2025--2026学年浙教版八年级上册数学期末复习：等腰直角三角形

2025年浙教版八年级第一学期期末专题复习第二讲：等腰直角三角形 1.等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E、F分别为腰AC、BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB＝10，设x＝DE+DF，则x的取值范围为　5x＜10　 ． 【解答】解：如图所示， 过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N， ∵△ABC是等腰三角形，点D是AB的中点， ∴DM＝DN，又DE⊥DF， ∴∠EDM＝∠FDN， 在△EDM和△FDN中 ， ∴△EDM≌△FDN（ASA）， ∴DE＝DF， 在Rt△ABC中，∵AB＝10， ∴AC＝BC＝5， 当DE、DF与边垂直时和最小，即DE+DF（AC+BC）＝5， 当E或F有一个与C重合时，其和最大，即DE+DF＝DC+DB＝AB＝10， ∴5x＜10． 故此题的答案为：5x＜10． 2.如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轨迹、相似三角形的判定和性质 、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 过点E作，再根据等腰三角形的性质得，再证明，，设，，得，整理方程得根据方程有解，得，求出y的最大值和最小值，得，根据再返回B点，即可得出结论。 【详解】过点E作， 等腰中，， 是等腰直角三角形， 且， ， ， ， 设，，则， ， ， 整理得∶ （关于x的方程有解） ， ，且， 令得， ， ，(舍去) ， 即y最小值为0，y最大值为， ， 最大值为 E点从B点出发运动至处，再 返回B点， E点运动路径为． 故答案为：． 3.如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，AB，AC在直线MN异侧，BD⊥MN于点D、CE⊥MN于点E． （1）求证：△ABD≌△CAE． （2）如图2，连结CD． ①若BD＝2，CE＝8，求CD的长． ②取BC中点G，连结DG，猜想DB，DA，DG三者的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∴∠DBA+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：①由（1）知：△ABD≌△CAE， ∴AE＝BD＝2，CE＝AD＝8， ∴ED＝8﹣2＝6， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴CD10； ②DB，DA，DG三者的数量关系是：2DG（AD﹣BD），理由如下： 如图2，延长DG交CE于H， ∵G是BC的中点， ∴BG＝CG， ∵BD⊥MN，CE⊥MN， ∴BD∥CE， ∴∠DBG＝∠GCH，∠BDG＝∠CHG， ∴△BDG≌△CHG（AAS）， ∴DG＝GH，BD＝CH＝AE， ∵AD＝CE， ∴AD﹣AE＝CE﹣CH， 即DE＝EH， ∵∠DEH＝90°， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∴DHDE， ∴2DG（AD﹣AE）（AD﹣BD）． 4.在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E是线段CB上任一点（不与C重合），作EM⊥BC交AB于M，D是CA延长线上一点，连结DE交AB于F，AD＝BE． （1）求证：DF＝EF； （2）过F作GF⊥DE，若CG＝GF，①证明：∠D＝30°；②求EB的长（结果不化简）． 【解答】（1）证明：如图1，∵EM⊥BC， ∴∠BEM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BEM， ∴CD∥EM， ∴∠FME＝∠DAF，∠D＝∠FEM， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴EM＝EB， ∵AD＝BE， ∴AD＝EM， ∴△ADF≌△MEF（ASA）， ∴DF＝EF； （2）①证明：如图2，连接EG， ∵GF⊥DE， ∴∠GFE＝90°＝∠C， ∵CG＝GF，EG＝EG， ∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL）， ∴∠CEG＝∠FEG，CE＝EF＝DF， ∵FG⊥DE，DF＝EF， ∴GF是DE的垂直平分线， ∴DG＝GE， ∴∠D＝∠DEG＝∠CEG， ∵∠D+∠CED＝90°， ∴∠D＝30°； ②解：设CG＝x，则FG＝x，DG＝2FG＝2x， ∴DF＝EFx＝CE， ∵AC＝BC＝4， ∴AD＝3x﹣4， ∴BE＝3x﹣4， ∵BC＝4， ∴x+3x﹣4＝4， ∴x， ∴EB＝3x﹣44． 5.综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．求证：BE＝AD，并直接写出∠AFB的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，点E在AD的延长线上，且AB＝AE，连接BE，CE，求证：BE＝CE． ②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C恰好在ED延长线上，连接BD，若AB＝4，AE＝2，求△BDC的面积． 【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC＝BC，∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD， ∵∠BOC＝∠AOF， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°； （2）①证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵AB＝AE，AD＝AC， ∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE， ∵AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAE， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BE＝CE； ②解：如图3，设CD＝x， ∵△ADE是等腰三角形，∠DAE＝90°，AE＝2， ∴DE2， 由①同理得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝2x，∠ABO＝∠ACE， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠CDO＝∠BAO＝90°， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴（2x）2+x2＝42+42， x2x＝6， ∴S△BDC•BD•CDx（2x）x2x＝6． 6.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°，连接AC、BD交于点P； （1）求证：△AOC≌△BOD． （2）求∠APB的度数． （3）如图（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝14cm，点D是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE，连接BE，若BD＝4cm，求BE的值． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD， 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， （2）解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA ＝180°﹣（∠BAO﹣∠CAO）﹣（∠ABO+∠OBD） ＝180°﹣60°+∠OAC﹣60°﹣∠OBD ＝60°； （3）解：如图所示，当D在线段AB上时， ∵△CDE是以点C为直角顶点的等腰直角三角形 ∴∠DCE＝90°，CD＝CE， 又∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠DCB＝∠BCE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AB＝14，BD＝4， ∴BE＝AD＝AB﹣DB＝10cm， 如图所示，当D在AB的延长线上时， 同理可得，∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AB＝14，BD＝4， ∴BE＝AD＝AB+DB＝18cm， 综上所述，BE＝10cm或18cm． 7.如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°．点P是斜边BA上的动点（不与点A重合），以C为直角顶点、CP为直角边，在CP左侧作等腰直角△PCD，PD交BC于点E． （1）求证：△APC≌△BDC； （2）若，当△PCE为等腰三角形时，求所有符合条件的BP的长； （3）若AB＝m，DP＝n，△DBP的面积记为S，求S＝　　 （用含m、n的代数式表示）． 【解答】（1）证明：在等腰直角△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝90°， 在等腰直角△DCP中，CP＝CD，∠DCP＝90°， ∴∠DCB＝∠PCA， 在△APC和△BDC中， ， ∴△APC≌△BDC（SAS）； （2）解：在等腰直角△ACB中，，∠ACB＝90°，∠A＝∠ABC＝45°，AB＝2， 在等腰直角△DCP中，∠CPD＝45°， ①当EC＝EP时， ∴， ∴BP＝AP＝1； ②当PC＝PE时，∠PEC＝∠PCE， ∵∠EPC＝∠PBC＝45°，∠ECP＝∠PCB， ∴∠BPC＝∠PEC＝∠PCE， ∴EP＝BC； ③当PC＝PE时，P与A重合，不合题意． 综上所述，BP的长为1或． （3）解：∵△APC≌△BDC， ∴∠DBC＝∠A＝45°，DB＝AP， ∴AP+BP＝m，AP2+PB2＝DB2+PB2＝n2， ∴S[（AP+BP）2﹣（AP2+PB2）]． 故答案为：． 8.如图，△ABC和△ADE都等腰直角三角形，． （1）如图1，点D、E都在△ABC外部，连接BD和CE相交于点F．①判断BD与CE的位置关系和数量关系，并说明理由；②若AB=2，，求的值． （2）如图2，当点D在△ABC内部，点E在△ABC外部时，连接BE、CD，当AB=3，时，求的值． 【答案】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由见解析；②14 （2）22 【解析】 【分析】（1）①证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CFG＝∠BAG＝90°，根据垂直的定义解答； ②由AB=2，，可得，，结合勾股定理计算即可． （2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，设DG=x，CG=y，EG=z，利用勾股定理可得，进而即可求解． 【小问1详解】 ①BD＝CE且BD⊥CE，理由如下： 设BD与AC交于点G，如图1，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AGB＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠BAG＝90°， ∴BD⊥CE． ②AB=2，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，， ∵BD⊥CE， ∴=． 【小问2详解】 如图2，延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE， ∵AB=3，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，， 设DG=x，CG=y，EG=z，则在Rt∆DEG中，， 在Rt∆BCG中，， 在Rt∆CDG中，， Rt∆BEG中，， ∴==4+18=22． 9.如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1） 先由，得出，证明，即可作答． （2）由，推出，由，，又，，可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． 【小问1详解】 证明： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ，， 又， ， ， ． 10.如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作轴，以为斜边作等腰直角三角形，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知，且a，b满足：． （1）求点B坐标． （2）如图2，点D为的中点，连，过C作且，连接交于点N．求的值． （3）如图3，若D点为等腰直角三角形外部一点，，连接交y轴于点E，平分交于F．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出即可求解； （2）过E作于H．根据证明得，，根据证明得，进而可求出； （3）设，，由可得，从而，由三角形外角的性质得，进而可证结论成立． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴． ∴ 【小问2详解】 如图，过E作于H． 由得 又，故 在与中， 则 则，，故H是AC的中点． 在与中， 则 则，故 因此：． 【小问3详解】 ．理由如下： 设， 因为，所以 又，所以 由得： 整理得： ∵ 所以． 11.在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，存在的数量关系为，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 存在的数量关系为； 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12.如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证： （1）求证：； （2）若，求的长； （3）在点D的运动过程中，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）13 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证明，进而可证； （2）证明，根据勾股定理，进而求出的值． （3）由勾股定理得，则最小时，最小，当时即可，再根据直角三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：与都是等腰直角三角形， ，， ， 与都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， （负值舍去）； 【小问3详解】 解：如图： ∵是等腰直角三角形，， ∴ 当时，最小，则最小， ∵， ∴ ∵ ∴和均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025年浙教版八年级第一学期期末专题复习第二讲：等腰直角三角形 1.等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E、F分别为腰AC、BC上（异于端点）的点， DE⊥DF,AB=IO,设x=DE+DF,则x的取值范围为 A E 2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1,点D在边BC上运动，连接 AD,将AD绕点D顺时针旋转90°，交斜边AB于点E.则点D从点C运动到点B的过 程中，点E运动的路径长为 B D 3.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线N经过点A,AB,AC在直线MN 异侧，BD⊥MN于点D、CE⊥MN于点E. (1)求证：△ABD≌△CAE. (2)如图2，连结CD. ①若BD=2,CE=8,求CD的长 ②取BC中点G,连结DG,猜想DB,DA,DG三者的数量关系，并说明理由 B M B M E G y N N 图1 图2 4.在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，E是线段CB上任一点（不与C重合），作 EM⊥BC交AB于M,D是CA延长线上一点，连结DE交AB于F,AD=BE. (1)求证：DF=EF; (2)过F作GF⊥DE,若CG=GF,①证明：∠D=30°；②求EB的长（结果不化简）· C E A B M B D 图2 图1 5.综合与实践 【建立模型】 (1)如图(1)，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD 为边构造等边三角形CDE,连接BE,AD交于点F.求证：BE=AD,并直接写出∠AFB 的度数。 【应用模型】 (2)①如图(2)，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD=AC,点E在AD的延长线上， 且AB=AE,连接BE,CE,求证：BE=CE ②如图(3)，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点C恰好在 ED延长线上，连接BD,若AB=4,AE=2,求△BDC的面积. A A E F B C E B 图(1) 图(2) 图(3) 6.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,若∠AOB=∠COD=60°，连接AC、 BD交于点P; A D A B 图1 图2 (1)求证：△AOC≌△BOD. (2)求∠APB的度数， (3)如图(2)，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,AB=14cm,点 D是射线AB上的一点，连接CD,在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE, 连接BE,若BD=4cm,求BE的值. 7.如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，点P是斜边BA上的动点（不与点A重合）， 以C为直角顶点、CP为直角边，在CP左侧作等腰直角△PCD,PD交BC于点E. (1)求证：△APC≌△BDC; (2)若AC=V2,当△PCE为等腰三角形时，求所有符合条件的BP的长； (3)若AB=m,DP=n,△DBP的面积记为S,求S=(用含m、n的代数 式表示). B 5 8.如图，△ABC和△ADE都等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°. E A D B 图1 图2 (1)如图1，点D、E都在△ABC外部，连接BD和CE相交于点F.①判断BD与CE的 位置关系和数量关系，并说明理由；②若AB=2,AD=√3，求BF2+CF2+DF2+EF2 的值. (2)如图2，当点D在△ABC内部，点E在△ABC外部时，连接BE、CD,当AB=3, AD=√2时，求BE2+CD2的值. 9.如图，ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB,BE=BD.连接 AE、CD,AE与CD交于点M,AB与BC交于点N. C ◇ (1)求证：AE=CD; (2)求证：AE⊥CD. 10.如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作BC∥x轴，以BC为斜边作等腰直角三角形 7 ABC,使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上.已知B(a,b),且a,b满足： (a-8)2+lb-4=0. D 图1 图2 图3 (1)求点B坐标. (2)如图2，点D为BE的中点，连CD,过C作CE⊥CD且CE=CD,连接BE交 AC于点N,求4W 的值 CN (3)如图3，若D点为等腰直角三角形ABC外部一点，∠CDB=45°，连接DB交y轴 于点E,EF平分∠CEB交CB于F.试判断∠CFE,∠CBD,∠CDB之间的数量关系， 并说明理由. 11.在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=RT∠，点D是 直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），连接CE. B D B D B C D 图1 图2 图3 (1)在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD; (2)在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成 立，请猜想BC,CE,CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC, CE,CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系， 12.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，LACB=∠ECD=90°，D为AB边上一 9 动点，边DE与AC相交，AB=17.求证： A D 防 C (1)求证：∠EAC=∠B; (2)若BD=5,求DE的长； (3)在点D的运动过程中，求DE的最小值. 10