备考信息导航演练1-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|2x<10},则集合A∩N*的子集个数为 A.3 B.4 C.8 D.16 2.在△ABC中，已知BD=DC,EC=2AE,则DE= () A+d c}A-2ad 32 3 的最小值为 sin2a cos2a A.5 B.5+2√6 C.12 D.5-2√6 x3-1,x>1, 4.已知函数f(x)= 则满足不等式f(2一a)>f(3a+6)的a的取值 1og.3(2-x),x≤1， 范围为 () A.(-∞，-1) B.(-c∞，1) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 5.甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自备选的10道题 中分别抽取2道题现场回答，已知在10道备选题中，有5道是代数题，5道是几何题，则 甲、乙二人抽取的4道题目中恰有2道代数题的概率为 () A b.2 c 3 D.4 6,设F,为椭圆C:C之十1@>6>0)的左焦点，A,B是C上的两个动点，若△AFB 周长的取值范围为(m,3m],则C的离心率为 () 2 A.2 c 1 D.3 数学试题（一）第1页（共4页） 真题密卷·备 7.已知数列{an}的前n项和Sn=2m+1一2，等差数列bm》满足b1=一5，b5=5b2,数列{cn}满 班级 足cm=an一bn,设数列{cn}的前n项和为Tm,若对Hn∈N*,都有Tm≥Tk,则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 姓名 8.设a十log4a=3,3b+log2b=8,5c+log2c=14,则 ( A.ab>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a --一- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=-sin(x十p)o>0,lp<)的最小正周期为，fx-)是奇函数， 则 A.w=2,4=3 元 Bf)的图象关于直线x-一D对称 C.f(x)在 -6’3 上单调递减 D,将f)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=c0s2x的图象 0.已知双曲线C1a>0.6>0过点B6,42和点P(2y,F5为其 左、右焦点，且A(1,2)在其渐近线上，则 () A.C的焦距为√5 B.当yo=4时，△PF1F2为直角三角形 4W5 C.当yo=S时，△PFF:为直角三角形 D.当|PF1|=2PF2|时，△PF1F2为直角三角形 11.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,AA1=√3，E,F分别为AB,B1C1的中点，P为 线段A1C上的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则 ( A.三棱锥A1EFC的体积为1 B.球O的表面积为6π C.AP+PE≥√7 D.球0的表面与侧面ABB1A1的交线长为3T 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(1+2i)(z一1)=5，则之的虚部为 ax 13.已知函数f(x)=3.x十2一是偶函数，则a= 信息导航演练 数学试题（一）第2页（共4页） y 14.已知am=3n+5,现从数列{an}的前2k(k∈N*,且k>3)项中任取3项，若所得3项能 构成等差数列的概率为22，则飞一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知√2 bcos A=a cos C+ ccos A. (1)求A; (2)若cosA=√2sinB,△ABC的周长为√6+3√2+2，求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PB=PD=4,∠PDA= 60°，M是CD的中点，AM=√5. (1)证明：平面PAM⊥平面ABCD. (2)若N是棱PB上一点，直线CD与平面AMN所成的角为60°，求PN的长. 17.(15分)某工厂生产一种商品，为了解该种商品的销售额与居民收入之间的关系，该工 厂派人收集了某城市近10年的居民年收入与该商品销售额的数据，如表所示： 第n年 1 2 7 8 9 10 居民收入x(亿元) 32.231.132.935.837.1 38.039.0 43.244.646.1 商品销售额y(万元) 25.030.034.037.039.0 41.042.0 44.048.050.0 A 数学试题（一）第3页（共4页） 真题密卷 已知上述数据的样本平均数为x=38,y=39,样本方差为s=25,s?=54.6,用最小二 乘法得到的经验回归方程为y=x一14.2. (1)求相关系数r(保留2位小数). (2)利用经验回归方程，预测当居民收入达到50亿元时该商品的销售额为多少万元？ (3)若从上述居民收入不超过40亿元的年份中任取3年，设其中有X年该商品的销售 额超过40万元，求随机变量X的分布列和均值， (x:-x)(y:-y） 三1 2(x:-x)(y:一y 参考公式：r= ,a=y-bx; /2(x:-x)20:-y) (x:-x)2 =1 i-I 参考数据：√54.6=7.4. 18.(17分)已知M(1,-2),A,B是抛物线C1:y2=2x(p>0)上三点，直线MA和MB 均与抛物线C2:y=ax2(a>0)相切，切点分别为E,F. (1)若MA⊥MB,求△MEF的面积； (2)试判断直线AB与C2的位置关系，并给出证明. 19.17分)已知函数了c)=-inx十1-至数列a,满足aa1=sn(受c月 (1)直接写出a2,a3,a4的值. (2)求fx)在牙，引上的最大值和最小值， (3证明：当n≥2时a,>1-()。 备考信息导航演练 数学试题（一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（一）】 一、选择题 …,又因为c1=7>0,c2=-11<0,c6=-31<0,c7 1.C【解析】因为集合A∩N*={1,2,3),其中有3个元 13>0,所以当n=1时，c1>0;当2≤n≤6时，cm<0;当 素，所以它共有23=8个子集。 n≥7时，cn>0,因此当n≤6时，数列{Tm}单调递减； 2D【解析】连接AD,D应-正-A币-号C-应 当n≥6时，{Tn}单调递增，因为Tm≥T6,故k=6. 8.C【解析】由a十log4a=3,得1og2a=6-2a,由此可得 +aC=号ai-言A a是方程log2x=6-2x的根，也是直线y=6-2x与曲 3.B【解析】因为2十3 inco(sin'a+cosa) 线y=l0g2x交，点的横坐标；同理，b是直线y=8一3x 品。+）-5++ 与曲线y=10服x文点的横生标e是直线y=?多 cos2a ≥5+2√6，当且 sin2a 与曲线y=log2x交点的横坐标.由于上述三条直线相 收当tana三时，等号成立，所以一2 品+的最 交于一，点P(2,2),曲线y=10g2x经过点(2,1)，结合 函数图象可得b<c<a. 小值为5+2√6. 4.A【解析】由题意得，f(x)在(1，十∞)上单调递增；当 x≤1时，f(x)=log.3(2-x),显然，它在(-∞，1]上单调 递增，又因为当x=1时，x3一1=l0g.3(2-x)=0,所以 6 f(x)在R上单调递增，因此f(2-a)>f(3a+6)可化为 2-a>3a十6，解得a<-1. v-log,x 5.C【解析】甲、乙二人从10道备选题中各自独立地抽 取两道题，不同的抽法共有CC。=45×45种，其中恰 有2道代数题的抽法共有CgC·CC+2C号C%=25× 33,所以甲、乙二人抽取的4道题目中恰有2道代数题 的概率为25X3311 25×8127 二、选择题 6.D【解析】当AB经过右焦点F2时，△AF1B的周长 9.BD【解析】由已知得w 2π=2，f(x)的图象关于点 为4a;当AB不经过F2时，因为|AB|<|AF2|+ IBF2|,所以|AB|+AF1I+|BF1I<|AF2|+|BF2|+ (号0)对称，从而f(）=0,由此2×(）+9= |AF11+|BF1|=4a.综上，△AF1B周长的最大值为 4a,即3m=4a.又因为m=2(a-c),所以4a=6a- 点x∈D,所以9=x十号x∈D,又因为p<受，所 6c,即a=3c,故C的离心率e=3. 以g=-子放A错送：f)=mz-》,周为当 7.A【解析】由已知得am=2",bn=20n-25,cm=2" π 20n+25,则cm+1-cm=2+1-20(n十1)十25-2"+ x=一12时，2x-3=一2，所以f()的图象关于直线 20n-25=2”-20,所以当n<5时，cm+1<cm;当n≥5 时，cm+1>cn,所以，c1>c2>c3>c4>c5<c6<c7<c8< x=一对，故B正确：周为当∈[百时，2江 数学答案（一）第1页（共5页） A 真题密卷 备考信息导航演练（一） [引温然)在[引上不单调，故C =QM=MA1=1,所以∠MQE=3,所以球O的表面与 错误：因为f(x+)=m(2x+）=cos2x,故D正确， 22 侧面ABB,A:的交线长为1X3=3,故D正确， (b一2， a=1, 10.BCD【解析】由已知得 解得 从而 932 b=2, a26-1, c=5,C的焦距为25，故A错误：C的方程为x- 4 1,由y0=4,可得x0=士5，从而P(5,4)或 P(-√5,4)，又因为F1(-√5,0)，F2(W5,0),显然此 三、填空题 时△PF,F,为直角三角形，故B正确：由，=45， 5,可 5 5(1-2i) 12.2【解析】因为：=1中2+1=1十202D+1=2 得w-±85取p5}丽-(5，) 一2i,所以z=2十2i,其虚部为2. PF=(5,),因为PFP时=0降以 2*-1 ∠F1PF2=90°，因此△PFF2为直角三角形，故C正确； 由PF|-PF2=2,|PF1I=2PF2l,得PF1=4,|PF2= 2+3 3 为)3x是奇函数，所以y=2-1为奇画数，因 2,又因为F1F2=25,所以PF112+|P℉212=F1F22,因 此△PFF2为直角三角形，故D正确. 此Q3 3 =1,即a=6. 11.CD【解析】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E,F 14.17【解析】从数列{am}的前2k项中任取3项，样本点 分别为AB,B1C1的中，点，取E为BC边上靠近，点B的 四等分，点，所以EE'∥A1F,所以A1F⊥平面BCC1B1, 总数为C 2k(2k-1)(2k一2)_2k(2k-1)(k-1) 3×2×1 3 CE⊥平面ABB1A1,又AB=2,AA1=5,所以VEA FC= 其中取到的3项能构成等差数列的取法共有 -ge写×名x2xxw5x5-故A 2(1十2十…十k一1)=(k一1)个，所以其概率为P= k(k一1) 3 3 1 错误；因为△A1EC与△A1FC均为以A,C为斜边的 2(2-1)k-D202k-D,令226-D22,解 直角三角形，所以点O为A1C的中点，所以球O的表 3 面机为：9-A,C=xA,A+AC)=7,数 得=17. 四、解答题 B错误；因为A1E=√JA1A+AE=2=A1C1,CE= 15.解：(1)根据正弦定理，由√2 bcos A=a cos C十ccos A, CC1=√3，CE⊥AE,A1C1⊥CC1,所以△A1EC≌ 得，√2 sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, (2分) △A1C1C,所以PE=PC1,所以AP+PE≥AC1= 即√2 sin Bcos A=sin(A+C), (3分) √7，故C正确；取A1E的中点Q,A1B1的中点M,连 即√2 sin Bcos A=sinB, (4分) 接QM,OQ,则ME⊥A1B1,OQ∥CE,OQ⊥平面 AB8,A,月为求0的率径为号0-罗-5。 ,所以球 又因为sinB≠0，所以cosA= 2, (5分) O的表面与侧面ABB1A1相交所得截面圆的半径r= 又因为A∈(0，π)，所以A=T (6分) =1=QE=QM,又在△A1MQ中，A1Q (2y由osA-区inB,A-牙得mB- 1 数学答案（一）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 又因为B∈(，），所以B=， B(2,0,0),D(0,2,0), (8分) 于是AM=(1,2,0),AP=(0,0,2√3)， 于是sinC=sin(A十B)= √6+√2 4, (9分) Pi=(2,0,-23),C=(-2,0,0). (10分) 由正弦定理得， 设PN=PB,A∈(0,1)， a:6:c=sin A sin B sin C= √2,1.√6+√2 则AN=AP+λPB=(2x,0,23-2√3X). 22 4 设平面AMN的法向量为n=(x,y,z), 所以a=6,c-6十E。, AM·n=0, 则 2 AN·n=0, x+2y=0, a+b+c= √6+3√2+2， -b, 2 即 2λx+(2√3-2√3λ)z=0, 又因为a+b+c=√6+3√2+2，所以b=2,a=2√2， 令x=-2,得n=(-21, (12分) (11分) 因此△ABC的面积 设直线CD与平面AMN所成的角为O, inC=号×2x2vx6+2-5+1. S-1 1 ci·nl 则sin0=|cos(CD,n)l= 4 CDI (13分) 16.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，M为CD的中 (14分) 点，AM=√5，所以AD=2. (1分) 3 由已知得 在△PAD中，由余弦定理得 5+ PA=√AD2+PD2-2AD·PDcos∠PDA=2√3， 1 因为PA2+AD2=PD2=16,所以∠PAD=90°， 解得入=3或入=-1（舍去）， 即PA⊥AD (3分) (15分) 因为AB=AD,PB=PD,PA=PA, 此时PN-手 所以△PAB≌△PAD, 17.解：(1)由题知，点(38,39)适合方程y=ix一14.2， 所以PA⊥AB. (5分) 即39=383-14.2，解得3=1.4， (2分) 又因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, 2(x,-x)(y:-y) 所以PA⊥平面ABCD. (6分) 因为r= 又因为PAC平面PAM, =1 所以平面PAM⊥平面ABCD, (7分) 含-)0- (2)解：由(1)得PA=2√3，AB=AD=2, (x-x)” =1 AB,AD,AP两两垂直，故以A为原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空 所以 L2(x:一x)” ni-1 间直角坐标系. (9分) V574 (5分) 12-y)2 √n台 5 因此r=74×1.4≈0.95. (6分) (2)由(1)得=1.4，所以回归方程为y=1.4x-14.2, 令x=50,得y=55.8, (8分) 因此，当居民收入达到50亿元时， 该商品销售额的预测值为55.8万元. (9分) 则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,23),M(1,2,0), (3)在样本中居民收入不超过40亿元的年份共有7 数学答案（一）第3页（共5页） A 真题密卷 备考信息导航演练（一） 个，其中该商品的销售额超过40万元的年份只有2 17 所以EF|= 个，故随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为 /+6 (22+4×16)= 2 (9分) 0,1,2, (11分) 所以△MEF的面积 P(X=0)= CC3 2 C7 s-2Er1d=x号xv-1” 4 C2C号4 (10分) P(X=1)= C97, (2)直线AB与C2相切，证明如下： (11分) P(X=2)= CC 1 (13分) 设A(x1y1),B(x2,y2), C号7， 由点M(1,-2)在C1上，得p=2,所以C1:y2=4x, 故随机变量X的分布列为 (12分) 0 1 2 于是切线MA的方程为y=4。 .2y1 2 1 y1—2x-y1=2' 7 7 [y=ax2, (14分) 由 4 Ex)=0x号+1X+2x .16 -y1-22-y1-2' y120, (15分) 因为MA与C2相切， 18.解：(1)设经过点M(1,一2)与C2相切的直线方程为 y+2=k(x-1), y+2=(x-1), 即ay-2ay1-2=0, 由 得ax2-kx十k十2=0， ly=ax2, 同理，ay-2ay2-2=0, (14分) 由△=(-k)2-4a(k十2)=0，得k2-4ak-8a=0, 2 又因为y1≠y2,所以y1十y2=2,y1y2= 因为直线MA,MB都与抛物线C2相切， a, 所以它们的斜率是方程2一4ak一8a=0的两根. (15分) 由已知得一8a=-1,因此a-日， (3分) 直线AB的方程为y=2x+y1-, 2 则C的方程为y日y'- 1 [y=ax2, 4x. (4分) 2x+器将2 由 2-y1=0, 设切点E的坐标为(m,n), 则切线ME的方程为y-a=子mc-m), 则=4-4a(n=4-2a11-2=4+ 即mx-4y-4n=0, 2a:=4+2a×(）=0, 又因为直线ME经过点M(1,-2), 所以直线AB与C2相切. (17分) 所以m-4n+8=0, √2 所以切点E在直线x一4y十8=0上， 4 同理切点F也在直线x一4y十8=0上， B.g-号=a=传n到 (3分) 所以直线EF的方程为x-4y十8=0. (7分) 点M到直线EF的距离 (2解：由f6e)x-sinx+1-至 d=1-4X(-2)+81-Vm, 1 √12+4 得f'(x)=2-cosx, (4分) 1 4x+2, 所以当∈[任，）时，✉)<0，x)单调递减： 得x2-2x-16=0, 1 y= 8x, 当x∈（行，引时，fa)≥0，f)单润递增，(6分） 数学答案（一）第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 所以e-传》-1-停-意 (6分) 于是f(a.)<0, 又因为1）-6，（任）-1号言0， 即2×受a.-sn(经a)+1-<0, 1 所以f(x)max=0, (7分) 即 .-+1-<0, 因此了)在匠，引上的最大值为0，最小位为1- 所以1-a<登1-a,) (14分) √3π 2121 (8分) 因此当n≥1时，有 (3)证明：当0=1时a1=[合小 1-a<1-a), 假设a:∈[日小k∈N),则受a:∈[匠，》， 1-a,<1-a, 1-a<1-aD, 此时a+1∈ 小 所以当n≥2时， 因此，对于Va∈N率有a,∈[日小 (10分) 1-a<(经)a-a)×(）, (16分) 由②)得，当xe[任，）时，f)<0, (11分) 即a,>1-2(任)，原式得证 (17分) 又因为，∈[)受a,∈任，）， 数学答案（一）第5页（共5页） A