备考信息导航演练2-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

真题密卷 备考信息导航演练（二） 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练 数学（二） 一、选择题 a∈(-∞，1]. 1.A【解析】B={x|1≤x≤2}，若A∩B≠☑，则a<2. 7.C【解析】将正四面体A-BCD补成边长为√6的正方 2.C【解析】因为(1十ai)(1-2i)=(1+2a)+(a-2)i=1 体，如图，则M,N,P分别为该正方体三个面对角线的 -2i,所以1+2a=1且a-2=-2,所以a=0. 交点.根据正方体的对称性，过点M,N,P三点的平面 3.C【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 与过B,C,D三点的平面平行，且过点M,N,P三点的 所以7p:3x>1,x3-1≤0. 截面圆面积等于过B,C,D三，点的截面圆面积，即 4.B【解析】因为S。=名+3+4 △BDC外接圆的面积，因为△BDC是边长为2√3的正 所以23.一是+2++…+e 21314 2②，两式相减可得 三角形，所以外接圆半径R= 23 2sin60°=2，所以栽面圆 1,11 2S。=1+2+2+ 2+… 1n+1 的面积S=πR2=4元. 22+7=1+ -点) n+13n+3 1 21=2一2士，所以Sn=3二27， 因为”十3 C 2≥0，所以3一十33，即S<3恒成立，故 2n D k≥3，即k的最小值为3. 8.C【解析】P(AB)十P(AB)=0.5,P(AB)=0.3,因为 5A【解析】因为了0)=如p=号又0<9<管所以 P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)=1,所以P(AB)=1 P(AB)-P(AB)-P(AB)=1-0.5-0.3=0.2.由全概率公 9=后国为fx)的图象过点(1,1D,所以sim@+否） 式得P(A)=P(AB)十P(AB),所以P(AB)=0.4- P(AB)=0.2,又P(AB)+P(AB)=0.5,所以 1,所以w十若=智+2x∈Z甲w=弩+2x,返∈ P(AB)=0.5-P(AB)=0.3,由全概率公式得 五由雪2，得T>4,所以4，所以a<受又o> T P(B)=P(AB)+P(AB)=0.5,所以P(A|B) ce -8号-sPa-P80-8号-5， 0,故w=子，所以fx)=sim(5x+）令fx)= P(BA)=P(AB)_0.3 PA-0.6=0.5,P(A1B=PAB- P(B) sim(货x+）=0,则号x+百=kx,k∈Z,所以x=3h 0.3 0.50.6,故C正确. 二、选择题 k=-2,-1,0,1,2,3,所以f(x)在区间[-3π，3π]上有 9.BCD【解析】当a=3,b=3时，a2-ab一b+3=0成 6个零点. 6.D【解析】令f(x)=x2e-a-2lnx-x,则f(x)= 立，故A错误；因为6=a+3_a十1)-2a+1)+4 a十1 a+1 e2mx+x-a-2lnx-x.令2lnx十x=t,则t∈R.令g(t)= 4 ea-t,则g'(t)=ea-l.令g'(t)=0,则t=a,当t∈ =a+1+22a+1-=2,当且 (-∞，a)时，g'(t)<0,g(t)单调递减；当t∈(a,+∞) 仅当a十1=2，即a=1时取等号，故B正确；a十b= 时，g'(t)>0,g(t)单调递增，即g(t)≥g(a)=1-a.若 f(x)≥0恒成立，则g(t)≥0，即1-a≥0，所以a≤1，即 a+2at+g11-e2at。 a+1 A 数学答案（二）第1页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 =18种分配方法，所以甲、乙两人不在同一年级的分配方 3=4√2-3>4√2-4，故C正确；2a-b=2a a2+3 a+1 法共有90一18=72种. =a+1- 4 a十，因为fa)=a十1与ga)= a+7均为 解法二：甲、乙分别从另外四人中各选一人与自己组成 一组，然后6人再平均分配到三个年级共有C4CA= 增函数，所以f(a)十g(a)>f(0)十g(0)=-3,故D正确. 72种. 10.ABD【解析】因为16-m2=n2+6,所以m2+n2= 10,故A正璃周为1-6，=于可 13.5【解析】由(2a-b)1(a+b),得(2a-b)·(a+ 4 ，所以 n b)=0,整理得(2-入)a·b=4一2，所以(2-)X 4,整理得m十65 m+6_25×√16-m 3 6十n2=3,又 1aXb×coas吾=认-2，解得入-手 5 m3+m2=10,解得m=2,n=6,所以C2的方程为 14.2√3【解析】由抛物线C:x2=4y,可得焦点坐标为 F(0,1),由E:x2+(y-5)2=4,可得E(0,5),半径r= 6=1故B正确由选项B可得C的方程为16十一1， 2,设定点P(0,1),满足2|NF=|NP|成立，且 不坊设点P在第一象限，联立：一y=6, x2+4y2=16, 解得P(22， N红w,牌√2干0=+00可恒成 2-√2 立，所以3x8+3y8-(8t-2)y0十4t2-1=0①，又x8+ √2)，所以点P到两条渐近线的距离之和为 √2 y号-10y+21=0②，由①-②×3得2(4-t)yo=16 25+区=4，故C编误；因为FF=45,所以 ,解得1=4，所以P(0,4),所以定点P满足2NF= △，PR,的面积S-日×45X反=25，故D正克， INP恒成立，可得MN+2NF=MN+|NP, 11.ACD【解析】因为g(x十3)=f(x+2)-1,即g(x)= 如图所示，当且仅当M,N,P在一条直线上时，此时 f(x-1)-1,由g(2-x)+g(x)=-2,得 |MN|+|NP|取得最小值MP|,设M(s,m),|MP|= g(1-x)+g(1+x)=-2,得f(1-x)-1)-1+ √52+(m-4)=√4m+m2-8m+16=√Gm-2)2+12≥ f(1+x)-1)-1=-2,可得f(-x)+f(x)=0,所以 23,当m=2时，等号成立. f(x)为奇函数，故A正确；在g(2-x)十g(x)=-2中，令 四、解答题 x=0,得g(0)=-2≠0，所以g(c)不是奇函数，故B错误；由15.解：(1)因为a=3, f(4-x)=f(x),得f(4十x)=f(-x)=一f(x),所以 所以b2-3b十9=c2可化为b2-ab十a2=c2,(3分) f(8十x)=一f4十x)=f(x),可知8为f(x)的一个周期， 整理得a2十b2-c2=ab, 因为g(8+x)=f(8+(x-1)-1=f(x-1)-1=g(x),所 以8是g(x)的一个周期，因为f(4十x)=一f(x), 由余弦定理，得c0sC=a2十6-c21 2ab 2 (4分) 所以f(x)+f(x+4)=0,即[f(1)+f(5)]+ 因为Cc0,,所以C=子 (5分) [f(2)+f(6)]+[f(3)+f(7)]+[f(4)+f(8)]= 0,即2f()=0,因为g(2)=0,所以f1)=1,由于8 (2)因为a=3,c=√7，所以b2-3b十2=0， (6分) 解得b=1或b=2, (7分) 为fx)的一个周期，所以觉f)=253X0+f(1①=1，故 若b=1, C正确；f(3)=f(1)=1,f(4)=f(0)=0,因为g(x+1) 由正弦定理，得3 1 2√7 +g(x十5)=f(x)+f(x+4)-2=-2,所以[g(1)+ sin A sin B g(5)]+[g(2)+g(6)]+[g(3)+g(7)]+[g(4)+ sin 3 g8]-8所以含g)=-8,由于8为ge)的-个周 所以sinA= 33 2V万sinB= 2√7 期，所以置g()=253X(-8)+g1)=-2024+f(0) 1=-2025,故D正确. 则sinA十sin2B=15 Γ14 (10分) 三、填空题 若b=2, 12.72【解析】解法一：6人平均分到3个年级，共有CC= 2 √7_2W7 国正弦定理得AnB 8D种分配方法，其中甲，乙两人在同一年级的共有CCA nr3 数学答案（二）第2页（共4页） A 真题密卷 备考信息导航演练（二） 所以sinA= 3√3 2√7 sin B= 2√5 故cos<m,n=m·n= 3√53√/105 2√7 mn 5x7 35 则sinA十sinB= 39 281 所以平面PDG与平面PDC夹角的余弦值为3YO5 35· 签上，A十B的值为是器 (13分) (15分) 17.(1)解：由n2(Sm-1)=n2Sm-1+2n+1, 16.(1)证明：因为PB=√2AP=√2AB, 得n2(Sm-Sm-1)=n2+2n十1， 所以AP2+AB2=PB2, 所以n2am=(n+1)2, (2分) 即PA⊥AB,同理PA⊥AC, (1分) 因为AB∩AC=A,AB,ACC平面ABCD, 当n≥2时，a,=n+1) n2, 所以PA⊥平面ABCD, (2分) 又a1=4满足an= .(n+1)2 因为DGC平面ABCD,所以DG⊥PA. (3分) n2, 因为AB=AC,且AB2十AC2=PB2=BC2, 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以a,的通项公式为a,=n+1) n2 (4分) 所以a1·a2·a3·…·an 连接AG,则AG=号BC=GC, (5分) 大…Xn+10 =2×32×4 -=(n+1)2 (6分) 因为AD=DC,所以DG⊥AC, 十 n2 又因为AP∩AC=A, (2)证明：由(1)知，6.=a.-2-n+2m+1_2-1 又AP,ACC平面APC, n2 n 所以DG⊥平面PAC. (6分) 1 十京，所以6，=2， (7分) (2)解：由(1)知，AB,AC,AP两两互相垂直， 所以分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,之轴， 当2时6，=1计1+1+片 建立如图所示的空间直角坐标系， n-1n, (9分) 所以T,<6+a-1y+1-名+日日+号- 111 n-1 n =n-+2, (11分) n 当n≥9时6，=1+是>1+D=1十日 1 n+1, (13分) 不妨设PA=2,则B(2,0,0),C(0,2,0), 所以T.>6+-+号日+写++日 1 所以G(1,1,0),又D(-√3,1,0)，P(0,0,2), 1 1,3 则P元=(1,1，-2)，PD=(-3,1,-2),PC=(0,2, n+1=n一n十1十2' -2), (8分) 设平面PGD的法向量为n=(x,y,之)， 综上中+2.<a+2 (15分) n C.n=0即+-2x=0. 18.解：(1)令μ=x2,则y=bx2十a可化为y=bμ十a, 则 PD.n=0,-√3x十y-2x=0, 令之=1，则y=2,x=0, 含4-0.- 187 r1= ≈ 所以n=(0,2,1). (11分) -)2- √374×10 入=1 设平面PDC的法向量为m=(a,b,c), 187 (2分) 西·m=0即-5a+6-2c=0, 19.34×10≈0.97. 则 PC·m=0,26-2c=0, 令v=lny,则y=er+g可化为lny=px十q, 令c=√3，则b=√5，a=-1, 即0=px十q, 所以m=(-1,W3,W3). (14分) 因为2-)=10， (3分) A 数学答案（二）第3页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 所以r2= 含-2a- 6.3 (1)解：A,2n(+1D,B(,2+2z, √10X/4.9 因为f'(x)= 2 +1g'()=x+2, (7分) =0.9, (4分) 则r1>r2,因此从相关系数的角度来看， 所以l的方程为y-2ln(x1十1)= 2 x1+1x-x1), 模型y=bx2十a的拟合程度更好. (5分) 2 2x1 (2)由(1)知，用模型y=bx2十a更合适， 即y= 1fx+21n(x1+4F1 令u=x2,则y=bx2十a可化为y=bμ十a, 2o- 同理1的方程也为yz十2)z2, (9分) 所以3= 187 =0.5, 4,一) 374 (7分) 所以、2 x1+1=x2+2, =1 因为4=1+4牛9+16+25=11， (8分) 5 且2n(+D21 2x, (10分) 因为20y:-y)2=20-2y9+y) x1+1-2代入21n(x1+1)-21 2 将x= 1 =1 -2-2y2y,+5 -5 x十1一2x, =2y2-2y×5y+5y=22-5y (11分) 整理得ln(x1十1)=(x1+1) 所以100=381.25-5y2,解得y2=56.25, 令h(t)=ln(t+1)- +1D2>-1), 因为y>0,所以y=7.5, (13分) 则)-+u>-1D. t(t+3) 所以a=y-=7.5-0.5×11=2, 当t∈（一1,0）时，h'(t)<0,h(t)单调递减；当t∈(0， 所以y关于x的回归方程为y=0.5x2+2. (15分) 十o∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增，所以h(t)in= (3)因为y关于x的回归方程为y=0.5x2+2, h(0)=0,故h(t)=0只有一个根，此时t=0,即x1= 所以当x=6时，y=0.5×62+2=20, (16分) 即2024年该企业的年利润的预测值为20千万元， 0,此时2 z,十12,2n(x1十1D21=0,故公切线为 所以2024年年利润的残差为20.1一20=0.1千万元. y=2x. (13分) (17分) (i)证明：令s(x)=f(x)-2x=2ln(x+l)-2x, 19.(1)解：因为fx)-21n(x十1)+a+8 x十2 则异-2 x+1' 所取r)-品中 由s(x)>0,得-1<x<0;由s'(x)<0,得x>0. (1分) 所以当x∈(-1,0)时，s(x)单调递增； 若f(x)为增函数，则x∈(-1，十∞)，f'(x)≥0恒成立， 当x∈(0，十∞)时，s(x)单调递减， 即2一a+8 x+1(x+2)≥0恒成立， 所以s(x)≤s(0)=0, (14分) 所以f(x)≤2x; 2(x+2)2 即a+8≤x+1 恒成立， (3分) 1 令r(x)=g(x)-2x=2x≥0， 当x>-1时， 所以g(x)≥2x, 2(x+2)22[(x+1)+1]2 x+1 x+1 =2(x+1)+ +7+2]≥8， 1 所以f(x)≤2x≤g(x), 又由(1)可知， 当且仅当x=0时取等号， y=2x是曲线y=f(x)和y=g(x)的一条公切线， 所以a十8≤8，即a≤0， 所以曲线y=f(x)和y=g(x)是可分割曲线. 所以实数a的取值范围为（一∞，0]. (6分) (17分) (2)当a=-8时，f(x)=2ln(x十1)， 数学答案（二）第4页（共4页） A2024一2025学年度备考信息导航演练 卺题 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x>a},B={xx2一3x十2≤0}，若A∩B≠☑，则实数a的取值范围为 () A.（-∞，2) B.（-∞，-2] C.(-∞，1) D.(-∞，1] 2.已知(1+ai)(1-2i)=1-2i(a∈R),则a的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.命题：Hx>1,x3-1>0,则是 () A.Hx>1,x3-1≤0 B.Hx≤1，x3-1>0 C.3x>1,x3-1≤0 D.3x≤1，x3-1≤0 4记数列a.的前n项和为S.a,-”,若S.≤及恒成立，则的最小值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知函数f(x)=sin(十g)(o>0,0<g<)的部分图象如图所示，则f(x)在区间 [-3π，3π]上的零点个数为 () 2 12 0 2 A.6 B.7 C.8 D.9 6.已知关于x的不等式x2ex-a一2lnx一x≥0恒成立，则实数a的取值范围为() A.(-1,1 B.[1,+∞) C.(-∞，-1] D.(-∞，1] 7.已知正四面体A-BCD的顶点都在球O的表面上，AB=23,点M,N,P分别为棱 AB,AC,AD的中点，过点M,N,P作球O的截面，则所得截面圆的面积为 () π A.2π B. C.4π D.16元 数学试题（二）第1页（共4页） 真题密卷·备 8.某旅行社开发了一条旅行线路，其中有供游客自由选择的A、B两个景点，游客可以选 班级 择去一个或两个景点游玩，也可以选择两个景点都不去.根据统计数据发现选择去A景 点的概率为0.4，两个景点选择一个的概率为0.5，两个景点都不选择的概率为0.3（记 选择去A景点为事件A,选择去B景点为事件B),则 ( 姓名 A.P(A|B)=0.3 B.P(AB)=0.4 C.P(BA)=0.5 D.P(BA)=0.6 得分 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正实数a,b满足a2-ab-b+3=0,则 ( A.a<2 B.b≥2 C.a+b≥4√2-4 D.2a-b>-3 1Q.箱面C后+若=10>0与双南线C若-1a>0有关同袋放F,F,P是 2√6 C与C2的公共点，C,C的离心率分别为e1e,且ea=3e1,则 A.m2+n2=10 B.C2为等轴双曲线 C.点P到C2的两条渐近线的距离之和为6 D.△F1PF2的面积为2√6 11.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(4-x)=f(x),g(2一x)+g(x)=-2, g(x十3)=f(x+2)-1,g(2)=0,则 () A.f(x)是奇函数 B.g(x)是奇函数 c.罗f(a)=1 D.登g()=-2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某高中将甲、乙等六名安全宣传员平均分配到三个年级协助年级搞好安全宣传活动， 则甲、乙两人不在同一年级的分配方法共有 种.（用数字作答） 13.已知向量a,b满足a=1,b=2,(2a-b)1(a十b),若a,b的夹角为，则实数入 的值为 14.已知点M,N分别是抛物线C:x2=4y和圆E:x2+（y一5)2=4上的动点，若抛物线C 的焦点为F,则MN|+2NF的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b2-3b+9=c2. (1)求C; (2)若c=√7，求sin2A十sinB的值， 信息导航演练 数学试题（二）第2页（共4页） Y 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PBC与△ADC为正三角形，PB=√2AP= √2AB=√2AC,G为BC的中点. A BC- G (1)证明：DG⊥平面PAC. (2)求平面PDG与平面PDC夹角的余弦值. 17.(15分)记数列{am}的前n项和为Sn,且a1=4,n2(Sm-1)=n2Sm-1十2n+1(n≥2). (1)求{am}的前n项积. (2)令b,=a-二数列b,的前n项和为T,证明：当n≥2时，nn十1千；<T。<卫 -1+2. n 18.(17分)某科技企业自2019年创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润 得到较快增长，将2019一2023连续五年的年份代码依次记为1,2,3,4,5，把五年的年 利润y(单位：千万元)与年份代码x之间的关系用下面的散点图绘出. ↑利润 16 ● 14 12 10 ● 8 6 ● 2 年份代码 0123 4567 μ：=x,v:=lny:(i=1,2,3,4,5). 24:-)” 2(0:-o) i= i= u:-)y:-y） i-1 含x,-)o-） (y:-y)2 i=1 i=1 374 4.9 187 6.3 100 381.25 6 A 数学试题（二）第3页（共4页） 真题密卷 (1)设{：}和{y:}的相关系数为r1,{x:}和{v:}的相关系数为r2,请从相关系数的角度， 确定y=bx2十a和y=er+g(其中a,b,p,q均为常数，e为自然对数的底数)哪一 个拟合程度更好； (2)根据(1)的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)若2024年该企业实际年利润为20.1千万元，根据(2)求得的回归方程，求2024年 年利润的残差」 附：①对于一组数据(m1,t1),(m2,t2),…,(mm,tm),其回归直线t=a十m3的斜率 2(m:-m)(t:一t 和截距的最小二乘估计公式分别为3= i= ，a=t一m3,相关系数r 含mm 2(m:-m)(t:-t) i=1 含m:-m2- ②参考数据：√374≈19.34. 19.(17分)定义：已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间D上均有意义，曲线y=f(x)在点 A(x1,f(x1)(x1∈D)处的切线为y=ax十b(a、b∈R),且曲线y=g(x)在点B(x2, g(x2)(x2∈D)处的切线也为y=ax十b,则直线y=ax十b是曲线y=f(x)和y= g(x)的公切线，且f(x)≤a.x十b≤g(x)(a,b∈R),则称曲线y=f(x)和y=g(x)是可 分割曲线，直线1：y-ax十b为两曲线的分割线.已知函数f(x)=2h(z十1)十a+8, x十2' gx)=2x2+2x. (1)若f(x)为增函数，求实数a的取值范围. (2)当a=一8时，回答下面两个问题： (i)求曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线 (iⅱ)证明：曲线y=f(x)和y=g(x)是可分割曲线. 备考信息导航演练 数学试题（二）第4页（共4页）