第7章 3 万有引力理论的成就（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第二册同步学案（人教版）

本高中物理讲义聚焦万有引力理论的成就，系统梳理“称量”地球质量（重力加速度法）、计算天体质量（环绕法）、推导天体密度及运动参量（v、ω、T、a）与轨道半径关系的核心知识点，结合海王星发现、哈雷彗星回归等科学史案例，构建从原理到应用的学习支架。 资料通过模型建构（将天体运动简化为匀速圆周运动模型）和科学推理（推导质量、密度公式）培养科学思维，融入科学史案例渗透科学态度与责任。例题、练习题及“特别提醒”设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3　万有引力理论的成就 1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2．了解“称量”地球质量、计算太阳质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量。 3．理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。　　 一、“称量”地球的质量 1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。 2．关系式：mg＝G。 3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。 4．推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。 二、计算天体的质量 1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。 2．关系式：＝mr。 3．结论：m太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 4．推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。 三、发现未知天体，预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维那根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质。近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算了24颗彗星的轨道，并预言了其中一颗彗星(哈雷彗星)的回归时间，结果在1759年3月如期回归，从而确立了万有引力定律的地位。 1．判断下列说法的正误。 (1)利用地球绕太阳做匀速圆周运动的信息，可求出地球的质量。(　　) (2)行星做匀速圆周运动的轨道半径越大，太阳的质量就越大。(　　) (3)知道太阳的质量，如果再知道太阳的半径，可进一步求出太阳的平均密度。(　　) (4)“笔尖下发现的行星”是冥王星。(　　) (5)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(　　) (6)英国天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归时间。(　　) 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．一质量为m＝9 kg的物块，将它放置在航天飞机内的平台上，航天飞机随火箭以a＝5 m/s2的加速度匀加速上升，当火箭飞离地面高度为地球半径的2倍时，飞机内平台对物块的支持力为________N。(地面处重力加速度g＝10 m/s2) 【解析】　设地球质量为m地，半径为R， 根据地球表面物体的重力近似等于万有引力可得： mg＝，g＝ 火箭飞离地面的高度为地球半径的2倍时，重力加速度g′＝＝g 根据牛顿第二定律，FN－mg′＝ma 代入数据得：FN＝55 N 【答案】　55 一、天体质量和密度的计算 月球是地球的唯一一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？ 【答案】　根据G＝m月r可知，我们可推导出地球的质量，无法推导出月球的质量。 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2.天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 　地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，引力常量是G。忽略地球自转的影响。如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ的表达式为(　　) A．ρ＝　　　　 B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 【解析】　地球表面重力与万有引力相等有：G＝mg，可得地球质量为：M＝；地球的体积为：V＝πR3，所以地球的密度为：ρ＝＝，D项正确。 【答案】　D 　木星的半径约为R＝7.0×107 m。伽利略用望远镜发现了木星的四颗卫星，其中木卫三离木星表面的高度约为h＝1.03×109 m，它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T＝6.0×105 s，已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则木星的质量约为(　　) A．2.0×1023 kg B．2.0×1025 kg C．2.0×1027 kg D．2.0×1029 kg 【解析】　根据万有引力提供向心力有：＝m(R＋h)，化简得木星的质量m木＝，代入数据，解得m木≈2.0×1027 kg，故C正确。 【答案】　C 特别提醒 求解天体质量和密度时的两种常见错误 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 【针对训练】　利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【解析】　由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有G＝m0R，可得M＝；由万有引力提供人造卫星的向心力，有G＝m1，v＝，联立得M＝；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G＝m2r，可得M＝，故根据A、B、C三项的数据均可计算出地球的质量。同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D。 【答案】　D 二、天体运动的分析与计算 1．基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。 2．常用关系 (1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。 (2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2＝Gm天，该公式称为黄金代换。 3．四个重要结论 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 速记口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”。 　为了纪念祖冲之的功绩，1967年，国际天文学家联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。已知“祖冲之星”的公转周期约为4年，假设其与地球均绕太阳做匀速圆周运动，与地球相比，下列关于“祖冲之星”绕太阳公转的说法正确的是(　　) A．它的公转半径更大 B．它的公转线速度更大 C．它的公转角速度更大 D．它的公转向心加速度更大 【解析】　行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝mr＝m＝mω2r＝ma，得T＝2π ，v＝，ω＝ ，a＝，式中M是太阳的质量，r是行星的轨道半径。根据上列各式分析可知，“祖冲之星”的公转周期比地球的大，则它的公转半径比地球的大，线速度、角速度和向心加速度比地球的小，故A正确，B、C、D错误。 【答案】　A 　如图所示，A、B两颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星的速度大小是B卫星速度大小的2倍，下列说法正确的是(　　) A．轨道半径之比＝ B．向心加速度之比＝ C．周期之比＝ D．角速度之比＝ 【解析】　根据＝m，得r＝，可得＝，故A错误；根据＝ma，得a＝，故＝＝，故B正确；根据＝mr，得T＝2π ，故＝ ＝，故C错误；根据＝mω2r，得ω＝ ，得＝ ＝，故D错误。 【答案】　B 1．(天体质量的计算)观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为(　　) A．2π 　　　　　 B. C. D. 【解析】　线速度v＝① 角速度ω＝② 根据线速度和角速度的关系公式，有v＝ωr③ “嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有＝mωv④ 联立①～④式，解得M＝。 【答案】　B 2．(天体密度的计算)近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)(　　) A．ρ＝kT B．ρ＝ C．ρ＝kT2 D．ρ＝ 【解析】　根据万有引力定律得 G＝mR， 可得火星质量M＝， 又火星的体积V＝πR3， 故火星的平均密度ρ＝＝＝， 选项D正确。 【答案】　D 3．(天体质量和密度的计算)(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得(　　) A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为 C．无法求出该行星的质量 D．该行星表面的重力加速度为 【解析】　根据周期与线速度的关系T＝，可得行星的半径为：R＝，故A正确；根据万有引力提供向心力＝m可得行星的质量为：M＝，由M＝πR3·ρ可得：ρ＝，故B正确，C错误；行星表面的万有引力等于重力，＝m＝mg′，解得：g′＝，故D错误。 【答案】　AB 4．(卫星各运动参量与轨道半径的关系)如图所示，A、B、C是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是(　　) A．根据v＝，可知vA<vB<vC B．根据万有引力定律，可知FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 【解析】　同一轨道平面内的三颗人造地球卫星绕同一中心天体(地球)做圆周运动，根据万有引力定律有G＝m，得v＝ ，由题图可以看出卫星的轨道半径rC＞rB＞rA，故可以判断出vA＞vB＞vC，选项A错误。因不知三颗人造地球卫星的质量关系，故无法根据F＝G判断它们与地球间的万有引力的大小关系，选项B错误。由G＝mω2r得ω＝ ，又rC＞rB＞rA，所以ωA＞ωB＞ωC，选项C正确。由G＝ma得，a＝G，又rC＞rB＞rA，所以aA＞aB＞aC，选项D错误。 【答案】　C 5．(天体运动的分析与计算)如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱。已知月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，不考虑月球的自转。求： (1)月球的质量M； (2)轨道舱绕月球飞行的周期T。 【解析】　(1)设月球表面上质量为m1的物体，其在月球表面有：G＝m1g 月球质量：M＝ (2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m 由牛顿第二定律得：G＝mr 解得：T＝。 【答案】　(1)　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $