专题1.2 整式与因式分解（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦整式与因式分解专题，覆盖代数式、整式概念、运算及因式分解等5大中考核心考点，整合26个知识点与21个题型，构建“概念-运算-应用”递进知识体系。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破难点。 亮点在于“举一反三”分层设计与核心素养培养，如通过整式规律探究题型发展抽象能力，新定义问题（如“极差数”）培养数学思维。采用“一提二套三检查”因式分解策略，配合真题变式训练，确保高效复习。教师可依此精准把控节奏，学生能提升运算规范与应考能力。

专题1.2 整式与因式分解（举一反三复习讲义） 【26个知识点+5大考点+21个题型】 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 2 【题型1 代数式的概念及意义】 3 【题型2 列代数式】 5 【题型3 代数式求值】 6 【考点二 整式的相关概念】 8 【题型4 整式的相关概念】 9 【题型5 与整式有关的开放性问题】 11 【题型6 整式有关的规律探究】 12 【考点三 合并同类项与去括号法则】 15 【题型7 同类项的概念】 16 【题型8 合并同类项】 17 【题型9 添（去）括号法则】 19 【考点四 整式的运算】 20 【题型10 整式的加减】 23 【题型11 整式加减的应用】 26 【题型12 幂的运算及其逆运算】 31 【题型13 整式的乘除】 33 【题型14 乘法公式】 35 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 39 【题型16 整式混合运算的应用】 42 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 45 【考点五 因式分解】 48 【题型18 提公因式分解因式】 48 【题型19 公式法分解因式】 51 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 52 【题型21 因式分解的应用】 55 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 本部分核心在于掌握整式与因式分解的基本概念与核心技能。具体要求包括：准确理解单项式、多项式的相关概念（系数、次数、项）；熟练运用幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）进行运算；掌握整式的加、减、乘（特别是单项式乘多项式、多项式乘多项式）运算法则；熟练掌握因式分解的两种基本方法——提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式），并理解因式分解与整式乘法是互逆变形。 中考对此部分的考查呈现出“双基为重、适度综合”的鲜明特点。直接考查幂的运算、整式乘法或因式分解的纯基础题仍占相当比例，旨在检验运算的熟练度与准确性。主要的命题趋势是将这些运算技能融入更复杂的代数情境中进行考查，例如：作为化简求值的一步，在分式运算、二次根式运算、解方程（组）中作为关键环节，或与规律探究、数形结合（如用图形面积解释公式）等问题相结合。试题对运算过程的规范性和结果的简洁性有明确要求。 1. 运算规范优先：进行幂的运算时，务必先确定运算类型，再严格套用相应法则（如“底数不变，指数相加/减/乘”），特别注意符号和指数的处理。 2. 乘法与分解的互逆思维：进行多项式乘法时，要有意识地与公式结构对照；进行因式分解时，则要逆向联想乘法公式。步骤上坚持“一提（公因式）、二套（公式）、三检查（是否分解彻底）”。 3. 整体思想与降次思想：面对复杂式子，善于将某一部分看作一个整体进行运算或分解。在求值或化简时，利用因式分解实现降次，是简化问题的关键技巧。 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便． 用含字母的式子表示数的书写规则： （1）字母与字母相乘时，“”号通常省略不写或写成“”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； （4）字母与字母相除时，要写成分数的形式． （5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号． 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式． 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义． 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）． 知识点5 代数式的值的概念 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当时，代数式，那么9就是当时，代数式的值． 知识点6 求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步． 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变． 第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同． 【题型1 代数式的概念及意义】 【例1】（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 【变式1-1】（2025·河北保定·模拟预测）下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该书写为，故A错误； B．书写正确，故B正确； C．应该书写为，故C错误； D．应该书写为，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：5，a，，是代数式， x=2是等式，不是代数式， m+n＞0是不等式，不是代数式． 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别． 【变式1-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 【答案】香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一，合理即可) 【分析】本题考查了代数式在生活中的实际意义，代数式“”，是与的积，表示生活中的相乘计算，比如：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 【详解】解：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 故答案为：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一)． 【题型2 列代数式】 【例2】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 【变式2-1】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 【题型3 代数式求值】 【例3】（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 【变式3-1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【变式3-2】（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-3】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 【考点二 整式的相关概念】 知识点7 单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 知识点8 多项式 1.定义：几个单项式的和叫作多项式． 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式． 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数． 知识点9 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 【题型4 整式的相关概念】 【例4】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 【变式4-1】（2025·上海松江·模拟预测）单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键．这类问题中需注意的是，是常数，不是字母． 根据单项式的次数的定义“所有字母的指数和叫做这个单项式的次数”即可得． 【详解】解：由单项式的次数的定义得：的次数是． 故答案为：5． 【变式4-2】（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【题型5 与整式有关的开放性问题】 【例5】（2025·浙江金华·模拟预测）请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行作答即可． 【详解】解：由题意，单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-1】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】（2025·河南郑州·三模）写出一个次数为，系数为的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解即可，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，所以符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】（2024·河南漯河·二模）写出一个含有因式的多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、多项式的定义，根据平方差公式，得出一个含有因式的多项式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴一个含有因式的多项式 故答案为：（答案不唯一） 【题型6 整式有关的规律探究】 【例6】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 【变式6-1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 【变式6-3】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 【考点三 合并同类项与去括号法则】 知识点10 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 知识点11 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 知识点12 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 【题型7 同类项的概念】 【例7】（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．据此解答即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； B．与相同字母的指数不同，故不符合题意；     C．与 字母的指数不同，故不符合题意； D．与字母的指数不同，故不符合题意； 故选A． 【变式7-1】（2025·河南周口·一模）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】解：和是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-2】（2025·河北廊坊·模拟预测）如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同，可得方程组，根据解方程组，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由与是同类项，得 ， 解得， ， 故答案为：． 【变式7-3】（2025·广东汕头·二模）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征，同类项的性质．熟练掌握关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征是解题的关键． 根据题意得出，确定点即为，再由关于原点对称的点的特点得出关于原点的对称点为，即可得出结果． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得， ∴点即为， 关于原点的对称点为， ∴点为在第四象限， 故选：D 【题型8 合并同类项】 【例8】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式8-1】（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、整式的减法，正确理解新运算的定义是解题关键．先根据新运算的定义可得运算式子，再计算同底数幂的乘法、积的乘方，然后计算整式的减法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·福建南平·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，熟记运算法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键． 利用合并同类项的运算法则运算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【题型9 添（去）括号法则】 【例9】（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 【变式9-1】（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 【详解】解：原式， 故答案为： 【变式9-2】（2025·贵州贵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式9-3】（2025·山西临汾·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式运算中的去括号法则．根据整式运算中的去括号法则，逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，计算正确，该选项符合题意； 故选：D． 【考点四 整式的运算】 知识点13 整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 知识点14 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点15 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点16 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点17 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点18 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点19 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点20 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 知识点21 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点22 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型10 整式的加减】 【例10】（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）把■代入式子，运用去括号法则，合并同类项法则进行化简即可； （2）设系数“■”的值为a，将式子化简为．①由当x的值是时，这道题的值为，可得，求解即可．②由这道题最后的结果是个常数，可得，求解即可． 【详解】（1）解：当“■”是“”时，该多项式为：， ∴ ． （2）解：设系数“■”的值为a，则 ， ①∵当x的值是时，这道题的值为， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为． ②∵这道题最后的结果是个常数， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为3． 【变式10-1】（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式10-2】（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算． 【变式10-3】（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 【题型11 整式加减的应用】 【例11】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【变式11-1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 故选：A． 【变式11-2】（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 【答案】(1)70， (2)3，2；理由见解析 (3)不同意 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，整式加减混合运算的应用，理解检验码的计算方法是解答本题的关键． （1）根据d和*的计算方法计算即可； （2）设一个为m，另一个为．根据a，b，c，d， *的计算方法求出各个数分析即可； （3）表示出，然后根据d是10的倍数即可求出x的值． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，． 故答案为：70，6； （2）∵2个数都在奇数位上， ∴设一个为m，另一个为． 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∴时符合题意， ∴， ∴这两个数为3，2或8，7． ∵共有32个班级 ∴这两个数为3，2； （3）由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∵， ∴， ∵d是10的倍数， ∴， ∴该数字为2022000000000． 但不存在班级号、学号、考场号、座位号不可能为00， ∴不同意. 【变式11-3】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 【题型12 幂的运算及其逆运算】 【例12】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【变式12-1】（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 【变式12-2】（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【答案】12或21或9 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用．根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即． 此时． ∵， ∴． ∵，是正整数，． ∴，或，或，或，， ∴或或或， 故答案为：12或21或9． 【题型13 整式的乘除】 【例13】（2025·浙江温州·模拟预测）定义一种新运算：，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式13-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、长方形的性质，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得正方形的边长，即可得到答案； （2）由得到，即可得到答案； （3）不可以，理由：设，得到，解得，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得正方形的边长， 故答案为：； （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由如下， 设， ， ， 解得：， 为正整数， ∴长方形与正方形的面积之和不可以等于． 【变式13-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知的展开式中不含x的二次项，，求： (1)m的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项，因式分解，以及非负性． （1）根据多项式乘多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含的二次项，得到的二次项的系数为0，求出的值，即可； （2）将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出的值，再将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：， ∵展开式不含x的二次项， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 【变式13-3】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和除法、整式加减的应用，设长方形的B的长为，则宽为，进一步表示出长方形A的长和宽，即可求出答案． 【详解】解：设长方形的B的长为，则宽为， 由B、D的面积相等可得D的较短边长为，较长边为， ∴长方形A的较长边为， 由A、B面积相等可知长方形A较短边 ， ∴长方形A的长宽之比为． 故选：D 【题型14 乘法公式】 【例14】（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式14-1】（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式14-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（    ）． A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和 B．图中阴影部分面积保持不变 C．阴影部分周长保持不变 D．阴影部分面积和周长都不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长，据此可判断C，根据完全平方公式得到，据此可判断A、B、D． 【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为， 则阴影部分的周长为：，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故A、D说法错误，不符合题意； ∵正方形3和正方形4的面积与的长有关， ∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式14-3】（2025·四川成都·模拟预测）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 【例15】（2025·广东深圳·模拟预测）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的规定是解题的关键． 先根据新定义变形，再化简可得，把的值代入计算即可． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【变式15-1】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式15-2】（2023·重庆巴南·一模）对于五个整式，A：，B：，C：，D：，E：，有下列三个结论：①无论n为何值，多项式的值一定是正数，②存在实数m，n，使得的值为；③若关于m的多项式（k为常数）不含m的一次项，则该多项式M的值一定大于． 其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据整式的混合运算，完全平方公式以及非负数的性质，结合特殊值代入求解即可. 【详解】∵ ， ∴无论n为何值，多项式的值一定是正数，故①正确； ②∵当时, , ∴, ∴, ∴存在实数, 使得的值为,故结论②正确； ③∵ , 由题意可得, ∴, ∴, ∴结论③错误. 故选: B. 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 【变式15-3】（2025·重庆江津·一模）已知整式，其中，，，，，均为整数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】表示出当时，当时的值，再进行加法运算即可判断①；令，则，令，则，表示出，，结合题意即可判断②；由题意结合一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系得出，即，从而得出，计算即可判断③，从而得解． 【详解】解：①当时，，即， 当时，，即， ∴由可得：， ∴，故①错误； ②令，则， 令，则， 令，则， ∴，， ∵，，，，，均是整数， ∴，均为整数， ∴与必有一个为5的倍数， ∴，，，，，中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确； ③由题意，得，，，，为方程的五个解， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当或时，有最大值25， ∵， ∴当时，的最大值为25， 所以③正确， 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，正确计算是解此题的关键． 【题型16 整式混合运算的应用】 【例16】（2025·河北石家庄·一模）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【答案】(1)平方米 (2)退耕还林的面积504000平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）将米，米代入（1）中所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时， 平方米 答：退耕还林的面积504000平方米． 【变式16-1】（2024·安徽宿州·一模）某超市第二季度的利润比第一季度下降了，第三季度的利润比第二季度增长了，第四季度的利润是第一季度的倍，求第四季度的利润相比第三季度增长的百分数． 【答案】第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为 【分析】本题考查列代数式及整式的运算，设第一季度的利润为，表示出其他三个季度的利润是解决问题的关键． 【详解】设第一季度的利润为，则第二季度的利润为， 第三季度的利润为， 第四季度的利润为， 则第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为：， 即：第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为． 【变式16-2】（2024·河北石家庄·一模）植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排． (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？ (2)当时，这两块花坛一共种植了多少株？ 【答案】(1)长方形花坛比正方形花坛多种植株 (2)这两块花坛一共种植了76株 【分析】本题主要考查了整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据“长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排”列式并求解即可； （2）根据题意可得共种植了株，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 答：长方形花坛比正方形花坛多种植株． （2）由题意得：， 当时，原式（株）． 答：这两块花坛一共种植了76株． 【变式16-3】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 【例17】（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 【变式17-1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．运用计算定义进行代入、求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式17-2】（2023·河北邯郸·一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？ (2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”． 【答案】(1)嘉嘉说的对 (2)，说明见解析 【分析】（1）通过计算结合“4倍数”的概念求解即可； （2）设三个连续偶数分别为，，，然后通过计算结合“4倍数”的概念求解即可． 【详解】（1）嘉嘉：，是“4倍数”， 琪琪：，不是“4倍数”．所以嘉嘉说的对． （2）证明：设三个连续偶数分别为，，， ， ∵n为整数， ∴是“4倍数”． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式． 【变式17-3】（2025·重庆·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵，∴2331是“方和数”．若是“方和数”，那么 ；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”，规定，已知一个四位数是“方和数”，若能被6整除，则满足条件的N的值为 ． 【答案】 1 4352 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据“方和数”的定义进行列式计算，得，再结合，找出，即．因为是“方和数”，得，又因为能被6整除，所以得为整数，结合，得或2或4；再进行逐个分析计算，即可作答． 【详解】解：∵是“方和数”， ∴， 解得或（舍去）， 故； ∵， ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为2， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是“方和数”， ∴， ∴， ∴． ∵能被6整除， ∴为整数， ∴为整数． ∵， ∴或2或4； ∵，，，且b，c均是自然数， ∴①当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 即没有满足条件的b与c； ②当时，， 当时， 当时，（舍去）， 当时，（舍去） ∴得，； ③当时，， 同理，没有满足条件的b与c，． ∴，，， ∴． 故答案为：1,4352 【考点五 因式分解】 知识点23 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点24 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点25 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点26 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【题型18 提公因式分解因式】 【例18】（2023·山东·中考真题）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式18-1】多项式与多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把多项式分别进行因式分解， 多项式， 多项式=， 因此可以求得它们的公因式为（x-1）． 故选A 【变式18-2】（2025·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可 【详解】 当时， 原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式18-3】设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由. 【答案】能，或. 【分析】化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ . ∴要使代数式，只要. ∴，解得或. 【题型19 公式法分解因式】 【例19】（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式19-1】（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 【变式19-2】（2025·山东东营·一模）因式分解：＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式19-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 本题可设，将原式转化为关于的表达式，然后通过因式分解化简式子，最后再将代入求解即可． 【详解】解：设， 原式 ， 设， 原式 ， 当时，原式． 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 【例20】（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 【变式20-1】（2025·云南昭通·模拟预测）因式分解：= ． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 【变式20-3】（2025·河北秦皇岛·一模）整式、、、如表所示． 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当，时，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解、整式的除法、二元一次方程组，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用平方差公式分解因式即可得； （2）根据（1）的结果，计算整式的除法即可得；然后利用平方差公式和提取公因式法分解，最后根据建立关于的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：由表可知， ． （2）解：由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴， 即， 联立， 解得． 【题型21 因式分解的应用】 【例21】（2025·安徽合肥·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，点到原点的距离，利用完全平方公式法将等式左边进行因式分解，非负性求出的值，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴点到原点的距离为． 故答案为： 【变式21-1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 【变式21-2】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【答案】20或28 【分析】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意，等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式和；消去a，再因式分解得到，进而或，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：，，且恒成立， ，， 消去得，即， ,都是整数， ，或，， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 故答案为：20或28． 【变式21-3】（2025·四川资阳·模拟预测）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得 ，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式与因式分解（举一反三复习讲义） 【26个知识点+5大考点+21个题型】 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 2 【题型1 代数式的概念及意义】 3 【题型2 列代数式】 4 【题型3 代数式求值】 4 【考点二 整式的相关概念】 5 【题型4 整式的相关概念】 6 【题型5 与整式有关的开放性问题】 6 【题型6 整式有关的规律探究】 6 【考点三 合并同类项与去括号法则】 7 【题型7 同类项的概念】 8 【题型8 合并同类项】 9 【题型9 添（去）括号法则】 9 【考点四 整式的运算】 9 【题型10 整式的加减】 12 【题型11 整式加减的应用】 13 【题型12 幂的运算及其逆运算】 14 【题型13 整式的乘除】 14 【题型14 乘法公式】 15 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 16 【题型16 整式混合运算的应用】 17 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 18 【考点五 因式分解】 18 【题型18 提公因式分解因式】 18 【题型19 公式法分解因式】 20 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 20 【题型21 因式分解的应用】 21 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 本部分核心在于掌握整式与因式分解的基本概念与核心技能。具体要求包括：准确理解单项式、多项式的相关概念（系数、次数、项）；熟练运用幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）进行运算；掌握整式的加、减、乘（特别是单项式乘多项式、多项式乘多项式）运算法则；熟练掌握因式分解的两种基本方法——提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式），并理解因式分解与整式乘法是互逆变形。 中考对此部分的考查呈现出“双基为重、适度综合”的鲜明特点。直接考查幂的运算、整式乘法或因式分解的纯基础题仍占相当比例，旨在检验运算的熟练度与准确性。主要的命题趋势是将这些运算技能融入更复杂的代数情境中进行考查，例如：作为化简求值的一步，在分式运算、二次根式运算、解方程（组）中作为关键环节，或与规律探究、数形结合（如用图形面积解释公式）等问题相结合。试题对运算过程的规范性和结果的简洁性有明确要求。 1. 运算规范优先：进行幂的运算时，务必先确定运算类型，再严格套用相应法则（如“底数不变，指数相加/减/乘”），特别注意符号和指数的处理。 2. 乘法与分解的互逆思维：进行多项式乘法时，要有意识地与公式结构对照；进行因式分解时，则要逆向联想乘法公式。步骤上坚持“一提（公因式）、二套（公式）、三检查（是否分解彻底）”。 3. 整体思想与降次思想：面对复杂式子，善于将某一部分看作一个整体进行运算或分解。在求值或化简时，利用因式分解实现降次，是简化问题的关键技巧。 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便． 用含字母的式子表示数的书写规则： （1）字母与字母相乘时，“”号通常省略不写或写成“”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； （4）字母与字母相除时，要写成分数的形式． （5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号． 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式． 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义． 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）． 知识点5 代数式的值的概念 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当时，代数式，那么9就是当时，代数式的值． 知识点6 求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步． 第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变． 第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同． 【题型1 代数式的概念及意义】 【例1】（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【变式1-1】（2025·河北保定·模拟预测）下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 【题型2 列代数式】 【例2】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【变式2-2】（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【题型3 代数式求值】 【例3】（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【变式3-1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【变式3-2】（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【变式3-3】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【考点二 整式的相关概念】 知识点7 单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 知识点8 多项式 1.定义：几个单项式的和叫作多项式． 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式． 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数． 知识点9 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 【题型4 整式的相关概念】 【例4】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【变式4-1】（2025·上海松江·模拟预测）单项式的次数是 ． 【变式4-2】（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型5 与整式有关的开放性问题】 【例5】（2025·浙江金华·模拟预测）请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式： ． 【变式5-1】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【变式5-2】（2025·河南郑州·三模）写出一个次数为，系数为的单项式： ． 【变式5-3】（2024·河南漯河·二模）写出一个含有因式的多项式 ． 【题型6 整式有关的规律探究】 【例6】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【变式6-2】（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【考点三 合并同类项与去括号法则】 知识点10 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 知识点11 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 知识点12 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 【题型7 同类项的概念】 【例7】（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·河南周口·一模）请写出的一个同类项： ． 【变式7-2】（2025·河北廊坊·模拟预测）如果单项式与是同类项，那么 ． 【变式7-3】（2025·广东汕头·二模）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型8 合并同类项】 【例8】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【变式8-1】（2025·河北·中考真题）计算： ． 【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【变式8-3】（2025·福建南平·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型9 添（去）括号法则】 【例9】（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 【变式9-2】（2025·贵州贵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·山西临汾·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点四 整式的运算】 知识点13 整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 知识点14 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点15 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点16 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点17 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点18 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点19 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点20 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 知识点21 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点22 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型10 整式的加减】 【例10】（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 【变式10-1】（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【变式10-2】（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 ． 【变式10-3】（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【题型11 整式加减的应用】 【例11】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式11-1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 【变式11-3】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 【题型12 幂的运算及其逆运算】 【例12】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【变式12-3】（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【题型13 整式的乘除】 【例13】（2025·浙江温州·模拟预测）定义一种新运算：，则 ． 【变式13-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【变式13-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知的展开式中不含x的二次项，，求： (1)m的值； (2)的值． 【变式13-3】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【题型14 乘法公式】 【例14】（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【变式14-1】（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【变式14-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中，以下说法正确的是（    ）． A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和 B．图中阴影部分面积保持不变 C．阴影部分周长保持不变 D．阴影部分面积和周长都不确定 【变式14-3】（2025·四川成都·模拟预测）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 【例15】（2025·广东深圳·模拟预测）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 【变式15-1】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式15-2】（2023·重庆巴南·一模）对于五个整式，A：，B：，C：，D：，E：，有下列三个结论：①无论n为何值，多项式的值一定是正数，②存在实数m，n，使得的值为；③若关于m的多项式（k为常数）不含m的一次项，则该多项式M的值一定大于． 其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式15-3】（2025·重庆江津·一模）已知整式，其中，，，，，均为整数．则下列说法，正确的个数为（    ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型16 整式混合运算的应用】 【例16】（2025·河北石家庄·一模）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【变式16-1】（2024·安徽宿州·一模）某超市第二季度的利润比第一季度下降了，第三季度的利润比第二季度增长了，第四季度的利润是第一季度的倍，求第四季度的利润相比第三季度增长的百分数． 【变式16-2】（2024·河北石家庄·一模）植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排． (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？ (2)当时，这两块花坛一共种植了多少株？ 【变式16-3】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 【例17】（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【变式17-1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【变式17-2】（2023·河北邯郸·一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？ (2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”． 【变式17-3】（2025·重庆·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵，∴2331是“方和数”．若是“方和数”，那么 ；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”，规定，已知一个四位数是“方和数”，若能被6整除，则满足条件的N的值为 ． 【考点五 因式分解】 知识点23 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点24 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点25 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点26 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【题型18 提公因式分解因式】 【例18】（2023·山东·中考真题）因式分解： ． 【变式18-1】多项式与多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 【变式18-2】（2025·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式18-3】设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由. 【题型19 公式法分解因式】 【例19】（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【变式19-1】（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（2025·山东东营·一模）因式分解：＝ ． 【变式19-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 【例20】（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【变式20-1】（2025·云南昭通·模拟预测）因式分解：= ． 【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【变式20-3】（2025·河北秦皇岛·一模）整式、、、如表所示． 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当，时，求和的值． 【题型21 因式分解的应用】 【例21】（2025·安徽合肥·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为 【变式21-1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【变式21-2】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【变式21-3】（2025·四川资阳·模拟预测）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $