备考信息导航演练4-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

真题密卷 备考信息导航演练（四） 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练 数学（四） 一、选择题 7.A【解析】依题意得F(?0）,则1：y=2(x-)联 1.B【解析】因为M={-10,72,3,N=xz<1 且z0,将以MnN={-1,》: 立=2（号》清y得-6pE+=,注A医 ly'=2px, 2.D【解析】由题意知之=1一3i,所以+1-2+31 ),B(x:y),则x1十x=2,AB=x1十x2十p 3p (2+3i)i-3-2i. 2,因为y轴藏以AB为直径的圆所得的弦长为4，所以 5 3.A【解析】由3sin(2a-）=7csa,得3cos2a十7cosa √2)-（2T-2,即力=2，所以AB1-碧-5. =0,所以6cos2a+7cosa-3=0,所以(2cosa十3)(3cosa 8.B【解析】令t=e,则原函数转化为y=t(t十a),其图 -1》=0,解得cs8-号成6wa-子（合），所以0s。 象的对称轴为直线1=一号，若a>0,则1=心“在(-1， 1 3 0)上单调递增，且t∈(ea,1),因为原函数在区间(-1， 4.A【解析】由a>0,b>0,可得2>a+b≥2√ab,所以 0)上单洞递减，于是得-号≥1，解得a≤-2，与a>0矛 1;反之当a=2,b=时，满足ab<1,但a十b2 盾；若a<0,则t=e在(-1,0)上单调递减，且t∈(1， 所以“a十b<2”是“ab<1”的充分不必要条件 e),因为原函数在区间（一1,0上单调道减，于是得一号≤ 1 5.C【解析】由题意知f'(x)=ax中，设切点横坐标 1,解得a≥-2，则-2≤a<0;若a=0,则f(x)=1在区间 为x0,因为曲线y=f(x)与x轴相切， (-1,0)上不单调，舍去，故一2≤a<0. 1 二、选择题 所以一十1=0， 所以lna-a十1=0， 9.AC【解析】由X~N(2,1),Y~N(1,2)知，E(X)= axo-In(zo+1)=0, 2,E(Y)=1,D(X)=1,DY)=4,所以E(X)=2E(Y), 令g(a)=lna-a+1,则g'(a)=1-1=1-0, D(Y)=4D(X),故A正确，B错误；因为P(X≥1)> a a 所以当a∈(0，l)时，g'(a)>0,g(a)单调递增； PGX2-PY≥D-所以PCX≥>PY》. 当a∈(1，十∞)时，g'(a)<0,g(a)单调递减， 故C正确；因为E(X)十√DX)=EY)+√DY)= 所以g(a)mx=g(1)=0,所以方程lna-a+1=0的 3,所以P(Y≥3)=P(X3),故D错误. 根为a=1. 10.ACD【解析】由已知可得侧面中每个梯形的面积为 6.C【解析】（侵-y'展开式的通项为 126m2,梯形的高为6m,由此可得棱台的高h= T,+1=C5x-5(-1)'y'=(-1)C5x-5y', 62-24-18)2=3m,故A正确：该枪台上底面 所以-2经-)厂'的展开戈中的项为-1yCy 15 面积S1=54×9√3m2,下底面面积S2=72×12W3m2, 或-2(-1)Cx5y+1,因为r-4十r=r-5+r+1= 故棱台的体积V-号×(54×93+72×12B+ 2r-4,且m+n=2,所以2r一4=2，解得r=3,所以这 些项的系数和为-C号+2C=C=10. √54×9√3×72×12W3)×3=19983m3,故B错误； A 数学答案（四）第1页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 设侧棱与底面所成的角为a,则tana 3 8种；第二种情况：数学、物理、语文分别为两节且连排，此 24-18=2,故 时数学、语文或物理、语文相邻，则有2X2X3AA经=48种； C正确；设侧面与下底面的夹角为，则sinB=6=2 31 第三种情况：数学、物理、英语分别为两节且连排，此时数 学、英语或物理、英语相邻，则有2X2×3AA虽=48种，所以 所以B=30°，故D正确. 不同的排课方案共有48×3+8=152种. 11.BCD【解析】f(x)=sin2x-1-cs2x」 1 四、解答题 cosx cos x cos x 15.解：(1)由 cosx,因为函数y=0sx在区间(-2,0上单调递增， ,1a1,得41 a1-1=a1, 解得a1=2或a1=0,又am>0,所以a1=2,(1分) 一x在区间(0,1)上单调递减，所以f(x)在区间 所以Sn=2(am-1),当n≥2时，Sm-1=2(am-1-1), x 两式作差得an=2an一2am-1, (20)上单羽递减，故A错误：因为f(x-) 即当n≥2时，an=2an-1, 所以{am}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 sin(-x）_sinx,所以f(r-x)=一f(x),即f(x) Cos(π一x) -cos am=2X2m-1=2". (4分) b1十b3=a1十a3, 的困象关于点（经，0中心对称，故B正确；因为了x) 设{b.}的公差为d,由 b2+b4=S3, sin x 2b1+2d=2+8=10, 十sinx,所以f(0)=0,又f(0)=0,所以f(x)的 得 cosx 2b1+4d=14, 图象与工轴相切，故C正确；由f(x)<一号，得 解得6=3所以6.=3十(m-1DX2=2n+1, d=2, <-所以 fcos x<0, 即 所以am=2,bm=2n十1，n∈N*. (6分) cos x 2cos2x-3cos x-2<0, (7分) (cos x<0, |(2cosx+1)(cosx-2)<0, 所以-}<os<0… (2)由(1)知c,=6:-2n+1 an 2n 所以Tn=c1十c2十十cn 所以仍a)-音故D正确， 3,57 2n-1,2n+1 222十2+…+ 2n-1Γ十 2n 三、填空题 3 ,5,7 仅22十28十2+ 2n-1,2n+1 12.2【解析】因为(a一b)⊥c,所以(a一b)·c=0,又a一b= 2n 2m+1,(9分) (2x-1,-2),c=(2,x+1),所以2(2x-1)-2(x十1)=0， 两式相减得，=名+（十分+… 1 2n+1 2n-1 2n+1 解得x=2. 13.【解析】不妨设C的一条渐近线方程为y马 b 3 -） 2n+152n+5 a 2n+1 2m+1, (11分) 1 2 F2(c,0),O为坐标原，点，可得PF2=b,|OP=a,在 a |PF1| △PF,O中，由正孩定理得sin∠PF,F:-sin/POF 所以T,=5-2n+5 (13分) P0E即PE=3ae·=6,所以在△P5B 16.(1)证明：连接BD,由已知得AB=DC=PD,PC=√2PD, c 所以PC2=PD2十DC2,所以PD⊥DC, (1分) 中，由余弦定理得9b2=b2+4c2-2b·2c·cos∠PF20 因为在矩形ABCD中，AD=√2AB, 6+4c2-2h·2·名，化简整理得36=c2=3(c2-a2, 所以tan∠ABD=AB=√2， 、所以3a2=2c2,即C0=3,所以e=￡=V6 a21 tan∠AEB= AB=2, AD 1 14.152【解析】由题意知这五门课中有三门课两节且连 排，另两门课均为一节.第一种情况：数学、语文、英语分 所以tan∠ABD=tan∠AEB, 别为两节且连排，若数学、语文或数学、英语相邻，则有2 且∠ABD,∠AEB均为锐角，所以∠ABD=∠AEB, X2X3AA=48种；若语文、英语相邻，则有2×2A= 所以∠AEB+∠EBD=∠ABD+∠EBD=90°， 数学答案（四）第2页（共5页） A 真题密卷 备考信息导航演练（四） 所以AE⊥BD, (3分) 令b=1,则a=0,c=1, 又PB⊥AE,PB∩BD=B,且PB,BDC平面PBD 所以平面BEF的法向量n=(0,1,1). (13分) 所以AE⊥平面PBD, m·n 因为PDC平面PBD,所以AE⊥PD, (4分) 因为|cos(m,n)|=mm 又PD⊥DC,AB∥DC,所以PD⊥AB, 又AE∩AB=A,且AE,ABC平面ABCD, + 2 Tx2+1+匠 2 所以PD⊥平面ABCD. (6分) (2)解：当F为PB的中点时，平面AEF与平面BEF 的夹角为45°. 解得入=2，此时F为PB的中点， 理由如下： 所以当F为PB的中点时，平面AEF与平面BEF的 由(1)知PD⊥平面ABCD,AD⊥DC, 夹角为45°. (15分) 所以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为 17.解：(1)设该队第一阶段的得分为X1,第二阶段的得分 x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 为X2,当X1=4,X2=1时，X的取值为5，(2分) 若由甲参加第一阶段的比赛，P(X=5)=P(X1=4)· PX=D=×号×2x号x1-)= (4分) 若由乙参加第一阶段的比赛，P(X=5)=P(X1=4)· D PX:=D=号×号×2x×-)=号 所以由乙参加第一阶段的比赛时，X=5的概率更大. (7分) (2)由题意知，X的可能取值为一6，一3，一1,0,2,4， 5,7,10, (8分) 1 令AB=2,则A(2√2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,2), 则P(X=-6)=P(X=-2)·P(X:=-4)=2× B(22,2,0),E(√2,2,0)， .1.11 PC=(0,2,-2),CB=(2√2,0,0)， 2×3×3=36 AE=(-√2,2,0)，PB=(2√2,2，-2)， .1、1 PX=-3)=P(X=1D·P(X,=-4)=2X2×2× AP=(-22,0,2), 设P方=λPB(0<入<1)， 日×分最 A市=AP+PF=AP+λPB=(2√2λ-2√2,2,2-2λ)， 1..1 P(X=-1)=P(X=-2)·P(X,=1D=2X2×2X (8分) 设平面AEF的法向量为m=(x,y,之)， m·AE=0, 则 m·AF=0, P(X=0)=PX=4)·P(X2=-4)7×2×31 即人2x+2y=0, 11 (2√2λ-2√2)x+2λy+(2-2λ)z=0, 3-36 1 令x=2,则y=1,=2-3别 P(X=2)=P(X=1D·P(X:=1)=2X2×2X2X 1-入9 2、182 所以平面AEF的法向量m-(2,1子).(11分) 3×3=36=9: 1,1，2 设平面BEF的法向量为n=(a,b,c), P(X=4)=PX,=-2):P(X。=6)=2X2×3× n·PC=0,m2b-2c=0, 则 即 241 n·CB=0,2V2a=0, 336-9 A 数学答案（四）第3页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 pX-)- 因为PQ的中点是A, x2my十t+mtt=4, P0K=》=PX=IDPX:=6)=2X号×号x号 1 1、 所以x十x0y,十=y21-y1 T1-y2 整理得(2m十4)y1y2+(t-m-4)(y1十y2)+4-2t=-0, 282 2mt\ 3369 所以(2m+42+4十(t一m一4)（m2士4 +4-2t P(X=10)=P(X1=4)·P(X:=6)=2 1 2 十 =0, 化简整理得(t十m)2=2(t十m), 2=4-=1 3=36-91 所以t+m=0或t+m=2, (9分) 所以X的分布列为 当t十m=0,即t=一m时， lMN x=my+t=m(y-1), 一6 一3 -1 0 2 4 5 10 此时直线MN过定点B(0,1),舍去； 2 1 1 2 当t十m=2,即t=一m+2时， 36 18 9 36 9 9 9 9 lMN :x=my+t=m(y-1)+2, (13分) 此时直线MN过定点(2,1)， 故E(X)=-6X 1 1 36-318-1Xg+0×3 2大4 _+2 所以直线MN过定点，该定点坐标为(2,1).(11分) (i)解：由(i)知，lMw:x=my十2-m,t=一m十2，故 x日+5xg+x号+10xg号 1 2 111 (15分) 4m-2m2 则△=64m>0,y1+y2= m2+4, 18.(1)解：由题意知A(a,0),B(0,b), 当MN的中点是O时，设M(xo,yo), yiy:=mi-4m m2+4, 则N(-且股+装- 所以|MN|=√1+m产|y1-y2 因为直线BM,BN的斜率之积为-}，所以 =√1十m√(y1+y2)2- 4y1y2 =√1+m 4m-2m2) m2+4 -4xm4m 62 m2+4 %-b.一-b8-ba6 b2 1 xx6 a2 ,所以 =81+m*V m2十4 a2=4b2,即a=2b, 2 又点B到直线MN的距离d= 又|AB|=√a+b=5b=5,所以b=1,a=2, √1+m 所以C的方程为+y1 (4分) 1 所以SA2X8V1+m2mX 2 m2+4^√1+m (2)(1)证明：由题意知直线MN的斜率不为0， 8/m 设lMN:x=my十t,M(x1,y1),N(x2,y2), m2+4’ (14分) (x2 联立4 +y2=1, 令f(m)=8vm m2+4m>0, x=my+t, 消x得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0, 则f'(m)=- 4(4-3m2) m(m2+4)2 则△=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)=16(m2-t2+4)>0, 2mt t2-4 y1+y2= m8+4'y1y2= (6分) 所以当m∈0,23)时，f(m)≥0，f(m)单调递增 m2+4' 由(1)知A(2,0),B(0,1), 当m+o时，fm0,m)单调适藏， 所以1my十1，令y=0,得= 同理1x议十1，令y=0,得0 所以m)=f） 2 x2 (7分) 所以△BMN的面积最大值为TOS。 21 (17分) 数学答案（四）第4页（共5页）》 A 真题密卷 备考信息导航演练（四） 19.(1)解：f(x)=sinx不是R上的“t倍超导”函数. 理由如下： 因为上≤-1，心<1，所以px)<0. 假设f(x)=sinx是R上的“t倍超导”函数， 即h'(x)单调递减， (11分) 则Hx∈R,f(tx)≥tf'(x)恒成立， 即sin ta≥tcos x, 又(-1=>0h(--eth是e-10, 当x=0时，0≥t,与t为正数矛盾， 所以3，（←1，-，使e。)=0, 故f(x)=sinx不是R上的“t倍超导”函数.(3分) (2)解：因为k(x)=x3+a(x十3)是(0，十o∞)上的“3倍 故当x∈(-∞，xo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 超导”函数，所以对Vx∈(0，十∞)，k(3x)≥3k'(x)恒 当x∈(xo,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 成立， 即可得h(x)max=h(xo)=e。-xo十xoln(-x)-3. 即27x3+a(3x十3)≥3(3x2+a)在(0，十∞)上恒成立， 因为h'(xo)=0,所以e=-ln(-xo), 即9x3十ax≥3x2在(0，十∞)上恒成立，即a≥3x-9x2, Bxoe*o=-xoln(-xo)=eto In e*o, (13分) 叉a≥3z-92=-9(-君)°+在0，+0)上恒 令t(x)=-xln(-x),易得其定义域为(-oo,0), 则c,)=4(-e).因为当<-时 成立， t'(x)=-ln(-x)-1<0, 所以a≥4，故a的取值范围为 (7分) 所以t(x) (,-)上单调递减。 (3)证明：因为g(x)=x2十mx十m是R上的“1倍超 导”函数，所以Hx∈R,g(x)≥g'(x)恒成立， 又，∈(1，)，所以-<- e 即x2+(m-2)x≥0恒成立，所以m=2. 所以xo=-eo,所以ln(-xo)=xo, 此时e2+x2+x十xln(-x)<g(x)+1等价于e- 可得h(x0)-x-2x0-3. (15分) x+xln(-x)-3<0. (9分) 下面证明该不等式成立： 因为，∈（←1，》 令h(x)=e-x+xln(-x)-3(x<0), 所以h(xo)=x8-2x。-3<0, 则h'(x)=e+ln(-x). 又因为h(x)≤h(xo),所以h(x)<0, 当x<-1时，h'(x)=e+ln(-x)>0. 所以e十x2+x十xln(-x)<g(x)+1得证.(17分) 当-1≤x<0时，令p(x)=h'(x), 则g)=e+片 A 数学答案（四）第5页（共5页）2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合M= -1,0,22,3,N={xx3<x,则M∩N= ( ) A.-1,0,2 B{1, C.{2,3} D.{0,2,3} 2.已知：在复平面内所对应的点为1，-3)，则- ) A.-3-21 B.3+2i C.-3+2i D.3-2i 3.已知3sin(2a- ）-7cosa,则cosa ( A号 B. C. 3 4.已知a>0,b>0,则“a+b<2”是“ab<1”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=ax一ln(x十1)，若曲线y=f(x)与x轴相切，则a的值为 A-日 B.0 C.1 D.e-1 6.若(x-2)-y 的展开式中满足m十n=2的项x"y”的系数和为 A.-20 B.-10 C.10 D.20 数学试题（四）第1页（共4页） 真题密卷·备 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为2的直线l与C相交于A,B 班级 两点，若y轴截以AB为直径的圆所得的弦长为4，则AB的值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知函数f(x)=eax(eax十a)在区间（一1,0）上单调递减，则a的取值范围为 ( 姓名 A.(-∞，1] B.[-2,0) C.(-∞，0] D.(-∞，0) ---。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设随机变量X~N(2,12),随机变量Y~N(1,2),则 ( A.E(X)=2E(Y) B.D(Y)=2D(X) C.P(X≥1)>PY≥1) D.PY≥3)>P(X≥3) 10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建 筑的基座部分，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高 的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六 棱台的上底面边长为18m,下底面边长为24m,侧面积为756m2,则 ( ) A.该正六棱台的高为3m B.该正六棱台的体积为900m3 C.该正六棱台的侧棱与底面所成角的正切值为2 D.该正六棱台的侧面与下底面的夹角为30° sin'x 11.已知函数f(x) cosz,则 A.f(x)在区间(-2,0)上单调递增 B点（赁，0）是曲线y=f)的对称中心 C.曲线y=f(x)与x轴相切 D.当a<x<b时，f(x)<-多，则6-a的最大值为骨 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(x,1),b=(1一x,3),c=(2,x十1)，若(a一b)⊥c,则x的值为 x2 y2 13.已知双曲线C:a一=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F: 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若sim∠PFF:一C则e的值为 1 14.将某班周三的上午四节课和下午四节课全部安排为语文、数学、英语、物理、化学，要求 这五门课都有，数学两节且连排，语文、英语、物理可一节也可两节且连排，化学一节， 且物理课与数学课不相邻，若上午第四节和下午第一节不算连排和相邻，则不同的排 课方案共有 种 专信息导航演练 数学试题（四）第2页（共4页） A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记Sm为正项数列{am}的前n项和，已知 Sn n-1=a1,b.}为等差数列，且b1十b= a1+a3,b2十b4=S3. (1)求{am}和{bn}的通项公式； (2)若c.=,求数列c.}的前n项和T an 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AD=PC=√2AB=√2PD,E为BC的 中点，PB⊥AE. P D (1)证明：PD⊥平面ABCD, (2)在棱PB上是否存在异于端点P,B的点F,使得平面AEF与平面BEF的夹角为 45°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由. 17.(15分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第 一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，每次投篮投中得2分，未投中得一1分；第二阶 段由该队的另一名队员投篮2次，每次投篮投中得3分，未投中得一2分.记该队的比 赛成绩X为第一阶段与第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每 次投中的概率为2，乙每次投巾的概率为号，各次投中与否相互独立。 (1)X的取值能否为5？若不能，请说明理由；若能，请比较由谁参加第一阶段的比赛 时，X=5的概率更大. (2)若甲参加第一阶段的比赛，求X的分布列与数学期望. A 数学试题（四）第3页（共4页） 真题密卷 18.17分)在平面直角坐标系x0y中，点A,B分别是椭圆C:名+1a>b>0)的右 顶点、上顶点，AB=√5，M,N是C上异于顶点的两点，且MN的中点为O时，直线 BM,BN的斜率之积为一) (1)求C的方程. (2)若直线BM交x轴于点P,直线BN交x轴于点Q,且线段PQ的中点是A. (ⅰ)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标. (iⅱ)求△BMN的面积最大值. 19.(17分)已知定义在区间D上的函数f(x)的导函数是f'(x),若存在正数t,使得f(tx)≥ tf'(x)恒成立，则称f(x)为区间D上的“t倍超导”函数 (1)试判断f(x)=sinx是否为R上的“t倍超导”函数？并说明理由， (2)若k(x)=x3十a(x十3)是(0，+∞)上的“3倍超导”函数，求a的取值范围. (3)若g(x)=x2十mx十m是R上的“1倍超导”函数，证明：e十x2十x十xln(-x)< g(x)+1. 备考信息导航演练 数学试题（四）第4页（共4页）