27.2.1.1 相似三角形的判定（第一课时） 导学案 2025-2026学年人教版数学 九年级下册

该初中数学导学案聚焦相似三角形判定第一课时，核心内容包括相似三角形概念、平行线分线段成比例定理及推论。通过复习相似多边形的概念、性质等旧知搭建学习支架，引导学生类比迁移，建立新旧知识的逻辑脉络。 以问题链驱动探究，通过画图、计算等活动引导学生自主发现定理，培养抽象能力与创新意识。习题分层设计，从基础巩固到综合应用，结合中考真题，助力学生发展推理意识和运算能力，提升数学思维。

27.2.1.1 相似三角形的判定第一课时 导学案 一、学习目标 1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。 2.平行线分线段成比例定理及其推论。 3.会应用平行线分线段成比例定理写比例式、计算。 4.经历探究平行线分线段成比例定理的过程，培养分析归纳能力。 二、复习巩固 问题1. 相似多边形的概念 问题2. 相似多边形的性质 问题3. 相似比的概念 问题4. 如何判定相似多边形 三、核心知识 一、相似三角形的概念: 在△ABC 和△中，如果∠A= ， ∠ B= ， ∠ C= ， 且 = = =k，即三角分别 、三边 ，我们就说△ABC 和△相似， 为相似比. 二、平行线分线段成比例定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的 成比例.简称:平行线分线段成比例. 三、平行线分线段成比例推论: 平行于 (或 )，所得的对应线段成比例 四.新知探究 【问题一】类比相似多边形的概念，你能给出相似三角形的概念吗? 【问题二】判定两个三角形全等有几种方法？ 如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线 l1和l2，再画三条与l1 ，l2都相交的平行线l3 ，l4 ， l5 ，分别交l1 ，l2于A，B，C，D，E，F. 【问题三】计算与， 与， 与，你发现了什么？ 将l5平移到如图的位置 ，与l1和l2的交点是C、F. 【问题四】：计算与， 与， 与，你发现了什么？ 根据问题三和问题四，你发现了什么？ 五、巩固练习 1.如图，DE//FG//BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ） A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG = GC D.EG=2GC 2.如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（ ） A. AC·CE=BD·DF B. AC·AE=BD·BF C.AC·DF=CE·BD D.CD2 = AB·EF 3. 如图，直线l1∥l2 ∥l3 ，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D. 4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若 = ，则 =（ ）. A. B. C. D.1 5.如图，AD//BE//CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（ ） A.3.6 B.4.8 C.5 D.5.2 六.新知探究 问题5：直线l3∥l4∥l5，若直线l2向左平移到D与A重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 问题6：直线l3∥l4∥l5，若直线l2向左平移到G与A重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 由此，你发现了什么？ 七、巩固练习 1.如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，若AC=6，则EC=( ) A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， = ， BF=8，则DE的长为（ ） A. B. C.2 D.3 3. 如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点， 求：BE：EF的值. 4.如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC. (1)求证：AF：FD=AD：DB； (2)若AB=30，AD：BD=2：1，请直接写出DF的长. 八、习题 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， = ，则EC的长是（ ） A. 4.5 B.8 C.10.5 D.14 2.如图，直线l1∥l2 ∥l3 ，若 = ，DF=15，则EF=（ ） A. 5 B.6 C. 7 D. 9 3.如图，AD∥BE∥CF，直线l1 ， l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，= ，DE=6, 则EF= . 4.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=　 　． 5.如图，△ABC中，DE//BC，DF//AC，AE=4，EC=2，BC=8.求BF和CF的长。 6.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF． 九、链接中考 1.（2024 ·江苏连云港· 中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 参考答案 二、复习巩固 问题1. 相似多边形的概念 如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 问题2. 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等、对应边成比例. 问题3. 相似比的概念 相似多边形对应边的比. 问题4. 如何判定相似多边形 1)边数相同；2)对应角相等；3)对应边成比例.【注意】以上这三个判定条件缺一不可. 三、核心知识 一、相似三角形的概念: 在△ABC 和△中，如果如果∠A= ∠ A′ ， ∠ B= ∠ B′ ， ∠ C= ∠ C′ ， 且 = = =k，即三个角分别 相等 、三边 成比例 ，我们就说△ABC 和△相似， k 为相似比. 二、平行线分线段成比例定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段 成比例.简称:平行线分线段成比例. 三、平行线分线段成比例推论: 平行于 三角形一边的直线截其他两边 (或 两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 四.新知探究 【问题一】类比相似多边形的概念，你能给出相似三角形的概念吗? 在△ABC 和△A′B′C′中， 如果∠A=∠ A′ ， ∠ B=∠ B′ ， ∠ C=∠ C′， 且 = = =k，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ ABC 与△ A′B′C′相似，相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ ABC 与△ A′B′C′ 相似记作“△ ABC ∽ △ A′B′C′”.相似比为k. △ A′B′C′与△ ABC的相似比为. 【问题二】判定两个三角形全等有几种方法？ 1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 4. 角角边（AAS）：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5. 斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线 l1和l2，再画三条与l1 ，l2都相交的平行线l3 ，l4 ， l5 ，分别交l1 ，l2于A，B，C，D，E，F. 【问题三】计算与， 与， 与，你发现了什么？ = = = = = = 将l5平移到如图的位置 ，与l1和l2的交点是C、F. 【问题四】：计算与， 与， 与，你发现了什么？ = = = = = = 根据问题三和问题四，你发现了什么？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例. 几何语言： 当l3 ∥l4 ∥ l5 ，则 = ， = ， = ， = 五、巩固练习 1.如图，DE//FG//BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ） A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG = GC D.EG=2GC 2.如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（C） A. AC·CE=BD·DF B. AC·AE=BD·BF C.AC·DF=CE·BD D.CD2 = AB·EF 3. 如图，直线l1∥l2 ∥l3 ，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（ D ） A.2 B.3 C.4 D. 【详解】解： ∵直线l1∥l2 ∥l3， ∴ = . ∵ AB=5，BC=6，EF=4， ∴ = ， ∴ DE= . 4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若 = ，则 =（ A ）. A. B. C. D.1 5.如图，AD//BE//CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（ B ） A.3.6 B.4.8 C.5 D.5.2 【详解】解： ∵ AD//BE//CF， ∴ = ，即 = ， ∴ EF=3.6， ∴ DF=EF+DE=3.6+ 1.2=4.8 六.新知探究 问题5：直线l3∥l4∥l5，若直线l2向左平移到D与A重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ ∵ l3∥l4∥l5， = ， = ， = 问题6：直线l3∥l4∥l5，若直线l2向左平移到G与A重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ ∵ l3∥l4∥l5， = ， = ， = 由此，你发现了什么？ 平行线分线段成比例推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 七、巩固练习 1.如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，若AC=6，则EC=( C ) A. B. C. D. 【详解】解： ∵ DE∥BC， = ， ∴ = = ， ∵ AC=6， ∴ = ，解得：CE= . 故选C. 2.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， = ， BF=8，则DE的长为（ A） A. B. C.2 D.3 【详解】 ∵ DE∥BC ， EF∥AC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE=FC， ∵ EF∥AC， ∴ = = ， ∵ BF=8， ∴ FC= ， ∴ DE= ，故选：A. 3. 如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点， 求：BE：EF的值. 解：过点D作CA的平行线交BF于点P，如图. ∴ = ， = ， ∵BD：DC=2：1，E是AD的中点， ∴ PE=FE，BP=2PF=4EF. ∴ BE=5EF . ∴ BE：EF =5：1. 4.如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC. (1)求证：AF：FD=AD：DB； (2)若AB=30，AD：BD=2：1，请直接写出DF的长. 解：(1)证明： ∵ EF∥CD ， ∴ AF：FD=AE：EC， ∵ DE∥BC ， ∴ AE：EC=AD：DB， ∴AF：FD=AD：DB； (2) ∵AB=30，AD：BD=2：1， ∴ AD=AB × =30 × =20， ∵ AF：FD=AD：DB， ∴AF：FD=2：1，∴DF=AD× =20 × = . 八、习题 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， = ，则EC的长是（ B ） A. 4.5 B.8 C.10.5 D.14 2.如图，直线l1∥l2 ∥l3 ，若 = ，DF=15，则EF=（ D ） A. 5 B.6 C. 7 D. 9 【详解】 ∵ l1∥l2 ∥l3， ∴ = . ∵ = ， ∴ = ， ∵ DE=DF-EF，DF=15， ∴ = ， ∴ EF=9.故选：D. 3.如图，AD∥BE∥CF，直线l1 ， l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，= ，DE=6, 则EF= 9 . 4.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=． 5.如图，△ABC中，DE//BC，DF//AC，AE=4，EC=2，BC=8.求BF和CF的长。 解：∵DE∥BC， ∴ = = = ， ∵DF∥AC， ∴ = ， ∴ = ，即CF= ，∴BF=8- = . 6.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF． 解：∵AB∥CD， ∴ = = = 2， ∴ = = = ， ∵ AB∥EF， ∴ = ， 即 = ，解得EF=4cm. 九、链接中考 1.（2024 ·江苏连云港· 中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ D ） A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁【解析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形.故选 D. 学科网（北京）股份有限公司 $