专题03 椭圆综合（14大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题03 椭圆综合 【苏教版】 【知识清单1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识清单2 椭圆的焦点三角形】 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【知识清单3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【知识清单6 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北·月考）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆定义进行求解. 【解答过程】显然，，由椭圆定义可得 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·广西南宁·月考）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【解答过程】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·贵州·期中）若是椭圆上一点，、是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A．9 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【解题思路】将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解. 【解答过程】将椭圆方程化成标准形式得，则椭圆长半轴的长为4， 所以，即. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆上一点P到焦点的距离等于2，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义可以解. 【解答过程】由椭圆的定义得：，所以. 故选：A. 【题型2 椭圆标准方程的求解】 【例2】（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知椭圆标准方程确定椭圆的焦点位置，再根据短轴长和焦距得出，进而求出，得出椭圆的标准方程． 【解答过程】椭圆的短轴长为，焦距为， ， ， 椭圆的标准方程为， 故选：A． 【变式2.1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【解答过程】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式2.2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【解答过程】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的概念和基本性质，列出方程组，求出参数值，写出标准方程即可. 【解答过程】设椭圆焦距为2c,由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. 故选：A. 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（25-26高二上·河南·月考）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的标准方程列出不等式组求解即可. 【解答过程】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的范围是. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【解答过程】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【解答过程】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特点列不等式，求解的取值范围即可. 【解答过程】因为方程表示焦点在轴的椭圆， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【解答过程】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【解答过程】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 【变式4-2】（25-26高二上·吉林·月考）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案. 【解答过程】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【解答过程】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【解答过程】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C. 【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【解答过程】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    【变式5-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【解题思路】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【解答过程】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 【题型6 椭圆中距离的最值问题】 【例6】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义将化为，再结合即可求出答案. 【解答过程】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【解答过程】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【解答过程】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【解答过程】如图，    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 【题型7 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例7】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【解答过程】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程； 【解答过程】由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A. 【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【解答过程】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【解答过程】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得：，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 【题型8 求椭圆的焦点、焦距与长短轴】 【例8】（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【解答过程】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·天津静海·月考）曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【解答过程】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 【变式8.2】（25-26高二上·天津津南·月考）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【解答过程】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B. 【变式8.3】（25-26高二上·陕西榆林·月考）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【答案】D 【解题思路】根据两个椭圆的扁平程度相同，由两个椭圆的离心率相同求解. 【解答过程】因为两个椭圆的扁平程度相同， 所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同， 即，即， 解得， 所以小椭圆的短轴长为10cm， 故选：D. 【题型9 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例9】（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【解答过程】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【解答过程】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【解答过程】设是椭圆的左右焦点， 因为椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， 所以， 又， 所以， 所以，解得，即， 因为椭圆的离心率的范围为， 所以. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【解答过程】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【题型10 直线与椭圆的位置关系】 【例10】（25-26高二上·河南·月考）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解题思路】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【解答过程】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D. 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 【变式10-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 【题型11 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 【例11】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【解答过程】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 【变式11-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【解答过程】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 【变式11-3】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 【题型12 椭圆中的面积问题】 【例12】（24-25高二上·山东济宁·月考）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可. 【解答过程】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以 的面积为. 故选：A. 【变式12-1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【解答过程】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C. 【变式12-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【解题思路】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【解答过程】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4. 【变式12-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长． (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点． ①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）由的关系以及，即可求解. （2）①由题意设方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及斜率公式即可得证；②分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式求出，根据三角形面积公式列式，再根据基本不等式计算即可得解. 【解答过程】（1）已知抛物线：中，令，解得，所以， 因为椭圆上的点到距离的最小值为， 则，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. （2） ①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，，则，，， 由已知，所以的斜率分别为，， 故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ②设直线，显然，由，解得：或， ∴，则， 由①知，直线：，则， 由，得，解得或， 所以，则， 由①知，直线：，， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 【题型13 椭圆中的参数范围及最值】 【例13】（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C. 【变式13-1】（24-25高二上·辽宁·月考）已知是椭圆上的两个动点，为坐标原点，，过点作，垂足为点，若分别为椭圆的左､右顶点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意知为椭圆上两点，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率存在时，设直线为，联立直线与椭圆，整理方程，写出韦达定理，又由已知条件，得，将韦达定理代入可得与的关系式，最后根据三角形三边关系求得的最小值. 【解答过程】当直线斜率不存在时，要想求得的最小值，则为轴左侧两点，又由已知条件，易得，那么. 当直线斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去整理得： ，， 所以 由，得 整理得 又因为，所以. 又. 综上可知，的最小值为 故选：C. 【变式13-2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知圆，将圆各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，设曲线与轴正半轴交于点，点在曲线上. (1)求曲线的方程及的最大值； (2)设曲线与轴正半轴交于点，若线段与线段交于点，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）设曲线上任意一点为，对应圆上的点为，利用代入法即可得曲线，设点，得，即，由二次函数即可求解； （2）先求直线和的方程，进而求交点的坐标，由两点的距离公式得，进而得，即，最后利用基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）设曲线上任意一点为，对应圆上的点为， 则有，代入，得， 所以曲线的方程为：， 令，得，所以， 设点，所以， 所以， 又， 所以当时，， 所以的最大值为； （2）由（1）有直线的方程为：， 又由，令，解得，即点， 所以直线的方程为，即， 因为，即， 所以， 由有：，即， 又因为，所以，即， 又，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的最小值为. 【变式13-3】（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【解答过程】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为 （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为. （3）设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 【题型14 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 【例14】（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设椭圆的左顶点为，直线与相交于两点，直线与直线相交于点. 问: 直线是否过定点? 若过定点，求出该点坐标；若不过定点， 说明理由. 【答案】(1)； (2)直线过定点 【解题思路】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【解答过程】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 【变式14-1】（2025高三上·山西·专题练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【解答过程】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 【变式14-2】（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论. 【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以，即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 【变式14-3】（25-26高二上·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①②存在，. 【解题思路】（1）由成等差数列，得.又，所以.联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式可得的关系式，从而求得椭圆的离心率； （2）根据已知条件，求得直线过定点，由知，点在以为直径的圆上，因此的中点即为所求定点. 【解答过程】（1）由成等差数列，得. 又，所以. 设，. 则直线的方程为. 由，得. 所以. 所以. 所以，所以，，所以. 所以的离心率为； （2）若点满足，则点在线段的垂直平分线上，记的中点为，则直线的斜率为. 由（1）知. 所以.所以. 由（1）知，所以. ①所以椭圆的方程为； ②设. 当直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为. 由，得. .所以. ，所以. 所以.即. 以代得，. 即. 所以直线的斜率为： 所以直线的方程为： 所以直线过定点. 当直线的斜率不都存在时，一条为，另一条为. 则，或交换. 此时的方程为，即.过. 因为，所以点在以为直径的圆上. 的中点为，所以存在，使得为定值，且. 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·四川南充·月考）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【解答过程】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 3．（25-26高二上·四川成都·月考）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【解答过程】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A. 6．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可. 【解答过程】连接， 因，且为线段的中点，则四边形为矩形， 则， 因，则， 则，， 在中利用勾股定理得，，则， 故椭圆的离心率为. 故选：C． 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解题思路】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【解答过程】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【解答过程】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【答案】BC 【解题思路】通过椭圆的标准方程得到的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项. 【解答过程】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 10．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解题思路】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 11．（2025高二·全国·专题练习）（多选）如图，已知椭圆，抛物线，，过点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长，分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则下列结论中正确的为（    ） A．若记直线，的斜率分别为，，则 B．是定值1 C．是定值5 D．设，则 【答案】ABCD 【解题思路】设直线斜率为，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A；设直线方程为，联立方程组，求出，坐标，计算到的距离，代入面积公式化简判断B；根据，的坐标和距离公式判断C；联立方程组，求出，的坐标，用表示出三角形的面积，借助基本不等式即可判断D． 【解答过程】对A,易知，设直线的方程为，,，,． 联立方程组，消元得：，，， ， ，故A正确； 对B．设直线的方程为，则直线的方程为， 联立方程组，解得， 不妨设在第三象限，则，， 用替换可得，， 到的距离， 又， ，故B正确； 对C．又，， ，故C正确； 对D．联立方程组，可得，故， ，替换可得，， 到直线的距离， ， 当且仅当即时取等号． ，故D正确． 故选：ABCD． 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 【答案】4或2 【解题思路】根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【解答过程】由题意知且， 因为椭圆的焦距是2，即，解得. 所以，或，解得或； 故答案为：4或2. 13．（2025高二上·广东广州·专题练习）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】设椭圆右焦点，根据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【解答过程】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理及弦长公式即可求解. 【解答过程】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【解答过程】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 16．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 【答案】(1) (2)直线的方程为， 【解题思路】（1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. 【解答过程】（1）因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长.    17．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）设点到定直线的距离为d，定点，由题设等量关系转化为代数式化简即可得解； （2）设，，联立直线与椭圆方程，由判别式得到，利用韦达定理和分析得到，再计算即可得证. 【解答过程】（1）设点到定直线的距离为d，定点， 则由题，即，化简得， 所以曲线的方程为. （2） 由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0， 设，， 由得， 由，得 所以，则， 把，代入，得， 把，，代入，得，不满足， 所以， 则， 所以直线关于直线对称. 18．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【解答过程】（1）由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． （2）①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：，即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 19．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【解答过程】（1）椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； （2） ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线 ，整理得， 由①知， ， ， 即，解得， 点在直线上． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆综合 【苏教版】 【知识清单1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识清单2 椭圆的焦点三角形】 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【知识清单3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【知识清单6 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 1．椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．椭圆中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北·月考）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1.1】（25-26高二上·广西南宁·月考）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 【变式1.2】（25-26高二上·贵州·期中）若是椭圆上一点，、是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A．9 B．5 C．3 D．1 【变式1.3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆上一点P到焦点的距离等于2，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【题型2 椭圆标准方程的求解】 【例2】（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（25-26高二上·河南·月考）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·吉林·月考）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【题型6 椭圆中距离的最值问题】 【例6】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式6-1】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例7】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 求椭圆的焦点、焦距与长短轴】 【例8】（25-26高二上·吉林长春·期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·天津静海·月考）曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【变式8.2】（25-26高二上·天津津南·月考）已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式8.3】（25-26高二上·陕西榆林·月考）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【题型9 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例9】（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型10 直线与椭圆的位置关系】 【例10】（25-26高二上·河南·月考）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式10-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 【例11】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【变式11-3】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【题型12 椭圆中的面积问题】 【例12】（24-25高二上·山东济宁·月考）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式12-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【变式12-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长． (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点． ①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值． 【题型13 椭圆中的参数范围及最值】 【例13】（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式13-1】（24-25高二上·辽宁·月考）已知是椭圆上的两个动点，为坐标原点，，过点作，垂足为点，若分别为椭圆的左､右顶点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知圆，将圆各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，设曲线与轴正半轴交于点，点在曲线上. (1)求曲线的方程及的最大值； (2)设曲线与轴正半轴交于点，若线段与线段交于点，恒成立，求实数的最小值. 【变式13-3】（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 【题型14 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 【例14】（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设椭圆的左顶点为，直线与相交于两点，直线与直线相交于点. 问: 直线是否过定点? 若过定点，求出该点坐标；若不过定点， 说明理由. 【变式14-1】（2025高三上·山西·专题练习）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【变式14-2】（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【变式14-3】（25-26高二上·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川南充·月考）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·四川成都·月考）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 10．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 11．（2025高二·全国·专题练习）（多选）如图，已知椭圆，抛物线，，过点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长，分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则下列结论中正确的为（    ） A．若记直线，的斜率分别为，，则 B．是定值1 C．是定值5 D．设，则 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 13．（2025高二上·广东广州·专题练习）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为 . 14．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 16．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 17．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 18．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 19．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $