备考信息导航演练3-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若集合M=:+ax十a+-0,a∈R中仅有-个元素，则a 5 A.-1 B.5 C.-1或5 D.0 2若千21+日则1 ( A.5 B.2√2 C.3 D.4 1)6 3.2x2- 的展开式中x3项的系数是 () A.-160 B.-40√2 C.40√2 D.160 4.已知直线l:2x-y+4=0与圆C:x2+y2-4x-2ay+a2-5=0交于M,N两点，若 △CMN的周长为10，则a= () A.-13 B.3 C.-13或3 D.3或13 5.若a∈0,2 ,且2a+B= 则cos月叶2sma的取值范围是 C.[0,2] 6.记数列{am}的前n项和为S,若a1=1,ana+1=2”,4(S1十3)=ak,则尼= A.15 B.19 C.14或15 D.18或19 7.如图，圆台O01的下底面为半球O的大圆面，若半球O的体积为18π，则圆台OO1侧 面积的最大值为 () 0 A.4√3π B.8√3π C.4√2π D.16√3π 数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·备习 aesae nat a 知楷圆C子+a≥b>0的左、右顶点分别为A,B,抛物线x2=2p(h 班级 交于P,Q两点，0为坐标原点，若an∠PAQ·ian∠POB=2,则C的离心率为 ( 姓名 a号 2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,β，Y是三个不同平面，a,b,c是三条不同直线，则下列说法正确的是 ( A.若a⊥a,b⊥B,a⊥3，则a⊥b B.若a⊥b,a⊥c,则b∥c C.若a⊥3，a⊥Y,则B∥y D.若a⊥a,a∥B,bCB,则a⊥b 10.已知函数f(x)=log4(ax一x2),则下列说法正确的是 A.若f(x)的定义域是(0,4)，则a=4 B.若f(x)的最大值为1，则a=4 C.若f(x)在(0,2)上为增函数，则a≥4 D.若fx)在(3)上为减函数，则a=3 11.空间站宇航员的一项主要工作是进行太空实验，太空实验受实验成本和原材料的限 制，实验失败k次后终止实验，假设每次实验成功的概率都是0.2，且每次实验只有“成 功”和“失败”两种结果，若进行多次实验，其中成功的次数记为，则下列说法正确的是 () A.若k=1,则P(ξ=n)=0.8"×0.2 B.若k=1,且有四次实验机会，则P(=4)=0.24 C.P(ξ=m)=Cm+k-10.2m0.8,m=0,1,2,… D者P(m旅大则≤m≤号m-012 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量Q=(x,2),b=(2,-1),若a+b在b上的投影向量为二5b,则c的值为 13.已知抛物线E:y2=2x的焦点为F,A,B,C为E上的三点，且满足FC=2AF+2BF, 则AF+BF的最小值是 14.已知定义在R上的函数fx)和g(c)满足下列条件：①fx+2)为奇函数，gx)为偶 函数：②f(c)-g(x+1)=2:®g1)=1f(2)=-3,则登f6) 信息导航演练 数学试题（三）第2页（共4页） A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，PA=PC=2√2， 侧面PAC⊥底面ABC,D,E分别为PC,AB的中点. (1)求点E到平面PBC的距离； (2)求平面DEP与平面PBC的夹角的余弦值. 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin B=3 sin C,cosB 6 (1)证明：△ABC为等腰三角形. (2)若AC边上的中线BD的长为√11，求△ABC外接圆的面积. 17.(15分)一盒中装有2个黄球和n个红球，这些球除颜色外，大小材质完全相同，现从盒 中不放回地逐一取出3个球， (1)若n=3,记事件A=“前两次均取到红球”，事件B=“第三次取到黄球”， 求P(BA); (2)记X为取出红球的个数，若E(X)=2,求D(X). A 数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)已知函数f(x)=xlnx+ax-2,a∈R. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)求f(x)在区间(1，+∞)上的极值； (3)当a<-1时，3x∈(1，+∞)，使得f(x)<(1-e)a-3e,求a的取值范围. 19.(17分)已知双曲线C:乙。-1a>0,b>0)的焦距为6，渐近线方程为y=±5 2, F1,F2分别为C的左、右焦点.过F1作一条射线分别与C的左支和y轴正半轴交于 A,B两点，过F2作与BF1平行的直线I,l与C在第一象限的交点为D,AF2与DF1 交于点M. (1)求C的方程； (2)若F1B=6F1A,求1的方程； (3)求|MF1+MF2的值. 备考信息导航演练 数学试题（三）第4页（共4页）真题密卷 备考信息导航演练（三） 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（三） 一、选择题 R=3.设圆台的上底面半径为r(0<r<3),高为h,母线 1.C【解析】由题意△=a-4a+)=0,解得a=-1 为1，则r2+h2=R2=9,l=√(3-r)2+h=√18-6r, 或5. 圆台的侧面积S=π(3十r)l=√6π(3+r)√3-r= 1 2 1 √6π√(r+3)2(3-r),r∈(0,3).令f(r)=(r+3)2· 2.B【解析】因为：千2=1十行，所以1-2=1+ (3-r),则f'(r)=2(r+3)(3-r)-(r+3)2= 解得之=一2-2i,所以z=2√2. (r+3)(3-3r).令f'(r)=0,得r=1.当r∈(0,1)时， 3B【解析】由题意可知，（巨-）°的晨开式通项为 f'(r)>0,f(r)单调递增；当r∈(1,3)时，f(r)<0, f(r)单调递减，所以当r=1时，f(r)有最大值，即圆台 T=cx)(←-(-1D2).c OO1侧面积的最大值为8√3π. 8.C【解析】设P(xo,yo),则Q(-xo,yo),A(-a,0), x12-3r,r=0,1,…,6.令12-3r=3,解得r=3,所以x 项的系数是(-1)3·(2)3·C=-40√2， 因为am∠PAQ·an∠POB=号>0，所以P位于第- 4.D【解析】因为圆C:x2+y2-4x-2ay十a2-5=0,整 理得(x-2)2十(y一a)2=9,即圆心坐标为(2，a),半径 泉现向+-1a>6>0得a--2①，因 r=3,因为△CMN的周长为10，所以MN|=4,则圆心 为∠PAQ=∠QAB-∠PAB,所以tan∠PAQ= 到直线1的距离d-、F--,所以 tan∠QAB-tan∠PAB 1+tanZQAB·ian∠PAB,又因为an∠QAB=ko- 14-a+4=5,解得a=3或13. yo ,tan∠PAB=kAP=,,所以tan∠PAQ= 5 a-xo a十x0 5.A【解析】cos+2sina=cos(3-2a)+1-cos2a= yo yo 2xoyo a-x0a十xo a2-x8 ②，将①代入②， 君wa+号m么t1-osa-5ma 2 cos 2a+1= 1+ .yo a-xo a+xo 1+y8 a2-x8 6 如看》+1因为a∈0，员引，所以2如 得ian∠PAQ=2b a2+62· °°，又tan∠POB=kop= [誓同，sin(2a-）∈2l,所以ag+ ,tan∠PAQ·tan∠POB= 262 2b21 2sina的取值范围是 1 22 22才3=故3b2=a2,所以a2=3(a2-c2),即→ 6.D【解析】因为amam+1=2”,所以am+1an+2=2m+1,两 2 c 6 式相除可得+2=2，因为41=1，所以a2=2,所以当n 3,所以C的离心率为e=。-3 an 二、选择题 为偶数时，an=2;当n为奇数时，an=2号.S11= 9.AD【解析】对于A,把直线a,b当作两个平面法向量 (a1+a3十…+a1n)+(a2+a4十…+a10)=(1+2+22 所在直线，两个平面垂直，所以a⊥b,故A正确；对于 +42)+2+2++2)-1号+号-g B,垂直于同一直线的两条直线可能异面，相交，平行， 故B错误；对于C,垂直于同一平面的两个平面还可能 3.a。=4(S1十3)=29.当k为奇数时，由2号=29可 是相交关系，故C错误；对于D,因为a∥B,a⊥a,所以 得飞=19；当为偶数时，由2=2可得=18. a⊥B,因为bCB,所以a⊥b,故D正确. 10.ACD【解析】对于A,由题意ax-x2>0的解集为 7.B【解析】设半球0的半径为R,所以R3=18π，解得 (0,4),所以a=4,故A正确；对于B,令t=ax-x2, A 数学答案（三）第1页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 由y=log4t为增函数，且最大值为1，所以t=ax一x2 的最大值为4，即号-4，解得a=士，故B特误：时子 +≥南AF+BF的最小值是号 2 14.一9【解析】因为f(x)一g(x+1)=2,所以 C,令t=ax-x2,由y=log4t在(0,2)上为增函数，所 f(x-1)-g(x)=2, 因为g(x)为偶函数， 以1=ax-x在(0,2)上为增函数，所以号>≥2，解得 f(-x-1)-g(-x)=2 所以g(-x)=g(x),所以f(x-1)=f(-x-1)①， a≥4，故C正确；对于D,由前面分析可知，t=ax一x2 在信上为成西东，则后≤号每释=3，收D 又因为f(+2)为寺函数，所以f(x+2) 3a-9≥0， -f(x+2》,即f(-x-1)=-fx+2)@,由@② 正确。 11.BCD【解析】对于A,由题意当ξ=n时，表示进行了 可得f(x+2)=一f(x-1),即有f(x十6)=f(x),所以 n十1次实验，前n次均成功，第n十1次失败，所以 f(x)的一个周期为6.由f(x十2)=-f(x-1),可得 P(=n)=0.8×0.2",故A错误；对于B,由题意成功 f(1)+f(4)=f(2)+f(5)=f(3)+f(6)=0.因为 四次的概率P(=4)=0.2,故B正确；对于C,=m f(x)-g(x十1)=2，g(1)=1,所以f(0)=3,即 表示进行了及十m次实验，第及十m次实验之前失败 f3)=-3.由②可得f1)=-f0)=-3.学f) 了一1次，第k十m次实验也失败，所以P(ξ=m)= Cm+k-10.2mX0.8-1X0.8=Cm+k-10.2m×0.8,m=0, 337[之f()]+2f()=-3+(-3)+(-3)=-9. 1,2,,故C正确；对于D,若P(ξ=m)最大，则 四、解答题 P(ξ=m)≥P(=m十1)， 15.解：(1)如图，取AC的中点O,连接OB,OP,BD,CE. P(ξ=m)≥P(ξ=m-1), 即C+4-0.20.8*≥Ct0.2=+10.8, Cm+k-10.2m0.8≥Cm+k-20.2m-10.8, 解得5<m<冬，片以若P任-m》大。 k-1 : k-1 O 则一5≤m≤4，m=0,1,2,…,故D正确， 4 三、填空题 12.一3【解析】由题得a十b在b上的投影向量为 a+wa+hbX合-at8》X=-号a,周为 因为PA=PC,AB=CB,所以AC⊥PO,AC⊥BO. 因为侧面PAC⊥底面ABC, a=(x,2),b=(2,-1),所以(a十b)·b=2x+3,b= 侧面PAC∩底面ABC=AC, √5，所以2x十3=-3，解得x=-3. 所以PO⊥底面ABC, (2分) 13.【解析】由抛物线的方程可得F(分，0)，设A(红9， Vae=3×2×2×2x2w3-4 1 (3分) B(x,,C(,则A-(合-a1,),丽= PB=√22+(23)2=4， (号-)成-(-日周为元-2京+ BD=√42-(W2)2=√14， 1 5 SAPHC-2x22x/14-27, (4分) 2B,所以x=2-2(x+)且y=-20:+), 设点E到平面PBC的距离为d, 故有y3=5-2(y?+y)=4(y1十y2)2,整理得5- 60+)=8<4i+),即+≥分，当且 则时d27-d2 7 仅当y1=y2时等号成立.因为|AF引=x1十2 放点E到平面PC的距离为，. (5分) 士，B=+日所以A+B- (2)以O为坐标原点，OA,OB,OP分别为x轴，y轴， 之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 数学答案（三）第2页（共4页） A 真题密卷 备考信息导航演练（三） 在△ABD中，由余弦定理， BD2=BA2+AD2-2BA XADcos A, 则1=-+(-2××， 解得c=2,所以b=6. (10分) 因为cosB= 1√35 ,所以smB=1-36-Y6, 设△ABC外接圆的半径为R, 636√35 则由正弦定理可得2R= sin B (13分) 35 则P(0,0,2),B(0,23,0),C(-2,0,0), D(-1,0,1),E(1,√3,0)， 即R=18V3 35 ,所以△ABC外接圆的面积为324元」 35元. Pi=(0,23,-2),PC=(-2,0,-2), (15分) Di=(2,3,-1),P克=(1w5,-2) (7分) 17.解：(1)由题意，P(A) CC 3 (1分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,之)， CC 10' n·PB=0,nJ23y-2x=0, CCC 1 则 即 P(AB)= (3分) n·P心=0，-2x-2x=0, CC4C5’ 令之=3，则y=1,x=-√3，即n=(-√3,1，W3). 故P(B|A)= P(AB)1102 PA)=5×3=3 (5分) (9分) (2)因为E(X)=2,所以n≥2. 设平面DEP的法向量为m=(a,b,c), 则m·P正-0，雨a+56-2c=0, 当n=2时，X的可能取值为1,2. 即 P(X=1)= C2C21 m.DE=0,2a十3b-c=0, C=2P(X=2)= C2C21 C 29 令c=-1,则a=1,b=-√3，即m=(1,-√3，-1). 1 13 (11分) 此时E(X)=1X2+2X2=2,不符合题意，(8分) 设平面DEP与平面PBC的夹角为a, 当n>2时，X的可能取值为1,2,3.。 n·m -3-5-√5 CIC P(X=1)= 6 则cosa=|cos(m,n)= n m √7X5 C+2(n十1)(n+2) (10分) 3√/105 C%C26(n-1) P(X=2)= C+2(n+1)(n+2)' (12分) 35 即平面DEP与平面PBC夹角的余弦值为3Y105 P(X=3)= C_(n-2)(n-1) C%+2(n+1)(n+2) (14分) 35 (13分) 6 6(n-1) 16.(1)证明：因为asin B=3 sin C,由正弦定理， EX)=1×n+1D'0n+2）+2×om+1D0m+2+3× 得ab=3bc,所以a=3c, (2分) (n-2)(n-1)3n n+1)(n+2)n+2=2, 因为0B-日，由余孩定理， 解得n=4. 得osB=a2+c2-b21 (3分) 2ac6’ 此时PX=)-PX=2)=g,PX=3)= 代人a=8c,得0少-石化简得6=， (4分) D0=-3x+a-0x号+g-2rxg-号 所以a=b,所以△ABC为等腰三角形. (6分) (15分) (2)解：因为a=b,所以A=B, 18.解：(1)若a=1,f(x)=lnx+2,x∈(0，十∞)， 1 f'(1)=2,f(1)=-1, 所以cosA=cosB= 6 所以曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为 数学答案（三）第3页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 y+1=2(x-1),即2x-y-3=0. (4分) 35 (2)f'(x)=lnx+1+a,令f'(x)=0, 所以直线BF,的斜率为k=2, 得x=ea-1>0. 3√5 当ea-1≤1，即a≥-1时， 则1的方程为y=2(一3)， f'(x)>0在(1，+∞)上恒成立，f(x)单调递增，无极值； 即3√5x-2y-9√5=0. (8分) (6分) (3)设D(x2,y2),点A(x1,y1)关于原点的对称点记 当ea-1>1,即a<-1时， 为E(x3,y3),则x3=-x1y3=-y1. (1,ea-1) e-a-1 (ea-1,十∞) 因为小-g,g f'(x) 0 y3y1 k,3十3所以4=，” f(x) 极小值 又因为AF1∥DF2,所以kF,A=DF,即kEF,=kDF2, 由表可知，极小值为 所以D,F2,E三点共线， f(ea-1)=(-a-1)ea-1十aea-1-2=-ea-1-2, [x=my+3, 无极大值 (9分) 设l:x=my十3，联立x2y2 (3)由(2)可知，f(x)n=f(ea-1)=-ea-1-2, (451, 因为当a<-1时，3x∈(1，+∞)， 得(5m2-4)y2+30my+25=0, (10分) 使得f(x)<(1-e)a-3e, -30m 25 所以只需-ea-1-2<(1-e)a-3e成立， 5m2-4≠0,4>0，y2+y:=5m2-4y2y=5m2-4 即不等式ea-1+(1-e)a-3e+2>0成立.(13分) 由y2y3<0,得5m2-4<0,(y3-y2)2=(y3+y2)2- 令h(a)=ea-1+(1-e)a-3e+2(a<-1), /-30m12100400(m2+1) 4y2y3= 则h'(a)=-ea-1+1-e, (14分) \5m2-4/ 5m2-4(5m2-4)2’ 易知h'(a)为增函数，则h'(a)<h'(-1)=-e<0, 20√m2+1 即y3-y2= 5m2-4 ,所以y一y_4Vm+I (15分) yay3 5 故h(a)在(-∞，-1)上单调递减， (16分) (12分) 又h(-2)=0,所以a<-2, 因为AF1∥DF2,由相似三角形可得 故实数a的取值范围为(-o∞，一2). (17分) (MF AF 19.解：(1)设C的焦距为2c, DFAF+DF 则由题意2c=6,即c=3. (1分) MF2 DF2 所以a2+b2=9①， AF:AF+DET 所以|MF1|+|MFz| 因为渐近线方程为y二士 22, AF:DF+DF2AF2 AF+DF2 所以2-go, (2分) |AF1|(4+DF2|)+|DF2(4+|AF,I) AF+DF2 由①②，解得a=2,b=√5. 2 2 x2 y2 =4十 =4+ 所以C的方程为15=1. (4分) 1 1 1 AF1十TDF2 TEFT+DF:T (2)设A(x1,y1),B(0,t)(t>0), 1 1 由(1)可知F1(-3,0),F2(3,0), 因为EFT十DF 1 则F1B=(3,t),F1A=(x1+3,y1), 1 y-y2=4 1 x1十3=2： √1+m2 y2y3 -5 因为F1B=6F1A,所以{ t (17分) y1=6’ 所以Mr,-M,-4+- 、5 x1= 即 代入C可得=95 (6分) y1= 6 数学答案（三）第4页（共4页）》 A