观与牛顿力学的局限性(略)（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第二册同步学案（人教版）

专题强化练5　卫星变轨问题和双星问题 5　相对论时空观与牛顿力学的局限性(略) 1．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　) A．v1＞v2，v1＝ B．v1＞v2，v1＞ C．v1＜v2，v1＝ D．v1＜v2，v1＞ 【解析】　根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由＝可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1＞，故B正确。 【答案】　B 2．宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力而互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统中的星球A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO＞OB，则(　　) A．星球A的质量一定大于B的质量 B．星球A的角速度一定大于B的角速度 C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【解析】　双星系统中两颗恒星运动的角速度相等，周期也相等，故B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrBω2，因为rB<rA，所以mB>mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律，有G＝mArA，G＝mBrB，其中rA＋rB＝L，联立解得T＝2π ，故双星间距离一定，双星总质量越大，其转动周期越小，双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C错误，D正确。 【答案】　D 3．我国先发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 【解析】　若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后使飞船加速，加速后万有引力小于所需向心力，飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，减速后万有引力大于所需向心力，空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，D错误。 【答案】　C 4．(多选)2018年12月27日，中国北斗三号基本系统完成建设，开始提供全球服务。北斗三号卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。假如静止轨道卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P处点火加速，由椭圆轨道1变成静止圆轨道2，下列说法正确的是(　　) A．卫星在轨道2上运行时的速度小于7.9 km/s B．卫星变轨前后的速度相等 C．卫星在轨道2上运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小 D．卫星在轨道1上的P点和在轨道2上的P点的加速度大小相等 【解析】　7.9 km/s是第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度，轨道2的半径要大于近地卫星的轨道半径，根据v＝ 可知，卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故选项A正确；由椭圆轨道1变到圆轨道2要加速，速度增大，则选项B错误；轨道2是同步轨道，在轨道2上的角速度与在赤道上相对地球静止的物体的角速度相同，由a＝rω2可知，半径大的加速度大，选项C错误；在同一点引力相同，则加速度相等，选项D正确。 【答案】　AD 5．(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积　　 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 【解析】　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示：每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得：＝m1ω2r1① ＝m2ω2r2② l＝r1＋r2③ 由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝， 质量之和可以估算。 由线速度与角速度的关系v＝ωr得： v1＝ωr1④ v2＝ωr2⑤ 由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。质量之积和各自的自转角速度无法求解。 【答案】　BC 6．(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则(　　) A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 【解析】　甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力：F甲＝＋＝，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为0，B错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由v＝ωR可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方向相反，故C错误，D正确。 【答案】　AD 7．(多选)(“科学推理”素养)2015年8月14日消息，据英国《每日邮报》报道，科学家们的最新研究发现，在我们太阳系的早期可能曾经还有过另外一颗行星，后来可能是在与海王星的冲撞中离开了太阳系。由于撞击，导致海王星自身绕太阳做圆周运动的轨道半径变大。已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．被撞击后正离开太阳系的行星受到太阳的引力越来越小 B．如果知道行星被撞击前的轨道半径和周期，就可以求出该行星的质量 C．海王星变轨到新的轨道上，运行速度变大 D．海王星变轨到新的轨道上，运行周期变大 【解析】　根据万有引力定律F万＝G，被撞击后正离开太阳系的行星受到太阳的引力越来越小，选项A正确；如果知道行星被撞击前的轨道半径和周期，只能求出太阳的质量，无法求出行星的质量，选项B错误；根据万有引力充当向心力得G＝m海＝m海r，可得v＝，T＝2π ，可见海王星运行速度变小，运行周期变大，选项C错误，选项D正确。 【答案】　AD 8．(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是(　　) A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化 B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期 C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度大小一定大于经过P点时的加速度大小 D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率 【解析】　“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，A错误；由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，C正确；由开普勒第二定律可知，“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，D错误。 【答案】　BC 9．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 【解析】　设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G＝m1r1 G＝m2r2 并且r1＋r2＝L 解得T＝2π 当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时 T′＝2π ＝T 故选项B正确。 【答案】　B 10．(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间站交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是(　　) A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．如不加干预，在运行一段时间后，“天宫一号”的速度可能会增加 C．如不加干预，“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低 D．航天员在“天宫一号”中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【解析】　第一宇宙速度是卫星运行半径等于地球半径时的运行速度，即为卫星最大的运行速度，故目标飞行器的运行速度应小于第一宇宙速度，故A错误；如不加干预，稀薄大气对天宫一号有阻力作用，使得速度减小，天宫一号做近心运动，引起高度的下降，由v＝ 可知，速度会增大，故B、C正确；航天员处于完全失重状态的原因是地球对航天员的万有引力全部用来提供使航天员随天宫一号绕地球运行的向心力了，而非航天员不受地球引力作用，故D错误。 【答案】　BC 11. (多选)(“模型建构，科学推理”素养)如图所示，某双星系统由质量不相等的B、C两颗恒星组成，质量分别是M、m(M>m)，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球所在处A点看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O距离恒为L。观测发现质量较大的恒星B做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sin Δθ＝tan Δθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则(　　) A．恒星C的角速度为 B．恒星C的轨道半径为 C．恒星C的线速度大小为 D．两颗恒星的质量m和M满足关系式＝ 【解析】　恒星C与B具有相同的角速度，则角速度为ω＝，选项A错误；恒星B的轨道半径为R＝Ltan ＝LΔθ，对恒星系统有mω2r＝Mω2R，解得恒星C的轨道半径大小为r＝，选项B正确；恒星C的线速度大小为v1＝ωr＝·＝，选项C正确；对恒星系统有G＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，联立可得，＝，选项D正确。 【答案】　BCD 12．进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的(　　) A．1倍 B．2倍 C.倍 D．2 【解析】　设正方形边长为L，每颗星的轨道半径为r＝L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力： 2×cos 45°＋＝mω2r 得：ω＝，所以当边长变原来一半，星体的角速度变为原来的2倍，故D项正确。 【答案】　D 13．某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则： (1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？ (2)远地点B距地面的高度h2为多少？ 【解析】　(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G 由万有引力定律和牛顿第二定律得 aA＝＝＝。 (2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝ 由万有引力定律和牛顿第二定律得 G＝m(R＋h2) 解得h2＝ －R。 【答案】　(1)　(2) －R 14. 如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字) 【解析】　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知： 对B有：G＝Mr2 对A有：G＝mr1 又r1＋r2＝L 联立解得T＝2π (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为 T1＝2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：＝m月L′ 解得T2＝2π 则＝ 故＝≈1.012。 【答案】　(1)2π 　(2)1.012 学科网（北京）股份有限公司 $