专题04 双曲线综合（14大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题04 双曲线综合 【苏教版】 【知识清单1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识清单2 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【知识清单3 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识清单4 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【知识清单5 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点、定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 双曲线的定义】 【例1】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【解题思路】利用双曲线的定义即可求解. 【解答过程】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·山西·月考）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【解答过程】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C. 【变式1.2】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 【变式1.3】（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【答案】B 【解题思路】由双曲线方程及焦距确定，再由双曲线定义可求. 【解答过程】由题设，解得，又且， 所以，所以， 又P是双曲线上的一点，所以， 又因为，所以，解得或， 当P在双曲线左支时，， 当P在双曲线右支时，， 所以，即不可能有，则. 故选：B. 【题型2 双曲线的标准方程的求解】 【例2】（25-26高二上·江苏南通·月考）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【解答过程】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式2.1】（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【解答过程】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线方程的特征，列出不等式求解即得. 【解答过程】由方程表示双曲线，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合双曲线的标准方程的形式，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程表示双曲线，则满足， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式3.2】（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【解答过程】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B. 【变式3.3】（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【解答过程】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 【题型4 双曲线中焦点三角形问题】 【例4】（25-26高二上·宁夏固原·月考）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【解答过程】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 【变式4-1】（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【解答过程】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 【题型5 双曲线中距离的最值问题】 【例5】（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义，结合到圆上点的距离最小值，就可以把的最小值转化为，然后再利用两点间距离线段最短，即可求得最小值. 【解答过程】 根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则，所以， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解答过程】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以 ， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【解答过程】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 【题型6 求双曲线的轨迹方程】 【例6】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【解答过程】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解答过程】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【题型7 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例7】（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【解答过程】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据渐近线垂直可得，再根据实轴长为4即可求解. 【解答过程】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】由离心率得到，从而求出渐近线方程，设下焦点为，由点到直线的距离求出，即可求出、，从而得解. 【解答过程】因为双曲线的离心率，所以， 又双曲线的渐近线为，即为，即， 设下焦点为，则，解得，所以，则， 所以双曲线方程为，即. 故选：B. 【题型8 双曲线的渐近线方程】 【例8】（25-26高二上·海南儋州·月考）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【解答过程】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A. 【变式8.1】（25-26高二上·广西南宁·月考）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求出，再由渐近线的定义即可得解. 【解答过程】依题意，由为双曲线的焦点得，所以， 故渐近线方程为． 故选：C. 【变式8.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 【题型9 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例9】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【解答过程】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率 ． 故选：B． 【变式9-1】（25-26高三上·湖南·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【解答过程】如图所示：      设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【解答过程】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 【变式9-3】（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【题型10 直线与双曲线的位置关系】 【例10】（25-26高二上·全国·单元测试）直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【解答过程】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式10-3】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【题型11 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    【变式11-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【变式11-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，写出关于的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得：. 【变式11-3】（25-26高二上·河北·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意双曲线的焦点在轴上，进而得，解方程即可得答案； （2）设，利用点差法求得直线的斜率，进而根据点斜式写出所求直线方程，并检验即可. 【解答过程】（1）解：由题知双曲线的焦点在轴上， 因为双曲线的一条渐近线方程为，且经过点， 所以，解得，， 所以双曲线的方程为 （2）解：设，代入双曲线的方程得：， 两式作差得：， 因为线段的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即 此时联立方程得， 满足题意. 综上，直线的方程为：. 【题型12 双曲线中的面积问题】 【例12】（25-26高二上·湖南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 【变式12-1】（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，联立消元，求出及点到直线的距离，进而得到面积与的函数关系,利用函数的单调性即可得面积的取值范围. 【解答过程】由题意设， 联立消去得，，所以， 又，所以， 设，则，， 由，得，所以 设到的距离为，所以， 所以的面积 ． 故选：D. 【变式12-2】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式12-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3) 【解题思路】（1）求出双曲线渐近线，设出点,应用点到直线的距离公式即可； （2）设出直线,联立直线与双曲线方程，根据韦达定理表示出两点纵坐标的差的绝对值，则,再求其最大值； （3）联立直线与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1）,（2）中的结论分别表示出与,代入求范围. 【解答过程】（1）由题意知,双曲线的渐近线方程为, 设,,则. 设点到两条渐近线的距离为, 则. （2）    设直线的方程为,因为直线与双曲线的右支相交，故. ,有. . 令,则（当时取等号）. （3）由,得,则, 得.同理，可得. 所以，. 故，,因为,所以. 所以，的取值范围为. 【题型13 双曲线中的参数范围及最值】 【例13】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【解答过程】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C. 【变式13-1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【变式13-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【解答过程】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 【变式13-3】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 【题型14 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例14】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【解答过程】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 【变式14-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【解答过程】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【变式14-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【解题思路】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【变式14-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆离心率，可得a，c的关系，分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大，代入面积公式，结合的关系，即可得答案. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得表达式，结合斜率坐标公式，化简计算，即可得答案. （3）当直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况，综合分析，可得直线恒过定点，且设为R， 由，得在为直径的圆上，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率，得， 分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大， 则， 又，解得， 所以曲线的方程为. （2）证明：由（1）得，依题意，直线不垂直于轴， 设， 由消去得， 则， 则 ， 所以为定值； （3）证明：设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为， 由直线不过点，得， 由消去得， 则，且， 所以， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 此时直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得， 此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点，使得为定值. 一、单选题 1．（25-26高二上·广东江门·月考）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，方程表示双曲线， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【解答过程】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】对于双曲线，，，， 设双曲线的两个焦点为，，不妨设点到的距离为， 已知，由双曲线定义，即，解得或， 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为， ， 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以舍去， 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东惠州·月考）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【解答过程】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C. 6．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率． 【解答过程】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A.    7．（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线与，则与（    ） A．焦点坐标相同 B．焦距相等 C．离心率相等 D．渐近线相同 【答案】BC 【解题思路】根据双曲线焦点坐标、焦距、离心率、渐近线的求法分别判断各选项. 【解答过程】由题意知的焦点在轴上，，，， 则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为； 的焦点在轴上，，，， 则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为， 所以与的焦距相等、离心率相等， 故选：BC. 10．（25-26高二上·四川南充·月考）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是双曲线，则焦距为 【答案】BC 【解题思路】对于选项A，B，C根据椭圆和双曲线的标准方程满足的条件，列出关于的不等式组，求解的取值范围，判断各选项的正确性；对于选项D，根据求解. 【解答过程】对于选项A，曲线为椭圆需满足，解得且，故选项A错误； 对于选项B，曲线为双曲线需满足，解得或，故选项B正确； 对于选项C，焦点在轴上的椭圆需满足，解得，故选项C正确； 对于选项D，因为曲线表示双曲线，所以或， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为， 所以， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为， 所以，故选项D错误. 故选：BC. 11．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 【答案】AC 【解题思路】对于A，用离心率的计算公式即可求解；对于B，联立直线方程和双曲线方程，由判别式等于0可求出斜率，进而可知直线的方程；对于C，由双曲线的光学性质可知,平分，进而垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求解；对于D，求出的坐标，，结合不等式即可求解面积的最小值. 【解答过程】对于A，,故A正确； 对于B，设直线的方程为, 联立方程组,消去y整理得： ， ,化简整理得， 又因为，代入上式并化简得：， 因为 所以方程有两个相等的实根，解得， 所以直线的方程为,即，故B错误； 对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E， 则垂直平分,即为的中点，又是中点, 所以，故C正确; 对于D，由直线的方程为，令,得,则， ， 当且仅当,即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 【答案】1 【解题思路】求出双曲线的渐近线方程，利用条件列式即可求解. 【解答过程】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线为，所以，解得. 故答案为：1. 13．（25-26高二上·安徽池州·月考）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围. 【解答过程】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为. 过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与. 由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【解答过程】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 ，离心率 (2) 【解题思路】（1）方程化为双曲线标准方程，得到即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得弦长，再由点到直线距离得高，即可求出面积. 【解答过程】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为 ，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 17．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 18．（25-26高二上·湖南·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在 【解题思路】（1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【解答过程】（1）设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． （2）（i）由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件．    19．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线综合 【苏教版】 【知识清单1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识清单2 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【知识清单3 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识清单4 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【知识清单5 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点、定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 双曲线的定义】 【例1】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【变式1.1】（25-26高二上·山西·月考）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【变式1.2】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式1.3】（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【题型2 双曲线的标准方程的求解】 【例2】（25-26高二上·江苏南通·月考）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高三上·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.3】（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 双曲线中焦点三角形问题】 【例4】（25-26高二上·宁夏固原·月考）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式4-3】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【题型5 双曲线中距离的最值问题】 【例5】（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型6 求双曲线的轨迹方程】 【例6】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例7】（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型8 双曲线的渐近线方程】 【例8】（25-26高二上·海南儋州·月考）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式8.1】（25-26高二上·广西南宁·月考）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式8.3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型9 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例9】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高三上·湖南·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【题型10 直线与双曲线的位置关系】 【例10】（25-26高二上·全国·单元测试）直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式10-3】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【变式11-3】（25-26高二上·河北·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【题型12 双曲线中的面积问题】 【例12】（25-26高二上·湖南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式12-1】（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【变式12-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【题型13 双曲线中的参数范围及最值】 【例13】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【变式13-3】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【题型14 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例14】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式14-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【变式14-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【变式14-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 一、单选题 1．（25-26高二上·广东江门·月考）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 5．（25-26高二上·广东惠州·月考）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线与，则与（    ） A．焦点坐标相同 B．焦距相等 C．离心率相等 D．渐近线相同 10．（25-26高二上·四川南充·月考）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是双曲线，则焦距为 11．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 三、填空题 12．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的一条渐近线为，则的值为 . 13．（25-26高二上·安徽池州·月考）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为 ． 14．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 17．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（25-26高二上·湖南·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $