第02讲 整式与因式分解（复习讲义，7考点13题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖代数式、整式概念、运算、化简求值及因式分解等中考核心考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型突破-分层练习”系统架构，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于核心素养导向的教学创新，如“整式无关型问题”教学中引导学生通过化简发现无关字母系数为0培养推理意识，“杨辉三角规律探究”活动发展创新意识。分层练习配合即时反馈保障效率，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 整式乘法运算 题型01 幂的逆运算 题型02 整体代入 题型03 探求规律 命题点二 因式分解 题型01 利用完全平方式求参数 题型02 分组分解法因式分解 题型03 因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一 整式中的无关型问题 突破二 完全平方公式在几何图形中的应用 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式的相关概念 / 山东泰安T18 山东临沂T13 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 整式的相关概念 / 山东泰安 T13 / 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 山东滨州T4 山东济南T5 山东青岛T6 山东东营T2 山东卷T2 山东德州 T3 山东日照T5 山东青岛T5 山东济南T6 山东泰安T2 山东淄博T3 山东济南T6 山东泰安T2 山东日照T6 山东威海T3 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 山东潍坊T15 / 山东淄博T16 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 山东东营T12 山东青岛T10 山东烟台T13 山东东营T12 山东德州T13 山东淄博T13 山东威海T12 山东卷T11 山东菏泽T9 山东东营T12 山东济宁T14 山东日照T13 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 命题预测 整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向 考点一 代数式的相关概念 1.代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【答案】 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 2．（2025·山东聊城·二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，列代数式，根据“天真数”的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：依题意，， 0是最小的自然数， 由“天真数”的定义可知，最小的“天真数”的个位数和十位数为0，即， 千位数为，百位数为， 最小的“天真数”为； 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 2．（2025·山东临沂·二模）甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加法运算，整式和概率，求出两张卡片上代数式的和的所有结果，进而根据概率公式计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 随机抽取两张卡片，两张卡片上代数式的和如下： ； ； ； ； ； ； 由上可知，共有种等结果，其中和为整式的结果有种， ∴两张卡片上代数式的和为整式的概率是， 故选：． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，整式的乘法，熟练运用整式乘法法则是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义直接得出结果； （2）根据有序数对写出对应的多项式，由多项式的乘法法则求解即可； （3）根据有序数对写出含有m、n的多项式，再由其乘积为即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知关于的二次多项式的特征系数对为； （2）解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ； （3）解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ， 有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ，，， ，即的值为． 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2+2ab-b2 1．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 【详解】解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 考点四 整式化简求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 1．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2．（2025·山东临沂·二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了立方根，特殊角锐角函数值，负整数指数幂，整式的混合运算—化简求值： （1）根据立方根，特殊角锐角函数值，负整数指数幂化简，再计算，即可得出答案； （2）先根据平方差公式，单项式乘以多项式计算，再和并，即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 当时，原式 3．（2025·山东济宁·一模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则，分式运算法则即可解题． （1）代入锐角三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用分解因式化简分式，再代入的值即可解题． 【详解】（1）解：原式； 解：原式 ； 当时，原式． 考点五 因式分解 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 / 1.符号处理不当：在涉及负数的幂运算中，尤其是当底数为负数时，容易忽略奇次幂和偶次幂的结果差异。 2.忽视指数为“1”的情况：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。 3.法则混淆与误用：学生常混淆同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的规则。例如，错误地将同底数幂相乘的指数相乘，而正确做法是指数相加。 4.换底操作失误：在解决底数不同但指数相关的题目时，未能正确转换底数导致错误。例如，比较 10025与 7525的大小关系时，应该先将两者都转换成相同指数的形式再进行比较分析。 5.特殊情况条件遗漏：在进行零指数幂或负指数幂的运算时，忘记检查底数是否为零。另外，在求解含有未知数的幂等式时，没有考虑到某些特殊值可能使表达式无意义的问题。 【典例】（2025·山东烟台·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据题意得出，原式化为，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式】（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用、幂的乘方的逆用．根据，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． ►题型02整体代入 / 1. 灵活识别“整体”：常见整体形式：和、差、积、商、平方、倒数、根式等。 2. 避免盲目展开：尤其在高次幂或分式中，先尝试整体代入更高效。 3. 注意定义域限制：替换变量时需保证其有意义（如分母不为零、偶次根号下非负）。 4. 及时回代验证： 得到中间变量后要记得还原到原始变量求解。 【典例】（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 【变式】（2025·山东聊城·二模）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】根据，结合，代入解答即可． 本题考查了因式分解，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握公式，因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， 且， ． 故答案为：9． 【变式】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． ►题型03 探求规律 / 1. 符号与系数混淆 - 忽略单项式系数的符号。 - 将常数项误认为未知数，导致次数判断错误。 2. 次数计算错误 - 单项式次数未累加所有字母的指数。 - 多项式次数误判为各项次数之和，而非最高次项的次数。 3. 规律归纳偏差 - 仅观察前两项即得出结论，未验证后续项。 - 对变量起始值理解错误。 4. 忽略特殊条件 - 未考虑分母含字母的代数式不属于整式。 【典例】（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． …… 1 1    1 1   2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1    5    10   10   5    1 …… 则展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示） 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：． 【变式】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【变式】（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 命题点二 因式分解 ►题型01 利用完全平方公式求参数 / 1. 符号遗漏 - 忽略完全平方公式中“±”号，导致漏解。 2. 系数处理不当 - 未注意首项系数非1时的缩放关系。 3. 非整式变形 - 在分式或无理式中强行套用公式，忽略定义域限制。 4. 混淆完全平方与平方差 - 将a2 - b2 误拆为(a - b)2，导致参数计算错误。 【典例】（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 【变式】（2025·湖南湘西·模拟预测）若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，即或，解得结果即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴或， 即：； 故选：A． 【变式】（2025·海南三亚·模拟预测）已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：能运用完全平方公式分解因式， ， ， ， 故答案为：． ►题型02 分组分解法因式分解 / 1. 观察多项式结构 - 分析项数（≥4项）及是否存在公因式、平方差或完全平方等特征。 2. 合理分组策略 - 二二分组：适用于四项式，如 ac + ad + bc + bd = (a+b)(c+d)。 - 三一分组：三项构成完全平方，剩余项调整符号，如 x2 + 6xy + 9y2 - 4z2 = (x+3y)2 - (2z)2。 - 交叉验证：确保每组内可提取公因式或应用公式。 3. 逐步分解步骤 - ① 提取各组公因式 → ② 合并后再次提公因式/套用公式 → ③ 检查是否彻底分解。 4. 灵活变形技巧 - 添加辅助项构造可分组形式，如对x2 - y2 + 4x + 4，重组为 (x2 + 4x + 4) - y2 = (x+2)2 - y2。 【典例】（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】（2025·江西·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，进行因式分解即可． 【详解】解： ； 故答案为： ►题型03 因式分解的应用 / 1. 审题建模 - 根据实际问题抽象出代数表达式，明确目标（求值、证明、最优化等）。 2. 选择分解策略 - 提公因式法：优先提取公共因子（数字系数、字母、多项式）。 - 公式法：套用平方差、完全平方、立方和/差公式。 - 十字相乘法：针对二次三项式拆分常数项。 - 分组分解法：四项及以上多项式按逻辑分组。 3. 综合运用技巧 - 多步分解：先提公因式再用公式。 - 换元法：令复杂部分为新变量简化结构。 4. 验证与回溯 - 展开因式检查是否还原原式，排除漏解或增根。 【典例】（2025·山东临沂·一模）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3， ∴，， 即， 则原式， 故答案为：12． 【变式】（2025·山东临沂·二模）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 【答案】158404 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵的算术平方根是一个正整数， 是一个完全平方数， 是奇数， 只能是奇数的平方，从小到大依次是， 那么 “双方数”从小到大依次为， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 【变式】（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 突破一整式中的无关型问题 【典例】已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． （2）解：当时，． 当时，． 【变式】已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知， ． ∵的值与的值无关， ∴， 解得． 【变式】已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)27 (3) 【详解】（1）解：依题意， 把，直接代入得： ； 即； （2）解：由（1）知， 把，代入得 ； （3）解：由（1）知， ∵的值与的取值无关， ∴ 即 突破二 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例】如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 【变式】分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：图①，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：， 因此图①符合题意； 图②，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：， 因此图②符合题意； 图③，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：， 因此图③符合题意； 图④，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有， 即， 因此图④符合题意； 四个表示都是相符合的， 故答案为：①②③④． 【变式】探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 1．（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故选项A错误，不符合题意； B．，故选项B错误，不符合题意； C．，故选项C错误，不符合题意； D．，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意， ， 故选：D． 3．（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·山东·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 故选：B． 5．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 【答案】 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前五行共有个数，第个数为， 则第六行左起第1个数是， 故答案为：． 7．（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ． 故答案为：． 1．（2025·山东德州·模拟预测）下列各式计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解：A、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算错误，故C符合题意； D、，原计算正确，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025·山东·模拟预测）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 【答案】D 【详解】解：根据题意得：同一行的分数，分子与分母的和不变，均为正整数），在第行，第列； ∴在第20列，第行， ∴，； ∵， 故选：D． 3．（2025·山东泰安·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 5．（2025·山东·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：. 故选：C 2．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：, 故选：D． 3．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 5．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 7．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 整式乘法运算 题型01 幂的逆运算 题型02 整体代入 题型03 探求规律 命题点二 因式分解 题型01 利用完全平方式求参数 题型02 分组分解法因式分解 题型03 因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶难 16 突破一 整式中的无关型问题 突破二 完全平方公式在几何图形中的应用 06·优题精选·练能提分 17 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式的相关概念 / 山东泰安T18 山东临沂T13 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 整式的相关概念 / 山东泰安 T13 / 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 山东滨州T4 山东济南T5 山东青岛T6 山东东营T2 山东卷T2 山东德州 T3 山东日照T5 山东青岛T5 山东济南T6 山东泰安T2 山东淄博T3 山东济南T6 山东泰安T2 山东日照T6 山东威海T3 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 山东潍坊T15 / 山东淄博T16 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 山东东营T12 山东青岛T10 山东烟台T13 山东东营T12 山东德州T13 山东淄博T13 山东威海T12 山东卷T11 山东菏泽T9 山东东营T12 山东济宁T14 山东日照T13 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 命题预测 整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向 考点一 代数式的相关概念 1.代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 2．（2025·山东聊城·二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 2．（2025·山东临沂·二模）甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2+2ab-b2 1．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 考点四 整式化简求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 1．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 2．（2025·山东临沂·二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·山东济宁·一模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 考点五 因式分解 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 ． 2．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解： ． 命题点一 整式乘法运算 ►题型01 幂的逆运算 / 1.符号处理不当：在涉及负数的幂运算中，尤其是当底数为负数时，容易忽略奇次幂和偶次幂的结果差异。 2.忽视指数为“1”的情况：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。 3.法则混淆与误用：学生常混淆同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的规则。例如，错误地将同底数幂相乘的指数相乘，而正确做法是指数相加。 4.换底操作失误：在解决底数不同但指数相关的题目时，未能正确转换底数导致错误。例如，比较 10025与 7525的大小关系时，应该先将两者都转换成相同指数的形式再进行比较分析。 5.特殊情况条件遗漏：在进行零指数幂或负指数幂的运算时，忘记检查底数是否为零。另外，在求解含有未知数的幂等式时，没有考虑到某些特殊值可能使表达式无意义的问题。 【典例】（2025·山东烟台·一模）若，则的值为 ． 【变式】（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【变式】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，则 ． ►题型02整体代入 / 1. 灵活识别“整体”：常见整体形式：和、差、积、商、平方、倒数、根式等。 2. 避免盲目展开：尤其在高次幂或分式中，先尝试整体代入更高效。 3. 注意定义域限制：替换变量时需保证其有意义（如分母不为零、偶次根号下非负）。 4. 及时回代验证： 得到中间变量后要记得还原到原始变量求解。 【典例】（2025·山东聊城·三模）已知，则的值是 ． 【变式】（2025·山东聊城·二模）如果，那么的值为 ． 【变式】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． ►题型03 探求规律 / 1. 符号与系数混淆 - 忽略单项式系数的符号。 - 将常数项误认为未知数，导致次数判断错误。 2. 次数计算错误 - 单项式次数未累加所有字母的指数。 - 多项式次数误判为各项次数之和，而非最高次项的次数。 3. 规律归纳偏差 - 仅观察前两项即得出结论，未验证后续项。 - 对变量起始值理解错误。 4. 忽略特殊条件 - 未考虑分母含字母的代数式不属于整式。 【典例】（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． …… 1 1    1 1   2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1    5    10   10   5    1 …… 则展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示） 【变式】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【变式】（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 命题点二 因式分解 ►题型01 利用完全平方公式求参数 / 1. 符号遗漏 - 忽略完全平方公式中“±”号，导致漏解。 2. 系数处理不当 - 未注意首项系数非1时的缩放关系。 3. 非整式变形 - 在分式或无理式中强行套用公式，忽略定义域限制。 4. 混淆完全平方与平方差 - 将a2 - b2 误拆为(a - b)2，导致参数计算错误。 【典例】（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【变式】（2025·湖南湘西·模拟预测）若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式】（2025·海南三亚·模拟预测）已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为 ． ►题型02 分组分解法因式分解 / 1. 观察多项式结构 - 分析项数（≥4项）及是否存在公因式、平方差或完全平方等特征。 2. 合理分组策略 - 二二分组：适用于四项式，如 ac + ad + bc + bd = (a+b)(c+d)。 - 三一分组：三项构成完全平方，剩余项调整符号，如 x2 + 6xy + 9y2 - 4z2 = (x+3y)2 - (2z)2。 - 交叉验证：确保每组内可提取公因式或应用公式。 3. 逐步分解步骤 - ① 提取各组公因式 → ② 合并后再次提公因式/套用公式 → ③ 检查是否彻底分解。 4. 灵活变形技巧 - 添加辅助项构造可分组形式，如对x2 - y2 + 4x + 4，重组为 (x2 + 4x + 4) - y2 = (x+2)2 - y2。 【典例】（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【变式】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【变式】（2025·江西·模拟预测）因式分解： ． ►题型03 因式分解的应用 / 1. 审题建模 - 根据实际问题抽象出代数表达式，明确目标（求值、证明、最优化等）。 2. 选择分解策略 - 提公因式法：优先提取公共因子（数字系数、字母、多项式）。 - 公式法：套用平方差、完全平方、立方和/差公式。 - 十字相乘法：针对二次三项式拆分常数项。 - 分组分解法：四项及以上多项式按逻辑分组。 3. 综合运用技巧 - 多步分解：先提公因式再用公式。 - 换元法：令复杂部分为新变量简化结构。 4. 验证与回溯 - 展开因式检查是否还原原式，排除漏解或增根。 【典例】（2025·山东临沂·一模）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ． 【变式】（2025·山东临沂·二模）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 【变式】（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 突破一整式中的无关型问题 【典例】已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【变式】已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【变式】已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 突破二 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例】如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【变式】分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【变式】探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 1．（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 6．（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 7．（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 8．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为 ． 1．（2025·山东德州·模拟预测）下列各式计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2024 3．（2025·山东泰安·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ． 7．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $